Codifica dei Numeri. Informatica B 12 Novembre 2014 Giacomo Boracchi Informatica B, AA 14/15, Giacomo Boracchi

Transcript

1 Codifica dei Numeri Informatica B 12 Novembre 2014 Giacomo Boracchi giacomo.boracchi@polimi.it

2 L esame

3 Le Regole del Gioco È vietato utilizzare calcolatrici, telefoni o pc. Chi tenti di farlo vedrà annullata la sua prova. È ammessa la consultazione di libri e appunti, purché con pacata discrezione e senza disturbare. TEMI D ESAME ANNI PRECEDENTI NON AMMESSI. Qualsiasi tentativo di comunicare con altri studenti comporta l espulsione dall aula. È possibile ritirarsi senza penalità. Non è possibile lasciare l aula conservando il tema della prova in corso. E necessario iscriversi su alla prova

4 Rappresentazione dei Numeri

5 Codifica dei Numeri in Base 10 Le cifre che abbiamo a disposizione sono 10 A 10 = 0, 1,, 9 Utilizziamo una notazione posizionale, quindi le cifre in posizioni differenti hanno un significato differente Es numero di 4 cifre 3401 = Con m cifre posso rappresentare 10 m numeri distinti: 0,, 10 m 1

6 Codifica dei Numeri Ogni codifica ha un insieme di cifre (dizionario) A In base 10, il dizionario è A 10 = 0,, 9 Un numero è una sequenza di cifre a n a n 1 a 1 a 0 con a i A 8522 è una sequenza di 4 cifre di A 10 8,5,2 A 10. Consideriamo codifiche posizionali: ogni cifra assume un significato diverso in base alla sua posizione nel numero. a n è la cifra più significativa a 0 è la cifra meno significativa Es: in 8522, 8 è la cifra più significativa, 2 quella meno è diverso da 2852, 8252, che pur contengono le stesse cifre

7 Codifica dei Numeri: notazione posizionale Dato un numero N 10, in base 10 contenente m cifre scritto come a m 1 a m 2 a 1 a 0 questo corrisponde a: N 10 = a m 1 10 m 1 + a m 2 10 m a (a m 1 a m 2 a 1 a 0 ) 10 = m 1 i=0 a i 10 i, a i A 10 Es: = Con m cifre in A 10 quanti numeri posso esprimere: 10 m Considerando gli interi positivi, posso scrivere tutti numeri tra 0, 10 m 1 Es: m = 1 copro 0,10 1 (cioè 0,9 i.e., A 10 ) m =3 copro 0, (cioè [0, 999])

8 Rappresentazioni Posizionali in Base p Consideriamo rappresentazioni posizionali in base p (con p > 0) e chiamiamo A p il dizionario di p cifre: se p 10 prendiamo le cifre di A 10, A p = 0,, p 1 se p > 10 aggiungiamo simboli A p = 0,.., 9, A, B.. Un numero di m cifre in base p: N p = a m 1 p m 1 + a m 2 p m a 0 p 0 N p = a m 1 a m 2 a 1 a 0 = m 1 i=0 a i p i, a i A p Con m cifre in A p quanti numeri posso esprimere: p m Considerando gli interi positivi, posso scrivere tutti numeri tra 0, p m 1

9 Codifica dei numeri in base p: Esempi Es: m = 1 e p = 7, copro 0, 7 1 (cioè 0,6 i.e., m = 4 e p = 7, copro 0, (cioè 0,2400 ) m = 1 e p = 13, copro 0, 13 1 (cioè 0,12 ) m = 4 e p = 13, copro 0, (cioè 0,28560 ) Al crescere di p cresce il «potere espressivo» del dizionario (a parità del numero di cifre impiegabili).

10 Codifica dei Numeri in Base 2 I calcolatori sono in grado di operare con informazioni binarie. Quindi p = 2 e A 2 = {0, 1} N 2 = a m 1 2 m 1 + a m 2 2 m a N 2 = a m 1 a m 2 a 1 a 0 = m 1 i=0 a i 2 i, a i {0,1} Un bit (binary digit) assume valore 0/1 corrispondente ad un determinato stato fisico (alta o bassa tensione nella cella di memoria) Con m bit posso scrivere 2 m numeri diversi, ad esempio tutti gli interi nell intervallo [0, 2 m 1] Il byte è una sequenza di 8 bit ed esprime 2 8 = 256 numeri diversi (ad esempio gli interi in [0,255]) , , ,,

11 Conversione Binario-Decimale È necessario imparare le potenze di 2! E i loro legami con l informatica: Byte = 8 bit KiloByte (kb) = 10 3 Byte MegaByte (MB) = 10 6 Byte GigaByte (GB) = 10 9 Byte TheraByte (TB) = Byte

12 Altre Codifiche che consideriamo Codifica ottale (in base 8) A 8 = {0, 1,, 7} con m cifre in A 8 scrivo i numeri da 0, 8 m 1 Codifica esadecimale, (in base 16) A 16 = {0, 1,, 9, A, B, C, D, E, F}, Per le conversioni A = 10,, F = 15. con m cifre in A 16 scrivo i numeri da [0,16 m 1].

13 Conversione Binario-Decimale Utilizziamo la definizione di numero in notazione posizionale N 2 = a m 1 2 m 1 + a m 2 2 m a Es = = = = 98 10

14 Osservazioni In binario i numeri che terminano con 1 sono dispari, quelli con 0 sono pari. L unico modo per avere un numero dispari nella somma è aggiungere 2 0 = 1 Le conversioni di numeri con bit tutti a 1 si calcolano facilmente = = =

15 Conversione Decimale Binario Metodo delle divisioni successive: Per convertire 531 opero come segue 531 / 2 = / 2 = / 2 = / 2 = / 2 = / 2 = / 2 = / 2 = / 2 = / 2 = Divisione intera tra il numero e 2 Il risultato della divisione precedente viene successivamente diviso Si continua fino a quando il risultato della divisione non diventa 0 (e considero comunque il resto!)

16 Conversione Decimale Binario Metodo delle divisioni successive: Per convertire 531 opero come segue: 531 / 2 = Cifra meno significativa 265 / 2 = / 2 = / 2 = / 2 = / 2 = / 2 = / 2 = / 2 = / 2 = I resti della divisione intera, letti dall ultimo al primo, identificano il numero binario = Cifra più significativa

17 TODO: Conversione Decimale Binario Scrivere un programma che esegue la conversione decimale binario e salva il risultato in un opportuna struttura dati prima di visualizzarlo Modificare il programma convertire da decimale ad una base p qualunque con p 16 specificata dall utente durante l esecuzione del programma. NB: l algoritmo delle divisioni successive vale rispetto a qualunque base

18 Conversioni ottale/esadecimale decimale È possibile utilizzare le definizioni precedenti per convertire da ottale/esadecimale in base 10 N p = a m 1 a m 2 a 1 a 0 = m 1 i=0 Es: 31 8 = = a i 16 i, a i A 16 A = A = = = = = = = =

19 Conversioni ottale/esadecimale decimale È possibile utilizzare le definizioni precedenti per convertire da ottale/esadecimale in base 10 N p = a m 1 a m 2 a 1 a 0 = m 1 i=0 Es: 31 8 = = a i 16 i, a i A 16 A = A = = = = = = = =

20 Conversioni ottale/esadecimale decimale È possibile utilizzare le definizioni precedenti per convertire da ottale/esadecimale in base 10 N p = a m 1 a m 2 a 1 a 0 = m 1 i=0 Es: 31 8 = = a i 16 i, a i A 16 A = A = = = = = = = =

21 Conversioni ottale/esadecimale decimale È possibile utilizzare le definizioni precedenti per convertire da ottale/esadecimale in base 10 N p = a m 1 a m 2 a 1 a 0 = m 1 i=0 Es: 31 8 = = a i 16 i, a i A 16 A = A = = = = = = = =

22 Conversioni ottale/esadecimale decimale È possibile utilizzare le definizioni precedenti per convertire da ottale/esadecimale in base 10 N p = a m 1 a m 2 a 1 a 0 = m 1 i=0 Es: 31 8 = = a i 16 i, a i A 16 A = A = = = = = = = =

23 Conversioni decimale ottale/esadecimale È possibile utilizzare l algoritmo delle divisioni successive È tuttavia più comodo fare delle conversioni passando dalla rappresentazione binaria e Esprimere ogni sequenza di 3 numeri binari in base = = = Esprimere ogni sequenza di 4 numeri binari in base = = = 4CF 16 4 C F 16

24 Somma tra Numeri Binari Si eseguono «in colonna» e si opera cifra per cifra Si considera il riporto come per i decimali = 0 riporto = 1 riporto = 1 riporto = 0 riporto 1 Occorre sommare il riporto della cifra precedente = Riporto = (1)

25 Somma tra numeri binari A volte i bit utilizzati per codificare gli addendi non bastano a contenere il risultato Si ha quindi un bit di carry In questi casi occorrono più bit per codificare il risultato = = (1)

26 I numeri Interi - Positivi e Negativi

27 Rappresentazione Modulo e Segno È possibile dedicare il primo bit alla codifica del segno "1" il numero che segue è negativo "0" il numero che segue è positivo Con m cifre in binario e codifica modulo dedico 2 m 1 per i positivi e 2 m 1 per gli stessi cambiati di segno posso rappresentare tutti i numeri nell intervallo Es = = = = X 2 m 1 + 1, 2 m 1 1

28 Rappresentazione Modulo e Segno Esempio m = 3 0 = = = = = = = = 111 C è uno «spreco» nella codifica Ostacola realizzazione circuitale delle operazioni algebriche (non lo mostriamo) Occorre trovare una rappresentazione migliore! Ho due codifiche differenti lo zero

29 Rappresentazione in Complemento a 2 (CP2) Date m cifre binarie, disponibili 2 m configurazioni distinte In CP2 se ne usano: 2 m 1 1 per valori positivi 1 per lo zero 2 m 1 per i valori negativi Con m bit rappresento l intervallo 2 m 1, 2 m 1 1

30 Rappresentazione in Complemento a 2 (CP2) Sia X 2 m 1, 2 m 1 1 il numero da rappresentare in CP2, con m bit. se X è positivo o nullo scrivo X in binario con m bit se X è negativo scrivo 2 m X in binario con m bit Questo equivale alla seguente codifica: N CP2 = a m 1 a m 2 a 1 a 0 = a m 1 2 m 1 + a m 2 2 m a m 2 = a m 1 2 m 1 + a i 2 i i=0, a i {0,1} i.e., viene cambiato il segno dell addendo relativo alla cifra più significativa

31 Rappresentazione in CP2 Esempio m = 3-4 = = = = = = = = 011

32 Rappresentazione in CP2 Esempio m = 3-4 = = = = = = = = 011

33 Rappresentazione in CP2 Con i positivi copro solo il range [0, 2 m 1 1], quindi la prima cifra di X sarà 0 Con i negativi copro il range [ 2 m 1, 1] ma devo scrivere 2 m X, quindi ho sempre che la prima cifra è 1 Quindi, il primo bit indica il segno del numero Attenzione: questo numero non è il segno: cambiandolo non si ottiene il numero opposto 45 = CP2 se cambio di segno alla prima cifra CP = = = 19 Inoltre, un solo valore per lo 0 (cioè m volte 0), nessuna configurazione sprecata dalla codifica

34 Rappresentazione in CP2 Es, definire un intervallo che contenga -23 e 45 m = 7, copro 2 6, = [ 64, 63] m = 6, copro 2 5, = [ 32, 32] (non cont. 45) = = 105 = 45 = CP CP2 NB: occorre utilizzare sempre m bit. Se non avessi messo lo 0 iniziale in 45 CP2 avrei ottenuto un numero negativo a 6 bit!

35 Conversione Decimale CP2 Metodo "operativo" per rappresentare X ad m bit Controllo che X 2 m 1, 2 m 1 1, altrimenti m bit non bastano Se k è positivo, scrivo k utilizzando m bit ricordandosi di aggiungerei zeri se necessario all inizio del numero! Se k è negativo: 1. Scrivo X utilizzando m bit 2. Complemento tutti i bit di X (1 0, 0 1) 3. Sommo 1 al numero ottenuto

36 Esempi Conversione Decimale CP2 Esempio: scrivere -56 in CP2 con il numero di bit necessari m = 7 copre 2 6, = [ 64, 63] Scrivo Complemento Sommo CP2 =

37 Esempi Conversione Decimale CP2 Esempio: scrivere -56 in CP2 con il numero di bit necessari m = 7 copre 2 6, = [ 64, 63] Scrivo Complemento Sommo CP2 =

38 Esercizi Esercizio: convertire in complemento a 2 i seguenti numeri, utilizzando il numero di bit necessario per esprimerli tutti = CP = CP = CP = CP = CP = CP2

39 Esercizi Esercizio: convertire in complemento a 2 i seguenti numeri, utilizzando il numero di bit necessario per esprimerli tutti = CP = CP = CP = CP = CP = CP2

40 Conversione CP2 Decimale Possiamo utilizzare la definizione N CP2 = a m 1 a m 2 a 1 a 0 = a m 1 2 m 1 + a m 2 2 m a m 2 = a m 1 2 m 1 + a i 2 i i=0, a i {0,1} Es CP2 = = = CP2 = = = = NB convertite sempre in decimale con questo metodo per controllare le vostre operazioni

41 Conversione CP2 Decimale in alternativa è possibile utilizzare un metodo operativo Se X CP2 inizia per 0, allora è positivo converto normalmente Se X CP2 inizia per 1, allora è negativo 1. Complemento tutti i bit di X CP2 (1 0, 0 1) 2. Sommo 1 al numero ottenuto 3. Converto in decimale e cambio di segno

42 Esempio Esercizio: riconvertire in decimale i seguenti numeri in complemento a CP CP2 = = = CP CP CP CP2 101 CP2

43 Somma tra Numeri in CP2 In CP2 l operazione di somma si realizza come nella rappresentazione binaria posizionale Grazie alla rappresentazione in CP2 è possibile eseguire anche sottrazioni tra numeri binari con lo stesso meccanismo (i.e., somme tra interi di segno opposto)

44 Carry e Overflow in CP2 In CP2 occorre ignorare il bit di carry, cioè il riporto che cade sul bit che cade sul segno In CP2 occorre individuare l overflow, i.e., casi in cui il risultato è fuori dall intervallo rappresentabile con i bit utilizzati. Quando c è overflow il risultato è inconsistente con gli addendi: Somma di due addendi positivi da un numero negativo Somma di due addendi negativi da un numero positivo NB non può esserci overflow quando sommo due numeri di segno opposto

45 Esempio no overflow Esempio: diventa 60 + ( 54) = CP = CP Il riporto (carry) viene ignorato Quando sommo numeri di segno opposto non può esserci overflow Il risultato è positivo CP2 = 6 10

46 Esempio Esempio: 100 CP CP = [1] (1) Ignoro il bit di carry Overflow: la somma di due numeri negativi mi ha dato un numero positivo. Si indica con 0,1 tra quadre [1] c è overflow, [0] non c è Il risultato non ha senso, occorre scrivere gli addendi don un bit in più per rappresentare il risultato dell operazione

47 Esempi Esempi: con m = 4 bit Indico tra () bit di carry, tra [] bit di overflow -3 => => => [0](1) => => => [0](1) => => => [1](1) => => => [0](0) => => => [1](0)1001

48 Esempi Esempi: con m = 4 bit Indico tra () bit di carry, tra [] bit di overflow -3 => => => [0](1) => => => [0](1) => => => [1](1) => => => [0](0) => => => [1](0)1001

49 Esempi Esempi: con m = 4 bit Indico tra () bit di carry, tra [] bit di overflow -3 => => => [0](1) => => => [0](1) => => => [1](1) => => => [0](0) => => => [1](0)1001

50 Esempi Esempi: con m = 4 bit Indico tra () bit di carry, tra [] bit di overflow -3 => => => [0](1) => => => [0](1) => => => [1](1) => => => [0](0) => => => [1](0)1001

51 Esempi Esempi: con m = 4 bit Indico tra () bit di carry, tra [] bit di overflow -3 => => => [0](1) => => => [0](1) => => => [1](1) => => => [0](0) => => => [1](0)1001

52 Esempi Esempi: con m = 4 bit Indico tra () bit di carry, tra [] bit di overflow -3 => => => [0](1) => => => [0](1) => => => [1](1) => => => [0](0) => => => [1](0)1001

53 Nota in C Le variabili int sono codificate in CP2 Se aggiungo il qualificatore unsigned, tutti i bit vengono usati solo per i numeri positivi. Posso coprire un range maggiore

54 Esempio TDE 11/2009 a) Si dica qual è l intervallo di valori interi rappresentabile con la codifica in complemento a due a 9 bit. b) Con riferimento a tale codifica indicare, giustificando brevemente le risposte, quali delle seguenti operazioni possono essere effettuate correttamente: i ii iii iv c) Mostrare in dettaglio come avviene il calcolo delle operazioni (i) e (ii), evidenziando il bit di riporto e il bit di overflow così ottenuti. (Il bit di overflow è pari ad 1 se si verifica overflow, 0 altrimenti.)

55 Esempio TDE 11/2009 a. Valori rappresentabili vanno da -256 a b. Le soluzioni: i : NO, si ottiene un valore negativo troppo grande in valore assoluto ii. iii. iv : SI, si ottiene un valore piccolo in valore assoluto : SI, si ottiene un valore positivo, grande in valore assoluto ma nei limiti : NO, si ottiene un valore positivo troppo grande in valore assoluto c (-254) ii (+254) (-255) (-253) [1](1) (-509) [0](1) (+1)

56 I Numeri Frazionari

57 I Numeri Frazionari Un approssimazione dei numeri reali in [0,1] Si rappresentano anteponendo 0. al numero N p = 0. a 1 a 2 a m p = N p = a 1 p 1 + a 2 p 2 + a m p m N p = m i=1 a i p i, a i A p In base = In base = = =

58 I Numeri Frazionari : Osservazioni Date m cifre in base p = 2, posso rappresentare un sottoinsieme dell intervallo continuo 0, 1 2 m L errore di approssimazione sarà minore di 2 m

59 Conversione Decimale Binario su Frazionari L algoritmo delle moltiplicazioni successive per convertire N 10 [0,1] 1. Moltiplico N 10 per La parte intera del risultato definisce una cifra della rappresentazione binaria finale 3. la parte frazionaria risultante viene moltiplicata per 2 4. Si itera 1-3 fino a Ottenere parte frazionaria nulla (rappresentazione esatta) oppure Coprire tutte le cifre binarie a disposizione (rappresentazione approssimata) 5. La cifra più significativa (il coefficiente di 2 1 ) è dato dalla prima parte intera calcolata, quella meno significativa (il coefficiente di 2 m ) è dato dall ultima parte intera calcolata

60 Esempio Convertire in binario utilizzando m = 6 bit = = = Parte intera + parte frazionaria La parte intera definisce la rappresentazione binaria Otteniamo = 0.101, la rappresentazione è esatta Se dovessi usare 6 bit =

61 Esempio Convertire in binario utilizzando m = 6 bit = = = = = = Otteniamo Rappresentazione approssimata, la parte frazionaria finale non è 0. L accuratezza è di almeno 2 6. Parte intera + parte frazionaria La parte intera definisce la rappresentazione binaria

62 Esempio Convertire in binario 0.9 utilizzando m = 16 bit = = = = = = = = = = Rappresentazione periodica! Inutile procedere oltre Otteniamo con accuratezza di almeno 2 16.

63 Rappresentazione in Virgola Fissa Si definiscono m bit per la parte intera e n bit per la parte frazionaria e si scrivono le due parti indipendentemente Rappresentare ( 123,21) 10 utilizzando m = 8, n = 6 e rappresentazione in CP 2 per la parte intera = CP2 (0,21) 10 (001101) 2 123,21 10 ( ) 2 Questa rappresentazione mi da Precisione costante lungo l asse reale R: Estremi definiti solo da m R 2m n 2 m 1

64 Esercizio TODO Scrivere un programma che prende in ingresso un numero razionale positivo (in base 10) e lo converte in rappresentazione a virgola fissa. Il programma: richiede il numero di bit da utilizzare per la parte razionale Presenta l errore massimo di approssimazione al termine dell esecuzione e stampa se la rappresentazione è esatta

65 Virgola mobile (floating point) Il numero r in base p in virgola mobile è espresso come: r = ±M b n M mantissa (parte frazionaria, è un numero razionale) b: base della notazione esponenziale (numero naturale) n: caratteristica (numero intero) M e n sono in base p (non necessariamente 10) Esempio (p = 10, b = 10): 331,6875 = 0, M = 0, ; n = 3 Il numero può essere codificato usando un numero predefinito di bit per M e per n b e p non devono essere rappresentati, sono definiti dallo standard

66 Virgola mobile (floating point) Il numero r in base p in virgola mobile è espresso come: r = ±M b n M mantissa (parte frazionaria, è un numero razionale) b: base della notazione esponenziale (numero naturale) n: caratteristica (numero intero) M e n sono in base p (non necessariamente 10) N.B la base p della codifica può essere diversa dalla base della rappresentazione in floating point b Esempio Se ho (p = 2 b = 10) e M = 1011, e = 11 = Scrivo il numero in base 10 ma codifico esponente e mantissa

67 Normalizzazione A parità di precisione, il numero di cifre dopo la virgola può cambiare giocando sull esponente e.g.: 0, = 6, Numero in virgola mobile detto normalizzato se contiene una sola cifra nella parte intera e.g.: 0, NON normalizzato 6, NORMALIZZATO Forma normalizzata vantaggiosa se numero cifre (i.e., bit) disponibili per rappresentare r è limitato permette di evitare zeri iniziali inutili a parità di cifre usate per la mantissa, una maggiore precisione.

68 Standard IEEE per i numeri float Quattro diversi formati, differiscono nel numero totale dei bit utilizzati. Quelli più diffusi: precisione singola: 32 bit precisione doppia: 64 bit precisione tripla: 128 bit Si usa sempre base b = 2 e p = 2

69 Standard IEEE a 32 bit S (1 bit) E (8 bit) M (23 bit) Il numero X viene scritto nella seguente rappresentazione X = 1 S 1. M 2 n Rappresentazione divisa in tre parti: S: il segno (1 bit) M: contiene le cifre decimali della mantissa in forma normalizzata (23 bit) E: la caratteristica (8 bit), definisce l esponente n S, M ed E si rappresentano in base p = 2, la base della notazione esponenziale b = 2.

70 Standard IEEE , la mantissa (M) Rappresentata in binario in forma normalizzata, Fatto salvo alcuni casi particolari (E = 0) In base 2 la mantissa è un numero compreso tra e Nella codifica IEEE in M non viene mai salvata la prima cifra che è sempre 1 X = 1 S 1. M 2 n Così, di fatto ci sono bit a disposizione per rappresentare la mantissa in forma normalizzata N.B. la mantissa è sempre positiva, si usa il bit di segno S per rappresentare i numeri negativi. M non viene rappresentato in CP 2 quindi.

71 Standard IEEE , l esponente (E) Si usa una notazione per eccesso E = n Dove n è la caratteristica del numero, l esponente di 2 In questo modo non occorre dedicare un bit al segno di E, dal momento che n [ 127, 128] e quindi E [0, 255] Esempi: caratteristica E = 250 esponente n = +123 caratteristica E = 80 esponente n = 47 caratteristica E = 132 esponente n = +5 caratteristica E = 1 esponente n = 126 N.B. E va rappresentato sempre con 8 bit

72 Come Procedere Dato X numero reale: 1. Definisco il bit di segno S = 0 se positivo, S = 1 se negativo X = S = 0 (1 bit) 2. Codifico in virgola fissa in base 2, parte frazionaria e parte intera X = Porto il numero in forma normalizzata in base 2 X = Definisco M a 23 bit come la mantissa senza il primo bit (sempre 1) M = (23 bit) 5. Calcolo E = n E = 5 + K = = 132 -> (8 bit) 6. Compongo il numero S = 0 E = M =

73 Nota bene 2. Codifico in virgola fissa in base 2, parte frazionaria e parte intera X = Porto il numero in forma normalizzata in base 2 X = Non ha senso fare il viceversa: normalizzare in base 10 e poi passare in base 2. Ecco due buoni motivi: 1. Il numero normalizzato in base 10 potrebbe non esserlo in base 2 (es > ) 2. Non potrei convertire il termine 10 b se b 0, mentre 2 0 = 10 0 non da problemi

74 Esempi Codificare secondo lo standard IEEE a precisione singola il seguente numero decimale: X = > = S = 0 (1 bit) E = -1 + K = = 126 -> (8 bit) M = (23 bit)

75 Esempio di Decodifica Convertire in base dieci il seguente numero espresso nella codifica floating point: S = 0 M = E = E= E = 132 ; n = = 5 1.M ( ) Parte intera: = = 50 Parte razionale:.011 = = X = Occorre procedere a ritroso!

76 Casi Particolari Con la codifica IEEE è anche possibile scrivere: NaN: (Not a Number): caratteristica E = 255 e M 0 (NB: molte possibili rappresentazioni) + : segno S = 0, caratteristica E = 255; , mantissa M = 0 ; : segno S = 1, caratteristica E = 255; , mantissa M = 0 ; : segno qualsiasi S {0,1}, caratteristica 0, mantissa 0 ( due rappresentazioni, come se ci fossero +0 e -0)

77 Casi Particolari Eccezione dei numeri con caratteristica nulla E = 0 In questi casi il numero è in forma denormalizzata X = 1 S 0. M Questo permette di rappresentare numeri minori di : mi posso spingere, fino a , sfruttando I bit della mantissa Se non fosse definito in questo modo non sarebbe possibile scrivere o numeri minori (avrei comunque avuto X = 1 S 1. M )

78 Standard IEEE , quadro riassuntivo E M 0 M 0 NB 0 X = 0 X = 1 S 0. M E 254 X = 1 S 1. M 2 E s = 0 X = + s = 1 X = X = NaN

79 Proprietà delle Codifica I circa 4 miliardi di configurazioni (usati 32 bit) consentono di coprire un campo di valori molto ampio grazie alla distribuzione non uniforme per numeri piccoli in valore assoluto valori rappresentati sono «fitti», per numeri grandi in valore assoluto valori rappresentati sono «diradati» Approssimativamente gli intervalli tra valori contigui sono: per valori di l intervallo è di un millesimo per valori di 10 milioni l intervallo è di un unità per valori di 10 miliardi l intervallo è di mille ecc

80 TDE 11/ Si fornisca la codifica binaria CP 2 del numero -221 utilizzando il minor numero di bit necessari per una corretta rappresentazione 2. Si fornisca la codifica binaria in virgola mobile secondo lo standard IEEE a precisione singola del numero Si dica, giustificando la risposta, se la rappresentazione fornita al punto 2 è esatta oppure comporta qualche approssimazione

81 Punto 1, rappresentazione in CP 2 di richiede 9 bit perchè così copro 2 8, con 8 bit copro solamente 2 7, Quindi codifico = (lo metto a 9 bit) (complemento) (sommo 1)

82 Punto 1, rappresentazione in CP 2 di richiede 9 bit perchè così copro 2 8, con 8 bit copro solamente 2 7, Quindi codifico = (lo metto a 9 bit) (complemento) (sommo 1)

83 Punto 2. IEEE del numero Parte intera: 221 in binario ,0625 x 2 = 0 => 0,0001 0, , , = ,0625 = 0, ,0625 = ,0001 = Nessuna approssimazione = 1, x 2^7 (normalizzo) S = 1 (1 bit) E = = 134 = (8 bit) M = (1,) (+ 12 zeri) (23 bit) Quindi (+ 12 zeri)(32 bit)

84 Esercizio Si consideri la funzione matematica "doppio esponenziale negativo" che a ogni numero intero n 0 associa il valore den(n) = 2 2n. Si risponda ai seguenti quesiti, avendo cura di giustificare sinteticamente, ma in modo preciso, le risposte fornite. 1. Si fornisca la rappresentazione, secondo lo standard IEEE a precisione singola, del valore den(3) = Si fornisca la rappresentazione, secondo lo stesso standard, del valore den(5) = Si dica se le rappresentazioni dei valori citati ai punti precedenti sono esatte o comportano qualche approssimazione. 4. Si indichi qual è il più grande valore K per il quale il numero den(k) = 2 2K è troppo piccolo per essere rappresentato correttamente nello standard IEEE a precisione singola

85 Soluzione s=0; E = E = 119, E= m= s=0 E = E = 95; E = m= La rappresentazione è esatta, trattandosi di potenze intere di 2. Per K=7, la rappresentazione è possibile, sfruttando anche le cifre della mantissa (mettendo E = 0), mentre per K=8 si ha den(8)= 2 28, troppo piccolo per poter essere rappresentato anche sfruttando le cifre della mantissa: infatti il l'esponente minimo codificabile con la caratteristica è -126, e giocando sulle cifre della mantissa si può ottenere un fattore moltiplicativo di 2-23, codificando quindi un numero minimo pari a =2-149 mentre den(8)= 2 28 = 2 256