TEOREMA DI PITAGORA:

Transcript

1 ALDO BONET TEOREMA DI PITAGORA: DIMOSTRAZIONE MECCANICA. Regola Sumero-Babilonese TRENTO Gennaio 2015 Aldo Bonet Teorema di Pitagora: dimostrazione meccanica. 1/29

2 ALDO BONET 1 Definizione di macchina matematica del prof. Marcello Pergola: Una macchina matematica (in un contesto geometrico) ha come scopo fondamentale ( indipendentemente dall uso che poi se ne farà della macchina) risolvere questo problema: obbligare un punto, o un segmento, o una figura qualsiasi (sostenuti da un opportuno supporto che li renda visibili) a muoversi nello spazio o a subire trasformazioni seguendo con esattezza una legge astrattamente, matematicamente determinata. Per contatti: aldo@storiadellamatematica.it 1. Aldo Bonet Teorema di Pitagora: dimostrazione meccanica. 2/29

3 Introduzione. Nel mio precedente articolo il Teorema di Pitagora ai tempi di Ötzi, abbiamo visto come già nel periodo tardo Uruk (3.200 a.c. circa), i Sumeri molto probabilmente conoscevano la relazione del Teorema di Pitagora, sotto una forma di Regola empirica, al culmine di quel periodo cronologico del Vicino Oriente noto come La rivoluzione urbana", proprio ai tempi di Ötzi, l uomo del tardo neolitico alpino contemporaneo all uomo del tardo calcolitico mesopotamico; una Regola che si dimostrò poi fondamentale per la nascita e il futuro dell algebra e della geometria. Questa Regola, fu visualizzata dagli artigiani Sumeri attraverso la loro formidabile macchina di svago, da me ipotizzata nel lontano 1978 e accolta con due pubblicazioni universitarie solo nel 1989 e poi nel Questa macchina matematica di argilla comparve in Mesopotamia probabilmente nella seconda metà del IV millennio a.c. dopo una millenaria arte edile fatta con i mattoni standardizzati; una macchina algebrica unica e versatile: Il Diagramma di argilla. Un Diagramma ludico, a fini didattici - educativi, che evocava i primi e più antichi giochi da tavolo allora conosciuti presso le prime civiltà potamiche (dei grandi fiumi). Questa macchina ricreativa era utilizzata come una sorta di gioco logico-enigmistico, fatto con mattoni movimentabili e sovrapponibili. I primi pionieri ellenici la videro nella sua funzione didattica dentro le rinomate scuole degli scribi delle millenarie civiltà potamiche. Fortunatamente, tra i primi pionieri ellenici, nel VI sec.a.c., vi fu anche Pitagora di Samo che andò a visitare la Mesopotamia, l India e l Egitto; Pitagora, verosimilmente affascinato dalla semplicità e versatilità didattica di questa macchina algebrica di svago fatta in mattoni di argilla, la introdusse in Patria, a Crotone, nella Magna Grecia. Nel presente articolo propongo, come efficace strumento didattico, un congegno meccanico da me progettato in conformità a quanto già esposto nel mio articolo in precedenza citato: il Teorema di Pitagora ai tempi di Ötzi. Un meccanismo che ho studiato per attivare concretamente, con un movimento sincrono, il metodo dimostrativo per rotazione di questa importante Regola arcaica, semplice e comprensibile anche ai non matematici. Propongo inoltre questa macchina algebrica a tutti i seguenti link: Musei matematici, archeologici e della scienza: Simmetria giochi di specchi La collezione di Macchine Matematiche del Museo Universitario di Modena e il Laboratorio Mathematikmuseum Atractor Giardino di Archimede Laboratorio scienza Mathematics: Exploratorium's Ten Cool Sites Muse di Trento Museo Archeologico di Bolzano Museo Parco delle Scienze di Granada Museo dell Alhambra di Granada Specialisti di storia del pensiero scientifico: MacTutor History of Mathematics Archive Jöran.Friberg Duncan J. Melville Jens Høyrup Jean-Pierre_Houdin Aldo Bonet Teorema di Pitagora: dimostrazione meccanica. 3/29

4 1. BREVE SUNTO DELLA REGOLA SUMERA ALL INIZIO FU IL MATTONE. E con l argilla, gli uomini mesopotamici plasmarono i mattoni. Dai mattoni, spontaneamente, scaturì una base statica a modulo quadrato che formò un Diagramma ricreativo: nacque così l algebra geometrica, l alba del pensiero scientifico. Nell articolo precedente Il Teorema di Pitagora ai tempi di Ötzi abbiamo ripercorso assieme, secondo la mia teoria, le verosimili fasi cruciali degli anonimi artigiani Sumeri che scoprirono questa importante Regola empirica e crearono induttivamente con i mattoni un piacevole gioco di argilla, un originale macchina algebrica destinata ad accompagnare l uomo mesopotamico fuori dalla preistoria e nella sua evoluzione sociale e rivoluzione culturale. Un arcaico strumento didattico di facile utilizzo che riepilogo brevemente: Abbiamo visto come attraverso le prime fasi FASE. 1: FASE. 2: Siamo passati, quasi per magia, alla FASE. 3. Aldo Bonet Teorema di Pitagora: dimostrazione meccanica. 4/29

5 FASE. 3: Passando poi per induzione dalla FASE. 4 FASE. 4: Aldo Bonet Teorema di Pitagora: dimostrazione meccanica. 5/29

6 alla FASE. 5: La base del Diagramma di argilla a modulo quadrato! FASE. 5: In seguito, sempre per induzione, abbiamo proseguito con le seguenti fasi FASE. 6- A: Aldo Bonet Teorema di Pitagora: dimostrazione meccanica. 6/29

7 FASE. 6- B: Fino ad arrivare alla FASE. 6- C. FASE. 6- C: Arrivati alla FASE: 6- C, con due semplici mosse e, ancora quasi per magia, abbiamo visualizzato la superficie equivalente del quadrato costruito sopra la diagonale dei mattoni. Vedere FASI: 7- A- B C- D. Prima mossa: Siamo partiti con il mezzo mattone in bicolore grigio/nero A, che abbiamo trasferito vicino all altro in zona A1 in modo tale che, i due mezzi mattoni (in bicolore grigio/nero) si ritrovassero adiacenti o aderenti con la relativa parte colorata, quella colorata di nero. Seconda mossa: Infine, abbiamo trasferito il mezzo mattone B, in zona B1. Aldo Bonet Teorema di Pitagora: dimostrazione meccanica. 7/29

8 Allo scopo, abbiamo applicato due metodi equivalenti: 1) Metodo per rotazione. Abbiamo ruotato di 270 il mezzo mattone in bicolore grigio/nero indicato con A, in zona A1, assumendo come asse di rotazione lo spigolo C, FASE 7- A. Infine, abbiamo ruotato di 270 il mezzo mattone di colore grigio B, in zona B1, assumendo come asse di rotazione lo spigolo D, FASE. 7- C. FASE. 7- A/C: 2) Metodo per traslazione. Prima, abbiamo trasferito il mezzo mattone in bicolore grigio/nero indicato con A, in zona A1, come nelle seguenti fasi FASE. 7- B: Infine, FASE. 7- C, abbiamo trasferito il mezzo mattone di colore grigio B, in zona B1, come nelle seguenti fasi Aldo Bonet Teorema di Pitagora: dimostrazione meccanica. 8/29

9 FASE. 7- C: Entrambi i metodi infine, abbiamo visto che terminavano in quest ultima FASE. 7- D, vedere qui... FASE. 7- D: Ecco il risultato universale dell arcaica Regola Sumera, che doveva grossomodo recitare: In ogni mattone, il quadrato costruito sulla sua diagonale (FASE 6-C), è sempre equivalente alla somma dei quadrati costruiti sul fianco e sul fronte del mattone stesso (FASE 7-D). Probabilmente, i Sumeri, per distinguere visivamente i due quadrati, hanno prima colorato di nero con il bitume (nella FASE 7-D) il quadrato sul fronte del mattone. Come si vede, il Teorema di Pitagora era in origine legato tra la diagonale e le due facce del mattone rettangolo; Pitagora invece, lo legò alla figura geometrica stilizzata del solo mezzo-mattone, che prese il nome di: triangolo rettangolo. Aldo Bonet Teorema di Pitagora: dimostrazione meccanica. 9/29

10 2. SINTESI SCHEMATICA DELLA REGOLA SUMERO-BABILONESE. => Attraverso il Diagramma di argilla è facile visualizzare che, in ogni mattone, il quadrato costruito sulla sua diagonale d (linea obliqua posta sotto la tassellatura) è sempre equivalente alla somma dei quadrati costruiti sul fianco X e sul fronte Y del mattone stesso. Questa regola fu ulteriormente sviluppata dalla discendenza dei Sumeri. Ho pensato di complementare, coniandola come: Regola Sumero-Babilonese. 3. ANALISI DEL METODO A ROTAZIONE. Nel metodo a rotazione abbiamo visto che sono stati ruotati di un angolo, pari a 270, sia il mezzo mattone in bicolore grigio/nero indicato con A, in zona A1, assumendo come asse di rotazione lo spigolo C, sia il mezzo mattone di colore grigio B, in zona B1, assumendo come asse di rotazione lo spigolo D, rivedere la seguente FASE. 7- A/C: FASE. 7- A/C Aldo Bonet Teorema di Pitagora: dimostrazione meccanica. 10/29

11 4. L IDEA MECCANICA PER UN MOVIMENTO A ROTAZIONE SIMULTANEA. Proprio l uguaglianza di rotazione degli angoli, pari a 270 ciascuno, dei due distinti mezzi mattoni, mi ha fatto pensare che, questa peculiarità poteva essere utilizzata per ricreare questo strumento ludico in mattoni dentro una struttura alternativa efficace e attraente per la didattica, con l ausilio di un congegno meccanico di supporto, il quale, avrebbe attivato un movimento sincronizzato attraverso un unica manovella di rotazione. Il congegno da me ideato con ingranaggi in lega di metallo, perché sia funzionale, bisognerà inserirlo dentro una base lignea di supporto che sia solida e nello stesso tempo spaziosa per ospitare tutto il meccanismo. Anche gli originali mattoni di argilla del Diagramma, sarà opportuno sostituirli con un altro materiale più leggero, pure per questi ultimi, meglio direi se di legno. Il tutto poi, sarà rifinito esternamente per dare una parvenza costruttiva molto simile ai mattoni di argilla, in modo che rievochi l origine arcaica della macchina e, con la dimostrazione della Regola Sumero-Babilonese, l origine della più scolastica dimostrazione del noto Teorema di Pitagora. 5. LE TRE FASI DEL METODO A ROTAZIONE MECCANICA SIMULTANEA. TEOREMA DI PITAGORA: DIMOSTRAZIONE MECCANICA. Regola Sumero-Babilonese FASE n 1 [ 0 ] Nella prima fase, con la manovella immobile o in posizione di 0, si osserva che il quadrato tassellato è perfettamente costruito sulla diagonale di ogni mattone sottostante. Per vedere a cosa equivale il quadrato soprastante, bisognerà iniziare a muovere la manovella in senso orario vedere la fase 2 intermedia seguente: Aldo Bonet Teorema di Pitagora: dimostrazione meccanica. 11/29

12 FASE n 2 [ 180 ] Muovendo la manovella in senso orario, nei primi 180 si vedranno i due mezzi mattoni ( A e B) staccarsi dal quadrato iniziale e muoversi simultaneamente in rotazione angolare nello spazio, assumendo come assi di rotazione rispettivamente gli spigoli C e D ai quali sono incardinati. Il quadrato soprastante, in questa fase intermedia, subisce una trasformazione geometrica equivalente: mediante l invarianza dell area e il mutamento della forma. Una costante matematica che ritroviamo nei SulbaSūtra e che fu alla base della costruzione degli altari di fuoco nella matematica Vedica Indiana. Per vedere a quale forma geometrica elementare finale equivale il quadrato iniziale soprastante, bisognerà semplicemente continuare a muovere la manovella in senso orario per i rimanenti +90 finché i due mezzi mattoni non raggiungeranno simultaneamente e rispettivamente le zone A1 e B = 270 vedere l ultima fase (Fase 3) seguente: Aldo Bonet Teorema di Pitagora: dimostrazione meccanica. 12/29

13 FASE n 3 [ 270 ] Raggiunta, a 270, la fase finale della dimostrazione meccanica, abbiamo osservato che, il quadrato iniziale (visibile nella Fase n 1) ha subito, durante il percorso angolare della movimentazione meccanica, una trasformazione geometrica per equivalenza. Mantenendo invariata l area durante la rotazione angolare, la macchina ha prodotto nello spazio un mutamento della forma, raggiungendo così una figura geometrica finale costituita dall unione di due quadrati adiacenti e complementari: quadrato grigio + quadrato nero = gnomone; quello grigio costruito sul fianco dei mattoni più quello nero costruito sul fronte dei mattoni costituenti il Diagramma meccanico. 6. L ARCAICA VERIFICA ARTIGIANALE Questo risultato universale, oltre ad essere facilmente percepibile con l osservazione diretta della disposizione dei mattoni sul Diagramma meccanico nelle due fasi (iniziale e finale) è anche percepibile mediante una verifica artigianale già vista nella sua forma primitiva nel mio articolo: Il Teorema di Pitagora ai tempi di Ötzi alle pagg. 11 e 12. Una rapida verifica che ripresento qui sulla macchina utilizzando questa volta dei mezzi-mattoni (a forma di triangolo rettangolo) e mediante le distinte fasi successive: Fase n 4, Fase n 5 e Fase n 6. Si porta la macchina come in FASE n 1 di pag.11, con la manovella su 0, poi, si prendono due mezzimattoni (in questo caso di legno) e si affianca il taglio riguardante la diagonale (l ipotenusa) a due lati consecutivi del quadrato iniziale (quello di FASE n 1), per fare la verifica di quanto segue: 1 a verifica - FASE n 4: Il quadrato regolarmente costruito (FASE n 1 di pag.11) sulla diagonale del mezzo- mattone, è sempre Aldo Bonet Teorema di Pitagora: dimostrazione meccanica. 13/29

14 FASE n 4 (FASE n 1) Si tolgono temporaneamente i due mezzi-mattoni e si fa ruotare di 270 gli ingranaggi con la manovella della macchina sino alla Fase n 3 di pag. 13, e poi, si riprendono ancora i due mezzi-mattoni e si fa combaciare il fianco di ognuno (cateto maggiore) con due lati consecutivi del quadrato grigio 2 a verifica- FASE n 5: equivalente all unione del quadrato (grigio) costruito sul fianco del mezzomattone FASE n 5 (FASE n 3) Aldo Bonet Teorema di Pitagora: dimostrazione meccanica. 14/29

15 Si riprendono ancora i due mezzi-mattoni e si fa combaciare infine il fronte (cateto minore) di ognuno con due lati consecutivi del quadrato nero 3 a verifica: più il quadrato (nero) costruito sul fronte del mezzo-mattone stesso. FASE n 6 (FASE n 3) Abbiamo fatto combaciare prima (FASE n 4) il taglio della diagonale (l ipotenusa) dei due mezzi- mattoni su due lati consecutivi del quadrato iniziale di FASE n 1, poi, (FASE n 5=FASE n 3) abbiamo fatto combaciare gli stessi mezzi-mattoni col rispettivo fianco (cateto maggiore) a due lati consecutivi del quadrato (colore grigio) e infine (FASE n 6=FASE n 3) abbiamo fatto combaciare gli stessi mezzimattoni col rispettivo fronte (cateto minore) a due lati consecutivi del secondo quadrato (colore nero). Quanto sopra, era la verifica dell universalità della Regola, della relazione esistente tra la diagonale e i lati di un mattone rettangolare qualsiasi. Era, per gli artigiani delle civiltà potamiche, più una verifica del mostrare che del dimostrare ; rudimentale ma efficace. Con la stessa arcaica tecnica artigianale, abbiamo inoltre verificato che, sia il quadrato della costruzione iniziale (FASE n 4) sia i due quadrati adiacenti della costruzione equivalente finale ottenuta per rotazione meccanica (FASE n 5 e Fase n 6) risultano, per prima cosa, costituiti da tre quadrati regolari ma anche, perfettamente costruiti sulle tre rispettive facce del mezzo-mattone; pezzo sostanziale del Diagramma. Una verifica artigianale che probabilmente ha generato le figure simbolo nella costruzione degli altari di fuoco nella matematica Vedica Indiana, mediante l invarianza dell area e il mutamento della forma. Dal Diagramma iniziale all altare a forma di Airone. Fasi di mutamento equivalente della forma. => => Dimostra che i tre distinti quadrati sono perfettamente costruiti sulle tre facce del mezzo-mattone. Aldo Bonet Teorema di Pitagora: dimostrazione meccanica. 15/29

16 7. DISPOSIZIONE E COMPOSIZIONE INTERNA DEL MECCANISMO. Il meccanismo l ho pensato con una composizione di cinque ingranaggi metallici: un pignone motore a ruota dentata, fissato all asse incidente di trasmissione del momento meccanico, che ingrana e movimenta una corona circolare la quale, a sua volta, ingrana e movimenta altri tre ingranaggi a rullo, tutti e cinque gli ingranaggi sono lavorati con denti a evolvente di cerchio; il tutto, è stato pensato con questa disposizione interna: ALCUNI PARTICOLARI DEGLI INGRANAGGI: Aldo Bonet Teorema di Pitagora: dimostrazione meccanica. 16/29

17 PLANIMETRIA DELLA MACCHINA CON DISPOSIZIONE DEGLI INGRANAGGI: Aldo Bonet Teorema di Pitagora: dimostrazione meccanica. 17/29 M Come si vede, la manovella (M) mette in azione l asse incidente di trasmissione del momento meccanico sul quale è fissato il pignone che muove la corona dentata e di conseguenza i tre ingranaggi a rullo, dove, i due più esterni e periferici, muovono in rotazione angolare simultanea i due mezzi-mattoni (A e B) che sono rispettivamente imperniati nei vertici dell ipotenusa e saldamente collegati all asse di rotazione degli stessi ingranaggi a rullo. La vasta tipologia d ingranaggi oggi esistente, ci permette di studiare moltissime combinazioni e soluzioni, ad esempio, il pignone motore a ruota dentata, fissato all asse incidente di trasmissione del momento meccanico, saremmo in grado di sostituirlo con un quarto ingranaggio a rullo, con asse di trasmissione non più incidente ma parallelo a quello della corona; la manovella in questo caso, dovremmo collocarla sopra o sotto la base di supporto della macchina matematica. Le dimensioni della base di supporto si ricavano dalla misura standard dei mattoni pieni qui espressa in centimetri (5,5 x 12 x 25); in funzione della planimetria sopra indicata, si aumenterà lievemente la larghezza: Altezza cm 5,5 x Larghezza cm 12,5 x Lunghezza cm 25. Pertanto, la base di supporto misurerà: cm 62,5 x cm 62,5 per un altezza pari a cm 22. Il Diagramma posto sopra la base misurerà di conseguenza: cm 37,5 x cm 37,5 x cm 5,5 il primo quadrato. Il secondo quadrato costruito sulla diagonale misurerà: cm 27, 95 x cm 27, 95 x cm 5,5. L altezza totale della macchina da terra sarà di cm 33. Con misure standard dei mattoni (6 x 12 x 24) si otterranno valori interi.

18 PARTICOLARI SULLE PARTI CHE COMPONGONO LA MACCHINA Come detto in precedenza, la vasta varietà d ingranaggi oggi esistente, permette di studiare diverse combinazioni e di collocare la manovella in qualsiasi punto e su qualunque faccia della base di supporto: Aldo Bonet Teorema di Pitagora: dimostrazione meccanica. 18/29

19 8. LE ULTIME IMPRONTE RIMASTE DEL DIAGRAMMA DI ARGILLA. Questo arcaico diagramma a modulo quadrato, si trova raffigurato e posato anche interamente in alcuni pavimenti a mosaico di epoca imperiale romana tuttora esistenti: a Ostia (Roma), nel Santuario della Bona Dea e nell isolato IX, Regio IV, testacea spicata tiburtina; a Roma, mosaico dell area del Doloceum, sull Aventino, Domus di Via di San Domenico e nell Aedes Concordiae, pavimento in opus sectile di età Augustea; a Pompei (Napoli) VII Regia insula 16 Domus; a Corfino (Aquila) Loc. Piano San Giacomo: Edificio porticato, pavimentazione musiva in ambiente a); Arezzo, nell area della Fortezza Medicea 1, a Luni (La Spezia) nella Casa degli affreschi; a Brescia nel piano interrato dell Istituto scolastico Veronica Gambara 2 ; a Desenzano sul Garda (BS) Villa-romana ; a Montegrotto Terme (PD) nella Villa di via San Mauro 3 ; a Trento, in via Rosmini, nella Casa del mosaico di Orfeo 4. Questo motivo geometrico a modulo quadrato (o a stuoia) è stato chiaramente catalogato assieme ai numerosi disegni geometrici a mosaico rinvenuti dagli studiosi dell antica civiltà romana. 5 È ipotizzabile, così come per gli altri disegni geometrici rinvenuti, che questo motivo a modulo quadrato, affondi le sue radici nelle più antiche culture millenarie e fu carpito dagli antichi romani alle conquistate civiltà talassiche e potamiche contemporanee e precedenti all epoca imperiale romana; per questa ragione, il diagramma di argilla, ricompare in forma decorativa nei pavimenti di diverse Domus romane sparse un po ovunque sul territorio dell antico impero. Il diagramma di argilla, quasi a voler testimoniare la sua arcaica importanza storico-scientifica per l uomo, giace impresso e nella sua forma matematica più vera (Gruppo di simmetrie 442), nei pavimenti e negli infissi principeschi dell Alhambra di Granada in Andalusia 6, un gioiello di arte islamica conosciuta anche col nome di: Medina della simmetria. Vedere le Tavole da pag.22 e seguenti. 9. IL DIAGRAMMA DI ARGILLA FU IMPORTANTE PER L EVOLUZIONE DELL UOMO? Probabilmente sì, e questo spiegherebbe per esempio, perché l'uomo venuto dal ghiaccio o del Similaun o del tardo neolitico alpino detto Ötzi, viveva ancora in uno stato primitivo rispetto ai suoi contemporanei delle grandi civiltà potamiche: Sumeri, Egizi, Cinesi, Indiani. Ötzi visse nel periodo di transizione: tra il tardo neolitico e l'inizio del calcolitico (o eneolitico) alpino. La tipologia abitativa di Ötzi era ancora quella tipica del tardo neolitico, mentre per esempio, il suo contemporaneo mesopotamico della seconda metà del IV millennio a.c. si trovava già nel periodo tra il tardo calcolitico e l'inizio dell'antica età del bronzo, con un esperienza nell'arte del costruire mediante mattoni standardizzati consolidata già da millenni, dentro un innovativa rivoluzione organizzativa stanziale ben impostata, con la scrittura e il calcolo già sbocciati al culmine di quel periodo cronologico del Vicino Oriente, noto come:" La rivoluzione urbana " Atti del III /XVI Colloquio, Associazione Italiana per lo Studio e la Conservazione del Mosaico-1995/ pagg / Tavola tipologica dei pavimenti Fig.1,3 di pag. 271; Fig. 6 pag. 493, Fig. 8 e 9 pag Le Décor Géometrique de la Mosaïque Romaine Picard Paris répertoire graphique et descriptif des compositions linéaires et isotropes A.A. V.V. pag. 95 e pag Gli Europei medievali ricercarono in Spagna quel sapere orientale che fu poi importante per il Rinascimento. 7 Mario Liverani,Antico Oriente, Storia società economia, Editori Laterza, in particolar modo la parte seconda: l'antica età del bronzo, capitoli IV, V, VI, VII, VIII, IX. Dalla rivoluzione urbana (cap.iv) alla età neo-sumerica (cap. IX) Aldo Bonet Teorema di Pitagora: dimostrazione meccanica. 19/29

20 Ötzi quindi, si trovava a transitare tra la fine della preistoria e l'inizio della protostoria, mentre, per quanto citato, il suo contemporaneo mesopotamico entrava già, di fatto (e di diritto) grazie all invenzione del mattone e alla successiva scoperta del diagramma di argilla, nella storia. 8 Pertanto, lo stato primitivo di Ötzi era dovuto alla limitazione di non aver acquisito, esattamente come i suoi antenati, un salto mentale evolutivo di qualità nell arte del costruire, privandosi così, contrariamente al suo contemporaneo mesopotamico, dell idea geniale del mattone standardizzato. Purtroppo, a causa del tipico habitat delle Alpi, delle condizionanti materie prime predominanti e del rigido clima alpino, per Ötzi e i suoi antenati, sarebbe stato difficile pensare a una diversa tipologia abitativa stanziale tecnicamente più pratica ed evoluta, poiché sarebbe avvenuta solo mediante un impiego abbondante di argilla per una produzione in serie, con essiccazione all aria aperta, di laterizi modulari geometrici e standardizzati a stampo: prismi- parallelepipedi. Una tecnica rivoluzionaria nell arte del costruire fatta con una sfilza di mattoni unitari prefabbricati, facilmente manipolabili e che si mostrarono soprattutto pratici da imbastire o impilare tra loro con calcine o bitume. Una tecnica che, se fosse stata ampiamente impiegata già dagli antenati di Ötzi, avrebbe nel quotidiano, condotto anche l uomo del neolitico alpino all inevitabile scoperta del versatile Diagramma di argilla a modulo quadrato. Un diagramma artigianale col quale poi, per svago, 9 il primitivo uomo del ghiaccio avrebbe mentalmente instaurato (così come avvenne per il primitivo uomo mesopotamico) un rapporto simbiotico - contemplativo di tipo algebrico - geometrico che l avrebbe indotto alla conquista dell incognito e, fatalmente stimolato di conseguenza, verso uno sviluppo evolutivo sociale e culturale. 10 Le primitive tassellature qui sotto esposte (Fig.1), da sinistra a destra, servirono agli artigiani Sumeri per la visualizzazione iniziale del loro teorema di Pitagora dell alta antichità: Il quadrato costruito sulla diagonale del mattone (Fase C ) è uguale (in Fase C1, rotazione angolare dei due mezzi-mattoni) all unione del quadrato costruito sul fianco (X ) più quello costruito sul fronte (Y ) del mattone stesso (Fase D ). Fig. 1 8 La tavoletta algebrica più antica, finora rinvenuta, risale a 4500 anni fa, ma io ritengo che il diagramma di argilla fosse utilizzato nella bassa Mesopotamia già alcuni secoli prima, nel periodo cronologico della rivoluzione urbana noto come tardo-uruk, circa 5200 anni fa, quindi all'epoca di Ötzi, e corrisponde alla prima urbanizzazione, avvenuta al culmine della rivoluzione urbana attraverso il sito-guida della città di Uruk e con la scrittura e il calcolo, già sbocciati. 9 Nella matematica cinese anche i quadrati magici e le bacchette numeriche evocavano uno spirito familiare con i giochi da tavolo e così anche la matematica Vedica indiana dei mattoni con quella mesopotamica dove, il loro artigianale teorema di Pitagora era presentato con una forma algoritmica riconducibile al comune diagramma di argilla, a dimostrazione del fatto che, questa ricreativa macchina algebrica era presente presso tutte le civiltà potamiche. 10 Il diagramma di argilla, a mio parere, avrebbe cooperato allo sviluppo evolutivo degli strumenti linguistici con quelli concomitanti del calcolo e della scrittura. Secondo alcuni autori, la nascita del carattere algebrico della matematica antica (indiana ad esempio) sarebbe stata agevolata dai progressi linguistici: Gheverghese Joseph G. (2012). C era una volta un numero. Milano: il Saggiatore. Cap. 8, pag Aldo Bonet Teorema di Pitagora: dimostrazione meccanica. 20/29

21 10. L IMPORTANZA DEL MATTONE E DEL DIAGRAMMA DI ARGILLA NELLA STORIA. I mattoni, sin dall alba dei tempi (A.T. Libro della Genesi 11), dopo che furono inventati dall uomo mesopotamico e in seguito standardizzati in gran quantità, diedero impulso e forma al primordiale pensiero algebrico - geometrico prescientifico e a tutto lo sviluppo che ne seguì. Fig. 2- Babilonesi intenti con progetti e problemi algebrici - geometrici, mediante mattoni. In Fig. 2, le prime tre imbastiture del Diagramma di argilla, visibili a sinistra (A B C) e con quella in (B) utilizzata come base per tutte le altre (A-C-D), servivano rispettivamente a risolvere i problemi di 1 e di 2 grado e, indifferentemente sia quelli diretti ( x ± a = b. x 2 ± a x = c) che quelli con sistema: Le tassellature a destra (D = E) come abbiamo già visto, servivano per la dimostrazione iniziale del loro teorema di Pitagora dell alta antichità: Il quadrato costruito sulla diagonale del mattone (D) è uguale all unione del quadrato costruito sul fianco più quello costruito sul fronte del mattone stesso (E). Senza la comparsa del mattone, senza la scoperta del diagramma di argilla, senza l avvento di quell arcaico pensiero algebrico nato in simbiosi contemplativa con i mattoni grazie agli artigiani-costruttori 11 mesopotamici che lo scoprirono come un gioco logico-enigmistico e, senza aver assimilato prima, una certa maturità con una vera consapevolezza dell uomo di poter sfidare e conquistare facilmente l incognito mediante una costante preparazione mentale algebrico - geometrica, sarebbe stata impossibile, se non addirittura impensabile, la realizzazione delle più grandi sfide e conquiste future dell umanità. Poiché gli archeologici, finora si sono interessati principalmente a siti con palazzi mesopotamici di primaria importanza, sede soprattutto dei Re, mentre le fornaci per la cottura degli innumerevoli mattoni, poste in siti fuori dalle mura delle Città mesopotamiche, non sono mai state interessate agli scavi archeologici, credo che, per quanto ho fatto vedere, la matematica dei mattoni o il Diagramma di argilla potrebbero trovare nelle fornaci un probabile riscontro, qualora un giorno, l archeologia decidesse di cominciare a occuparsi anche di questi siti ritenuti di secondaria importanza. 11 Anche la matematica indiana dei mattoni, nella cultura Harappa (3000 a.c.), come quella degli altari Vedici, era affidata ad artigiani. Aldo Bonet Teorema di Pitagora: dimostrazione meccanica. 21/29

22 TAVOLE L ALHAMBRA DI GRANADA (secolo XIII - XIV) Fig. 3- Patio de los Arrayanes con vista verso l accesso al Salone del Trono. Fig. 4- Patio de los Arrayanes: otto finestre con grate lignee a modulo quadrato. Aldo Bonet Teorema di Pitagora: dimostrazione meccanica. 22/29

23 Fig. 5- Pavimento del Salone del Trono dell Alhambra noto come: Gruppo Simmetrie 442. Il diagramma a modulo quadrato è chiaramente visibile nell intreccio del pavimento. -Du Sautoy M. (2007). Il Disordine Perfetto, pag.107. Milano: Rizzoli. Fig. 6 /a Patio de la Acequia: intagli lignei a modulo quadrato nei due grandi portoni. Fig. 6/b- Pavimentazione a modulo quadrato lungo tutto il Patio de la Acequia Palacio de Generalife (in arabo: Jannat al-'arif - Giardino dell'architetto) Aldo Bonet Teorema di Pitagora: dimostrazione meccanica. 23/29

24 Fig. 7 - Porta del Vino dell Alhambra: particolare delle grate a modulo quadrato. Fig. 8 - Grandi bifore nel Salone del Trono: grate lignee a modulo quadrato. Aldo Bonet Teorema di Pitagora: dimostrazione meccanica. 24/29

25 Tavoletta Babilonese BM Fig. 9 - Tavoletta Babilonese BM 15285: impronte residue di disegni geometrici. Contorni marcati con linee bianche per evidenziare un probabile diagramma a modulo quadrato che si scorge a fatica sul retro della tavoletta; risalente al 1800 a. C. circa. Il testo cuneiforme sottostante al disegno è andato purtroppo distrutto. Il disegno geometrico ipoteticamente ricostruito sarebbe pressoché identico al Diagramma di argilla. Questo tipo di Diagramma, secondo la mia teoria, serviva a risolvere i problemi con sistema di 2 grado nella forma standard: x. y = c; x ± y = b. Tavoletta Babilonese BM Fig Tavoletta Babilonese BM 15285: impronte residue di disegni geometrici. Contorni marcati con linee bianche per evidenziare un probabile diagramma a modulo quadrato che si scorge a fatica sul retro della tavoletta; risalente al 1800 a. C. circa. Il testo cuneiforme sottostante, fortunatamente sopravvissuto, ha permesso la fedele ricostruzione geometrica del disegno, il quale, descrive un quadrato unitario suddiviso in sedici quadratini. È facile osservare come il disegno sia pressoché identico al Diagramma di argilla. Questo Diagramma in mattoni così imbastito, secondo la mia teoria, serviva a risolvere problemi di 2 grado diretti del tipo: x 2 ± ax = c, presenti sulla tavoletta BM Aldo Bonet Teorema di Pitagora: dimostrazione meccanica. 25/29

26 Lastra votiva Fig Lastra votiva, in calcare (cm 39 x 47), proveniente da Ḡirsu (nel distretto di Lagash), risalente al XXV secolo a.c. e conservato nel Museo del Louvre (Parigi). Nella parte superiore della lastra, a sinistra, si vede il re Ur-Nanshe che porta una grande cesta sul capo, contenente dei mattoni pieni, ed è indicato nella rappresentazione tradizionale come "costruttore di templi". Nella parte inferiore la figura principale seduta è sempre Ur-Nanshe, rappresentato a destra mentre banchetta per festeggiare l'avvenuta costruzione del tempio. Questa lastra votiva è rappresentativa di come i mattoni erano venerati anche dagli stessi re sumeri. Notare inoltre, come la disposizione dei quattro bassorilievi che compongono la Lastra votiva sia stata impostata a girandola o a girotondo attorno al quadratino centrale forato, un accorpamento già visto all inizio dell articolo per il Diagramma di argilla. Arte sumera: Gioco Reale di Ur Fig.12 - Il Gioco reale di Ur,si riferisce ad alcune tavole da gioco trovate nel cimitero reale dell antica cittàstato di Ur (capitale dei Sumeri, la biblica Urim) da Charles Leonard Woolley durante una campagna archeologica tra il 1922 e il 1934 e datate in un periodo compreso tra il 2600 e 2400 a.c. Due di questi tavolieri sono integri e completi di pedine e dadi da gioco, e conservati al British Museum ( Londra). È considerato tra i più antichi reperti completi di un gioco da tavolo che sia mai stato scoperto. La tavola più semplice è in ardesia decorata con motivi geometrici in madreperla mentre altre sono decorate anche con inserti in lapislazzuli e corniola. Una tavola da gioco simile, realizzata in legno, è stata scoperta nell'iran meridionale negli scavi di Shahr-i Sokhta, un insediamento dell età del bronzo (circa 3200 a.c.). Aldo Bonet Teorema di Pitagora: dimostrazione meccanica. 26/29

27 Insieme all antico gioco egizio Senet risalente tra il periodo predinastico e la prima dinastia dell Antico Egitto ( a.c.) è considerato da alcuni uno dei predecessori del moderno backgammon. Fig. 13 a Fig.13 b Fig Sulla tavola è presente questa coppia di caselle a disegno geometrico con dei valori tre (Fig.13 a) e cinque (Fig.13b). Le ho estratte fuori poiché danno l idea di una suddivisione in quattro parti uguali, molto simile a quella da me ipotizzata per il Diagramma di argilla Fonti tratte da Wikipedia: E da: L autore, Aldo Bonet, ha deciso di distribuire i contenuti con licenza Creative Commons Creative Commons, Attribuzione Non commerciale 2.5 Italia License ossia, mettere gratuitamente l articolo a disposizione a patto che gli sia attribuita la paternità e si accetti di non alterarlo sia nei contenuti sia nelle immagini né di trasformarlo o estrapolarlo anche solo parzialmente per crearne altri, come pure di non utilizzarlo per fini commerciali perché l autore crede fermamente nella nobile condivisione dei contenuti. Ogni riproduzione (totale o parziale) o citazione futura del presente articolo e di tutte le ricerche personali dell autore, predilige il cautelativo benestare dall autore stesso. Il presente articolo è pubblicato da Luigi Gaudio sul Portale ATUTTASCUOLA Gennaio 2015 su richiesta dell autore. Aldo Bonet Teorema di Pitagora: dimostrazione meccanica. 27/29

28 BIBLIOGRAFIA: -AA. VV. (1985). Le Décor Géometrique de la Mosaïque Romaine, répertoire graphique et descriptif des compositions linéaires et isotropes. Parigi: Picard. -Atti del III / XVI Colloquio, 1995/ Associazione Italiana per lo Studio e la Conservazione del Mosaico. -Bartocci C.e Odifreddi P. (2007). La Matematica i Luoghi e i tempi. Torino: Einaudi. -Boyer C. B. (2008). Storia della Matematica. Milano: Mondadori. -Bonet A. (1989). Le possibili origini geometriche del principio della semisomma e semidifferenza delle incognite in uso presso i Babilonesi e sue applicazioni. L educazione matematica, Anno X Serie II Vol.4 n 3 Dic., pag Bonet A. (2008). Il diagramma di argilla, geometrico risolvente a modulo quadrato, che governava l intera arte algebrica degli antichi scribi. Un paradigma che ha aperto le porte alla Cultura Matematica delle civiltà arcaiche. Periodico di Matematiche, n. 3, Set-Dic, Vol. 1, Serie X, Anno CXVIII, pag Bonet A. (2009). La Scienza di Talete. Canada: Lulù.com di Robert Young. Scaricabile gratuitamente da: -Bonet A. (2009/10/11/12/13). Genesi del Teorema di Pitagora Piccolo approfondimento su Bhaskara I Lettera dello Scriba, ecc. su : -Bortolotti E. (1935). La scienza algebrica degli Egizi e dei Babilonesi. Bologna: Azzaguidi. -Bortolotti E. (1936) Interpretazione storica dei testi matematici babilonesi. Periodico di Matematiche, n 2. pag Bortolotti E. (1936). I problemi di secondo grado nella matematica babilonese. Periodico di Matematiche, n 3.pag ; Bortolotti E. (1937). Concetti, immagini, cognizioni, metodi nella matematica babilonese. Milano. Tip. Turati Lombardi e C. -Bortolotti E. (1938). Prodomi di metodo matematico nei problemi babilonesi. Milano: Tip. Turati Lombardi e C -Bronowski J. (1973). The Ascent of Man. Boston: Little Brown. Jacob Bronowski Teorema di Pitagora: -Bruins E. M. e Rutten M. ( 1961). Textes Mathématiques de Suse, Parigi : Librairie Orientaliste Paul Geuthner. -Bürk A. (1902). Das Āpastamba-Śulba-Sūtra. Zeitschrift der Deutschen morgeländischen Gesellschaft. Vol.LVI -Campbel J. e Pryce W. (2003). Il mattone e la sua storia, 8000 anni di architettura. Bergamo: Bolis Edizioni. -Du Sautoy M. (2007). Il Disordine Perfetto. Milano: Rizzoli. -Ferguson K. (2009). La musica di Pitagora. Milano: Longanesi. -Frajese A e Maccioni L. (1970). Gli Elementi di Euclide. Torino: U.T.E.T. -Friberg J. (2002). Storia della Scienza. Enciclopedia Treccani, Vol I. pag Friberg J. (2005). Unexpected links between Egyptian and Babylonian Mathematics. Londra: World Scientific. -Friberg J. (2007). Amazing Traces of a Babylonian Origin in Greek Mathematics. Londra: World Scientific -Friberg J. (2007). A Remarkable Collection of Babylonian Mathematical Texts. Berlino: Springer. Aldo Bonet Teorema di Pitagora: dimostrazione meccanica. 28/29

29 -Gheverghese Joseph G. (2012). C era una volta un numero. Milano: il Saggiatore. -Giacardi L. e Roero S.C. (1978). La matematica delle civiltà arcaiche. Torino: Stampatori didattica. -Høyrup J. (1995). Linee larghe. Un ambiguità geometrica dimenticata. B.S.M. UMI, XV, Fasc 1. -Høyrup J. (1997). Mathesis, Filosofia e Historia Facultad de Cencias, Vol XIII N.3, Universidad Nacional Autonoma de México., Agosto. -Høyrup J. (2002). Lengths, Widths, Surfaces. Berlino: Spinger. -Houdin J.P. (2007). Cheope, i segreti della costruzione della grande piramide. Torino: Ananke. -Ifrah G. (1984). Storia universale dei numeri. Milano: Mondadori -Klemm F. (1966). Storia della tecnica. Milano:Feltrinelli. -Liverani M. (2009). Antico Oriente, Storia società economia. Bari: Laterza. -Lurje S.J. (1948). Archimedes. Wien: Neues Osterreich. -Maracchia S. (2005/2008). Storia dell Algebra. Napoli: Liguori. -Marcacci F. (2008). Alle origini dell assiomatica: Gli Eleati, Aristotele, Euclide, Roma: Aracne. -Neugebauer O. ( 1935). Mathematische Keilschrift Texte. Berlino: Springer -Neugebauer O. e Sachs A. (1945). Mathematical Cuneiform Texts, New Haven: American Oriental Society. -Neugebauer O. (1974). Le Scienze Esatte nell Antichità. Milano: Feltrinelli. -Parrot A. (1935). Archéologie mésopotamienne. I, II. Parigi: Albin Michel -Parrot A. (1961). I Sumeri. Milano: Feltrinelli -Pascual Carlos. (1988). Granada e l Alhambra. Firenze: Bonechi. -Piedad Y. (2005). Estudio Geometrico de AO (Studio Geometrico Tav. AO 17264). Theoria, 20. -Priuli G. (2004). Ötzi. L'uomo venuto dal ghiaccio.torino: Ananke. -Russo L. (1996). La rivoluzione dimenticata. Milano: Feltrinelli. -Schopenhauer A. (1920). Il mondo come volontà e rappresentazione. (trad. italiana di Paolo Savj-Lopez.), Vol I. Bari: Laterza -Singer C. (1961). Breve storia del pensiero scientifico. Torino: Einaudi -Smit D.E. (1958). History of Mathematics Vol 1 New York: Dover Publications -Thureau- Dangin F. ( ). Revue d Assyriologie et d Archéologie Orientale, pubblicato da V. Scheil e F. Thureau-Dangin.Volume n , Parigi: Librairie Ernest Leroux -Thureau-Dangin F. (1938). Textes Mathématiques Babyloniens. Laiden (Olanda): E.J. Brill -Van Der Waerden L.B. (1954) Science Awakening. Groningen ( Olanda): P. Noordhoff. -Van Der Waerden L.B. (1983). Geometry and Algebra in Ancient Civilizations. Berlino: Springer. -Zellini P. (1999). Gnomon, una indagine sul numero. Milano: Adelphi. Aldo Bonet Teorema di Pitagora: dimostrazione meccanica. 29/29