Appunti su numeri e operazioni

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1 Scienze della Formazione Primaria Matera Fondamenti della Matematica Appunti su numeri e operazioni Prof.ssa Eleonora Faggiano Il concetto di numero Il numero può essere usato come: indicatore di quantità ho comprato 5 mele misura di una grandezza la strada da percorrere è lunga 750 metri informatore sull ordine nella classifica la mia squadra è terza simbolo/etichetta premi il tasto 7 per vedere MTV 2 Il concetto di numero Aspetto cardinale La comprensione del concetto di numero va di pari passo con l apprendimento delle forme e dei simboli per rappresentarlo Ma che cosa è un numero? È un concetto estremamente complesso e per la sua conquista è necessario: attivare una serie di competenze di tipo diverso focalizzare l attenzione sugli aspetti CARDINALE, ORDINALE e RICORSIVO EQUIPOTENZA tra insiemi costituiti da oggetti diversi, permette di ripartirli in classi Ogni insieme è nella stessa classe con quegli insiemi che sono ad esso equipotenti Chiamiamo numero cardinale ogni classe della partizione così creata Es. il numero cinque è proprio la classe, la famiglia di insiemi aventi cinque oggetti Il numero cinque conta gli elementi di tali insiemi 3 4

2 Aspetto ordinale Consideriamo due insiemi A e B, rispettivamente di m ed n oggetti Costruiamo una corrispondenza opportuna tra A e B: a elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B allora - Gli insiemi A e B sono equipotenti m = n - L insieme A è un sottoinsieme di B m < n - L insieme B è un sottoinsieme di A n < m Questo ragionamento induce all ordinamento dei numeri alla retta dei numeri 5 Aspetto ricorsivo La sequenza dei numeri naturali non ammette salti Essa procede passando dal numero n al numero n+1 La capacità di salire di uno è un aspetto essenziale del processo di costruzione del numero e dell uso che se ne può fare 6 Le operazioni: premessa L addizione m + n Da un lato occorre comprendere il significato delle singole operazioni, dall altro conoscere i simboli e le tecniche per denotarle ed eseguirle correttamente L attività più significativa relativa alle operazioni riguarda la loro scelta in situazioni problematiche concrete Essa presuppone il coinvolgimento dei bambini in attività che abbiano lo scopo di interpretare e rappresentare contesti matematicamente significativi 7 nell unione di due insiemi privi di elementi comuni, di cardinalità uno m e l altro n numero m e compiere n mosse verso destra 8

3 La sottrazione m - n, n m nella differenza fra un insieme A di m elementi ed un suo sottoinsieme di n elementi numero m e compiere n mosse verso sinistra 9 La sottrazione: il modello primitivo Il modello primitivo di sottrazione è quello di diminuzione di una certa quantità iniziale Giulio aveva 8 caramelle, ne magia 3. Quante ne ha ora? Ma la sottrazione è anche: Una relazione di complemento a Ci sono 8 bambini. 3 di loro sono maschi. Quante sono le femmine? L opposto di un aumento Giulio ha ricevuto 3 euro dalla mamma ed ora ha in tutto 8 euro. Quanti euro aveva prima? 10 Ed è anche una relazione di differenza Tra stati, uno incluso nell altro Prima di giocare con Marco, Giulio aveva 8 palline. Ora ne ha 3. Cosa è successo durante il gioco? Tra quantità da mettere a confronto senza che per esse valga una relazione di inclusione Giulio ha 3 euro. Marco ne ha 8. Quanti euro ha in meno Giulio? Quanti in più ne ha Marco? Tra operatori Giulio ha giocato due partite. Nella seconda ha vinto 3 palline. In tutto ne ha vinte 8. Cosa è La moltiplicazione m x n nel prodotto cartesiano di due insiemi, di cardinalità uno m e l altro n numero 0 e compiere m salti di lunghezza n verso destra successo nella prima partita? 11 12

4 La moltiplicazione: il modello primitivo Addizione ripetuta (5 3 viene percepito come 5+5+5) Chi deve eseguire una moltiplicazione si aspetterà che l operatore (che indica quante volte si deve addizionare l operando) sia sempre un numero naturale e che il prodotto risulti un numero maggiore dell operando 1 litro d olio costa 4. Quanto costano 2 litri? 1 litro d olio costa 4. Quanto costano 0,75 litri? 13 Cosa vuol dire dividere tra loro due numeri? Dividere un numero m per un numero n significa trovare due numeri q ed r tali che m sia uguale ad n per q più r m = n x q + r 14 numero m e compiere salti di lunghezza n verso sinistra: il risultato sarà il numero di salti che è possibile fare prima di raggiungere lo 0; il resto sarà il numero più vicino a zero che avremo raggiunto e sarà per forza minore di n 15 Partizione: ricerca del numero di elementi contenuti in ciascuna delle n classi equipotenti in cui può essere suddiviso un insieme di m elementi (quante caramelle toccano a ciascuno?) Contenenza: ricerca del numero di sottoinsiemi di n elementi che sono contenuti in un insieme di m elementi (quanti gruppi di 5 caramelle posso fare?) 16

5 La divisione: il modello primitivo Dividere le caramelle distribuendole Nell eseguire una divisione chi fa riferimento al modello di partizione si aspetterà che l operatore sia un numero naturale e che il quoziente sia un numero minore dell operando Nell eseguire una divisone chi fa riferimento al modello di contenenza accetterà che l operatore non sia un numero naturale purché sia un numero minore dell operando 5 amici hanno comperato 0,75 Kg di pane. Esempio: Spesa di 320 da dividere fra 18 bambini Se pagano 10 a testa, fa 180, troppo poco. Se pagano 20 fa 360, che è troppo. Provo con 15, fa 270, è ancora poco. Provo con 17, fa 270 poi aggiungo ancora 36 e fa 306. E ancora poco. Provo con 18, ecc. ) Prove distinte successive senza un criterio prestabilito, ma con lo scopo di avvicinarsi il più possibile al risultato Quanto pane tocca a ciascuno? Oppure: Provo con 10, fa 180, allora provo con 11, fa 198, allora provo con 12, fa 216 (ecc.) provo per 18 e vedo che fa 324, allora torno indietro a 17 a testa che faceva 306 e poi provo con 17,10 ecc. ) Avvicinamento progressivo al dividendo mediante approssimazioni successive del quoziente che ogni volta viene moltiplicato per il divisore in modo da orientare le approssimazioni successive (prova iniziale, ripetizione della prova con lo stesso ordine di grandezza fino al risultato migliore, poi O ancora: 18 per 10 a testa fa 180; resta da dividere 140; 18 per 1 fa 18, troppo poco; provo con 18 per 5 a testa, fa 90; resta da dividere ancora 50; 18 per 1 fa 18, 18 per 2 fa 36, resta da dividere ancora 14, ecc. Svuotamento progressivo del dividendo attraverso il calcolo di quanto resta dopo aver tolto dal dividendo il risultato delle prove iniziali, nuove prove sul resto e così via fino allo svuotamento del dividendo nuove prove con ordini di grandezza minori) 19 20