Decisioni in condizioni di rischio. Roberto Cordone

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1 Decisioni in condizioni di rischio Roberto Cordone

2 Decisioni in condizioni di rischio Rispetto ai problemi in condizioni di ignoranza, oltre all insieme Ω dei possibili scenari, è nota una funzione di probabilità per i sottoinsiemi di scenari possibili (ovvero eventi). Come nel caso delle decisioni in condizioni di ignoranza, molti approcci consistono nel ricondurre il problema all ottimizzazione di una funzione ausiliaria u (x). Le prime indagini, compiute nel Seicento, proponevano il criterio del valore atteso, cioè di assumere come funzione ausiliaria da massimizzare il valore atteso dell impatto: u (x) = E [f (x, ω)] Infatti, l impatto associato ad ogni soluzione è una variabile aleatoria, dato che dipende dallo scenario ω. Il suo valore atteso è nel caso discreto: u (x) = E [f (x, ω)] = ω Ωπ ω f (x, ω) nel caso continuo: u (x) = E [f (x, ω)] = Ω π (ω)f (x, ω) dω Esempio Si consideri il seguente problema di decisione in condizioni di rischio: sono possibili quattro alternative e quattro scenari; le tabelle seguenti riportano le utilità associate ad ogni coppia alternativa-scenario e la probabilità che ciascuno scenario si realizzi. f (x, ω) ω 1 ω 2 ω 3 ω 4 x x x x ω 1 ω 2 ω 3 ω 4 p (ω) Se applichiamo il criterio del valore atteso, dobbiamo calcolare il valore atteso u (x) = E [f (x, ω)] per ciascun alternativa x. u (x 1 ) = = 3.25 u (x 2 ) = = 2.10 u (x 3 ) = = 2.05 u (x 4 ) = =

3 che porta a scegliere l alternativa x 4, più precisamente ordinando le alternative come segue: x 4, x 1, x 2, x 3. Studio di sensitività Le probabilità dei singoli scenari sono spesso stimate a partire da modelli, e quindi non sono note con assoluta perfezione. È spesso conveniente, quindi, valutare la dipendenza della soluzione dalle probabilità degli scenari, per capire se un eventuale errore può tradursi in una scelta sbagliata, e di quanto. Si tratta di individuare nello spazio delle probabilità { p ω : ω Ω p ω = 1, p ω 0, ω Ω } le regioni nelle quali ciascuna alternativa risulta ottima. Se l alternativa scelta in base alle probabilità stimate cade ben dentro la regione in cui rimane ottima, possiamo stare abbastanza tranquilli. Altrimenti, bisognerebbe prendere in considerazione per analisi ulteriori le altre soluzioni. 1 Non è detto che si debba studiare l intero spazio delle probabilità: è anche possibile analizzare la sensitività rispetto a una delle probabilità, tenendo le altre reciprocamente fisse (cioè modificandone la somma, ma conservando i loro rapporti). Ad esempio, valutiamo la sensitività dell esempio precedente rispetto alla probabilità dello scenario ω 3. Se p (ω 3 ) = α e le probabilità degli altri scenari conservano la loro dimensione reciproca, esse diventano p (ω 2 ) p (ω 1 ) = = 5 4 p (ω 2 ) = 5 p (ω 4 ) p (ω 1 ) = = 1 4 p (ω 1) p (ω 4 ) = p (ω 1) p (ω 1 ) + p (ω 2 ) + p (ω 4 ) = 1 α p (ω 1 ) + p (ω 2 ) + p (ω 4 ) = 1 α p (ω 1 ) p (ω 1) p (ω 1) = 1 α p (ω 1 ) = 4 (1 α) 10 p (ω 1 ) = 4 (1 α) 10 p (ω 2 ) = 5 (1 α) 10 p (ω 4 ) = 1 (1 α) 10 Ora possiamo applicare il criterio del valore atteso in modo parametrico, e osservare le prestazioni delle tre alternative al variare di α: u α (x 1 ) = (1 α) 1 + (1 α) 3 + α 4 + (1 α) 6 = α u α (x 2 ) = (1 α) 2 + (1 α) 2 + α 2 + (1 α) 4 = α u α (x 3 ) = (1 α) 3 + (1 α) 2 + α 1 + (1 α) 9 = α u α (x 4 ) = (1 α) 6 + (1 α) 6 + α 1 + (1 α) 3 = α A OCCHIO, SE LA GIOCANO x 1 (per bassi valori di α) e x 4 (per alti valori di α), mentre x 2 è dominata da x 1 (non rigorosamente, ma solo al variare di α). Probabilmente, x 3 non vince mai, ma questo è da verificare. 1 L ampiezza del supporto (probabilistico) di un alternativa potrebbe essere un buon criterio di robustezza per una decisione in condizioni di ignoranza 2

4 Svantaggi del criterio del valore atteso Si confrontino le seguenti 4 soluzioni: 1. lanciare un dado e guadagnare con certezza 100 euro 2. lanciare un dado e guadagnare 200 euro se escono 4, 5 o 6, nulla altrimenti 3. lanciare un dado e guadagnare 600 euro se esce 6, nulla se escono gli altri numeri 4. lanciare un dado e guadagnare 200 euro se escono 2, 3, 4, 5 o 6, perdere 400 euro se esce 1 Secondo il criterio del valore atteso, le quattro soluzioni sono indifferenti. Eppure, quasi nessun decisore le considererebbe tali. Questo mostra che il valore atteso non modella correttamente la relazione di preferenza del decisore dal punto di vista descrittivo. Anche dal punto di vista normativo, non sembra molto desiderabile che le quattro situazioni siano considerate indifferenti. Esempio: la scommessa di Pascal Un famosissimo esempio di applicazione del criterio del valore atteso è la scommessa di Pascal, che egli intendeva come argomento per dimostrare l esistenza di Dio, o meglio per sostenere la razionalità della fede. L argomento, notissimo, afferma quanto segue: ogni individuo deve scegliere se credere oppure no (possiamo modellare questa situazione con due alternative, x 1 e x 2 ). Inoltre, Dio esiste oppure non esiste (cioè vi sono due scenari ω 1 e ω 2 ). Se l individuo crede e Dio esiste, egli guadagna il paradiso, che possiamo vedere come un impatto a altissimo (al limite, infinito). I tre impatti associati al credere in un Dio che non esiste (e quindi perdere tempo, occasioni di godimento, ma anche vivere onestamente e serenamente, dice Pascal), al non credere in un Dio che esiste (e quindi essere forse punito) e non credere in un Dio che non esiste vengono indicati rispettivamente con b, c e d, e sono tutti valori piccoli in confronto ad a. f (x, ω) Dio Dio Credo a = + b Non credo c d Indichiamo con α la probabilità (incognita) che Dio esista. Il criterio del valore atteso indica come utilità del credere e del non credere: { u (x 1 ) = aα + b (1 α) + u (x 2 ) = cα + d (1 α) ( ) cα + (d b)(1 α) 1 Se a = c + (d b) α α 1, il criterio del valore atteso suggerisce l utilità di credere. Anche con una probabilità α molto piccola, una ricompensa a infinita suggerisce la razionalità della fede. Obiezioni all argomento furono avanzate immediatamente, oltre che sul piano della serietà etica, anche sul piano della validità matematica. Si attaccò il fatto che le opzioni fossero due (vi sono molti modi di credere e non credere, e molte cose in cui credere e non credere), che il concetto di probabilità in questa situazione non avesse senso (non si possono fare esperimenti casuali e vedere se al termine Dio esiste o no), ecc... Uno dei punti deboli dell argomento è il criterio del valore atteso. 3

5 Il paradosso di San Pietroburgo Nel 1730, Daniel Bernouilli propose il seguente problema. Si supponga di dover decidere se sborsare o no una cifra P per partecipare al seguente gioco d azzardo: si lancia una moneta finché non esce croce; se la prima croce esce dopo k teste (k 0), si vincono 2 k euro. Per quali valori di P conviene partecipare al gioco e per quali non conviene? Il problema consente due alternative: giocare o non giocare. Il guadagno associato alla prima è 2 k P, se k è il numero di teste che precedono la prima croce. Vi sono infiniti scenari possibili, corrispondenti a tutti gli esiti del gioco, ovvero al numero di teste consecutive. Il valore atteso del guadagno è quindi: E [v] = P + 2 k 2k = P + 1 = + k=0 k=0 Il guadagno associato alla seconda alternativa è sempre nullo. Quindi giocare è conveniente qualunque sia la cifra P. ovvero si sarebbe disposti a pagare qualsiasi cifra per partecipare al gioco. Non è chi non veda, però, che le due alternative non sono affatto equivalenti. Entra in gioco un potentissimo fattore che viene detto propensione al rischio e che dipende dall entità delle somme in gioco, dal reddito del giocatore, dal suo umore corrente, ecc... Teoria dell utilità stocastica La teoria dell utilità stocastica si propone di evitare le difficoltà del criterio del valore atteso. L idea è assumere che il decisore sia in grado di stabilire una relazione di preferenza Π fra coppie di impatti in F, anche quando gli impatti sono variabili aleatorie. Lotteria è una coppia di funzioni (f (ω),π (ω)) dove f (ω) : Ω F rappresenta l impatto di una fissata alternativa x ed è una variabile aleatoria, mentre π (ω) : Ω [0; 1] è la probabilità di ciascuno scenario in Ω (nel caso discreto), o la densità di probabilità (nel caso continuo). In particolare, indichiamo con (f 1, α, f 2 ) una lotteria a due scenari, con impatto f 1 nel primo scenario e f 2 nel secondo, e probabilità pari ad α per il primo scenario, 1 α per il secondo. È possibile definire anche lotterie composte i cui esiti non siano impatti deterministici, ma altre lotterie. Il criterio del valore atteso suggerirebbe di scegliere fra due lotterie sempre quella con il massimo valore atteso dell impatto: u f,π (x) = E [f (x, ω)] = ω Ωπ (ω)f (x, ω) ma il paradosso di San Pietroburgo e parecchi studi psicologici mostrano che non si tratta di un criterio corretto dal punto di vista descrittivo, e suggeriscono che non lo sia da quello normativo. La teoria dell utilità stocastica definisce gli assiomi che una relazione razionale di preferenza fra lotterie dovrebbe rispettare. Quindi, dimostra che solo una ben determinata famiglia di relazioni soddisfa tali assiomi. 1. la relazione di preferenza fra lotterie Π è un ordine debole (riflessiva, transitiva e completa); 2. monotonia: lotterie che assegnano probabilità più alte agli impatti migliori sono preferite; se f 1 f 2 (f 1, α, f 2 ) (f 1, β, f 2 ) α β 4

6 3. continuità (proprietà archimedea): variando in modo continuo le probabilità, variano in modo continuo le preferenze: f 1 f 2 f 3 α [0; 1] : f 2 (f 1, α, f 3 ) 4. indipendenza (o sostituzione): se due lotterie coincidono in parte, la preferenza dipende solo dalle parti diverse: f 1 f 2 (f 1, α, f 3 ) (f 2, α, f 3 ) α [0; 1] 5. riduzione: nelle lotterie composte, ai fini della scelta contano le probabilità totali degli impatti finali, e non il modo in cui le probabilità si formano. Utilità stocastica La relazione di preferenza Π è di ordine debole in quanto è possibile costruire una funzione u f,π (x) di utilità stocastica tale che una lotteria è meglio di un altra se e solo se ha utilità maggiore. Si tratta di costruire questa funzione a partire da f (x, ω) e π (ω), in modo tale da rispettare i cinque assiomi. Tale funzione non è unica. Infatti, si può dimostrare che due funzioni utilità u (x) e u (x) sono strategicamente equivalenti, cioè danno luogo allo stesso ordinamento su ogni lotteria se e solo se sono legate da una trasformazione lineare u = au + b con a > 0. Quindi, tutte le funzioni strategicamente equivalenti danno luogo alla stessa funzione normalizzata. Von Neumann e Morgenstern propongono di procedere come segue. Anzi tutto, assegnano valori di utilità 1 e 0 all impatto ottimo f max e pessimo f min. Quindi, costruiscono i valori di utilità dei singoli impatti sfruttando l assioma di continuità: ogni impatto f intermedio equivale infatti a una lotteria (f max, α, f min ) fra i risultati estremi, per un opportuno valore di α. Tale valore è unico per l assioma di monotonia: a valori strettamente più alti e più bassi, infatti, corrispondono impatti strettamente migliori e peggiori. Ogni impatto si può interpretare come una lotteria degenere (con un solo esito possibile) u f,1. Ora si devono assegnare valori di utilità a lotterie generiche (f ω, π ω ). Per l assioma di sostituzione, ogni impatto f può essere sostituito da una lotteria fra gli impatti estremi, con probabilità pari alla sua utilità stocastica α f = u f,1. Ciò determina una lotteria composta a due fasi: la prima fase fornisce non l impatto, ma un biglietto per partecipare alla seconda fase, nella quale sono possibili solo gli impatti estremi. L assioma di riduzione consente di ignorare le fasi intermedie e concentrarsi sugli impatti finali con le relative probabilità. Queste vengono fornite dai teoremi della probabilità totale e di quella composta: basta sommare per ciascuno scenario il prodotto della sua probabilità π ω per la sua utilità α f(ω). A questo punto, l intera lotteria è sostituita da una lotteria fra gli impatti estremi: ( f max, ) π (ω)u (f (x, ω)),f min ω Ω la cui utilità è pari alla probabilità di f max per l utilità di f max, e coincide col valore atteso dell utilità dell impatto: u f,π (x) = E [u (f (x, ω))] = ω Ωπ (ω)u(f (x, ω)) Una volta costruita la funzione di utilità, se ne ricava una relazione di preferenza affermando che lotterie con utilità superiore sono preferibili. Questo garantisce che la preferenza fra lotterie sia un ordine debole e garantisce anche l assioma di 5

7 monotonia, perché fra due lotterie con gli stessi impatti è preferita quella che fornisce l impatto migliore con probabilità più alta. Concludendo, la teoria dell utilità stocastica dimostra che definire come utilità di una lotteria il valore atteso dell utilità del suo esito consente di rispettare tutti gli assiomi. Avversione e propensione al rischio L ordinamento fra lotterie ottenuto con il criterio del valore atteso equivale a quello ottenuto normalizzando l impatto fra f min e f max e in generale è molto diverso da quello suggerito dall utilità stocastica. Questo perché il valore atteso dell impatto (anche se normalizzato) può differire molto dal valore atteso dell utilità dell impatto. Riportando su un diagramma (vedi Figura?? l andamento dell impatto normalizzato e dell utilità stocastica al variare dell impatto f, si ottengono due funzioni che crescono monotonicamente da 0 (in f min ) a 1 (in f max ). Si parla di: decisore avverso al rischio quando l utilità domina l impatto normalizzato: disporre con certezza di f è preferibile a giocare una lotteria fra f min e f max con valore atteso pari a f. Questo avviene quando la funzione di utilità è concava: u (αf max + (1 α)f min ) > αu (f max ) + (1 α)u(f min ) decisore propenso al rischio quando l utilità è inferiore all impatto normalizzato: è preferibile giocare una lotteria fra f min e f max con valore atteso pari a f piuttosto che avere f con certezza. Questo avviene quando la funzione di utilità è convessa: u (πf max + (1 π)f min ) < πu (f max ) + (1 π) u (f min ) Un decisore che non sia né avverso né propenso al rischio è neutrale rispetto al rischio e la sua relazione di preferenza coincide con il criterio del valore atteso. FIGURA DA FARE Figura 1: Profili di rischio di tre decisori: avverso al rischio (a), propenso al rischio (b) e neutrale rispetto al rischio (c) In generale, possono esservi decisori avversi al rischio per alcuni valori di impatto e propensi per altri: ad esempio, un decisore può considerare gratificante giocare piccole somme anche se il valore atteso della vincita è negativo, ma non voler giocare grandi somme anche quando potrebbe aspettarsi di vincere qualcosa. Un modo equivalente di descrivere il profilo di rischio di un decisore è è fissare un valore di utilità stocastica α e determinare l impatto corrispondente. Si dice equivalente certo di una lotteria l impatto sicuro che le equivale esattamente. per un decisore avverso al rischio ogni lotteria ha equivalente certo inferiore al valore atteso; per un decisore propenso al rischio ogni lotteria ha equivalente certo superiore al valore atteso. Solo per decisori neutrali al rischio, l equivalente certo coincide con il valore atteso. La teoria dell utilità stocastica ordina le lotterie per valori crescenti di equivalente certo. Si dice premio di rischio di una lotteria la differenza fra equivalente certo e valore atteso. 6

8 Esempio Supponiamo che l impatto di una decisione possa variare nell intervallo f [0; 1000] e che la funzione di utilità stocastica del decisore sia α (f) = Si debba scegliere fra una vincita sicura da 250 euro e una lotteria che fornisce 810 euro con probabilità pari al 10%, 360 euro con probabilità pari al 50% e 160 euro con probabilità pari al 40%. Quale alternativa si sceglierà? 250 L utilità della vincita sicura è u (f) = = 0.5. Quella della lotteria è 1000 π ω u (f (ω)) = 0.1 u (810)+0.5 u (360)+0.4 u (160) = = 0.55 ω Ω La seconda alternativa è preferibile. L equivalente certo della seconda lotteria è il valore f che avrebbe la stessa utilità della lotteria: f u (f) = = 0.55 f = Il premio di rischio è = 52.5, negativo, e quindi il decisore è avverso al rischio. Estensione al caso a molti attributi Quanto detto sopra si estende facilmente al caso in cui il problema ha molti attributi. Si tratta di ragionare definendo l impatto f come la funzione di utilità a molti attributi. In condizioni di rischio, non si può usare direttamente il suo valore, ma bisogna modularlo per tener conto dell atteggiamento del decisore verso la probabilità di ciascun valore. 7