Numeri Complessi. Sono numeri del tipo z = a + ib, dove a e b, e i = 1 è detta unità immaginaria i e i 2 = 1

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1 Numeri Complessi Sono numeri del tipo z = a + ib, dove a e b, e i = 1 è detta unità immaginaria i e i 2 = 1 L insieme dei numeri complessi è indicato con. a è detta parte reale del numero complesso b è detta parte immaginaria del numero complesso Se la parte immaginaria b di numero complesso z è nulla, allora z. O meglio: ogni numero reale è un numero complesso con parte immaginaria nulla. x x ovvero

2 cements L insieme è anche chiamato piano complesso (o piano di Gauss) perché esiste una stretta analogia tra ed il piano cartesiano 2 : y 2 Im y P P = (x P, y P ) b z = a + ib x P x 0 + i0 a Lo zero di è 0 + i0.

3 PSfrag replacements Im 3 + 3i 2i i i i Tutti i numeri complessi con parte immaginaria nulla (b = Imz = 0) stanno sull asse reale. a = a + 0i. Tutti i numeri complessi con parte reale nulla (a = z = 0) stanno sull asse immaginario Im. ib = 0 + ib = bi. Tali numeri sono anche detti immaginari puri.

4 Perché i numeri complessi? La risposta di un matematico "teorico": per poter calcolare la radice quadrata di un numero negativo 1, 18,... Ma i numeri complessi non mi servono a misurare distanze, tempi, pesi, forze,... La risposta di un matematico "applicato", di ingegnere o di un fisico: per poter descrivere e studiare piú facilmente la meccanica quantistica, i circuiti elettrici, i campi elettromagnetici, la trasmissione di segnali, la turbolenza di un fluido,... Con i numeri complessi (e le operazioni definite su di essi) si semplifica molto la matematica che sta alla base dello studio di queste discipline.

5 Operazioni sui numeri complessi Somma: (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d) (sommo tra loro le parti reali e le parti immaginarie) Sottrazione (a + ib) (c + id) = (a c) + i(b d) (sottraggo tra loro le parti reali e le parti immaginarie) Prodotto (a + ib) (c + id) = ac + ibc + iad + i 2 bd = ac + ibc + iad + ( 1)bd = (ac bd) + i(bc + ad)

6 Inverso di un numero complesso La divisione tra due numeri è il prodotto del primo per l inverso del secondo. a b = a 1 b Per fare la divisione tra due numeri complessi devo saper costruire l inverso 1 z, z, z 0 + i0. 1 z = 1 a + ib = 1 a + ib a ib a ib = 1 z = a ib a 2 i 2 b 2 = a ib a 2 + b 2

7 Complesso coniugato e modulo PSfrag replacements Def. z = a + ib complesso coniugato di z., il numero complesso z = a ib è detto z z a b Im b Def. z = a + ib, il numero reale z := a 2 + b 2 è detto modulo di z. Rappresenta la distanza del numero complesso dallo zero complesso. z z z ed il suo coniugato z hanno lo stesso modulo, ovvero: z = z.

8 Esempi: 1) z = 3 i5, allora z = 3 + i5, e z = z = = 34 Im z = 3 + 5i PSfrag replacements z = 3 i5

9 z immaginario puro 2) z = i 2, allora z = i 2, e z = z = 2 Im z = i 2 PSfrag replacements z = i 2

10 z reale 3) z = 2, allora z = 2, e z = z = ( 2) 2 = 2 Im z = z = 2 PSfrag replacements

11 Operazioni e complesso coniugato z 1, z 2, z : z 1 + z 2 = z 1 + z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 z 1 = (z) 1 z + z = (a + ib) + (a ib) = 2a = 2z z z = (a + ib) (a ib) = 2ib = 2iImz

12 z z = (a + ib) (a ib) = a 2 + b 2 = z 2 z = z z = z z

13 z Forma trigonometrica di z è univocamente individuato mediante 2 parametri: la sua parte reale z = a e la sua parte immaginaria Imz = b. PSfrag replacements Im b z a z può essere individuato anche da altri due parametri: ρ = z modulo di z ϑ = arg(z) argomento di z Se conosco a e b, allora ρ = a 2 + b 2, ϑ = arctg(b/a) Se conosco ρ e θ, allora a = ρ cos ϑ, b = ρ sin ϑ.

14 Coordinate polari ρ e ϑ sono dette anche coordinate polari del punto nel piano cartesiano. Si ha: z = a + ib = ρ(cos ϑ + i sin ϑ) Dato z, arg(z) = ϑ non è individuato univocamente, ma esistono infiniti ϑ associati allo stesso numero complesso z. PSfrag replacements Im b z ϑ + 2kπ, k a Piú precisamente arg(z) = {ϑ : z = ρ(cos ϑ + i sin ϑ)}. arg(0) =, infatti z = 0 = 0(cos ϑ + i sin ϑ), ϑ.

15 cartesiane polari 3 3 1) z = 2 + i1 2. a = 2, b = 1 PSfrag replacements 2. Im b z ϑ = π/6 + 2kπ, k a Allora: ρ = 3/4 + 1/4 = 1 e ϑ = arctg N.B. Dato z ( 1/2 ) ( 3 ) 3/2 = arctg 3 = π 6 non esiste unica la sua rappresentazione in coordinate polari, quindi piú in generale si ha ϑ = π 6 + 2kπ, con k.

16 polari cartesiane 2) z = 2 ( ( π ) cos 2 ( π )) i sin 2 = 2 ( ( cos π ) 2 + i sin ( π )). 2 ρ = 2 e ϑ = π 2. PSfrag replacements Im a = 0 ρ = 2 ϑ = π/2 Allora: z b = 2 a = ρ cos(ϑ) = 2 0 = 0, b = ρ sin(ϑ) = 2 ( 1) = 2. z = i2.

17 z Esponenziale complesso si vuole definire l esponenziale di z, e z rispettare le proprietà classiche delle potenze., in modo da e è il numero di Eulero (a volte noto come numero di Nepero) e z = a + ib si definisce Esempi. e z := e z (cos(imz) + i sin(imz)) = e a (cos b + i sin b) e (3 i) = e 3 (cos( 1) + i sin( 1)) = e 3 (cos(1) i sin(1)) e 2 = e 2 (cos(0) + i sin(0)) e 2iπ = e 0 (cos(2π) + i sin(2π)) = 1(1 + i0) = 1

18 Formula di Eulero ( ) e iϑ = cos ϑ + i sin ϑ ϑ Confrontando la forma trigonometrica di un numero complesso z = ρ(cos ϑ + i sin ϑ) e la formula di Eulero e iϑ = cos ϑ + i sin ϑ si ha z = ρe iϑ detta forma esponenziale del numero complesso z. Oss. Per ϑ = π la formula di Eulero diventa: e iπ = cos π + i sin π = 1 e iπ + 1 = 0

19 Proprietà dell esponenziale in Teorema. e z1 e z 2 = e z 1+z 2 e z e z = 1 e z = e z = ρ z 1, z 2 e iϑ = cos 2 ϑ + sin 2 ϑ = 1 ϑ (e z ) n = e nz n e z+2kπi = e z k e iϑ = e iϑ e z 0 z