MATCHING SU GRAFI E ALCUNE VARIANTI DEL PROBLEMA DEL MARIMONIO STABILE

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Daniele Sacco
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1 UNIVERSITÀ À DEGLI STUDI ROMA TRE M.F.N. FACOLTÀ DI SCIENZE M.F.N. Tesi di Laurea in Matematica di Letizia Monaldi MATCHING SU GRAFI E ALCUNE VARIANTI DEL PROBLEMA DEL MARIMONIO STABILE Relatore Prof. Marco Liverani 1 MATCHING SU GRAFI - Sottotitolo Sia G = (V, E) un grafo (V insieme dei vertici, E insieme degli spigoli) Matching M E contenente archi non aventi estremi comuni Matching perfetto matching M tale che v V e M incidente in v Sia G = ((X,Y), E) un grafo bipartito Matching completo da X a Y matching M tale che v X e M incidente in v Y X 2 Università degli Studi Roma Tre - Facoltà di Scienze M.F.N. - Corso di Laurea in Matematica 1

2 STABLE MARRIAGE PROBLEM X, Y: X = Y = n x X N(x) = (y 1, y 2,, y n ) : y i > x y i se i < j y Y N(y) = (x 1, x 2,, x n ) : x i > y x i se i < j Stabilità Se (x, y) M tale che x M(x) x > y M(y) e y > x M(x) M(y) y allora M è INSTABILE e (x, y) è una coppia BLOCCO per M M è STABILE se non esistono coppie blocco per M Stable marriage problem Dato G bipartito, con V = X Y, X = Y, trovare un matching stabile 3 STABLE MARRIAGE PROBLEM (Algoritmo GS) Teorema del Matrimonio Stabile (Gale-Shapley, 1962) Per ogni istanza del problema del matrimonio stabile esiste un matching stabile (dimostrazione costruttiva in cui viene esibito un algoritmo) Algoritmo GS 1. x X si assegna M(x) y 1 2. y Y: k n M(x i1 ) = y,, M(x ik ) = y M(y) x m, m = min(i 1,, i k ) e x=x ij tale che i j m M(x) x 3. x X : M(x) = x M(x) y 2 I passi si ripetono e la procedura termina quando M(y) y y Y 4 Università degli Studi Roma Tre - Facoltà di Scienze M.F.N. - Corso di Laurea in Matematica 2

3 STABLE MARRIAGE PROBLEM (Altri algoritmi) Altri algoritmi per lo stesso problema: Gale e Shapley, Algoritmo GS: O(n 2 ) Knuth, Algoritmo Fondamentale: O(n 2 ) Gusfield e Irving, Algoritmo GS Esteso: O(n 2 ) 5 SMCD: Elementi da abbinare diversi in numero X Y SMI: Liste di preferenza incomplete X = Y = n, v X Y : N(v) < n; : Liste di preferenza non strettamente ordinate X = Y = n, v X Y : vj={v j1,, v jk }, j {1,, n}; I = SMI + : Liste di preferenza incomplete e/o non strettamente ordinate 6 Università degli Studi Roma Tre - Facoltà di Scienze M.F.N. - Corso di Laurea in Matematica 3

4 M SM [ n 2 ] SMCD [ n 2 ] SMI [ n 2 ] I 8 (Stabilità) M è SUPER stabile se y x M(x) e x y M(y) M è FORTEMENTE stabile se y x M(x) e x > y M(y) o y > x M(x) e x y M(y) M è DEBOLMENTE stabile se y > x M(x) e x > y M(y) I M è SUPER stabile se non esistono x e y compatibili tali che: (x, y) M y x M(x) o M(x) = x e x y M(y) o M(y) = y M è FORTEMENTE stabile se non esistono x e y compatibili tali che: y x M(x) o M(x) = x x > y M(y) o M(y) = y M è DEBOLMENTE stabile se non esistono x e y compatibili tali che: (x,y) M, y > x M(x) o M(x) = x e x > y M(y) o M(y) = y 9 Università degli Studi Roma Tre - Facoltà di Scienze M.F.N. - Corso di Laurea in Matematica 4

5 M SM [ n 2 ] SMCD [ n 2 ] SMI [ n 2 ] Forte: n 4 Super: n 2 Debole: n 2 I Forte: n 4 Super: n 2 Debole: NP- completo 10 Università degli Studi Roma Tre - Facoltà di Scienze M.F.N. - Corso di Laurea in Matematica 5

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