PROGRAMMA PROVVISORIO DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA I PER INGEGNERIA EDILE (J Z) A.A. 2015/2016

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1 PROGRAMMA PROVVISORIO DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA I PER INGEGNERIA EDILE (J Z) A.A. 2015/2016 PROF. G. DI MEGLIO Avvertenze Il seguente programma provvisorio presenta, molto dettagliatamente, gli argomenti che intendo toccare nel corso di Analisi I da me tenuto durante l a.a. 2015/2016. Data la brevità del corso, solo alcuni argomenti, quelli veramente fondamentali, verranno affrontati approfonditamente (cioé con le relative dimostrazioni); di tali argomenti è richiesta una conoscenza parimenti approfondita ed incorrerà in guai seri (soprattutto nel proseguimento degli studi universitari) lo studente che non l abbia. Buona parte degli argomenti riportati in seguito saranno solamente illustrati (seppure con ampia dovizia di particolari, esempi e controesempi); ciò, ovviamente, non esime lo studente dall acquisire una conoscenza ed una padronanza dei suddetti argomenti tali da riuscire ad imbastire un discorso e da svolgere esercizi (applicativi e teorici) su un qualsiasi argomento tra essi. Infine, altri argomenti verranno probabilmente solo accennati a lezione (o addirittura omessi); la conoscenza di tali argomenti, seppure importanti per la cultura matematica dello studente, non è necessaria al superamento dell esame. A fianco di ogni argomento od al termine di ogni gruppo di argomenti ho inserito il riferimento bibliografico corrispondente, così da facilitare il reperimento del materiale. Si tratta, per lo più, di riferimenti agli Appunti del prof. Messano [M] oppure a documenti da me redatti, che verranno pubblicati durante il corso. I rimanenti testi consigliati in bibliografia rappresentano possibili alternative dalle quali reperire materiale utile ad una più profonda comprensione degli argomenti in programma. Al termine del corso renderò disponibile la versione definitiva del programma, con tutte le indicazioni, i tagli o le aggiunte del caso. Elementi di Teoria (Ingenua) degli Insiemi Insiemistica. Definizione (ingegnua) di insieme; relazione di appartenenza, relazione d inclusione; sottoinsiemi. Proprietà, implicazioni ed equivalenza; individuazione di sottoinsiemi attraverso proprietà caratteristiche. Date: 22 settembre

2 2 PROF. G. DI MEGLIO Operazioni con sottoinsiemi (unione, intersezione, differenza) e loro proprietà (iterativa, commutativa, associativa, distributiva, etc... ). Coppie ordinate e prodotto cartesiano di insiemi; rappresentazione grafica. [M, pp. 1 7] Relazioni tra Insiemi. Definizione di relazione; relazioni riflessive, simmetriche, antisimmetriche e transitive; relazioni d ordine e relazioni d equivalenza. [M, pp. 7 8] Funzioni tra Insiemi. Definizione di funzione; funzioni iniettive, suriettive e biiettive/invertibili; grafico e diagramma del grafico di una funzione; funzione inversa; funzioni composte. [M, pp. 8 11] I Numeri Reali Definizione assiomatica del campo reale R. Assiomi algebrici; assiomi d ordine, nozioni di massimo e minimo, di maggiorante e minorante, di insieme limitato superiormente, di insieme limitato inferiormente e di insieme limitato; assioma di completezza. Definizione di estremo superiore ed estremo inferiore; caratterizzazione degli estremi superiore ed inferiore. [M, pp ], [DM, NoMinimo.pdf] Insiemi Numerici Notevoli. Insieme N dei numeri naturali; insieme Z dei numeri interi; insieme Q dei numeri razionali e sua densità in R; densità di R in sé. [M, pp ] Principio d Induzione Matematica e sue applicazioni. Sottoinsiemi finiti ed infiniti; insiemi numerabili; numerabilità di N, Z, Q; impossibilità di numerare R. [M, pp ], [DM, Induzione.pdf] Intervalli e insiemi contigui. Insieme esteso dei reali (i.e, R); intervalli (chiusi, aperti, semiaperti, limitati, non limitati); proprietà di connessione. Insiemi separati e insiemi contigui di numeri reali; caratterizzazione degli insiemi contigui. [M, pp ] Rappresentazione del campo reale. La retta orientata come modello e rappresentazione dell insieme dei numeri reali; rappresentazione di sottoinsiemi notevoli (intervalli, insiemi finiti, insiemi numerici notevoli). [M, pp ] Ulteriori operazioni coi numeri reali. Valore assoluto e sue proprietà (positività, disuguaglianze triangolari, etc... ); elevamento a potenza (ad esponente naturale, intero, razionale, reale) e sue proprietà; esponenziazione (con base a > 1 o 0 < a 1) e sue proprietà; logaritmo (con base a > 1 o 0 < a < 1) e sue proprietà (logaritmo del prodotto, logaritmo del rapporto, logaritmo della potenza, cambiamento di base). [M, pp ] Le Funzioni Elementari Proprietà notevoli delle funzioni reali di variabile reale. Limitatezza inferiore e superiore, monotònia e stretta monotònia, parità e disparità, periodicità. Estremi inferiore e superiore, minimo e massimo di una funzione reale. [M, pp ]

3 PROGRAMMA PROVVISORIO DI ANALISI I 3 Le funzioni elementari di base. La funzione valore assoluto; le funzioni potenza n-esima e radice n-esima (con n N); le funzioni potenza ad esponente intero, razionale e reale; la funzione esponenziale; la funzione logaritmo. Le proprietà fondamentali di tali funzioni: insiemi di definizione ed immagini, intervalli di stretta monotònia, estremi inferiori e superiori, massimi e minimi, parità e disparità. [M, pp ] Polinomi. Definizione di polinomio e suo grado. Operazioni tra polinomi: somma, differenza, moltiplicazione, divisione. Regola di addizione dei gradi, algoritmo della divisione. Radici di un polinomio; teorema di Ruffini. Fattorizzazione di alcuni polinomi notevoli. [M, pp ] Le funzioni circolari e loro inverse. Misura di un angolo in radianti; coseno, seno e tangente di un angolo espresso in radianti; funzioni corrispondenti. Inverse (locali) delle funzioni coseno, seno e tangente (cioé arccos, arcsin ed arctan). [M, pp ] Applicazioni. Risoluzione di equazioni e disequazioni elementari. [M, pp , Esempi del cap. 3, 71 80] Definizione di funzioni elementare; il problema della ricerca dell insieme (massimale) di definizione di una funzione elementare composta. [M, pp ] I Numeri Complessi Il campo complesso. Motivazioni. Forma cartesiana e forma algebrica dei numeri complessi: somma, differenza e prodotto; coniugato complesso e quoziente di due numeri complessi. Rappresentazione cartesiana del campo complesso sul piano di Gauss. [M, pp ] Rappresentazione trigonometrica ed esponenziale. Riferimento polare nel piano di Gauss; forma trigonometrica dei numeri complessi; passaggio dalla forma algebrica alla forma trigonometrica e viceversa. Operazioni su numeri complessi in forma trigonometrica: prodotto e quoziente; potenza ad esponente intero; radici n-esime complesse. Cenni sulla forma esponenziale dei numeri complessi (con motivazioni euristiche). [M, pp ] Successioni e loro Limiti Nozioni di base. Definizione di successione. Definizione di limite; successioni convergenti, divergenti, indeterminate, limitate, illimitate; esempi. [M, pp ] Teoremi sui limiti di successione. Teorema di unicità del limite. Ogni successione convergente è limitata ed ogni successione divergente è illimitata; controesempi. Teoremi di confronto; teorema dei carabinieri; teorema della permanenza del segno; regolarità delle successioni monotòne. [M, pp ] Il numero e di Nepero. [M, p.118], [DM, Nepero.pdf] Operazioni sui limiti; forme indeterminate. [M, pp ] Criterio di Cauchy per le successioni. Successioni estratte; teorema fondamentale sulle successioni estratte. [M, pp ]

4 4 PROF. G. DI MEGLIO Topologia della Retta Reale Nozioni di base. Intorni di un punto. Definizione di punto di accumulazione e di derivato di un insieme; caratterizzazione sequenziale dei punti di accumulazione. Ogni sottoinsieme limitato ed infinito ha almeno un punto di accumulazione al finito (teorema di Bolzano Weierstrass); un sottoinsieme è infinito se e solo se ha almeno un punto di accumulazione. Definizione di punto isolato, punto interno, punto esterno e punto di frontiera; insiemi chiusi ed insiemi aperti. [M, pp ] Proprietà puntuali, locali e globali di una funzione reale di variabile reale. [DM, da Insiemi compatti. Definizione di insieme compatto; caratterizzazione degli insiemi compatti (teorema di Heine Borel). [M, pp. 128] Calcolo Infinitesimale Nozione di limite e teoremi relativi. Definizione di limite in termini di intorni aperti; particolarizzazioni della definizione del tipo ε δ. [M, pp ] Teorema di unicità del limite; teorema fondamentale sulla regolarità (anche detto teorema ponte o caratterizzazione sequenziale del limite). Ogni funzione convergente in un punto è localmente limitata; controesempi. Teoremi di confronto; teorema dei carabinieri; teorema della permanenza del segno. [M, pp ] Infinitesimi ed infiniti; i simboli o, O ed di Landau. [M, pp ] Limiti di restrizioni, limite destro e limite sinistro; teorema fondamentale sui limiti delle restrizioni. Teorema di regolarità delle funzioni monotòne. [M, pp ] Operazioni sui limiti; forme indeterminate. [M, pp ] Nozione di continuità e teoremi relativi. Continuità in un punto; funzioni continue; esempi e controesempi; la continuità è una proprietà puntuale. Continuità a destra e continuità a sinistra di un punto. Continuità in un punto della somma, della differenza, del prodotto e del quoziente di funzioni continue in un punto. Limite della funzione composta; continuità della funzione composta; caratterizzazione sequenziale della continuità. Punti di discontinuità. [M, pp ] Proprietà fondamentali delle funzioni continue. Funzioni continue in un intervallo: teorema degli zeri e relativi controesempi; teorema di Bolzano (anche detto teorema dei valori intermedi) e relativi controesempi [M, pp ]; teorema inverso di Bolzano e relativi controesempi [M, p. 148]; invertibilità delle funzioni continue e relativi controesempi [M, p. 157]. Funzioni continue in un intervallo compatto: teorema di Weierstrass e relativi controesempi. [M, p. 154] Nozione di continuità uniforme e teoremi relativi. Continuità uniforme; la continuità uniforme è una proprietà globale. Teorema di Cantor (sulla continuità uniforme delle funzioni continue nei compatti) e relativi controesempi; caratterizzazione sequenziale della continuità uniforme [M, pp ]; esempi di funzioni uniformemente continue in insiemi non compatti [DM, da. Applicazioni. Limiti fondamentali (o notevoli); risoluzione di limiti (semplici) che si presentino in forma indeterminata. [M, pp , , 203]

5 PROGRAMMA PROVVISORIO DI ANALISI I 5 Calcolo Differenziale Nozione di derivata e teoremi relativi. Rapporto incrementale e suo significato geometrico. Definizione di funzione derivabile in un punto; significato geometrico (euristico) della derivata. Notazioni di Newton e di Leibniz per le derivate. Derivata destra e derivata sinistra. La derivabilità (derivabilità a destra, derivabilità a sinistra) in un punto implica la continuità (la continuità da destra, la continuità da sinistra) nello stesso punto. [M, pp , ] Definizione formale di retta tangente al grafico di una funzione. Punti angolosi e cuspidali nei diagrammi. [M, pp ] Regole di calcolo. Regole di derivazione di somma, differenza, prodotto e rapporto di funzioni derivabili; derivazione della funzione composta; derivazione della funzione inversa. Derivate delle funzioni elementari. [M, pp ] Generalizzazioni. La funzione derivata prima; derivate successive [M, p. 180]. Funzioni di classe C k. [DM, da Definizione di differenziale in un punto; equivalenza di differenziabilità e derivabilità in un punto. Cenni sui differenziali d ordine superiore. [M, pp ], [DM, da Applicazioni del Calcolo Differenziale Teoremi classici del Calcolo Differenziale. Massimi e minimi di funzioni derivabili: condizioni necessarie e condizioni sufficienti; teorema di Fermat. [M, pp ] Teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy; equivalenza dei tre enunciati. Conseguenze del teorema di Lagrange; applicazioni. [M, pp , 186, ], [DM, da Condizioni necessarie e condizioni sufficienti alla monotònia ed alla stretta monotònia in un intervallo. [M, pp ] I teoremi di de l Hôpital. [M, pp ] Approssimazione locale mediante polinomi. Approssimazione di funzioni derivabili mediante funzioni affini: formula di Taylor al primo ordine col resto nella forma di Peano. Equivalenza della formula di Taylor al primo ordine, della definizione di derivabilità e della definizione di differenziabilità. Approssimazione di funzioni derivabili due volte con polinomi al più di secondo grado: la formula di Taylor al secondo ordine col resto nella forma di Peano. [DM, da Approssimazione di funzioni derivabili n volte con polinomi di grado al più n: formula di Taylor d ordine n col resto nella forma di Peano. Resto della formula di Taylor nella forma di Lagrange. [M, pp ] Formule di Taylor McLaurin delle funzioni elementari più comuni (esponenziale, seno, coseno, logaritmo, etc... ) [M, pp ] Uso della formula di Taylor nella risoluzione di limiti in forma indeterminata. [M, pp ] Condizioni per la concavità/convessità di funzioni derivabili. Funzioni concave e funzioni convesse; monotònia della derivata prima di funzioni concave e funzioni convesse derivabili; definitezza del segno della derivata seconda di funzioni concave o funzioni convesse derivabili due volte. Condizioni necessarie e condizioni sufficienti alla concavità, alla stretta concavità, alla convessità ed alla stretta convessità. [M, pp ]

6 6 PROF. G. DI MEGLIO Studio della funzione. Punti di flesso nei diagrammi; asintoti. [M, pp ] Studio della funzione; disegnare il grafico (approssimato) di una funzione elementare. [DM, da Calcolo degli Integrali Indefiniti Nozione di primitiva e teoremi relativi. Definizione di primitiva; unicità della primitiva in un intervallo a meno di costanti additive. [M, pp , 229] Tecniche di integrazione di base. Calcolo delle primitive delle funzioni elementari di base. Calcolo delle primitive mediante inversione delle formule di derivazione; integrazione per decomposizione in somma. [M, pp ] Altre tecniche di integrazione. Integrazione indefinita per parti [M, pp ] e per sostituzione [M, pp ]. [DM, da Calcolo delle primitive di funzioni razionali: decomposizione in fratti semplici [M, pp ]. Sostituzioni razionalizzanti più comuni e loro applicazione [M, pp ]; funzioni iperboliche e loro applicazione al calcolo degli integrali di funzioni irrazionali [M, pp ]. Integrazione mediante formule ricorsive. Cenni sul problema generale dell integrazione di funzioni elementari in termini elementari; esistenza di funzioni elementari che non hanno primitive elementari. [DM, da Teoria della Misura di Peano Jordan e Teoria dell Integrazione Definita secondo Riemann Cenni di topologia del piano euclideo R 2. Distanza tra punti, cerchi aperti e chiusi, intorni circolari di un punto; rettangoli chiusi, aperti, semiaperti, intorni rettangolari. Sottoinsiemi limitati del piano. Punti interni, punti esterni, punti di frontiera, punti di accumulazioni di sottoinsiemi di R 2. Partizioni di sottoinsiemi. [M, pp ] Costruzione della misura di Peano Jordan. Misura dei rettangoli; misura dei plurirettangoli e sue proprietà (monotònia, additività finita, etc... ). Misura esterna ed interna di un sottoinsieme limitato del piano e loro proprietà (e.g., i sottoinsiemi ad interno vuoto hanno misura interna nulla); sottoinsiemi limitati di R 2 misurabili secondo Peano Jordan, caratterizzazione degli insiemi limitati misurabili secondo Peano Jordan; esempi di sottoinsiemi limitati non misurabili secondo Peano Jordan. Sottoinsiemi con misura di Peano Jordan nulla; un sottoinsieme limitato è misurabile secondo Peano Jordan se e solo se esso ha frontiera misurabile e con misura nulla. Proprietà della classe M dei sottoinsiemi misurabili secondo Peano Jordan: misurabilità e misura dell unione finita, dell intersezione finita e della differenza di sottoinsiemi limitati misurabili. Misurabilità e misura dell unione numerabile di sottoinsiemi limitati misurabili a due a due disgiunti. La misura di Peano Jordan come funzione d insieme e sue proprietà di base (monotònia, additività finita e numerabile, etc... ). Misurabilità e misura di sottoinsiemi non limitati di R 2. [M, pp ]

7 PROGRAMMA PROVVISORIO DI ANALISI I 7 Integrale definito secondo Riemann di una funzione continua. Definizione di rettangoloide sotteso ad una funzione continua e positiva definita in un intervallo compatto; teorema sulla misurabilità del rettangoloide. Partizioni di un intervallo compatto; somme integrali inferiori e superiori relative ad una funzione continua subordinate ad una partizione; somme di Riemann relative ad una funzione continua subordinate ad una partizione. Integrale definito di una funzione continua e positiva in un intervallo compatto; interpretazione geometrica. Integrale definito di una funzione continua (senza vincoli di segno) in un intervallo compatto; interpretazione geometrica. [M, pp ] Considerazioni relative al simbolo d integrale. Proprietà dell integrale definito e teoremi relativi. Proprietà dell integrale definito: monotònia rispetto all integrando; monotònia rispetto all insieme d integrazione (per integrandi positivi); linearità; disuguaglianza triangolare; l integrale di una funzione positiva è nullo solo se la funzione è ovunque nulla. Proprietà additiva rispetto all insieme d integrazione e rispetto all integrando. Proprietà di (assoluta) continuità dell integrale come funzione d insieme. Teorema della media integrale. [M, pp ] Funzione integrale; Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale e Formula Fondamentale del Calcolo Integrale; collegamento tra il problema dell integrazione definita ed il problema della determinazione delle primitive (o integrazione indefinita). [M, pp ] Formule di integrazione definita per parti [M, pp ] e per sostituzione [M, p. 277] Applicazioni (Euristiche) del Calcolo Integrale. Calcolo di aree di regioni delimitate da grafici di funzione; disuguaglianza di Young per funzioni monotone continue. Formula per il calcolo della lunghezza del grafico di una funzione derivabile definita in un intervallo compatto; giustificazione euristica di tale formula. Integrazione e ragionamento euristico: applicazioni a problemi reali. [DM, da Serie Numeriche Nozione di serie e teoremi relativi. Definizione di serie numerica; definizione di serie numerica convergente, divergente, indeterminata. Criterio di convergenza di Cauchy per le serie; condizione necessaria alla convergenza. Esempi fondamentali: la serie geometrica; la serie telescopica; la serie armonica. Operazioni con serie: somma, differenza, moltiplicazione per una costante. [M, pp ] Criteri di convergenza per serie a termini positivi. Regolarità delle serie a termini positivi. Criteri della radice e del rapporto; esempi e controesempi. [M, pp ] Criterio di condensazione; esempi e controesempi. Criterio dell integrale. [DM, da La serie armonica generalizzata. Criterio dell ordine d infinitesimo; esempi e controesempi; generalizzazioni. [M, pp ]

8 8 PROF. G. DI MEGLIO Criteri di convergenza per serie a termini di segno qualsiasi. Convergenza assoluta; la convergenza assoluta implica la convergenza semplice; controesempi; disuguaglianza triangolare per le serie a.c. Criteri di convergenza assoluta ricavati dai criteri corrispondenti per serie a termini positivi. [M, pp ] Proprietà commutativa in grande per le serie assolutamente convergenti. [DM, da Criterio di Leibniz per le serie a segno alterno. Criterio di Dirichlet [DM, da Riferimenti bibliografici [M] Messano, B. (2015), Appunti del Corso di Analisi Matematica I. [DM] Di Meglio, G. (2014), Materiale on-line di approfondimento, reperibile al seguente URL: wpage.unina.it/guglielmo.dimeglio. [A] Acquistapace, P. (2015), Appunti di Analisi Matematica, reperibili al seguente URL: acquistp/analisi1.pdf. [AT] Alvino, A. & Trombetti, G. (1999), Elementi di Matematica I, Liguori, Napoli. [CFTV] Conti, M.; Ferrario, D. L.; Terracini, S. & Verzini, G. (2013), Analisi Matematica - volume uno: dal Calcolo all Analisi, Apogeo, Milano. [CM] Crasta, G. & Malusa, A. (2003), Matematica I - Teoria ed Esercizi, Pitagora, Bologna. [MS] Marcellini, P. & Sbordone, C. (1999), Lezioni di Analisi Matematica I, Liguori, Napoli. Guglielmo Di Meglio Università degli Studi di Napoli Federico II Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Complesso Universitario Monte Sant Angelo via Cintia, 80126, Napoli ITALY