Esercizi proposti. 1 Numeri complessi. 1.1 Forma cartesiana. Esercizio 1.1 Dato il numero complesso. z = 7 3 7i,

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1 Numeri complessi Esercizi proposti 1 Numeri complessi 1.1 Forma cartesiana Esercizio 1.1 Dato il numero complesso z = 7 3 7i, a) determinare la parte reale x di z: x = Re z, b) determinare la parte immaginaria y di z: y = Im z, c) determinare il modulo r di z: r = z, d) determinare l argomento ϑ di z: ϑ = arg z, e) scrivere z in forma polare trigonometrica e in forma esponenziale, f) determinare il complesso coniugato z di z. (Risultato: Rez = 7 3, Imz = 7, z = 14, arg z = π/6, z = 14(cos( π/6) + i sin( π/6), z = 14(cos(π/6) + i sin(π/6).) Esercizio 1.2 Dato il numero complesso z = i, a) determinare la parte reale x di z: x = Re z, b) determinare la parte immaginaria y di z: y = Im z, c) determinare il modulo r di z: r = z, d) determinare l argomento ϑ di z: ϑ = arg z, e) scrivere z in forma polare trigonometrica e in forma esponenziale, f) determinare il complesso coniugato z di z. (Risultato: Rez = 13, Imz = 13 3, z = 26, arg z = 2π/3, z = 26(cos(2π/3) + i sin(2π/3), z = 26(cos( 2π/3) + i sin( 2π/3).) Esercizio 1.3 Dati il numero complesso z = i e w = i c 2007 Politecnico di Torino 1

2 Forma cartesiana a) Scivere in forma cartesiana la somma di z e di w, b) Scivere in forma cartesiana il prodotto di z e di w, c) Scivere in forma cartesiana z diviso w, d) Calcolare modulo e argomento di z w, e) Calcolare modulo e argomento di z/w. (Risultato: z + w = ( ) + i( ), z w = i, z/w = ( 22/10)i, z w = 220, arg(z w) = π/6, z/w = 22/10, arg(z/w) = π/2.) Esercizio 1.4 Risolvere in campo complesso l equazione: ( z) 2 + 6z + 8 = 0. (Risultato: z 1 = 2, z 2 = 4, z 3 = 3 + i 35, z 4 = 3 i 35.) Esercizio 1.5 Risolvere in campo complesso l equazione: z (Im z) 2 8 = 2i. (Risultato: z 1 = 3 + (1/ 3)i, z 2 = 3 (1/ 3)i, z 3 = 5 + (1/ 5)i, z 4 = 5 (1/ 5)i.) Esercizio 1.6 Risolvere in campo complesso l equazione: z = 0, e scrivere il polinomio z come prodotto di due polinomi di secondo grado a coefficienti reali. (Risultato: z 1 = 2/2+( 2/2)i, z 2 = 2/2 ( 2/2)i, z 3 = 2/2+( 2/2)i, z 4 = 2/2 ( 2/2)i, z = (z 2 z 2 + 1)(z 2 + z 2 + 1).) Esercizio 1.7 Risolvere in campo complesso l equazione: z 2 + i z = 0. (Risultato: z 1 = 0, z 2 = i, z 3 = 3/2 + ( 1/2)i, z 4 = 3/2 + ( 1/2)i.) c 2007 Politecnico di Torino 2

3 Forma polare trigonometrica 1.2 Forma polare trigonometrica Esercizio 1.8 Dato il numero complesso z = i, d) scrivere, in forma polare trigonometrica, il complesso coniugato z di z, e) calcolare z 5, f) calcolare 3 z. (Risultato: z = 24, arg z = 3π/4, z = 24(cos(3π/4)+i sin(3π/4)), z = 24(cos( 3π/4)+ i sin( 3π/4)), z 5 = 24 5 (cos(15π/4) + i sin(15π/4)), 3 z = 3 24(cos(π/4 + k 2π/3) + i sin(π/4 + k 2π/3)), k = 0, 1, 2.) Esercizio 1.9 Dato il numero complesso z = 64i, d) calcolare le radici seste complesse di z: 6 z. (Risultato: z = 64, arg z = 3π/2, z = 64(cos(3π/2)+i sin(3π/2)), 6 z = 2(cos(π/4+ k 2π/6) + i sin(π/4 + k 2π/6)), k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.) Esercizio 1.10 Dato il numero complesso z = 243, d) calcolare le radici quarte complesse di z: 5 z. c 2007 Politecnico di Torino 3

4 Forma polare trigonometrica (Risultato: z = 243, arg z = 0, z = 243(cos(0) + i sin(0)), 5 z = 3(cos(k 2π/5) + i sin(k 2π/5)), k = 0, 1, 2, 3, 4.) Esercizio 1.11 Calcolare modulo e aromento del seguente numero complesso: z = i (17 (cos(π/12) + i sin(π/12))) 3 i e scriverlo in forma polare trigonometrica. (Risultato: z = 3, arg z = 2π/3, z = 3(cos(2π/3) + i sin(2π/3)).) Esercizio 1.12 Calcolare modulo e aromento del seguente numero complesso: 2 2 i z = ( 3) i e scriverlo in forma polare trigonometrica e in forma cartesiana. (Risultato: z = 3, arg z = π/2, z = 3(cos(π/2) + i sin(π/2)), z = 3i.) Esercizio 1.13 Calcolare modulo e aromento del seguente numero complesso: z = 7(cos(π/3) + i sin(π/3)) (8(cos(π/9) + i sin(π/9))) 28(cos(π/6) + i sin(π/6)) e scriverlo in forma polare trigonometrica. (Risultato: z = 2, arg z = 5π/18, z = 2(cos(5π/18) + i sin(5π/18)).) Esercizio 1.14 Calcolare le radici quarte del seguente numero complesso: z = 256 (cos(π/3) + i sin(π/3)). ( Risultato: z = 4(cos(π/12) + i sin(π/12)) 4(cos(π/12 + π/2) + i sin(π/12 + π/2)) 4(cos(π/12 + π) + i sin(π/12 + π)) 4(cos(π/ π/2) + i sin(π/ π/2)).) c 2007 Politecnico di Torino 4

5 Forma esponenziale 1.3 Forma esponenziale Esercizio 1.15 Dato il seguente numero complesso: z = i calcolare modulo e argomento di z e scrivere z in forma esponenziale. (Risultato: z = , arg z = π/4, z = e iπ/4.) Esercizio 1.16 Dato il seguente numero complesso: z = 7 + 7i la settima potenza di z. (Risultato: z = 7 2, arg z = 3π/4, z = 7 2 e 3iπ/4, z 7 = (7 2) 7 e 5iπ/4.) Esercizio 1.17 Dato il seguente numero complesso: z = i la radice ottava di z. (Risultato: z = 58, arg z = 11π/6, z = 58 e 11iπ/6, 8 z = 8 58 e 11iπ/48 + k 2iπ/8, k = 0, 1,..., 7.) Esercizio 1.18 Dato il seguente numero complesso: z = π 2 π 2i la radice quarta di z. (Risultato: z = 2π, arg z = 3π/4, z = 2π e 3iπ/4, 4 z = 4 2π e 3iπ/16 + k 2iπ/4, k = 0, 1, 2, 3.) Esercizio 1.19 Dato il seguente numero complesso: z = e 5 3 /2 i e 5 /2 il logaritmo complesso di z. (Risultato: z = e 5, arg z = 7π/6, z = e 5+7iπ/6, log z = 5 + 7iπ/6 + 2kπi, k Z.) c 2007 Politecnico di Torino 5