EPR, violazioni della disuguaglianza di Bell e possibili sviluppi applicativi. Eugenio Del Re Dipartimento di Fisica, Unversità di Roma La Sapienza

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1 EPR, violazioni della disuguaglianza di Bell e possibili sviluppi applicativi Eugenio Del Re Dipartimento di Fisica, Unversità di Roma La Sapienza Scienza e Fede Fognano Ottobre 2012

2 Paradosso Einstein-Podolski-Rosen (1935) Un esperimento che sembra porre direttamente in relazione una situazione fisica con questioni metafisiche fondamentali. A. Einstein N. Bohr Realismo contro Idealismo (Positivismo) Possono giocare un ruolo fondamentale in una teoria fisica cose che non sono osservabili? Che cosa è la Ψ> (la funzione d onda)?

3 La Meccanica Quantistica Assiomi (Von Neumann): 1. Ad ogni sistema è associato uno spazio di Hilbert le i cui vettori o funzioni d onda descrivono in maniera completa gli stati del sistema. 2. Ad ogni osservabile P corrisponde in maniera univoca un operatore Hermitiano A operante nello spazio di Hilbert. 3. Per un sistema nello stato, la probabilità che la misura di una osservabile A dia il valore a corrisponde al modulo quadrato 2 a. 4. L evoluzione temporale dello stato segue l Equazione di Schroedinger, H i / t dove H è l Hamilotniana del sistema. 5. Misurando l osservabile A, ed ottenendo il valore a, il sistema inizialmente in viene proiettato sull autostato a di A.

4 La meccanica quantistica nei sistemi composti da più (n>1) particelle e + e - 2γ Positronio in S=0 e + e - γ Decadimento γ Fotone 1 Fotone 2 Sistema isolato Leggi di conservazione Informazione e reversibilità microscopica

5 Sistema isolato Leggi di conservazione Particella classica

6 Decadimento e leggi di conservazione 1 2 Decadimento 1 2

7 Decadimento e leggi di conservazione Misurando la posizione e velocità della 2 ad un dato istante t conosco con assoluta certezza la posizione della particelle Non ci sono effetti a distanza, le particelle viaggiano su traiettorie predeterminate

8 Principio di Indeterminazione Se misuro la sua posizione con precisione, la sua velocità sarà indeterminata. Se misuro la sua velocità, la sua posizione sarà indeterminata. 1 - Particella quantistica

9 Decadimento e leggi di conservazione quantistiche Posizione di 2 Determinata Velocità di 2 Determinata Posizione di 1 Determinata Velocità di 1 Indeterminata Posizione di 1 Indeterminata Velocità di 1 Determinata 2 1 MQ completa necessità la violazione della località di Einstein Ci devono essere effetti a distanza, le particelle viaggiano su traiettorie non predeterminate La natura dello stato della particella 1 DIPENDE da cio che viene fatto alla particella 2 No scala spaziale, no scala temprale: istantaneamente, a distanza arbitrarie.

10 Informazione e Reversibilità Microscopica e + e - 2γ Limiti imposti dal principio di Heisenberg e + e - γ Decadimento γ Devono essere uguali Fotone 1 Fotone 2 Limiti imposti dal principio di Heisenberg

11 Informazione e Reversibilità Microscopica e + e - 2γ Sistema suscettibile di solo UNA misura distinta nello spazio tempo e + e - γ Decadimento γ Fotone 1 Fotone 2 Sistema suscettibile di DUE misure distinte nello spazio tempo NON è la stessa cosa di uno stato di singoletto/tripletto!

12 Informazione e Reversibilità Microscopica e + e - 2γ e + e - γ Decadimento γ Fotone 1 Fotone 2 NON è la stessa cosa di uno stato di singoletto/tripletto (non gioca l indistinguibilita )

13 Gli aspetti paradossali per Einstein Stati di sovrapposizione microscopica A B Collasso della dello stato di sovrapposizione in conseguenza dell atto di misurazione (intervento macroscopico) A B A B

14 La M.Q. scaturisce dai risultati sperimentali sulla natura della materia a livello microscopico (struttura dell atomo) 1. Elettroni negativi gravitano attorno ad un nucleo positivo 2. Per non cadere sul nucleo devono avere un moto la cui componente centrifuga bilanci l attrazione elettrica 3. Ma cariche in moto accelerato emettono onde elettromagnetiche, e l atomo dovrebbe rapidamente decadere Ma l atomo è stabile. 5. Quindi l atomo non è fermo e non è in moto, è delocalizzato attorno al nucleo (natura ondulatoria). 6. Ma l elettrone è sempre ben localizzato ed indivisibile Quando lo osservi, collassa in un punto secondo una data distribuzione di probabilità e si localizza (natura corpuscolare). + -

15 Distribuzioni di probabilità del collasso dell elettrone nell atomo di Idrogeno + - L elettrone in orbita attorno al nucleo non segue una traiettoria formata da una sequenza temporale di posizioni e velocità, ma risulta fermo in uno stato delocalizzato di sovrapposizione di posizioni e velocità (stato di sovrapposizione microscopica).

16 Atomo: un mattoncino fatto di indeterminazione p (natura ondulatoria) x Indeterminazione nell impulso (p=mv) (natura corpuscolare) Indeterminazione spaziale x p Dualità particella-onda h 4

17 In generale h x p 4 E t h 4 Heisenberg (1927) Braccio operativo della M.Q.: Principio di Indeterminazione di Heisenberg

18 Nulla che si possa disegnare può essere in uno stato di sovrapposizione Sovrapposizione Collasso neanche

19 Sviluppo del Dibattito ( ) Entanglement: Einstein vs. Bohr

20 Incontro tra Bohr e Einstein a Berlino (1920) Bohr sperava di convincere Einstein della nuova interpretazione sulla base delle sue presunte tendenze positiviste (influenza di Mach). Einstein si mostrò molto scettico. Quinto Congresso Solvay (Brussels 1927) su Elettroni e Fotoni (Lorentz) Argomento durante i momenti di riposo: la nuova meccanica quantistica

21 Lorentz: E proprio necessario elevare l indeterminismo ad un principio? Einstein: Che bizarra teoria basata sull azione a distanza! I II III I. Lancio una particella verso un foro. Passando attraverso il foro determino la sua posizione x. II. Questo induce una natura ondulatoria legata ad una variazione pħ/x III. Quando arriva allo schermo rivelatore, la particella (indivisibile) collassa in un dato punto scelta a caso in base ad una distribuzione. Einstein: Dovremmo vergognarci, siamo seguaci della regola Gesuitica Una mano non deve sapere cosa sta facendo l altra. Caro, o meglio, amato Bohr, non posso rinunciare alla causalità ed alla continuità. Preferirei essere un calzolaio o meglio un impiegato in una sala d azzardo che un Fisico.

22 Schroedinger: aggiunse Bohr: Analizzando il tuo lavoro del 1905, si può dire che l interpretazione nostra (i.e., Bohr-Heinsenberg) l abbia inventata proprio tu Einstein: Una buona battuta non dovrebbe essere ripetuta troppo spesso

23 Sesto Congresso Solvay (Brussels 1930) su Proprietà magnetiche della materia (Langevin) Argomento durante i momenti di riposo: la Scatola fotonica di Einstein Einstein: E t h 4

24 Bohr: (dopo una notte insonne ) Secondo gli studi di A. Einstein, la presenza del campo gravitazionale modifica la misura del tempo! Cambiando la massa della scatola cambia anche la misura del tempo seconda la legge E t h 4 Einstein, sconfitto ma non convinto, abbandono ogni tentativo di dimostrare che la M.Q. fosse inconsistente, e si concentrò sul problema della sua possibile incompletezza. (1930)

25 Il Paradosso EPR e la Complementarità Estrema (1935) Entanglement: Einstein vs. Bohr

26 Attacco finale alla M.Q. di Einstein: incompletezza dell interpretazione basata sulla complementarità. Complementarità Postulati della M.Q. (discontinuità) Dualità onda-particella operativamente Principio di Indeterminazione Il princio di indeterminazione di Heisenberg NON scaturisce da impossibilità pratiche (si può dimostrare dagli assiomi)

27 Complementarità x p h 4 Se misuro la sua posizione X con precisione, lo stato collassa in uno stato localizzato con elevata incertezza nella velocità (corpuscolo). X X x x P P p p Se misuro il suo impulso P con precisione, lo stato collassa in uno stato con elevata incertezza nella posizione (onda). Lo stato microscopico è onda o particella in base a quali misure eseguo. we ourselves produce results (Jordan)

28 Né tantomeno la M.Q. fornisce una descrizione di una natura probabilistica (interpretazione alla Born) Il 23% degli elettroni lascierebbero senza indugio l atomo!

29 Leggendo un articolo di Popper (1934) sbagliato ( a gross mistake of which I am ashamed ), Einstein intuisce che può dimostrare l incompletezza della M.Q. abbandonando la Scatola Fotonica (una sola particella) in favore dell utilizzo di due particelle microscopiche che hanno avuto una qualche interazione.

30 EPR A. Preambolo: a1: Condizione necessaria per la completezza di una teoria Ogni elemento della realtà fisica deve avere una controparte nella teoria. a2: Condizione sufficiente per essere realtà fisica: Se possiamo, senza disturbarlo, predire con certezza il valore di una grandezza fisica, allora associato ad essa deve esistere un elemento di realtà fisica. B. Postulati della M.Q., incompatibilità di certe variabili e collasso della funzione d onda. C. Esempio. D. Conclusioni da A e C, ovvero che la M.Q. non è completa.

31 C. Esempio. Sistema a due particelle Se misuro X 1 collasso la particella 1 ma NON la 2. x 2 p 2 h x 1 p 1 h 4 Viceversa se misuro X 2 collasso la particella 2 ma NON la 1. Le due particelle sono indipendenti, o slegate.

32 C. Esempio. Sistema a due particelle che hanno interagito 1 2 x 1 p 1 h 4 x 2 p 2 h 4?? Le due particelle sono ancora indipendenti?

33 C. Esempio. Sistema a due particelle prima di interagire prima 1 d p 10 2 p 20

34 C. Esempio. Sistema a due particelle che hanno interagito dopo 1 d 2 Le due particelle sono ancora indipendenti?

35 C. Esempio. Sistema a due particelle che hanno interagito dopo 1 Conosco la distanza tra le particelle lungo l asse verticale: X 2 -X 1 =d d 2 Conservandosi l impulso totale, deve essere lungo l asse verticale P s =P 1 +P 2 Posso misurare l impulso dello schermo P s

36 C. Esempio. Adesso posso decidere di misurare X 1 dopo 1 La particella 1 collassa in uno stato di determinata posizione X 1 ed indeterminato impulso (corpuscolo) d 2 Siccome X2-X1=d, allora conosco con certezza anche X2=X1+d Collassa automaticamente anche la particella 2 in uno stato di impulso determinato X 2, anche senza aver fatto alcuna misura su 2. (corpuscolo)

37 C. Esempio. Ma posso decidere di misurare P 1 dopo 1 La particella 1 collassa in uno stato di determinato impulso P 1 ed indeterminata posizione (onda piana) d 2 Siccome P s =P 1 +P 2, allora conosco con certezza anche P 2 =P s -P 1 Collassa automaticamente anche la particella 2 in uno stato di impulso determinato P 2, anche senza aver fatto alcuna misura su 2. (onda piana)

38 D. Argomento Le due particelle non sono più indipendenti per quanto riguarda le relazioni di indeterminazione. Esse sono legate, o imbrigliate. Le due particelle sono entangled (Schroedinger) Se le due particelle sono molto distanti, se misuro la X 1 della particella 1 sono certo di trovare un preciso valore della X 2 della particella 2 (la due diventa proprio una particella localizzata). Se invece misuro il P 1 della particella 1, sono sicuro che la particella 2 assume il valore di impulso P 2. Visto che la particella 2 non può avere contemporaneamente natura corpuscolare ed ondulatoria nella teoria della M.Q., esiste un elemento di realtà fisica che non è contemplato dalla teoria, ed essa è dunque incompleta. a meno che non ci sia una spooky action at a distance (Einstein) EPR rappresenta un serio paradosso insito nella M.Q. (Schroedinger)

39 Da un punto di vista logico, dobbiamo identificare: 1. Criterio di realtà 2. Criterio di completezza E due criteri sottointesi: 3. Criterio di località 4. Criterio di validità della M.Q. Einstein: Tutti trovano qualche errore, ma ogniuno risulta diverso dall altro. Bohr (15 Giugno 1935, Nature): Rigetta il criterio di realtà perché contiene una ambiguità essenziale. La misura ha una influenza essenziale sulle condizione sulle quali la stessa definizione di grandezza fisica trova fondamento.lo stato quantistico rappresenta una UNITA NON ANALIZZABILE, cioè non soggetta alla dissectio naturae. (Complementarità estrema) In termini moderni, il mondo microscopico è fondamentalmente NONLOCALE.

40 Bohr: Continuo il mio dibattito con Einstein anche ora che è morto (1955) (Nella stanza dove mori nel 1962 Bohr vi era una lavagna con disegnata la Scatola fotonica di Einstein.) La complementarità estrema NON è sinonimo di posizioni quali: L elettrone è l insieme delle posizioni dei contatori (Frank) Questa visione non deriva logicamente dalla M.Q., perché la complementarità non si riferisce a TUTTE le grandezze. Per esempio, non si riferisce alla massa, carica che sono INVARIANTI.

41 Disuguaglianza di Bell (1964) Entanglement: Einstein vs. Bohr

42 C è un modo osservare questa nonlocalità intrinseca della M.Q.? Si tratta di una interpretazione sterile o di uno schema predittivo di fenomeni nuovi? Disuguaglianza di Bell (1964) e Disuguaglianza di Selleri ( ) Bell: un metodo diretto con il quale decidere tra teorie realistiche a variabili nascoste e la M.Q. (i.e., nonlocale). Da confrontare con il Impossibility Theorem di Von Neumann (la presenza di parametri nascosti implica la causalità) x(2) 1/2< S(Probabilità congiunta nonlocale )<2x(2)1/ <S(Probabilità congiunta locale )<2

43 Esperimenti EPR e la vittoria della MQ ( ) Entanglement: Einstein vs. Bohr 0 1

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51 Tecnologia Quantistica e la vittoria di Einstein (1991-oggi) Entanglement: Einstein vs. Bohr 1 1

52 Tecnologia Quantistica Possiamo USARE questa stranezza? O serve solo a capire qualcosa? Limite della Fisica Risultato Leggi, grandezze, teorie si devono limitare ad affermazioni che siano sperimentalmente verificabili. La Fisica fornisce sempre tecnologia.

53 Feynman: Tutto il mistero della M.Q. sta nell interferometro a singola particella Schroedinger: Il tratto caratteristico della M.Q. è l entanglement

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56 Entanglement quale strumento indispensabile delle tecnologie moderne Crittografia Quantistica (Bennett et al. 1992) Teletrasporto Quantistico (Bennett et al. 1993) Computazione Quantistica (R. Feynman 1982)

57 Il ritorno della scatola fotonica (1997-oggi) Van Enk (2005)

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59 Teleportation: Quantum Computing: Dense Coding: Have to know the state Exponential resource Impossible

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62 Ottica Quantistica: la M.Q. dei fotoni Gli stati macroscopici LUCE Gli stati microscopici (mattoncini) FOTONI Sorgenti GENERATORI DI SINGOLI FOTONI Rivelatori RIVELATORI DI SINGOLI FOTONI Manipolatori STRUMENTAZIONE OTTICA E OPTOELETTRONICA

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64 La luce e i fotoni Stato macroscopico Laser Fascio Laser Singoli Fotoni Stato microscopico E fotone h

65 Sorgente di singoli fotoni Rivelatore a singolo fotone Cristallo nonlineare Cavo Elettrico Fibra ottica Interruttore Elettro-Ottico

66 Sorgente di singoli fotoni Rivelatore a singolo fotone Cristallo nonlineare Cavo Elettrico Fibra ottica Interruttore Elettro-Ottico

67 Sorgente di singoli fotoni Rivelatore a singolo fotone Cristallo nonlineare Cavo Elettrico Fibra ottica Interruttore Elettro-Ottico

68 Sorgente di singoli fotoni Rivelatore a singolo fotone Cristallo nonlineare Cavo Elettrico Fibra ottica Interruttore Elettro-Ottico

69 Sorgente di singoli fotoni Rivelatore a singolo fotone Cristallo nonlineare Cavo Elettrico Laser Fotoni Fibra ottica Interruttore Elettro-Ottico Singolo Fotone

70 Esperimento di Hanbury-Brown-Twiss Divisore di fascio Laser Fotoni Componenti

71 Esperimento di Hanbury-Brown-Twiss Divisore di fascio B A Laser Fotoni Componenti A B

72 Esperimento di Hanbury-Brown-Twiss Divisore di fascio B A

73 Esperimento di Hanbury-Brown-Twiss Divisore di fascio B A A B

74 oppure

75 Esperimento di Hanbury-Brown-Twiss Divisore di fascio B A A B

76 B A Non si osservano mai coincidenze B A

77 Sovrapposizione Quantistica vs Probabilità Anche nel mondo macroscopico esistono processi che danno luogo a due distinti effetti. Per essi vale una descrizione statistico-probabilistica.

78 Sovrapposizione Quantistica vs Probabilità A B P(A)=1/2 P(B)=1/2 Un oggetto macroscopico può ricadere nello stato A o nello stato B. Non volendo osservare tutti i dettagli, utilizziamo una descrizione statistica.

79 Sovrapposizione Quantistica vs Probabilità A B P(A)=1/2 P(B)=1/2 Osservando i dettagli della dinamica è sempre possibile predire l esatta traiettoria e quindi rendere inutile la descrizione statistica.

80 Sovrapposizione Quantistica vs Probabilità E possibile per la dissezione di un quanto? Divisore di fascio B? A

81 Interferometro di Mach-Zehnder A Divisore di fascio B Specchio A D A B Specchio C Il fotone può percorrere due diverse traiettorie A e B per poi ricombinarsi su C e D.

82 Interferometro di Mach-Zehnder Divisore di fascio B Specchio A D A B Specchio C Lo stato fotonico diventa una sovrapposizione dei stati A e B.

83 Interferometro di Mach-Zehnder Divisore di fascio B Specchio A D A B Specchio C I due stati convergono sul secondo divisore di fascio.

84 Interferometro di Mach-Zehnder Divisore di fascio B Specchio A D C D Specchio C I due cammini A e B interferiscono e costituiscono interferenza costruttiva sullo stato D ed interferenza distruttiva sul canale C. Il fotone esce sempre da D.

85 Interferometro di Mach-Zehnder Divisore di fascio B Specchio A D Specchio C I due cammini A e B interferiscono e costituiscono interferenza costruttiva sullo stato D ed interferenza distruttiva sul canale C. Il fotone esce sempre da D.

86 Interferometro di Mach-Zehnder Divisore di fascio B A D Specchio C Ispezionare significa al minimo controllare dove va il fotone (esso non può lasciare alcuna traccia).

87 Interferometro di Mach-Zehnder Divisore di fascio B A D Specchio C Ispezionare significa al minimo controllare dove va il fotone (esso non può lasciare alcuna traccia).

88 Interferometro di Mach-Zehnder Divisore di fascio P(B)=1/2 B A D Specchio C Ispezionare significa al minimo controllare dove va il fotone (esso non può lasciare alcuna traccia).

89 Interferometro di Mach-Zehnder Divisore di fascio P(B)=1/2 P(C)=1/4 B A D Specchio C Ispezionare significa al minimo controllare dove va il fotone (esso non può lasciare alcuna traccia).

90 Interferometro di Mach-Zehnder Divisore di fascio B P(B)=1/2 P(C)=1/4 P(D)=1/4 A D Specchio C Il risultato è del tutto diverso dal caso nel quale l ispezione non avviene. Pertanto, non è possibile alcun tipo di ispezione.

91 Sovrapposizione Quantistica vs Probabilità A differenza di un sistema macroscopico classico, la descrizione probabilistica di un esperimento su un singolo quanto non è una scelta dettata da una mancanza di informazione, ma da un intrinseca assenza di informazione.

92 Posizione di A. Einstein Lorentz: E proprio necessario elevare l indeterminismo ad un principio? Einstein: Che bizarra teoria basata sull azione a distanza! Einstein: Dovremmo vergognarci, siamo seguaci della regola Gesuitica Una mano non deve sapere cosa sta facendo l altra. Caro, o meglio, amato Bohr, non posso rinunciare alla causalità ed alla continuità. Preferirei essere un calzolaio o meglio un impiegato in una sala d azzardo che un Fisico. Sovrapposizione e collasso sono paradossali per Einstein

93 Schroedinger: aggiunse

94 Scopo della tecnologia quantistica Possiamo USARE questa stranezza, o serve solo a capire qualcosa? Limite della Fisica Leggi, grandezze, teorie si devono limitare ad affermazioni che siano sperimentalmente verificabili. Risultato La Fisica fornisce sempre tecnologia. Macchina Classica Macchina Quantistica

95 Macchina Complementare di Elitzur e Vaidman Formulazione 1993/1994, verifica sperimentale 1995 (De Martini) e 1997 (Zeilinger) Una macchina capace di rivelare un oggetto in una zona dello spazio senza che in questa zona penetri alcuna sonda. A B Assenza di oggetto P(D)=1 P(C)=0 A D C

96 Macchina Complementare di Elitzur e Vaidman Mentre quando l oggetto è assente il singolo fotone esce da D, quando è presente, il fotone può anche uscire da C. Se esce da C rivela la presenza dell oggetto senza peraltro interagire con esso, essendo uscito e essendo un quanto. A B Presenza di oggetto P(D)=1/4 P(C)=1/4 P(A)=P(interazone)=1/2 A D C

97 Macchina Complementare di Elitzur e Vaidman La macchina funziona da rivelatore di un oggetto senza interazione in ¼ dei casi. Se il fotone esce da D non e possibile discriminare tra presenza e assenza, ma l uscita del fotone consente di affermare che se anche ci fosse stato l oggetto, esso non ha ancora subito interazione, e l esperimento puo essere ripetuto (aumentando la probabilità globale di successo a 1/3). Il risultato risulta paradossale per la logica classica macrosopica, ed inaccessibile alle macchine macroscopiche. A B A D C

98 Generatore di numeri random veri B A P(A)=P(B)=1/2

99 Macchine vs Macchine Quantistiche Macchina Sistema fisico Mentre tutti i sistemi fisici sono quantistici, le macchine normali operano secondo la logica macroscopica e deterministica

100 Macchina quantistica o classica? Probabilità ha qualcosa di non matematico Non riusciamo con un computer, ovvero con la matematica applicata, a simulare un evento probabilistico. E strano che riusciamo a capire cosa sia in astratto la probabilita.

101 Einstein vs Meccanica Quantistica (1935) Leggendo un articolo di Popper (1934) sbagliato ( a gross mistake of which I am ashamed ), Einstein intuisce che può dimostrare l incompletezza della M.Q. abbandonando la Scatola Fotonica (una sola particella) in favore dell utilizzo di due particelle microscopiche che hanno avuto una qualche interazione. + Un quanto e un secondo quanto. Stati entangled.

102 Sorgente di fotoni entangled Fotoni entangled Cristallo nonlineare

103 Esperimenti di Violazione della Disuguaglianza di Bell Controllori di polarizzazione Divisori di stato di polarizzazione Cristallo nonlineare Coppie Entangled La meccanica quantistica è valida, prevede una azione a distanza superluminale, che tuttavia non può essere usata per comunicare.

104 Loopholes Efficienza non ideale di rivelazione dei fotoni Fair sampling: il sottoinsieme rivelato permette di indurre le proprietà fisiche di tutte le coppie Dead-time deletion Communication

105 Eugenio Del Re - Iniziative Solitons and Scale-Free Optics Structured Illumination Microscopy Electromorphing and Electroholography Micro- and Nanomachines Gruppo Jacopo Parravicini, post-doc - FIRB Futuro in Ricerca Fabrizio Di Mei, dottorando MIUR-Sapienza Giuseppe Di Domenico, laureando Univ. dell Aquila Finanziamenti Firb Giovani - MIUR Futuro in Ricerca PHOCOS (Principal Investigator) Prin 2009 MIUR ShockWave (Research Unit Head) FILAS 2009 Regione Lazio SmartConfocal (Research Unit Head) Collaborazioni Aharon J. Agranat Hebrew Univ. of Jerusalem Claudio Conti Univ. di Roma Sapienza Bruno Crosignani California Inst. Of Technology Paolo Di Porto Univ. dell Aquila Gianbattista Parravicini Univ. di Pavia

106 A new technology physics breakthrough new technology

107 QIT technology QM? Quantum Information Technology

108 more like it Quantum Technology Classical Technology YES

109 Machines are what we put in them DEVICE PHYSICAL SYSTEM Whereas all physical systems are quantum, not all devices are.

110 Quantum Computing Quantum Dense Coding and Cryptography Quantum Teleportation

111 Quantum Computing x y y=f(x) Make some global evaluation (for example, periodicity) N/2 < r < N Classically, the number of evaluations required are ON. The scale of the problem is S log N: the problem is Non-Polynomial

112 0 0 0 x ) ( 0 x f x x U n i x i n ) ( n i i i n i i x f x n x n U Olog N, the problem becomes polynomial Hadamard Transformation Unitary Transformation

113 What is the difference with classical parrallel computing? U 1 n n1 i0 x i 0 1 n n1 i0 x i f ( x i )

114 The entire computer circuit is in a superposition only global quantities can be evaluated.

115 forward left right left right

116 i 1 forward left right Unitary transformation 1 1 forward left

117 Algoritmo di Deutsch ) (,, : ) (,, {0,1} ) :{0,1} ( x f y x y x U x f y x y x x f f 2 (1) 1, (0) 0, f f y U f H H H 0 1 U f x y x (x) y f

118 y x y x y x y x y x y x f f f f f se f f se f f se f f se U (1) (0) (1) (0) (1) (0) (1) (0) (1) (0) H H H 0 1 U f x y x (x) y f