I numeri reali x e y sono detti parte reale e parte immaginaria del numero complesso x + iy esiscrive Re (x + iy) =x e Im (x + iy) =y.

Transcript

1 Numeri complessi Chiamiamo numero complesso ogni scrittura del tipo x + iy con x, y R,dove i è un simbolo, detto unità immaginaria. Il loro insieme si denota con C. I numeri reali x e y sono detti parte reale e parte immaginaria del numero complesso x + iy esiscrive Re (x + iy) =x e Im (x + iy) =y. Due numeri complessi sono uguali se hanno stessa parte reale e stessa parte immaginaria. In simboli: Re z1 =Rez 2 z 1,z 2 C, z 1 = z 2. Im z 1 =Imz 2 Convenzionidiscrittura x + i 0=x I numeri complessi del tipo x + i 0 sono in corrispondenza biunivoca con i numeri reali e si indicano brevemente con x. Allora i numeri reali sono anche numeri complessi: R C e z C,z R Im z = iy = iy I numeri complessi del tipo 0 + iy si chiamano numeri immaginari (puri) e si indicano brevemente con iy. Il loro insieme si denota con i R e z C, z ir Re z =0. 0+i 1=i Il numero immaginario 0+i 1=i 1 si indica brevemente con i. Allora l unità immaginaria è essa stessa un numero complesso: i C.

2 Piano di Argand-Gauss I numeri complessi sono in corrispondenza biunivoca con le coppie ordinate di numeri reali ( x + iy (x, y) ) e perciò si identificano con i punti del piano cartesiano, che in questo C R 2 contesto è detto piano complesso o piano di Argand-Gauss. L asse x è in corrispondenza biunivoca con i reali e perciò è detto asse reale. L asse y è in corrispondenza biunivoca con gli immaginari ed è detto asse immaginario. Operazioni in C Somma e prodotto di numeri complessi sono definite da: (x 1 + iy 1 )+(x 2 + iy 2 ):=(x 1 + x 2 )+i (y 1 + y 2 ) (x 1 + iy 1 )(x 2 + iy 2 ):=(x 1 x 2 y 1 y 2 )+i (x 1 y 2 + y 1 x 2 ) (doveleoperazioninelle parentesi a 2 membro sono quelle di R). Soddisfano le proprietà (S1)-(S4), (P1)-(P4), (D), con opposto (x + iy) =x + i (y) ed elementi neutri 0 e 1,percuisidefinisconoanchedierenza e divisione per divisori = 0. Dunque C con tali operazioni è un campo.

3 Osservazioni 1 Le operazioni di C estendono quelle di R: la somma complessa di numeri reali coincide con la loro somma reale e lo stesso vale per le altre operazioni. 2 x, y R, l espressione x + iy èeettivamente il risultato delle operazioni indicate sui numeri complessi x, y ed i (di conseguenza, possiamo ad esempio scrivere indierentemente x+iy = x+yi = iy+x). 3 Un conto importante: i 2 = 1 (cioè i è soluzione di z 2 = 1 in C). Infatti i 2 = notaz. potenze ii = convenz. di scrittura (0 + i 1) (0 + i 1) = def. di prodotto = i ( ) = 1+i 0 = convenz. di scrittura 1. 4 C non è un campo ordinato: nessuna relazione d ordine è compatibile con le operazioni (la somma di quadrati non nulli dovrebbe essere non nulla, mentre i =0). 5 REGOLE DI CALCOLO: come conseguenza delle e della struttura di campo, per eseguire le quattro operazioni sui numeri complessi basta seguire le usuali regole di calcolo algebrico e tener presente che i 2 = 1.

4 Esempi. Datiz =1+i e w =2 3i, calcolare e rappresentare sul piano i numeri z + w, w, z w, z + iw, zw, 1 w, z w, (1 + i)2.

5 Esempio. Calcolare e rappresentare sul piano complesso tutte le potenze di i. Modulo e coniugato Per ogni complesso z = x + iy, sipone z := x 2 + y 2 (modulo di z) e z := x iy (coniugato di z). Il numero reale z rappresenta la distanza di z dall origine e la distanza di due punti z 1,z 2 C èdatadad (z 1,z 2 ):= z 1 z 2. Il numero complesso z è il simmetrico di z rispetto all asse reale e quindi, se z/ R ir, i punti z, z, z e z sono i vertici del rettangolo di centro l origine e lati 2 Re z e 2 Im z.

6 Proprietà del modulo. 1) z 0 e z =0 z =0. z = r z sta sulla circonferenza di centro 0 e raggio r 2) Se r>0, siha z <r z sta nel cerchio di centro 0 e raggio r. 3) z 1 + z 2 z 1 + z 2 (disuguaglianza triangolare). 4) z 1 z 2 = z 1 z 2 e z 1 = z 1 z 2,dacui zn = z n per ogni n Z (z = 0se n<0). z 2 5) Re z z e Im z z. Proprietà del coniugato. 1) z R z = z, z ir z = z. 2) z 1 + z 2 = z 1 + z 2. 3) z 1 z 2 = z 1 z 2 e z1 z 2 4) z = z, z = z. = z 1 z 2,dacuiz n = z n per ogni n Z (z = 0se n<0). 5) z + z =2Rez e z z =2i Im z,dacuire z = z + z 2 6) z z = z 2. e Im z = z z. 2i