Una breve introduzione alla Teoria dei Giochi

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1 Una breve introduzione alla Teoria Stefano GAGLIARDO Dipartimento di Matematica - Università degli studi di Genova Stage DIMA - 19/04/2011 (DIMA, UNIGE) 19/04/ / 74

2 Outline 1 Un po di storia 2 La teoria delle scelte sociali 3 I giochi non cooperativi L equilibrio di Nash 4 Il concetto di utilità 5 Un paradosso: la One Euro Auction 6 Il 7 Combinatorial Games Il Take Away Game Nim Games (DIMA, UNIGE) 19/04/ / 74

3 Struttura della presentazione La mattina. 10 min di storia min circa dedicata alle scelte sociali min circa di tributo a John Nash... Coffee break!!! 20 min circa di ulteriore tributo a John Nash min circa dedicati al concetto di utilità min circa dedicati a un paradosso min dedicati a truellare... Si mangia!!! Il pomeriggio. 50 min circa dedicati ad un concorso di bellezza... 1h circa dedicata al mago delle carte... Purtroppo (o finalmente)... LA FINE!!! (DIMA, UNIGE) 19/04/ / 74

12 Quando nasce e che cos è La nascita. Nel 1944 la prima edizione di Theory of Games and Economic Behaviour di J. L. Von Neumann e O. Morgenstern viene pubblicata dalla Princeton University Press. John Louis Von Neumann ( ) Oskar Morgenstern ( ) Cos è. può essere definita come la teoria matematica che modella situazioni di interazione strategica (dette giochi) tra decisori (detti giocatori). (DIMA, UNIGE) 19/04/ / 74

13 Quando nasce e che cos è La nascita. Nel 1944 la prima edizione di Theory of Games and Economic Behaviour di J. L. Von Neumann e O. Morgenstern viene pubblicata dalla Princeton University Press. John Louis Von Neumann ( ) Oskar Morgenstern ( ) Cos è. può essere definita come la teoria matematica che modella situazioni di interazione strategica (dette giochi) tra decisori (detti giocatori). (DIMA, UNIGE) 19/04/ / 74

14 Alcune date fondamentali: i primi 30 anni 1944: nascita della teoria dei giochi con la pubblicazione del libro di John von Neumann e Oskar Morgenstern 1950: l equilibrio di Nash (John Nash) 1951: teorema di impossibilità di Arrow (Kenneth Arrow) 1953: giochi in forma estesa (Harold Kuhn) 1953: il valore di Shapley (Lloyd Shapley) 1959: il concetto di nucleo (Donald Gillies) 1965: equilibrio perfetto nei sottogiochi (Reinhard Selten) 1966: formalizzazione della classificazione dei giochi cooperativi e non (John Harsanyi) 1972: premio Nobel per l economia a John Hicks e Kenneth Arrow per i loro contributi pionieristici alla teoria dell equilibrio economico generale e alla teoria sociale (DIMA, UNIGE) 19/04/ / 74

15 Alcune date fondamentali: dal 1974 ad oggi 1974: equilibrio correlato (Robert Aumann) 1976: common knowledge (Robert Aumann) 1978: equilibrio proprio (Roger Myerson) 1994: premio Nobel per l economia a John Harsanyi, John Nash e Reinhard Selten per le loro analisi pionieristiche degli equilibri nella teoria dei giochi non-cooperativi 2005: premio Nobel per l economia a Robert Aumann e Thomas Schelling per averci permesso di capire il conflitto e la cooperazione attraverso lo studio della teoria dei giochi 2007: premio Nobel per l economia a Leonid Hurwicz, Eric Maskin e Roger Myerson per aver costruito le fondamenta della teoria del mechanism design (DIMA, UNIGE) 19/04/ / 74

17 La razionalità collettiva La teoria delle scelte sociali si occupa di misurare interessi, valori o benessere individuali in un contesto di decisione collettiva. I principi base sono: la valutazione delle alternative sociali attraverso le preferenze individuali; scegliere la migliore alternativa in termini di valutazione sociale. Il modo naturale di farlo sarebbe quello di stabilire alcune proprietà da soddisfare che permettano di aggregare le preferenze individuali in una regola di scelta sociale e da questa scegliere quella che fornisce il massimo benessere. (DIMA, UNIGE) 19/04/ / 74

21 Scelta collettiva Ci sono tre possibili criteri di scelta collettiva: 1 choice function: scegliere l opzione migliore; 2 social choice rule: ordinare le alternative; 3 social welfare function: dare un valore alle alternative. Social welfare function = social choice rule = choice function (DIMA, UNIGE) 19/04/ / 74

26 I problemi del PM preoccupato (DIMA, UNIGE) 19/04/ / 74

27 Un mare di problemi... C era una volta un Primo Ministro che desiderava ridurre il deficit del suo paese. Egli pensò a tre possibili modi per farlo: Opzione I: ridurre i servizi civili Opzione II: ridurre gli investimenti sulle infrastrutture Opzione III: controllare il deficit delle regioni La sua prima idea fu quella di procedere in maniera democratica: per prima cosa chiese ai suoi ministri quale opzione fosse per loro la migliore, quale la peggiore e quale la intermedia; in base a quanto detto dai ministri, egli avrebbe preso la sua decisione. (DIMA, UNIGE) 19/04/ / 74

33 I risultati Nella tabella seguente ci sono le opzioni riportate dai ministri: Opzioni / Ministro Ministro 1 Ministro 2 Ministro 3 Miglior opzione I II III Intermedia II III I Peggiore opzione III I II I è preferita a II dalla maggioranza (ministri 1 e 3). II è preferita a III dalla maggioranza (ministri 1 e 2). Per transitività si potrebbe scegliere I, ma III è preferita a I dalla maggioranza (ministri 2 e 3)! La votazione non è un buon criterio di scelta sociale perché può creare intransitività e ciclicità nell ordinamento collettivo delle scelte. (DIMA, UNIGE) 19/04/ / 74

38 Una seconda opzione Il primo minsitro decide di seguire la strategia applicata dalla Eurovision per scegliere la migliore canzone europea dell anno. Il PM chiede quindi di assegnare un totale di 10 punti tra le tre opzioni. In questo modo, non sono rappresentate solo le preferenze, ma anche la loro intensità. I risultati dell indagine del PM sono riportati nella tabella seguente: Ministro 1 Ministro 2 Ministro 3 Punteggio totale Opzione I Opzione II Opzione III (DIMA, UNIGE) 19/04/ / 74

42 Manipolazione Guardando alla tabella precedente, si ottiene un risultato: l opzione III. Il PM però sospetta che il Ministro 3, il più anziano, non abbia espresso le sue reali preferenze, ma abbia sfruttato la sua esperienza per allocare i punti in modo da ottenere i suoi scopi. Questo secondo criterio di scelta è soggetto a possibilità di manipolazione: gli agenti possono fornire dichiarazioni non veritiere al fine di ottenere il loro esito preferito. Il criterio di scelta potrebbe perciò selezionare qualcosa che non corrisponde affatto all alternativa socialmente migliore. (DIMA, UNIGE) 19/04/ / 74

46 La terza opzione Il primo ministro decide di provare una terza strategia, ispirata al campionato di football, dove c è sempre un vincitore. Decide allora di mettere in atto una serie di partite eliminatorie tra le alternative, così che si ottenga un vincitore (la scelta sociale migliore). Le preferenze. Opzioni / Ministro Ministro 1 Ministro 2 Ministro 3 Miglior opzione I II III Intermedia II III I Peggiore opzione III I II Il campionato del PM Fase A: I contro II = I batte II per 2-1 (i ministri 1 e 3 contro il ministro 2) Fase B: I contro III = III batte I per 2-1 (i ministri 2 e 3 contro il ministro 1) (DIMA, UNIGE) 19/04/ / 74

51 Nuovo problema Guardando alla tabella precedente, si ottiene un risultato: vince III! Il PM però si chiede: Cosa sarebbe successo se la fase A avesse previsto II contro III? La risposta è che avrebbe vinto I! E II avrebbe vinto se la fase A avesse previsto I contro III. L ordine delle partite del torneo decide quindi il vincitore. Abbiamo trasformato il problema di trovare la scelta migliore in quello di trovare l ordinamento migliore nel torneo. (DIMA, UNIGE) 19/04/ / 74

57 Riassumendo Il primo tentativo del PM è stata la majority rule, che però fallisce a causa dell intransitività. Il secondo tentativo è stato la regola di Borda, che però è manipolabile dagli agenti. Il terzo è stato la regola di Condorcet, cioè la scelta di una alternativa che batta tutte le altre, che però potrebbe non esistere. Come uscirne??? (DIMA, UNIGE) 19/04/ / 74

61 Formulazione generale Notazioni. Sia X l insieme delle alternative, M l insieme degli m agenti. Ogni agente i ha un ordine di preferenze i definito su X. Come procedere. Definire una regola di scelta sociale come un ordinamento completo e transitivo delle preferenze sociali derivato dall aggregazione delle preferenze individuali. La transitività è richiesta fondamentale per evitare cicli come quello che si otteneva con la majority rule. Programma di lavoro. Trovare la famiglia di regole di scelte sociali che soddisfano diversi insiemi di criteri stabiliti. (DIMA, UNIGE) 19/04/ / 74

66 L arrivo di Kenneth Arrow Kenneth Arrow (1921-now) Kenneth Arrow si occupò di questo problema intorno al Egli stabilì tre requisiti minimi che una regola di scelta sociale dovrebbe soddisfare. (DIMA, UNIGE) 19/04/ / 74

67 L arrivo di Kenneth Arrow Kenneth Arrow (1921-now) Kenneth Arrow si occupò di questo problema intorno al Egli stabilì tre requisiti minimi che una regola di scelta sociale dovrebbe soddisfare. (DIMA, UNIGE) 19/04/ / 74

68 Il teorema di impossibilità di Arrow Arrow stabilisce tre criteri molto naturali, che sono: dominio universale: la regola deve essere applicabile ad una qualunque configurazione di preferenze individuali; unanimità: se tutti gli individui preferiscono A a B, allora A deve essere socialmente classificata meglio di B; efficienza informativa: la valutazione sociale di una qualunque coppia A e B di alternative, deve dipendere solo da come gli agenti classificano A e B tra loro, indipendentemente dalle altre alternative. Teorema (Teorema di impossibilità di Arrow, 1951) Per più di due alternative e più di due agenti, una regola di scelta sociale che soddisfi dominio universale, unanimità e efficienza informativa deve essere dittatoriale. (DIMA, UNIGE) 19/04/ / 74

72 Un idea della dimostrazione Dobbiamo andare a dimostrare che esiste un agente le cui preferenze individuali determinano quelle sociali (un dittatore). La dimostrazione si svolge in tre passi. 1 Epidemicità. Se esiste un gruppo di agenti che è decisivo su una coppia di alternative, allora è decisivo su tutte le alternative, dove un gruppo di agenti si dice decisivo ogni volta che il suo giudizio determina la valutazione sociale. 2 Shrinking group. Se c è un gruppo di più di due agenti che è decisivo, allora c è sempre un suo sottoinsieme strettamente contenuto che è anch esso decisivo. 3 L esistenza del dittatore. Per l unanimità, l intero gruppo di agenti è decisivo sulle coppie di alternative. Per l epidemicità, l intero gruppo è decisivo su tutte le alternative. Applicando lo shrinking group possiamo ridurre le dimensioni del gruppo decisivo fino ad un solo elemento: il dittatore. (DIMA, UNIGE) 19/04/ / 74

79 L anonimità E una proprietà che evita la presenza di un dittatore. L anonimità consiste nel richiedere che permutando le preferenze individuali degli agenti tra loro, allora l esito sociale non cambia. In pratica, richiediamo che il nome degli agenti non sia importante: essi hanno la stessa influenza sulla scelta finale. Una condizione più debole è quella di non-dictatorship, cioè che non esista un dittatore. Teorema (Corollario del teorema di Arrow) Per più di due alternative e più di due agenti, non esiste una regola di scelta sociale che soddisfi dominio universale, unanimità, efficienza informativa e anonimità. (DIMA, UNIGE) 19/04/ / 74

84 Come uscirne? Per provare a scappare dal teorema di Arrow dobbiamo provare a rinunciare a qualcuna delle proprietà. E difficile evitare l unanimità: è una richiesta troppo naturale e necessaria. Si può cercare di indebolire la richiesta di transitività della regola di scelta sociale. Andreu Mas-Colell e Hugo Sonnenschein nel 1972 dimostrarono che non era possibile ottenere buoni risultati: quasi-transitività = oligarchia quasi-transitività + monotonia = non esistenza aciclicità = potere di veto parziale aciclicità + monotonia = potere di veto totale (DIMA, UNIGE) 19/04/ / 74

92 Dominio universale o efficienza informativa Eliminare il dominio universale. Impone alcune restrizioni sui profili di preferenze individuali ammissibili. Permette di raggiungere qualche risultato interessante nel caso di preferenze single-peaked e nel caso median voter. Eliminando l efficienza informativa. Teorema (Gibbard-Satterthwaite, 1973) Una regola di scelta sociale che soddisfa unanimità e dominio universale è o dittatoriale o manipolabile. La manipolazione si riferisce alla possibilità di fornire preferenze individuali false per influenzare la scelta sociale. C è di più: in assenza di efficienza informativa, l ordine sociale tra due alternative, A e B, può essere influenzato dall inserimento o esclusione di una terza alternativa C, che conduce all idea di designer framing manipulation. (DIMA, UNIGE) 19/04/ / 74

97 Un esempio Lo Specialized Journal indice una competizione per stabilire il miglior articolo pubblicato nell ultimo anno in un insieme di 4 candidati. Ci sono 4 giudici, ciascuno dei quali è chiamato ad assegnare n punti alla migliore alternativa, n 1 alla seconda migliore,..., fino ad assegnare 1 punto alla meno preferita. I risultati della votazione sono riportati in tabella. Opzione / Giudice A B C D Totale A B C D Non c è alcun vincitore! (DIMA, UNIGE) 19/04/ / 74

101 Framing manipulation Se il giornale decidesse di eliminare l opzione B, il risultato sarebbe il seguente: Opzione/Giudice A B C D Totale A C D Il vincitore è A! Ma il vincitore viene a dipendere dal fatto che si tenga conto dell opzione B o meno. (DIMA, UNIGE) 19/04/ / 74

104 Arricchire l informazione Il problema di base dell approccio di Arrow è che cerca uno strumento molto potente (un ordinamento completo e transitivo), che si applichi ad un insieme molto ampio di problemi (qualunque insieme di alternative) e che usi poca informazione (solo le preferenze individuali). In un certo senso, si vuole troppo partendo da troppo poco. Nel mondo di Arrow non si tiene conto né dell intensità delle preferenze (l agente i preferisce l alternativa x a y più di quanto non preferisca y a z), né di confronti interpersonali (l agente i con x sta meglio di j). Per avere una maggiore ricchezza di informazione a tale proposito, è necessario introdurre il concetto di funzione di utilità. Peter Hammond nel 1976 e Claude D Aspremont e Louis Gevers nel 1977 ottennero buoni risultati a tale proposito. (DIMA, UNIGE) 19/04/ / 74

109 Hammond e il leximin Confronto dei livelli di utilità. L idea di Hammond parte da un confronto ordinale interpersonale. Dati due agenti i e j e le loro rispettive funzioni di utilità u i e u j, possiamo scrivere u i(x) > u j(y) e si intende i con l alternativa x sta meglio di j con l alternativa y. La regola leximin. Si sceglie l alternativa che migliora il benessere dell individuo nelle peggiori condizioni. Se due alternative sono indifferenti all individuo nelle peggiori condizioni, si preferisce socialmente l alternativa migliore per l individuo nelle peggiori condizioni tra quelli che non le considerano indifferenti. Formalmente, l alternativa x è socialmente preferita a y se min{ui(x)} > min {ui(y)} i M i M (DIMA, UNIGE) 19/04/ / 74

114 Il principio e il teorema di Hammond Il principio di Hammond. Sia M una società di m agenti e siano x e y due alternative tali che tutti gli agenti tranne i e j sono indifferenti tra esse. In questo caso, si sceglie l opzione preferita dall agente con una minore utilità. E una condizione molto più debole del leximin in quanto si applica solo in un caso molto specifico. Il teorema di Hammond. Teorema (Hammond, 1976) In condizione di confronto di livelli ordinali, una regola di scelta sociale soddisfa unanimità, dominio universale, efficienza informativa, anonimità e il principio di Hammond se e solo se è la regola leximin. (DIMA, UNIGE) 19/04/ / 74

118 D Aspremont-Geneve e l utilitarietà Confronto dei livelli di utilità. L idea di D Aspremont-Geneve parte da un confronto cardinale interpersonale: le utilità devono essere misurate in termini comuni a tutti. A livello interpersonale si confrontano i guadagni di utilità tra diverse alternative: u i(x) u i(y) u j(x) u j(y)? La regola utilitaria. A livello sociale, si preferisce x a y se l utilità aggregata di x è maggiore di quella di y, cioè m m u i(x) u i(y) > 0 = x S y i=1 i=1 Il teorema di D Aspremont-Geneve. Teorema (D Aspremont-Geneve, 1977) In condizione di confronto di unità cardinali, una regola di scelta sociale soddisfa unanimità, dominio universale ed efficienza informativa se e solo se è la regola utilitaria. (DIMA, UNIGE) 19/04/ / 74

122 Tiriamo le somme Nel 1951 Arrow dimostra il suo teorema di impossibilità: una regola di scelta sociale basata su criteri apparentemente naturali non può che essere dittatoriale. Negli anni successivi, Mas-Colell e Sonnenschein nel 1972 e Gibbard e Sattherwaite nel 1973 hanno dimostrato che non bastava alleggerire i criteri stabiliti da Arrow per ottenere buoni risultati. Successivamente, Hammond nel 1976 e D Aspremont e Geneve nel 1977 riuscirono a dimostrare che una maggiore ricchezza di informazione poteva portare a regole non dittatoriali (leximin e utilitarietà) che soddisfacessero comunque i criteri di Arrow. (DIMA, UNIGE) 19/04/ / 74

126 Giochi cooperativi e non-cooperativi John Charles Harsanyi ( ) Nel 1966 John Harsanyi formalizza la classificazione principale dei giochi in giochi non-cooperativi, nei quali non sono permessi accordi vincolanti tra i giocatori; giochi cooperativi, nei quali sono permessi accordi vincolanti tra i giocatori. Non permettere accordi vincolanti non vuol dire assenza di comunicazione (anche se a volte viene ipotizzata). (DIMA, UNIGE) 19/04/ / 74

131 L arrivo di John Nash Nash John Forbes Nash Jr. (1928-now) The Nash equilibrium is the embodiment of the idea that economic agents are rational; that they simultaneously act to maximize their utility. If there is any idea that can be considered the driving force of economic theory, that is it. Thus in a sense, Nash equilibrium embodies the most important and fundamental idea of economics, that people act in accordance with their incentives. (Robert Aumann) E un concetto di soluzione introdotto dallo stesso J. Nash nel 1950 nell articolo Equilibrium points in n-person games. Già nel libro di von Neumann e Morgenstern appare un concetto del tutto simile, ma applicato ad una classe particolare di giochi (i cosiddetti zero-sum games). (DIMA, UNIGE) 19/04/ / 74

134 Il dilemma del prigioniero (DP) Nash (DIMA, UNIGE) 19/04/ / 74

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