Automazione Industriale

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1 Automazione Industriale Stefano Cherubin 23 settembre 2013 Sommario Reti di Petri ed analisi delle reti di Petri. Riassunto teorico e domande frequenti (Vero o Falso e Perché). Indice 1 Introduzione alle reti di Petri e concetti generali Denizioni Analisi delle reti di Petri Invarianti, sifoni, trappole P-invariante T-invarianti Sifoni Trappole Considerazioni Classi particolari Automa (macchina a stati) Grafo marcato Free Choice Relazioni tra le classi Controllo e supervisione Concetti base Terminologia Osservazioni Sintesi Vero o Falso... e perché Serie 1 (10 domande) Serie 2 (10 domande) Serie 3 (10 domande) Serie 4 (10 domande) Serie 5 (12 domande)

2 DISCLAIMER: Il contenuto di questo documento non è garantito essere esatto, esaustivo. Il presente documento è rilasciato secondo i termini della licenza BEER-WARE 1. 1 Introduzione alle reti di Petri e concetti generali Le reti di Petri sono uno strumento di modellizzazione formale per rappresentare il comportamento di un sistema. A dierenza degli automi a stati niti che non riescono a rappresentare sistemi a inniti stati con un numero nito di nodi, le reti di Petri consentono di rappresentare anche questi sistemi tramite un grafo con numero nito di nodi. Una transizione in una rete di Petri inuenza solo una parte dello stato complessivo del sistema. È quindi possibile rappresentare due eventi che possono contemporaneamente vericarsi. Inoltre non è possibile forzare una specica transizione a scattare nel caso in cui ne esistano di altre abilitate. Questo fa si che sia possibile modellizzare eventi asincroni tramite reti di Petri. 1.1 Denizioni Rete (non marcata) è una tripletta N = (P, T, F ), dove P è l'insieme nito dei posti, T è l'insieme nito delle transizioni ed F è la relazione di usso. Vale inoltre che P T = P T F P T T P. Preset α = pre (α) = {δ P T (δ, α) F } Insieme dei predecessori secondo la relazione di usso. Postset α = post (α) = {δ P T (α, δ) F } Insieme dei successori secondo la relazione di usso. Rete Posti-Transizioni è una quintupla P T = (P, T, F, W, M 0 ) dove P, T ed F deniscono una rete, W è una funzione (W : F N {0}) detta peso che associa ad ogni elemento di F un peso intero positivo e M 0 è una funzione (M 0 : P N) detta marcatura iniziale che associa ad ogni posto un intero non negativo. Marcatura è una funzione (M : P N) che associa ad ogni posto un intero non negativo rappresentante il numero di token contenuti nel posto in un dato momento. reti di Petri ordinarie sono reti di Petri in cui tutti gli archi hanno peso unitario. transizione abilitata una transizione si dice abilitata allo scatto nella marcatura M, ovvero M[t >, se e solo se p t M (p) W (p, t) 1 Puoi fare ciò che ti pare di questo documento. Se ritieni utile questa roba e un giorno dovessimo incontrarci puoi orirmi una birra. 2

3 scatto di una transizione lo scatto di una transizione t è un evento che, data una marcatura M in cui t è abilitata, produce una nuova marcatura M tale che: p t t M (p) = M (p) W (p, t) p t t M (p) = M (p) + W (t, p) p t t M (p) = M (p) W (p, t) + W (t, p) altrove M (p) = M (p) transizione viva in una rete di Petri una transizione si dice viva se può scattare innite volte. rete di Petri pura una rete di Petri si dice pura se e solo se ogni sua transizione ha il preset disgiunto dal proprio postset. rete di Petri viva una rete di Petri si dice viva se e solo se tutte le sue transizioni sono vive, ovvero se tutte le transizioni possono scattare innite volte. rete di Petri k-limitata una rete di Petri si dice k-limitata se e solo se in tutti i suoi posti non possono essere presenti più di k token per ciascun posto con k N. rete di Petri binaria una rete di Petri si dice binaria se e solo se è una rete di Petri k-limitata con k = 1. rete di Petri reversibile una rete di Petri si dice reversibile se e solo se per ogni marcatura M raggiungibile dalla marcatura iniziale esiste una sequenza valida e nita di transizioni che permettono di riportare la rete alla marcatura iniziale. matrice di ingresso matrice P T in cui l'elemento I i,j è il peso dell'arco entrante nella transizione j uscente dal posto i. matrice di uscita matrice P T in cui l'elemento O i,j è il peso dell'arco uscente dalla transizione j entrante nel posto i. matrice di incidenza matrice P T ottenuta dalla relazione C = O I. Si noti che C i,j = W (i, j, in) W (i, j, out), considerando in come archi in ingresso al posto i e out archi in uscita dal posto i. vettore delle occorrenze vettore colonna di dimensione T in cui il generico elemento s j indica il numero di scatti della transizione j nella sequenza di scatti S a cui il vettore è associato. equazione di stato equazione che riassume il passaggio da uno stato ad un altro della rete di Petri. Sia S una sequenza di scatti a cui è associato il vettore delle occorrenze s, siano M 0, M 1 due marcature e C la matrice di incidenza della stessa rete di Petri. M 0 [S > M 1 può essere scritto con l'equazione di stato M 1 = M 0 + C s. 3

4 2 Analisi delle reti di Petri 2.1 Invarianti, sifoni, trappole P-invariante Si tratta di invarianti di tipo posto. Corrispondono a insiemi di posti per cui la somma dei token rimane invariata per tutte le marcature raggiungibili. Calcolo dei P-invarianti I P-invarianti sono i vettori che soddisfano l'equazione x C = 0. Equivalentemente si può risolvere C x = 0. Supporto di un invariante e altre denizioni notevoli supporto di un P-invariante insieme di posti x a cui corrispondono elementi non nulli del P-invariante x. P-invariante a supporto minimo P-invariante che non contiene il supporto di alcun altro P-invariante. P-invariante canonico il massimo comune divisore dei suoi elementi non nulli è pari a 1. insieme generatore di P-invarianti positivi è il più piccolo insieme di invarianti positivi P I k, con 1 k P, tali che ogni altro invariante della rete sia combinazione lineare dei P-invarianti P I k. Tale insieme è nito ed è unico. P-invarianti minimi elementi dell'insieme generatore di P-invarianti positivi. Un P-invariante è minimo se e solo se è canonico e a supporto minimo. rete coperta da P-invarianti ogni poso della rete appartiene al supporto di almeno un P-invariante. rete conservativa una rete è conservativa se coperta da P-invarianti non negativi. Una rete conservativa è sempre limitata T-invarianti Si tratta di invarianti di tipo transizione. Corrispondono a sequenze di transizioni che, se applicate, riportano la rete allo stato di partenza. I T-invarianti sono vettori che soddisfano l'equa- Calcolo dei T-invarianti zione Cy = 0. 4

5 2.1.3 Sifoni Un sifone rappresenta un insieme di posti che durante l'evoluzione della rete tende a perdere token e non è in grado di acquisirne. Un insieme S di posti è un sifone se e solo se S S, ovvero tutte le transizioni che portano token nel sifone sono anche transizioni che portano token fuori dal sifone. L'unione di sifoni è ancora un sifone. Se un sifone non contiene token in una marcatura M allora non conterrà token in alcuna delle marcature raggiungibili da M. Se un sifone non contiene token allora tutte le transizioni in uscita dal sifone sono disabilitate e la rete non è viva Trappole Una trappola è un insieme di posti che durante l'evoluzione della rete tende ad acquisire token e non è in grado di cederne. Un insieme S di posti è una trappola se e solo se S S. L'unione di trappole è ancora una trappola. Se una trappola contiene token in una marcatura M allora essa conterrà token in ciascuna delle marcature raggiungibili da M Considerazioni I P-invarianti della matrice di incidenza C sono i T-invarianti della matrice di incidenza C e viceversa. Il supporto di un P-invariante con elementi non negativi è contemporaneamente sia sifone sia trappola. Sia M una marcatura morta. L'insieme dei posti privi di gettoni in M è un sifone. Se in una marcatura M ogni sifone contiene una trappola marcata (trappola contenente almeno un token) allora non esistono marcature morte in M[>. 2.2 Classi particolari Automa (macchina a stati) Una macchina a stati è una rete di Petri per cui ogni transizione ha esattamente un arco entrante e un arco uscente. Ovvero vale la relazione t T, t = 1 t = 1. Proprietà della macchina a stati La macchina a stati è strettamente conservativa. token nella rete non varia mai. Ovvero il numero di 5

6 Se la marcatura iniziale contiene un solo token, la rete è binaria. Non ammettono sincronizzazioni Vivezza di una macchina a stati Una macchina a stati è viva se e solo se è fortemente connessa. Ovvero se ha almeno un token ed è possibile andare da un nodo ad un qualunque altro seguendo la relazione di usso Grafo marcato Un grafo marcato è una rete di Petri per cui ogni posto ha esattamente una transizione entrante e una transizione uscente. Ovvero vale la relazione p P, p = 1 p = 1. Un grafo marcato non ammette conitti. Vivezza di un grafo marcato sequenza di posti la sequenza a valle di un posto è la medesima in ingresso al posto successivo nella sequenza; inoltre se una transizione è in ingresso per un posto della sequenza allora non può essere in ingresso per altri posti della sequenza, se una transizione è in uscita per un posto della sequenza allora non può essere in uscita per un altro posto della sequenza. ciclo sequenza di posti ottenuti seguendo la relazione di usso per cui la transizione in ingresso al primo posto è anche transizione di uscita dell'ultimo posto. Un grafo marcato è vivo se e solo se ogni suo ciclo contiene almeno un token Free Choice Una rete a scelta libera è una rete di Petri per cui ogni arco da posto a transizione è l'unico arco entrante nella transizione oppure l'unico arco uscente dal posto. Ovvero vale la relazione t T, p t t = {p} p = {t}. Le reti a scelta libera garantiscono l'assenza di confusione fra transizioni. Un grafo marcato è una rete a scelta libera. Una macchina a stati niti è una rete a scelta libera. confusione condizione che denota l'impossibilità di determinare con certezza in un conitto quale transizione scatterà, perché la loro condizione di abilitazione dipende da altri fattori (esempio: ordine di scatto di transizioni a monte). Extended Free Choice Una rete a scelta libera estesa è una rete di Petri per cui ogni posto in ingresso ad una transizione condivide il suo postset con gli altri posti in ingresso per quella transizione. Ovvero vale la relazione t T, p 1, p 2 t p 1 p 2. 6

7 Reti a scelta asimmetrica Una rete a scelta asimmetrica è una rete di Petri per cui vale la relazione p 1, p 2 P p i p j p i p j p j p i. Considerazioni sulla vivezza Una rete a scelta libera estesa è viva se e solo se tutti i suoi sifoni contengono una trappola marcata. Una rete a scelta asimmetrica è viva se (ma non solo se) tutti i suoi sifoni contengono una trappola marcata Relazioni tra le classi Le macchine a stati niti e i gra marcati sono tra loro disgiunti ma sono entrambe reti a scelta libera. Le reti a scelta libera sono sottoinsieme delle reti a scelta libera estese, le quali a loro volta sono sottoinsieme delle reti a scelta asimmetrica. 7

8 3 Controllo e supervisione 3.1 Concetti base Si necessita di imporre dei vincoli ad un sistema rappresentato da una rete di Petri. Per fare ciò si possono seguire due approcci: forzare l'ordine di una determinata sequenza di eventi (transizioni) nella rete oppure impedire il vericarsi di situazioni (marcature) non desiderate nella rete. Sebbene i due approcci non siano particolarmente diversi ai ni dell'espressività noi procederemo seguendo il secondo di questi sopra descritti. Il controllo che ci si appresta a trattare viene detto deadlock-avoidance perché mira a impedire la formazione di marcature non desiderate o ritenute critiche, queste marcature in alcuni ambiti prendono il nome di deadlock. Un altro nome per questo approccio è controllo supervisivo, in quanto il controllore agisce senza modicare la rete di Petri preesistente ma si limita ad aggiungere dei posti di supervisione che osservano o controllano delle transizioni. 3.2 Terminologia posto di controllo posto aggiunto alla rete di Petri nella progettazione del supervisore. transizione osservata transizione nel preset dei un posto di controllo. transizione controllata transizione avente un posto di controllo nel proprio preset. vincolo di disuguaglianza vincolo da imporre nel sistema espresso nella forma m i + m j k. Dove m i, m j sono le generiche marcature soggette a restrizioni. vincolo di uguaglianza vincolo da imporre nel sistema espresso nella forma m i + m j + m c = k. Dove m c è la marcatura del nuovo posto di controllo introdotto per soddisfare questo vincolo. 3.3 Osservazioni Ogni vincolo introdotto produce un nuovo P-invariante nella rete di Petri controllata. Si può prevenire lo svuotamento dei sifoni imponendo un vincolo del tipo s sifone m s 1, che può essere facilmente tradotto nella classica forma di disuguaglianza s sifone m s Sintesi Raggruppando i vari vincoli che si desidera imporre sul sistema, otteniamo l'espressione matriciale L M p b dove L costituisce una matrice di pesi che 8

9 ciascun vincolo associa ad ogni posto, il vettore M p rappresenta la generica marcatura della rete e b è il vettore dei termini costanti. Introducendo il vettore delle marcature dei posti di controllo M c otteniamo l'equazione L M p +M c = b. Il supervisore si ottiene quindi: matrice di incidenza del supervisore C c = L C p marcatura iniziale dei posti di controllo M 0c = b L M 0p 9

10 4 Vero o Falso... e perché 4.1 Serie 1 (10 domande) 1. Una rete di Petri free-choice è sempre viva. FALSO. La condizione di vivezza è che tutti i suoi sifoni contengano una trappola marcata, come per le extended free-choice. 2. Il supporto di un P-invariante a coecienti non negativi è contemporaneamente un sifone ed una trappola. VERO. 3. In un sistema ad eventi discreti non sono mai coinvolte variabili di tipo numerico. FALSO. I sistemi ad eventi discreti non impongono alcun vincolo sul tipo delle variabili. 4. Una caratteristica fondamentale dei modelli dei sistemi dinamici ad eventi discreti è che il loro stato evolve guidato non dal tempo ma dal succedersi di eventi. VERO. Come dice il nome Una rete di Petri coperta da un unico P-invariante con tutti gli elementi pari a 1 è strettamente conservativa. VERO. Signica che l'intera rete coincide con un sifone-trappola. quindi tende a non acquistare e non perdere gettoni. 6. Se un sistema ad eventi discreti è dinamico, allora esso è sempre descrivibile con un automa a stati niti. FALSO. Gli automi non possono rappresentare sincronizzazioni. 7. Il controllo supervisivo a deadlock-avoidance serve a ridurre opportunamente le marcature raggiungibili da una rete di Petri. VERO. In particolare mira a eliminare le marcature che contengono situazioni di deadlock. 8. I metodi di progetto bottom-up per il controllo dei DES consistono nel disegnare la rete di Petri del sistema controllato partendo dalle sue uscite, mentre nei metodi top-down si parte dagli ingressi. 10

11 FALSO. Non ho la più pallida idea di cosa sia il controllo del DES tuttavia la base da cui si parte a progettare sono sempre gli ingressi del sistema mentre le uscite rappresentano il risultato. Ne consegue che un metodo bottom-up parta dagli ingressi e un metodo topdown parta dalle uscite del sistema. 9. Nei modelli dei sistemi ad eventi discreti, a volte l'insieme dei valori che una variabile può assumere dipende dallo specico problema di modellizzazione e non soltanto dal sistema. VERO. Esistono situazioni in cui il dominio di una variabile dipende dalla specica applicazione. 10. Se una rete di Petri ha la matrice d'incidenza quadrata e non singolare, tale rete non ha né P-invarianti né T-invarianti con elementi tutti nulli. VERO. Se la matrice d'incidenza è non singolare allora esistono T- invarianti e P-invarianti non nulli in numero pari al rango della matrice. Si ricorda che nel caso una riga (o colonna) di una matrice sia ottenibile come combinazione lineare di altre allora il determinante di quella matrice risulterà nullo (matrice singolare). 4.2 Serie 2 (10 domande) 1. Nelle reti di Petri free-choice non vi sono mai conitti. FALSO. I gra marcati non ammettono conitti. Nulla si può dire a riguardo nelle reti di Petri free-choice. 2. Un sifone è un insieme di posti che sicuramente, prima o poi, rimane senza marche. FALSO. Un sifone tende a rimanere senza token tuttavia esistono condizioni in cui ciò non accade, ad esempio quando un sifone contiene una trappola marcata. 3. L'equazione di stato di una rete di Petri serve a calcolare la marcatura che si ottiene a partire da una certa marcatura iniziale e con un certo vettore delle occorrenze. VERO. Per denizione di equazione di stato di una rete di Petri. 4. Se ad un vettore delle occorrenze corrisponde una sequenza di scatti ammissibile, allora tutte le sequenze di scatti che corrispondono a quel vettore delle occorrenze sono ammissibili. 11

12 FALSO. Invertendo l'ordine di due o più transizioni in una sequenza di scatti non cambia il vettore della occorrenze tuttavia esiste la possibilità che la sequenza di scatti di partenza sia ammissibile e quella variata non lo sia. 5. Nel controllo supervisivo a deadlock-avoidance è possibile introdurre vincoli sia sullo stato che sugli eventi. VERO. Questo tipo di controllo consente di intervenire sia su stati sia su eventi. 6. Un sistema dinamico ad eventi discreti può avere un numero innito di stati raggiungibili. VERO. Un esempio può essere dato da una rete che incrementa i token al suo interno ad ogni transizione. Questo porta ad un aumento non limitato di token e quindi ad un numero non limitato di marcature (stati) raggiungibili. 7. I T-invarianti della rete di Petri con matrice d'incidenza C sono i P- invarianti della rete di Petri con matrice d'incidenza C. VERO. Trasporre la matrice di incidenza C signica invertire il ruolo di posti e transizioni nella rete di Petri. Ne consegue che gli invarianti di posto diventano invarianti di transizione e viceversa. 8. Se una rete di Petri non ha P-invarianti non tutti nulli, non ha nemmeno T-invarianti non tutti nulli. FALSO. Se una rete di Petri non ha P-invarianti non tutti nulli allora si può dire che la matrice di incidenza C non ha alcuna riga ottenibile come combinazione lineare di altre. Non viene però garantita la stessa cosa per le colonne di C e quindi è ammissibile la presenza di T- invarianti tutti nulli. 9. Una transizione viva in una rete viva può scattare un numero innito di volte. VERO. Una transizione si dice viva quando può scattare un numero innito di volte. 10. Una transizione viva in una rete non viva può scattare un numero innito di volte. VERO. Una transizione si dice viva quando può scattare un numero innito di volte. Una rete si dice viva quando tutte le sue transizioni sono vive. In una rete non viva esiste almeno una transizione non viva tuttavia tutte le transizioni vive possono scattare innite volte. 12

13 4.3 Serie 3 (10 domande) 1. Un sifone è il supporto di un P-invariante. FALSO. Si può dire che un P-invariante a coecienti positivi è sia sifone sia trappola ma nulla più. 2. Una rete di Petri coperta da P-invarianti con coecienti non negativi è conservativa. VERO. In una rete di Petri coperta da P-invarianti non negativi il numero di token non cresce mai indenitivamente, è conservativa. 3. Il controllo supervisivo a deadlock-avoidance serve a far sì che lo scatto di certe transizioni avvenga in una sequenza pressata. FALSO. Serve a impedire che un sifone perda tutti i token. 4. I sifoni della rete di Petri con matrice d'incidenza C coincidono con le trappole della rete di Petri con matrice d'incidenza C. VERO. Cambiando segno alla matrice C gli archi in uscita a una transizione diventano in entrata e viceversa. Avviene quindi che gli insiemi di posti che prima tendevano ad accumulare gettoni ora tendano a perderne (e viceversa). 5. I P-invarianti della rete di Petri con matrice d'incidenza C coincidono con i T-invarianti della rete di Petri con matrice d'incidenza C. FALSO. Questo scambio di ruoli avviene applicando alla matrice C una trasposizione. Invertendo i segni degli elementi della matrice avviene che i sifoni diventano trappole e le trappole diventano sifoni tuttavia non si applica agli invarianti alcuna di queste relazioni. 6. Un sifone minimo non contiene altri sifoni ma può coincidere con il supporto di un P-invariante. VERO. Per la precisione un P-invariante a coecienti non negativi. Si noti che quel sifone è anche trappola. 7. Una transizione di una rete di Petri si dice viva se è abilitata in una ed una sola marcatura della rete stessa. FALSO. Una transizione di una rete di Petri si dice viva se può scattare innite volte. 8. I sifoni della rete di Petri con matrice d'incidenza C coincidono con le trappole della rete di Petri con matrice d'incidenza C. 13

14 FALSO. Questo scambio di ruoli avviene moltiplicando la matrice C per 1. Applicando una trasposizione avviene che i P-invarianti diventano T-invarianti e viceversa tuttavia non si applica a sifoni e trappole alcuna di queste relazioni. 9. I P-invarianti della rete di Petri con matrice d'incidenza C coincidono con i T-invarianti della rete di Petri con matrice d'incidenza C. VERO. Trasporre la matrice di incidenza C signica invertire il ruolo di posti e transizioni nella rete di Petri. Ne consegue che gli invarianti di posto diventano invarianti di transizione e viceversa. 10. In una rete di Petri free-choice tutte le transizioni hanno al più un posto nel loro preset. FALSO. In una rete di Petri free-choice ogni transizione ha al più un posto nel loro preset oppure coincide con il postset di tutti i posti nel suo preset. 4.4 Serie 4 (10 domande) 1. Una rete di Petri si dice binaria se tutte le sue transizioni hanno due posti nel loro postset. FALSO. Una rete di Petri si dice binaria se è k-limitata con k = Se una rete di Petri ha N marcature possibili M 1 M N e tutte le marcature M 2 M N sono raggiungibili da M 1, la rete è viva. FALSO. Esiste la possibilità che una della marcature raggiungibili sia una marcatura morta; in quel caso non è possibile attivare alcuna transizione e quindi la rete non sarebbe viva. 3. I P-invarianti di una rete di Petri non dipendono dalla marcatura iniziale. VERO. Gli invarianti dipendono solo dalla rete non marcata su cui si basa la rete di Petri. 4. Una rete di Petri coperta da P-invarianti è sempre strettamente conservativa. FALSO. Per essere conservativa la rete deve essere coperta da P- invarianti non negativi. 5. Il controllo supervisivo serve ad imporre ad una rete di Petri dei vincoli sullo stato espressi in una forma qualsiasi. FALSO. I vincoli imposti tramite controllo supervisivo sono espressi nella forma L M p + M c = b. 14

15 6. Se un insieme di posti è contemporaneamente un sifone ed una trappola, allora esso è il supporto di un P-invariante. FALSO. Il supporto di un P-invariante a coecienti non negativi è contemporaneamente sia sifone sia trappola. Non è garantito che per ogni sifone-trappola esista un P-invariante associato. 7. Una rete di Petri tale per cui ogni sifone, minimo e non minimo, contiene almeno una trappola marcata è viva. FALSO. Questa particolare condizione vale per le reti di Petri a scelta libera asimmetrica. Non vale per tutte le reti di Petri. 8. Una rete contenente i seguenti P-invarianti è conservativa: X 1 = [ ], X 2 = [ ]. FALSO. Non è coperta da P-invarianti non negativi. Non è possibile garantire la conservatività della rete. 9. Una rete contenente i seguenti P-invarianti è conservativa: X 1 = [ ], X 2 = [ ], X3 = [ ]. VERO. Gli invarianti X 2 e X 3 sono invarianti non negativi che coprono l'intera rete. La rete è quindi conservativa. 10. Una rete contenente i seguenti P-invarianti è conservativa: X 1 = [ ], X 2 = [ ], X3 = [ ]. VERO. I tre invarianti X 1, X 2, X 3 coprono la rete e sono tutti non negativi. La rete è quindi conservativa. 4.5 Serie 5 (12 domande) 1. Una rete di Petri con matrice di incidenza pari alla matrice identità (1 solo sulla diagonale, 0 altrove) è limitata. FALSO. Prendendo una qualunque transizione t j è possibile farla scattare innite volte e ad ogni scatto verrà aggiunto un token nel posto p j senza che ne venga consumato alcuno. Questo porta ad un accumulo di inniti token nel posto p j. Quindi la rete non è limitata. 2. Una rete di Petri con matrice di ingresso e di uscita pari alla matrice identità (1 solo sulla diagonale, 0 altrove) è viva se e solo se ogni posto è inizialmente marcato. 15

16 VERO. La rete di Petri in questione è una rete di Petri in cui ogni posto entra una sola transizione ed esce una sola transizione. Inoltre la transizione di entrata e quella di uscita coincidono. Ne consegue che per attivare una transizione t j è necessario e suciente che il posto p j sia inizialmente marcato. L'applicazione della transizione porta la rete di Petri nella stessa marcatura di partenza. Una transizione t j per scattare innite volte (transizione viva) in questa rete di Petri è quindi suciente possa scattare una sola volta. Perché tutte le transizioni siano vive è quindi necessario e suciente che ogni posto sia inizialmente marcato. 3. Se il grafo di raggiungibilità di una rete di Petri limitata non ha foglie morte (nodi senza successori), allora tale rete è viva. FALSO. Una rete può avere grafo senza foglie morte ma non essere viva. Un esempio è dato da una qualunque rete contenente due transizioni vive e una transizione non viva. 4. Il supporto di un P-invariante è sia sifone che trappola. FALSO. Questa relazione vale solo se il P-invariante in questione è a coecienti non negativi. 5. Una trappola contenente un sifone smarcato non si potrà mai svuotare. FALSO. Potrebbe essere già vuota nella marcatura iniziale. 6. Se il grafo di raggiungibilità di una rete non presenta marcature morte essa è viva. FALSO. Se una transizione della rete può scattare solo un numero limitato di volte allora la rete non è viva ma ciò non comporta l'introduzione di marcature morte. 7. Un rete coperta da T-invarianti non negativi è reversibile. FALSO. La sequenza di scatti corrispondente a questi T-invarianti potrebbe non essere amissibile per la rete data. Non è quindi garantito che esista una sequenza di scatti ammissibile che da ogni marcatura raggiungibile riporti la rete alla marcatura iniziale. 8. Una rete a scelta libera è anche una rete a scelta simmetrica. FALSO. Una rete a scelta libera è anche una rete a scelta asimmetrica. 9. Una rete è strettamente conservativa se e solo se è limitata. FALSO. Una rete strettamente conservativa è sempre limitata ma non vale il viceversa. 16

17 10. In una rete generica i sifoni prima o poi perdono i propri gettoni. FALSO. I sifoni tendono a perdere i gettoni tuttavia esistono casi, ad esempio sifoni contenenti una trappola marcata, in cui i sifoni non si smarcano mai. 11. Se un sifone è controllato con la tecnica del controllo supervisivo basati sui p-invarianti, potrebbe perdere tutti i gettoni se la rete di partenza non è strettamente conservativa. FALSO. Il controllo supervisivo basato sui p-invarianti non permette che il sifone perda gettoni. 12. Una rete non reversibile non può essere viva. FALSO. Un banale controesempio è una rete illimitata in cui si continuano a generare token in tutte le transizioni. Riferimenti bibliograci [1] Luca Ferrarini. Automazione industriale: controllo logico con reti di Petri. Pitagora Editrice Bologna,