La Fisica dei Kaoni. Dinamica del Modello Standard

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1 La Fisica dei Kaoni Dinamica del Modello Standard Interamente basato su Dynamics of the Standard Model J. F. Donoghue, E. Golowich, B. R. Holstein Cambridge University Press, 014. Dipartimento di Fisica e Geologia Università degli Studi di Perugia simone.pacetti@pg.infn.it Anno accademico

2 SU() L SU() R SU() V La lagrangiana di QCD L QCD = 1 4 F aµν F a µν + α ψ (α) ) j (i /D jk m (α) δ jk ψ (α) k Colore q: j, k = 1,, 3 Colore g: a = 1,..., 8 Sapore q: α = u, d considerando i soli due sapori leggeri u e d, nel limite di piccola massa, è invariante per trasformazioni chirali SU() L SU() R ( ) ( ) u ψ L,R = ψ d L,R u = ( d = exp i ) θ L,R τ ψ L,R L,R L,R Questa simmetria, seppur approssimata, non si manifesta negli spettri adronici. La simmetria assiale è rotta dinamicamente: SU() L SU() R SU() V. I pioni rappresentano i bosoni di Goldstone di SU() V di isospin. Poiché m u m d, la simmetria SU() V di isospin è comunque approssimata. Diversamente da SU() L SU() R, la simmetria SU() V di isospin è realizzata nella quasi degenerazione delle masse degli adroni leggeri. M π ± M π 0 M p M n M K ± M K 0 S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Kaoni, Dinamica del Modello Standard /1

3 Lagrangiana efficace dei pioni La lagrangiana efficace O(E ) dei campi pionici π, con le correnti l µ(x), r µ(x) e le densità scalare e pseudoscalare s(x) e p(x). dim[l µ] = dim[r µ] = dim[s] = dim[p] = E L = F π 4 Tr ( D µud µ U ) + F π 4 Tr ( χu + Uχ ) F π è la costante di decadimento del pione. B 0 è una costante con dim[b 0 ] = E. U = exp (i τ π/f π) χ = B 0 (s + i p) D µ U = µ U + il µ U iur µ La lagrangiana efficace di QCD senza sorgenti si ottiene nel limite in cui si annullano le tre sorgenti l µ(x), r µ(x) e p(x), mentre s(x) tende alla matrice delle masse M. lim lim lim lim L = L,QCD = F ( π l µ 0 r µ 0 p 0 s M 4 Tr µu µ U ) + F π B [ 0 Tr M (U + U )] Il termine di massa [ ( Fπ B [ ( 0 Tr M U +U )] = F π B 0 i τ π (i τ π) i τ π (i τ π) ( Tr M 1+ + F π Fπ +1 + F π Fπ +O π 4))] [ ( = F π B 0 Tr M π Fπ +O ( π 4))] B 0 π Tr(M)+cost. F π B 0 [ Tr M (U +U )] = B 0(m u + m d ) π +cost. m π = B 0(m u + m d ) S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Kaoni, Dinamica del Modello Standard 3/1

4 Lo stato di vuoto Dopo la rottura dinamica di simmetria lo stato di vuoto perde l invarianza per trasformazioni SU() L SU() R, che è invece mantenuta dalla lagrangiana. Il valore di aspettazione nel vuoto (VEV) del bilineare del termine di massa. 0 ψψ 0 = 0 ψ L ψ R +ψ R ψ L 0 0 uu+dd 0 = 0 u L u R +u R u L +d L d R +d R d L 0 Simmetria SU() V di isospin. 0 uu 0 = 0 dd 0 Si ha invarianza per trasformazioni SU() L SU() R solo se 0 ψψ 0 = 0 uu 0 = 0 dd 0 = 0 I VEV dei bilineari dei campi definiscono le masse dei quark. L QCD,massa = m uuu m d dd + Se i quark avessero massa nulla i pioni sarebbero bosoni di Goldstone (m π = 0). I termini di massa violano esplicitamente la simmetria SU() L SU() R. S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Kaoni, Dinamica del Modello Standard 4/1

5 Il termine di massa La massa dei pioni come valore di aspettazione dell hamiltoniana. mπ = π H QCD,massa π = π L QCD,massa π = π m uuu + m d dd π Il funzionale generatore efficace della QCD con i campi pesanti integrati. ( ) Z [l µ, r µ, s, p] = [dψ][dψ][da a µ] exp i d 4 xl QCD (ψ, ψ, A a µ, l µ, r µ, s, p) L elemento di matrice 0 qq 0 è proporzionale alla costante B 0 = m π/(m u + m d ). 0 ψ i ψ j 0 = i δ ln(z ) δs ij l µ=0 r µ=0 p=0 s=m = F π B 0 δij 0 qq 0 = F π B 0 = F π m π m u + m d Ne consegue che 0 qq 0 < 0. La simmetria chirale è rotta dalla massa non nulla dei pioni. Il valore del VEV 0 qq 0 dipende anche dalle masse dei quark, che non sono calcolabili nell ambito dalla simmetria chirale. L osservazione della rottura di simmetria chirale, in assenza di informazioni sul valore del VEV 0 qq 0, non permettere di determinare le masse dei quark. S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Kaoni, Dinamica del Modello Standard 5/1

6 Rottura di simmetria lineare nelle masse La rottura di simmetria chirale e quindi la massa dei mesoni, dipendono linearmente o quadraticamente dalle masse dei quark? Se le masse sono grandi non si ha distinzione, la dipendenza è sempre lineare. δ(m ) = (m 0 + δm) m 0 + = m 0δm + La lagrangiana libera dei pioni. L π = 1 ( µ π µ π m π π π ) Considerando quella descritta da L π come la teoria efficace della QCD a bassa energia. Si ottiene che m π = B 0 (m u + m d ) + O(m q) B 0 0 m π mq B 0 = 0 m π m q Il valore di B 0 non è vincolato dalla teoria, la scelta B 0 = 0 non è imposta né da ragioni di simmetria né da leggi di conservazione. La massa al quadrato dei pioni dipende linearmente dalle masse dei quark. S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Kaoni, Dinamica del Modello Standard 6/1

7 SU() SU(3) Includendo, oltre ai quark leggeri u e d, anche il quark s (strano), si passa da una simmetria di sapore SU() ad una SU(3). L massa = ψ L Mψ R + ψ R Mψ L M = diag(m u, m d, m s) Se la massa m s è dello stesso ordine di m u,d, più mesoni leggeri potranno formarsi e contribuire con i pioni alla rottura dinamica della simmetria chirale. Se i tre quark u, d ed s avessero masse nulle, i mesoni, che rompono la simmetria chirale, i bosoni di Goldstone, avrebbero anch essi massa nulla. La rottura dinamica della simmetria chirale originale della teoria, SU(3) L SU(3) R, in SU(3), implica il manifestarsi di un numero di bosoni di Goldstone pari al numero di generatori di SU(3), quindi 8. I bosoni di Goldstone di SU(3) sono associati alle matrici di Gell-Mann. Pioni (λ 1 ± iλ ) / π ± λ 3 π 0 Kaoni (λ 4 ± iλ 5 ) / K ± (λ 6 ± iλ 7 ) / K 0, K 0 Eta λ 8 η 8 I mesoni π, K e η hanno masse finite, ma piccole, non calcolabili, poiché le masse dei quark sono parametri liberi delle teoria. I valori sperimentali delle masse dei mesoni possono essere usati per determinare le masse dei quark. S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Kaoni, Dinamica del Modello Standard 7/1

8 Rapporti tra le masse 1 Le masse dei quark, come tutti i parametri della QCD, sono quantità rinormalizzabili. I valori di tali masse, ottenuti a partire dalle masse fisiche dei mesoni, dipendono dallo schema di rinormalizzazione usato e dalla scala di energia. I rapporti tra le masse sono invece indipendenti dallo schema di rinormalizzazione. La lagrangiana efficace con tre sapori di quark dipende dal campo esponenziale U. Si considera la rappresentazione in termini dei mesoni π, K e η 8. ( φ U = exp i λ ) φ λ 1 π η 6 8 π + K + = π 1 π η F 6 8 K 0 K K 0 6 η 8 Nel limite di assenza di sorgenti esterne, i valori delle masse dei mesoni si ottengono come i coefficienti dei bilineari nei campi corrispondenti, dell espansione in φ della lagrangiana efficace di QCD. Con l µ, r µ, p = 0 e s = M = diag(m u, m d, m s) m π = B 0 (m u + m d ) m K ± = B 0 (m s + m u) m K 0 = B 0(m s + m d ) m η 8 = 1 3 B 0(4m s + m u + m d ) S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Kaoni, Dinamica del Modello Standard 8/1

9 Rapporti tra le masse Dai valori sperimentali si ricavano i rapporti tra le masse dei quark. Valori sperimentali m π = (35) MeV m π 0 = (6) MeV m K = (16) MeV m K 0 = (13) MeV I quark u e d sono molto leggeri. m s 100 MeV m m s = mπ m K 1 m 6 π m η 8 = 4m K m π 3 m = mu + m d m K = m K + m K 0 m u,d m 4 MeV Λ QCD Le masse dei quark, come quelle dei leptoni carichi, sono generate dal meccanismo di Higgs e rappresentano gli accoppiamenti di Yukawa tra i campi dei quark e quello di Higgs. Sono parametri liberi non vincolati dalla teoria. La leggerezza dei quark u e d rende utilizzabili le tecniche basate sulle simmetrie chirali. L ottimo accordo tra i valori ottenuti per le masse di alcuni mesoni a partire da quelli misurati per altri, dimostra che la validità delle tecniche di calcolo basate sulle simmetrie chirali. m th η 8 = 566 MeV m exp η MeV S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Kaoni, Dinamica del Modello Standard 9/1

10 Rapporti tra le masse 3 L uso degli otto mesoni di SU(3) permette una più completa descrizione degli effetti di rottura della simmetria di isospin dovuta alla differenza delle masse dei quark u e d. ) La differenza di massa (m π mπ è sensibile solo a effetti I =, ovvero 0 contributi di ordine (m d m u). Il pione carico e quello neutro hanno lo stesso contenuto di sapori. ( ) La differenza di massa m K 0 m K è invece sensibile ad effetti I = 1, Isospin quindi all ordine (m d m u) ( ) m K 0 mk = B 0 (m d m u) = m d m ( ) u m K Isospin m s m m π Questa differenza è dovuta unicamente alla differenza di massa dei quark u e d. Teorema di Dashen. Grazie all invarianza dell interazione elettromagnetica per trasformazioni di U-spin, sottogruppo SU() delle componenti d ed s di SU(3), i contributi elettromagnetici alle masse dei kaoni e dei pioni carichi sono identici. (m K 0 m K ± ) em = m π 0 m π S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Kaoni, Dinamica del Modello Standard 10/1

11 Rapporti tra le masse 4 Isolando i contributi di isospin ed elettromagnetico alla differenza di massa dei kaoni carichi e neutro si ottengono altre relazioni tra le masse dei quark u, d, ed s. m d m ( ) u m K m s m m π = (m d m u)b 0 = m d m ) ( ) u mπ = (m K m d +m 0 m K ± mπ 0 mπ u m d m u m s m = m d m u m d +m u = ) ( ) (m K 0 mk ± mπ m 0 π m k m π ) ( ) (m K 0 mk ± m π m 0 π m π Il quark u è più leggero del quark d. m u m d 0.55 Il fatto che m u, m d Λ QCD rende gli effetti di questa disparità trascurabili per la validità, anche se in forma approssimata, della simmetria di isospin. Quark e pioni massivi sono causa della rottura dinamica della simmetria chirale. La piccolezza delle masse m u e m d non ha spiegazione nel Modello Standard. S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Kaoni, Dinamica del Modello Standard 11/1

12 Costante di decadimento del pione 1 La costante di decadimento del pione F π è definita in termini del valore di aspettazione della corrente assiale. ( ) A j τ j u µ = ψγ µγ 5 ψ ψ = 0 A d j µ (0) πk ( p) = i F πp µδ jk Consideriamo il decadimento debole: π + µ + ν µ. La lagrangiana efficace di interazione. L W = G ] [ ] F V ud [d γ α (1 + γ 5 )u ν µγ α(1 + γ 5 )µ u d π + W + ν µ L ampiezza di Feynman. µ M W = ig F V ud 0 V α+a α π( p) u νγ α (1+γ 5 )v µ = G F V ud F πp α u νγ α (1+γ 5 )v µ Usando l equazione di Dirac del muone. M W = G F V ud F πm µ u ν(1 γ 5 )v µ Si ha 0 V α π( p) = 0. Solo la corrente assiale ha elemento di matrice non nullo tra i due stati, il vuoto e il pione, aventi parità opposte, P v = +1 = P π. La larghezza di decadimento. Γ(π + µ + ν µ) = G F 4π F π m µ mπ V ud ( ) 1 m µ mπ S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Kaoni, Dinamica del Modello Standard 1/1

13 Costante di decadimento del pione Il pione ha J = 0, per la conservazione del momento angolare, nel sistema di riferimento del pione, il muone ed il neutrino hanno 3-momenti opposti, quindi le elicità sono uguali: h µ + = h νµ. h νµ h µ + ν µ π+ L interazione debole, nel limite di massa nulla, produce soltanto particelle (ν µ) sinistrorse e antiparticelle (µ + ) destrorse. Il neutrino ha elicità negativa, in quanto ha massa nulla, ne consegue che anche il muone è sinistrorso. Nel limite m µ 0, la chiralità del muone coincide con l elicità che è un buon numero quantico, l ampiezza e quindi la larghezza di decadimento si annullano. µ + M W = G F V ud F πm µ u ν(1 γ 5 )v µ Γ(π + µ + ν µ)= G F 4π F πm µm π V ud ( ) 1 m µ mπ Il fattore m () µ che compare nell ampiezza (nella larghezza di decadimento) garantisce la soppressione dovuta al processo di helicity flip. S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Kaoni, Dinamica del Modello Standard 13/1

14 Correzioni radiative 1 Le correzioni radiative ultraviolette nel processo di diffusione debole corrispondenti alla rinormalizzazione del vertice e della funzione d onda si cancellano. CR uv [34] G F Q 3 Q 4 Usiamo l identità: Il primo integrale diventa: d 4 q µ q q ν (π) 4 q d 4 ( ) q /qγα/q (π) 4 u 4 q 6 + γα q 4 (1+γ 5 )u 3 u γ α (1+γ 5 )u 1 = g µν 4 d 4 q /qγ α/q (π) 4 q 6 Le correzioni ultraviolette dovute alla interazione tra stato finale ed iniziale hanno divergenze ultraviolette. d 4 q 1 (π) 4 q 4 d 4 q µ q q ν = γ µγ αγ ν (π) 4 q 6 = γµγαγν g µν d 4 q 1 ( ) (π) 4 q 4 γµgαν γ µγ ν γ α g µν d 4 q 1 d 4 q = (π) 4 q 4 = γ α (π) 4 q 4 CR uv [13]+[4] = 3α ( ) Λ π (Q Q 4 +Q 1 Q 3 ) ln µ L Per il decadimento π + µ + ν µ Q Q 4 + Q 1 Q 3 = Q d Q νµ + Q uq µ = ( 1) = 3 Per il decadimento µ e ν e ν µ Q Q 4 + Q 1 Q 3 = Q eq νµ + Q νe Q µ = S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Kaoni, Dinamica del Modello Standard 14/1

15 Correzioni radiative Relazione tra le costanti di accoppiamento G µ e G π dei decadimenti deboli del pione, π + µ + ν µ e del muone, µ e ν e ν µ. [ G π = G µ 1+ α ( )] π ln MZ µ L Correzione completa per la larghezza di decadimento del pione, che comprende anche gli effetti infrarossi ( soft-photon ). Γ(π + µ + ν µ) Γ 0 (π + µ + ν 1 + α ( ( ) ( ) ( )) MZ MZ mρ B(m π/m µ) + 3 ln + ln 6 ln µ) π m π m ρ m µ La funzione B(x) = B(x, ln(x), ln(x + 1), 1 1/x 0 ln(1 y)dy/y) e i logaritmi con le masse m π e m µ descrivono il contributo infrarosso. La massa del mesone ρ, che è il mesone più leggero con i numeri quantici del fotone, rappresenta la soglia tra infrarosso e ultravioletto. Dal valore sperimentale della larghezza di decadimento e l espressione al primo ordine. Γ(π + µ + ν µ) s 1 si ottiene il valore della costante di decadimento del pione ( ) Γ 0 (π + µ + ν µ) = G F 4π F π m µ mπ V ud 1 m µ mπ F π = 9. ± 0. MeV S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Kaoni, Dinamica del Modello Standard 15/1

16 Correzioni radiative 3 Le correzioni radiative hanno un ruolo fondamentale nel caso del decadimento del pione in elettrone π + e + ν e. A causa della piccolezza della massa dell elettrone (m e/m µ 0.005), il decadimento è soppresso dalla conservazione del momento angolare. Il rapporto tra le larghezze di decadimento del pione in elettrone e muone, al primo ordine. ( ) R0 π = Γ 0(π + e + ν e) Γ 0 (π + µ + ν = m e mπ m e µ) mµ mπ mµ Il valore sperimentale si discosta da R π 0 per più di 13 deviazioni standard. Rexp π = (1.30 ± 0.004) 10 4 Includendo le correzioni radiative si arriva ad un valore in accordo con il dato sperimentale. ( R π = R0 π 1 3α ( ) ) π ln mµ + = (1.353 ± ) m e S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Kaoni, Dinamica del Modello Standard 16/1

17 Decadimento K l del kaone I due decadimenti deboli del kaone carico, sono indicati con il simbolo K l. L ampiezza di decadimento dipende dalla costante di decadimento del kaone F K. Come nel caso del pione, F K è definita dal valore di aspettazione della corrente assiale. 0 s γ µγ 5 u K + ( k) = i F K k µ K + µ + ν µ u s K + W + K + e + ν e ν µ, ν e La massa del kaone è maggiore di quella del pione (m K /m π 3.7), ne consegue che la soppressione dei decadimenti, per conservazione del momento angolare, è maggiore. Il rapporto Rexp K tra i valori sperimentali delle larghezze di decadimento. R K exp = Γexp(K + e + ν e) Γ exp(k + µ + ν µ) = (.488±0.01) 10 5 Per il decadimento del pione: R π exp = (1.30±0.004) Il valore di R K che include le correzioni radiative (CR = 0.04) è in accordo con il dato sperimentale. ( ) R K = m e m K m e mµ mk (1+CR) = (.477±0.001) 10 5 m µ µ, e S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Kaoni, Dinamica del Modello Standard 17/1

18 Decadimenti 1 K + l3 e K 0 l3 I decadimenti semileptonici deboli dei kaoni carico e neutro sono indicati con K + l3 e K 0 l3. u(d) s K +(0) (k) W + (q) π 0( ) (p) u(d) u l + K + π 0 l + ν l K 0 π l + ν l ν l Elementi di matrice che descrivono i decadimenti K + l3 e K 0 l3. π ( p) sγ µ u K 0 ( k) = f K 0 π + (q )(k + p) µ + f K 0 π (q )(k p) µ π 0 ( p) sγ µ u K + ( k) = f K + π 0 + (q ) (k + p) µ + f K + π 0 (q ) (k p) µ Le funzioni f K 0 π ± (q ) e f K + π 0 ± (q ) si chiamano fattori di forma. Sono funzioni scalari di Lorentz, dipendenti da q, che è l unico scalare non costante che si ottiene dai 4-momenti k, p e q. L invarianza per trasformazioni di isospin implica f K 0 π ± = f K + π 0 ± f ± S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Kaoni, Dinamica del Modello Standard 18/1

19 Decadimenti K + l3 e K l3 0 Assumendo la simmetria di sapore SU(3), lo stesso elemento di matrice di K + l3, descrive anche il decadimento del π +, che conserva la stranezza. u d π + (k) W + (q) π 0 (p) u u l + π + π 0 l + ν l Si ottengono le normalizzazioni f +(0) = 1 f (0) = 0 ν l Teorema di Ademollo-Gatto. Le correzioni ai valori di normalizzazione dei fattori di forma sono di secondo ordine rispetto al termine di rottura della simmetria SU(3) di sapore, ɛ, f K 0 π + (0) = 1+O(ɛ ) 1 4 f K + π 0 + (0) + 3 f K + η 0 + (0) = 1+O(ɛ ) 4 Con m u m d si ha una correzione l K π che deriva dai termini chirali di ordine O(E 4 ). f K + π 0 + (0) f K 0 π + (0) = m d m u 4 m s m + l K π 1.01 l K π = Il valore è in accordo con il dato sperimentale. f K + π 0 + (0) = 1.07 ± f K 0 π + (0) exp S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Kaoni, Dinamica del Modello Standard 19/1

20 Mescolamento 1 K 0 K 0 Gli stati dei kaoni neutri K 0 e K 0 si mescolano per formare stati comuni. Uno dei possibili meccanismi di mescolamento consiste nella transizione K 0 K 0 mediata da stati finali comuni. Ad esempio, poiché entrambi i kaoni neutri possono decadere in π + π, K 0 π + π K 0 Consideriamo una funzione d onda a due componenti. ( ) ( ) ( ) a(t) 0 K 0 a(t) K 0 ψ(t) = 0 b(t) K 0 = b(t) K 0 L equazione di Schrödinger di evoluzione temporale i d ( dt ψ(t) = M i Γ ) ψ(t) dipende dalla matrice di massa (M iγ/). Nel caso di massa (M iγ/) scalare, la particella descritta dalla funzione d onda ψ(t), soluzione dell equazione di Schrödinger, ha vita media τ = 1/Γ. L andamento temporale e il modulo quadro di ψ(t) sono: ψ(t) = ψ(0) e ( Γ/ im)t ψ(t) ψ(t) = ψ(0) ψ(0) e Γ t ψ(0) ψ(0) e t/τ S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Kaoni, Dinamica del Modello Standard 0/1

21 Mescolamento K 0 K 0 La matrice della masse al secondo ordine. ( M i Γ ) ij = K 0 i H eff K 0 j m K = m K δ ij + K 0 i H W K 0 j m K + 1 m K n K 0 i H W n n H W K 0 j m K E n + iɛ H W è l hamiltoniana dell interazione debole. Gli elementi diagonali del termine al primo ordine della matrice della massa, rappresentano processi di propagazione del kaone neutro senza oscillazioni, descritti da diagrammi a box di questo tipo. d W d K 0 c t K 0 s W + s Gli elementi non-diagonali rappresentano, invece processi di propagazione del kaone neutro con oscillazioni, descritti, ad esempio, da questi diagrammi a box. d W s K 0 c t K 0 s W + d S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Kaoni, Dinamica del Modello Standard 1/1

22 Mescolamento 3 K 0 K 0 La parte immaginaria, ovvero la larghezza di decadimento, si ottiene dalla formula di Sokhotski-Plemelj. 1 x E n + iɛ = Pr iπδ(x E n) x E n La delta di Dirac fa sì che la matrice Γ contenga solo stati n fisici, on-shell, la cui energia coincida con la massa del kaone. Γ ij = π Ki 0 H W n n H W Kj 0 δ(m k E n) m k n Le matrici M e Γ rappresentano quantità fisiche osservabili, sono quindi hermitiane. Ne consegue che gli elementi diagonali sono reali, i non-diagonali sono invece coppie di complessi coniugati. M 11, = M 11, M 1 = M 1 Γ 11, = Γ 11, Γ 1 = Γ 1 L invarianza per trasformazioni composte CPT implica l identità degli elementi diagonali, ovvero i kaoni K 0 e K 0 hanno sia la stessa massa che le stessa larghezza di decadimento. m k M 11 = M Γ k Γ 11 = Γ S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Kaoni, Dinamica del Modello Standard /1

23 Mescolamento 4 K 0 K 0 La matrice delle masse è definita in termini dei tre parametri complessi A, p e q. M i Γ ( ) A p = q A I kaoni K 0 e K 0 sono autostati, con autovalori P K 0 = P K 0 = 1, della parità ˆP. ˆP K 0 = K 0 ˆP K 0 = K 0 In quanto coppia particella-antiparticella sono connessi dalla trasformazione di coniugazione di carica Ĉ. Ĉ K 0 = c K 0 K 0 = K 0 Ĉ K 0 = c K 0 K 0 = K 0 c K 0 = c K 0 = 1 I coefficienti c K 0 0 sono delle fasi pure, si scelgono convenzionalmente e senza,k conseguenza fisiche, uguali ad uno. La trasformazione composta coniugazione di carica e parità, CP, trasforma un kaone in meno l anti-kaone e viceversa. ĈP K 0 = K 0 ĈP K 0 = K 0 Gli stati K 0 e K 0 non sono autostati di CP. S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Kaoni, Dinamica del Modello Standard 3/1

24 Mescolamento 5 K 0 K 0 L invarianza dell hamiltoniana per trasformazioni CP, H eff = ĈP H eff ĈP 1 implicherebbe l identità degli elementi non diagonali p e q della matrice della massa. p = K 0 H eff K 0 = K 0 ĈP 1 ĈP H eff ĈP 1 ĈP K 0 = K 0 H eff K 0 = q In generale, non si ha invarianza per trasformazioni CP! Gli autovalori della matrice di massa. λ L,S = m K i Γ K ± ( M 1 i Γ 1 ) ( ) M1 i Γ 1 = A ± p q Gli autostati della matrice di massa. 1 K L,S = (p K 0 ± q K 0 ) p + q Gli elementi non diagonali. M 1 i Γ 1 = K 0 H eff K 0 p q = M 1 iγ 1 / M1 iγ 1 / S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Kaoni, Dinamica del Modello Standard 4/1

25 Mescolamento 6 K 0 K 0 La differenza tra gli autovalori. ( λ L λ S = m L m S i Γ L Γ S = M1 i Γ )( ) 1 M 1 i Γ 1 Re(M 1 ) ire(γ 1 ) L ultima identità vale nell ipotesi di piccola violazione di CP, ovvero parti immaginarie dei parametri piccole rispetto alle parti reali. I pedici L e S degli autostati K L,S, abbreviano i termini inglesi Long e Short, che si riferiscono alla lunghezza e brevità delle rispettive vite medie τ L e τ S. τ L /τ s 570 Questa disparità consegue dalla quasi invarianza per trasformazioni di CP. Se l invarianza per trasformazioni di CP fosse esatta, p = q, potremmo definire gli autostati K± 0 = K S,L 0, CP-pari e CP-dispari, tali che ĈP K± 0 = ĈP K S,L = ± K± 0 = ± K S,L K± 0 = K S,L = 1 ( K 0 K 0 ) In questo limite, K S e K L decadono solo in stati finali CP-pari e CP-dispari. Canali di decadimento dominanti K S π,... K L 3π,... Lo spazio delle fasi del canale in π è molto più ampio di quello in 3π, ne consegue che la vita media del K S è molto più breve di quella del K L. S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Kaoni, Dinamica del Modello Standard 5/1

26 Mescolamento 7 K 0 K 0 Assumendo la possibilità di una violazione di CP, gli stati K L,S possono essere sviluppati rispetto alla base { K± 0 } degli autostati di CP. 1 ) K L,S = ( K ɛ + ɛ K ± 0 Il parametro piccolo ɛ pesa la violazione di CP ovvero: il contributo CP-dispari in K S e CP-pari in K L. ɛ = p q p + q i Im(M 1 ) iim(γ 1 )/ Re(M 1 ) ire(γ 1 )/ 1 Nel limite p = q, conservazione di CP, si ha ɛ = 0. M 1 M 1 i(γ 1 Γ 1 )/ m L m S i(γ L Γ S )/ Il mescolamento K 0 -K 0 può essere misurato studiando l evoluzione temporale della funzione d onda di un kaone prodotto in un decadimento forte, quindi in un ben definito autostato K 0 o K 0. Funzioni d onda dei kaoni che all istante t = 0 si trovano negli stati K 0 e K 0. K 0 (t) = g +(t) K 0 + q p g (t) K 0 K 0 (t) = p q g (t) K 0 + g +(t) K 0 g ± (t) = e im L t Γ L t/ ± e im S t Γ S t/ (m L m S ) exp = 3.484(6) 10 1 MeV S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Kaoni, Dinamica del Modello Standard 6/1

27 Violazione di CP nel sistema dei kaoni Se CP è conservata gli autostati di massa K S,L coincidono con quelli di CP, K± 0 K S K+ 0 = 1 ( K 0 K 0 ) K S ππ CP = +1 K L K 0 = 1 ( K 0 + K 0 ) K L πππ CP = 1 La conservazione di CP può essere osservata sperimentalmente verificando che tutti i kaoni neutri che decadono a grande distanza dalla sorgete, decadono in tre pioni. Nel 1964 furono osservati 45 decadimenti in π + π su un campione di 3000 kaoni neutri K L. Fu la prima osservazione di violazione di CP dell interazione debole. Nei decadimenti deboli degli adroni la violazione di CP è un effetto del 3 o / oo. Conservazione di CP BR(K L π + π π 0 ) 0.16 BR(K L π 0 π 0 π 0 ) CP = 1 CP = 1 Violazione di CP BR(K L π + π ) CP = +1 BR(K L π 0 π 0 ) CP = +1 S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Kaoni, Dinamica del Modello Standard 7/1

28 Sorgenti di violazione di CP Gli autostati di massa K S e K L non sono autostati di CP. K L = K 0 + ɛ K ɛ K S = K ɛ K ɛ K L K 0 + π La componente CP-pari K 0 + di K L genera il decadimento in due pioni che viola la conservazione di CP. Il parametro ɛ quantifica l effetto di violazione di CP. Violazione diretta di CP. π ɛ = p q p + q L autostato di CP-dispari K 0 decade direttamente in due pioni. Questo può verificarsi sia in presenza che in assenza di mescolamento. Ad esempio in assenza di mescolamento. π K L = K 0 K K S = K+ 0 L = K+ 0 La violazione diretta di CP è descritta dal parametro ɛ. Sperimentalmente si osservano entrambi i meccanismi di violazione di CP. Il meccanismo dominante è quello indiretto dovuto al mescolamento. ( ɛ /ɛ ) exp = 1.7(3) 10 3 π S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Kaoni, Dinamica del Modello Standard 8/1

29 Violazione CP nei decadimenti semileptonici A grande distanza dalla sorgente di kaoni neutri sopravvive solo la componente K L. In termini degli autostati dell interazione forte K 0 e K 0. K L = (1 + ɛ) K 0 + (1 ɛ) K ɛ Gli stati K 0 e K 0 decadono in un pione, un leptone e il corrispondente neutrino. I decadimenti sono vincolati dal quark di valenza spettatore dei kaoni. K 0 π e + ν e K 0 π + e ν e Le larghezze di decadimento dipendono dalla parte reale del parametro ɛ. Γ(K L π e + ν e) K 0 K L 1 + ɛ 1 + Re(ɛ) Γ(K L π + e ν e) K 0 K L 1 ɛ 1 Re(ɛ) Si osserva una probabilità di decadimento semileptonico del K L diversa, a seconda dello stato finale. Il decadimento e quindi l interazione debole sono sensibili alla natura della materia coinvolta. Il decadimento in π e + ν e è più probabile di quello in π + e ν e. Possiamo, senza ambiguità, definire materia quella costituita dagli atomi i cui leptoni carichi sono prodotti nel decadimento semileptonico meno probabile del kaone K L. S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Kaoni, Dinamica del Modello Standard 9/1

30 Violazione 1 di CP e V CKM La matrice V CKM non ha una parametrizzazione unica. C è quindi la possibilità di scegliere arbitrariamente ed usare coerentemente la particolare parametrizzazione che risulti più utile e computazionalmente conveniente. Un altra eventualità consiste nell utilizzo di sole quantità che siano indipendenti dalla parametrizzazione, cioè, dalla scelta delle fasi. Tali quantità si chiamano rephasing invariants. Rephasing invariants sono i termini quadratici negli elementi della matrice CKM, come ad esempio, i moduli quadrati, che sono reali e anche vincolati dalla condizione di unitarietà VV = V V = I. Ci sono inoltre termini quartici, prodotti di quattro elementi, che, in generale, non sono reali. () ij = V ij V ij = V ij (i, j = 1,, 3) (4) ab = V ij V kl V il V kj (a, i, k, e b, j, l ciclici) ( ) Tutte le osservabili sensibili alla violazione di CP sono proporzionali a Im (4) ab ( ) ( Im (4) = λ 6 A η + O (λ 8)) ɛ ab ika ɛ jlb = c 1 c13 c 3s 1 s 13 s 3 s δ ɛ ika ɛ jlb a,b a,b Al fine di avere violazione di CP, gli angoli e la fase della matrice CKM devono verificare: θ ij 0, π/ e δ 0, π. S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Kaoni, Dinamica del Modello Standard 30/1

31 Violazione di CP e V CKM I diagrammi a box descrivono le larghezze di transizione Γ(K 0 (t = 0) K 0 ) e Γ(K 0 (t = 0) K 0 ). Si definiscono contributi a corto raggio, poichè le particelle intermedie sono massive: raggio massa 1. d W s K 0 u, c, t u, c, t K 0 K 0 W + W K 0 s W + d s u, c, t d d u, c, t s Le ampiezze di ciascun diagramma dipendono dal prodotto di quattro elementi della matrice CKM, uno per ogni vertice qq W. d V ud V cs s s V us V cd d K 0 u c K 0 s d Vus V cd ( M K 0 K 0) V ud V cd VusV cs K 0 u d c s K 0 Vud V cs ( M K 0 K 0) V usv csvud V cd S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Kaoni, Dinamica del Modello Standard 31/1

32 Violazione 3 di CP e V CKM L ampiezza completa. ( M K 0 K 0) = K 0 H box K 0 = K 0 VO S= K 0 L operatore O S= rappresenta il vertice di interazione debole corrente-corrente a quattro quark con variazione di stranezza S =. [ ][ ] O S= = dγ µ(1 + γ 5 )s sγ µ (1 + γ 5 )d Il termine V contiene gli integrali sui loop, sommati su tutti i quark up, pesati per le rephasing invariants, prodotti di quattro elementi ciclici della matrice CKM. Il contributo a corto raggio alla violazione di CP è quantificato dal parametro ɛ che è, a sua volta, proporzionale alla parte immaginaria del termine non diagonale, M 1, della matrice della massa. ( ɛ Im (M 1 ) Im K 0 ) ( H box K 0 = Im K 0 ) VO S= K 0 ɛ A ut Im (V ud V td V us V ts ) + A ct Im (V cd V td V cs V ts ) + A tt Im ( V td V td V ts V ts ) La costante A q1 q indica l integrale sul loop con i propagatori dei quark q 1 e q. La violazione di CP è data dalle parti immaginarie degli elementi della matrice CKM. S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Kaoni, Dinamica del Modello Standard 3/1

33 Violazione forte di CP 1 Il termine θ nella lagrangiana di QCD genera una violazione di T e quindi di CP. L QCD = L QCD (θ = 0) + θ α s 4π F µν a µνa F Pur non essendoci alcun motivo teorico che giustifichi un valore piccolo o nullo, dai dati sperimentali si evince che θ 0. Si parla del problema di CP forte. Se l interazione forte fosse l unica interazione presente nella teoria, il problema potrebbe essere risolto semplicemente introducendo nella lagrangiana, come simmetria discreta, la stessa simmetria CP. Non sarebbe una vera e propria soluzione ma ridurrebbe il problema continuo ad una scelta discreta. La teoria completa, il Modello Standard, contiene altre interazioni, in particolare l interazione debole che viola CP, quindi l introduzione della simmetria discreta non avrebbe senso. Il valore di θ osservato potrebbe essere un valore rinormalizzato, θ rin, che ha assorbito gli effetti di correzioni radiative elettrodeboli. Anche il questo caso rimarrebbe il problema del perché tale valore rinormalizzato sia così piccolo. S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Kaoni, Dinamica del Modello Standard 33/1

34 Violazione forte di CP Nella teoria completa, il valore di θ può essere modificato dalla stessa definizione della matrice di massa dei quark. La violazione di CP nel Modello Standard è generata dagli accoppiamenti di Yukawa tra il doppietto di Higgs e i campi fermionici. Quando il doppietto di Higgs sceglie lo stato di vuoto, gli accoppiamenti di Yukawa generano, per i quark, una matrice di massa non-diagonale e complessa, che, quindi, viola CP. Le matrici di massa sono diagonalizzate da trasformazioni sinistrorse e destrorse, che spostano la violazione di CP nel mescolamento dei sapori nel settore elettrdebole. S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Kaoni, Dinamica del Modello Standard 34/1

35 Violazione forte di CP 3 A causa dell anomalia assiale, anche nel limite di N f sapori di quark a massa nulla, la corrente assiale non si conserva. N f J 5µ = ψ j γ µγ 5 ψ j j=1 µ J 5µ = N f α s 4π F µν a aµν F La contrazione del tensore della forza con la sua rappresentazione duale è la quadri-divergenza di un vettore K µ, con cui si definisce la corrente conservata J 5µ. ( K µ = µ Fνσ a F aνσ) J5µ La carica conservata Q 5 e la corrente non sono invarianti di gauge. = J 5µ N f α s 4π Kµ Q 5 = d 3 x J 5,0 (x) Opportune trasformazioni di gauge cambiano il potenziale A a µ facendolo passare da una classe topologica ad un altra. Ciascuna classe è caratterizzata da una carica topologica diversa, il numero di avvolgimenti n. α s d 4 x Fνσ a F aνσ = αs d 3 t=+ x K 0 = n(+ ) n( ) = n 4π 4π t= n è la differenza tra le cariche topologiche di diverse configurazione asintotiche dei campi di gauge. S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Kaoni, Dinamica del Modello Standard 35/1

36 Violazione forte di CP 4 La matrice di massa dei quark originale M è diagonalizzata da una trasformazione bi-unitaria, definita dalle due matrici V L,R. Affinché la lagrangiana rimanga invariata, i campi fermionici devono essere ruotati di conseguenza. Le matrici unitarie V L,R U(N f ) possono essere ridefinite come prodotto di fasi U(1) e matrici V L,R SU(N f ). Le fasi si sommano a θ, determinando la trasformazione. M = V L M V R ψ L,R = V L,R ψ L,R V L,R = e iφ L,R V L,R θ θ = θ + N f (φ L φ R ) N f è il numero di sapori. Nel Modello Standard N f = 6. La matrice delle masse diagonalizzata deve essere reale e le masse positive. ( 0 = arg (det (M)) = arg det ))+arg ( ( det M )) ( ( +arg (det (V R )) = N(φ R φ L )+arg det M )) ( V L N(φ L φ R )=arg ( det ( M )) θ = θ + arg ( det ( M )) Il θ che osserviamo è la somma del θ originale e dell argomento del determinante della matrice delle masse non diagonalizzata. Perché ha un valore così piccolo? S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Kaoni, Dinamica del Modello Standard 36/1

37 Violazione forte di CP 5 Se uno dei quark, q 0, avesse massa nulla, si avrebbe una simmetria chirale, ovvero la lagrangiana sarebbe invariante per trasformazioni assiali q 0 q 0 = e iαγ 5q 0 In corrispondenza di questa trasformazione il parametro θ cambia come θ θ α Il valore di α può essere scelto opportunamente al fine di annullare il parametro θ α = θ Questa soluzione è fenomenologicamente scartata. Non ci sono quark a massa nulla. S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Kaoni, Dinamica del Modello Standard 37/1

38 Dipolo elettrico del neutrone 1 La violazione di CP che si osserva nel settore dei mesoni K non è determinata dal termine θ, che è associato ad operatori S = 0, che conservano la stranezza. Gli operatori associati a θ generano un momento di dipolo elettrico d n per il neutrone. Con SU(3) di sapore, consideriamo una trasformazione assiale che, diagonalizzando la matrice di massa al primo ordine in θ, incorpora in essa la dipendenza dallo stesso θ, L massa = ψ [diag (m u, m d, m s) + iɛt γ 5 ] ψ = ψ L MψR + ψ R M ψ L 1 ɛ θ, T è una matrice hermitiana 3 3. La matrice T è proporzionale alla matrice identità I. Se T I la lagrangiana efficace avrebbe termini lineari nei campi dei mesoni. ( ) L eff = iɛ Tr TU UT + = ɛ ( ) T = I t 0 + λa t 3 π 0 ta +t 8 η 8 + ) F π Lo stato di vuoto sarebbe instabile. Si potrebbe diminuirne indefinitamente l energia con: π 0, η 8 0 Per mantenere la stabilità dello stato di vuoto scegliamo: T = I ovvero: t 0 = 1 e t 1 = t = = t 8 = 0. ( U = exp i λaφa F π S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Kaoni, Dinamica del Modello Standard 38/1

39 Dipolo elettrico del neutrone θ = θ + arg ( det ( M )) È il parametro θ effettivo, che dipende dal valore originale e dalla fase del determinate della matrice dalle masse, non diagonalizzata M. Riassorbire θ nella matrice delle masse M ne implica il valore θ = arg (det (M )) = arg (det (diag (m u + iɛ, m d + iɛ, m s + iɛ))) = arg [(m u + iɛ) (m d + iɛ) (m s + iɛ)] ɛ(mum d + m um s + m d m s) m um d m s Quindi ɛ è proporzionale a θ. m um ɛ θ d m s m um d + m um s + m d m s Il termine di massa della lagrangiana diventa m um L massa = ψ diag (m u, m d, m s) ψ + iθ d m s ψγ 5 ψ ψ = u d m um d + m um s + m d m s s Il secondo contributo, proporzionale a θ e contenente l assiale ψγ 5 ψ, viola CP. Se uno dei quark fosse a massa nulla non si avrebbe violazione di CP. Gli operatori che si ottengono dal secondo contributo determinano trasformazioni con S = 0 che violano CP. S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Kaoni, Dinamica del Modello Standard 39/1

40 Dipolo elettrico del neutrone 3 Ogni particella con un momento di dipolo elettrico non nullo viola CP, come conseguenza della violazione di PT e della conservazione di CPT. Nel caso del neutrone l operatore momento di dipolo elettrico è D µ = d nu(p )σ µνq ν γ 5 u(p) p e p sono i 4-momenti iniziale e finale del neutrone, q = p p. D µ dipende da un operatore, contenete la matrice γ 5, che viola CP e dalla corrente elettromagnetica. D µ = n(p ) L CP massa Jem µ n(p) = j d n µ n P n(p ) L CP massa N 1 j N j Jµ em E n E n(p) j T µ n d n d n µ n Per stati intermedi barionici, con spinori U(p j ), si hanno u(p )γ 5 U(p j ) 1 N j J em µ n(p) eµ n Il momento di dipolo elettrico del neutrone è m um d m s eµ n d n θ m um d +m um s +m d m s M θ e cm Limiti sperimentali d n e cm θ Il limite superiore che si ottiene per θ è innaturalmente piccolo. Il problema della violazione forte di CP non sembra risolubile nell ambito del Modello Standard. S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Kaoni, Dinamica del Modello Standard 40/1