L Interazione Elettrodebole

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1 L Interazione Elettrodebole Dinamica del Modello Standard Dipartimento di Fisica e Geologia Università degli Studi di Perugia simone.pacetti@pg.infn.it Novembre 016

2 La storia La teoria di gauge che descrive l Interazione Elettrodebole è il frutto del lavoro di Steven Weinberg (1933, USA) Abdus Salam ( , Pakistan) Sheldon Lee Glashow (193, USA) Nel 1979 fu loro conferito il premio Nobel. For their contributions to the theory of the unified weak and electromagnetic interaction between elementary particles, including, inter alia, the prediction of the weak neutral current. S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Interazione Elettrodebole, Dinamica del Modello Standard /8

3 Il modello Weinberg-Salam-Glashow Il modello Weinberg-Salam-Glashow per l Interazione Elettrodebole è una teoria di gauge con campi chirali, fermionici a spin 1/ e con massa nulla. Il gruppo di simmetria è SU() L U(1) Y SU() L Isospin debole (I w, I w3 ) U(1) Y Ipercarica debole Y w Dalla dinamica dei decadimenti beta si evince che solo i campi dei fermioni sinistrorsi (left-handed) si trasformano con operatori del gruppo SU() L. Le tre generazioni differiscono per la massa ma hanno le stesse proprietà. È sufficiente considerare solo una generazione (due leptoni e due quark). ( ) Leptoni sinistrorsi νe l Doppietto di SU() L = L e L Leptoni destrorsi ν er, e R ν er è presente solo se il neutrino ha massa non nulla. ( ) Quark sinistrorsi u q Doppietto di SU() L = L d L Quark destrorsi u R, d R S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Interazione Elettrodebole, Dinamica del Modello Standard 3/8

4 L Ipercarica Un campo fermionico di isospin debole I W e sapore f ha ipercarica debole Y (I W, f ). La struttura abeliana della simmetria di ipercarica viola la flavor independence. In ogni settore si hanno 6 ipercariche diverse. Y (I W, f ) Y (I W, f ) se (I W, f ) (I W, f ). Y (1/, q) = Y (q L ) = Y q Y (0, u) = Y (u R ) = Y u Y (0, d) = Y (d R ) = Y d Y (1/, l) = Y (l L ) = Y l Y (0, ν e) = Y (ν er ) = Y ν Y (0, e) = Y (e R ) = Y e La simmetria SU() L U(1) Y del settore elettrodebole del Modello Standard è spontaneamente rotta. I campi di gauge neutri a massa nulla di SU() L U(1) Y si combinano linearmente formando il campo del fotone. La combinazione è quella che si accoppia alla corrente elettromagnetica. La carica elettrica Q si ottiene quindi come combinazione lineare dei numeri quantici di isospin debole I W 3 e ipercarica debole Y W. Q = a I W 3 + b Y W (a = 1) = Q = I W 3 + b Y W S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Interazione Elettrodebole, Dinamica del Modello Standard 4/8

5 I vincoli dell ipercarica L ipercarica Y (I W, f ) del campo fermionico di isospin debole I W e sapore f è vincolata dall invarianza chirale; dalle condizioni di cancellazione dell anomalia assiale. leptoni I campi l L, doppietto di isospin debole, ν er e e R, singoletti di isospin debole fanno parte dello stesso stato fisico hanno, quindi, la stessa carica elettrica } Q(l L, 1/) = 1/ + by l = Q(ν er ) = by ν Y Q(l L, 1/) = 1/ + by l = Q(e R ) = by l = Y ν 1 e b = Ye + 1 b quark I campi Q L, doppietto di isospin debole, u R e d R, singoletti di isospin debole fanno parte dello stesso stato fisico hanno, quindi, la stessa carica elettrica } Q(q L, 1/) = 1/ + by q = Q(u R ) = by ν Y Q(l L, 1/) = 1/ + by q = Q(d R ) = by q = Y u 1 e b = Y d + 1 b anomalia Le condizioni di cancellazione dell anomalia assiale sono (N c = numero di colori) Y q Y u Y d = (condizione di carica dei quark) Y ( q + Y l = 0 ) ( ) N cyq 3 + Yl 3 N c Yu 3 + Yd 3 Ye 3 Yν 3 = 0 S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Interazione Elettrodebole, Dinamica del Modello Standard 5/8

6 Neutrini di Majorana e di Dirac Se i neutrini sono particelle di Majorana, ν = ν, hanno carica elettrica e ipercarica nulla. 0 = Q(ν) = Q(l L, 1/) = Q(νeR) = by ν = Y ν = 0 Usando le condizioni di cancellazione dell anomalia. Y q = 1 6b Y u = 3b Y d = 1 3b Y l = 1 b Y ν = 0 Y e = 1 b Fissando b = 1/ Y W = (Q I W 3 ) Campo ν el e L ν er e R u L d L u R d R Y W /3 1/3 4/3 /3 Se i neutrini sono particelle di Dirac: non si hanno vincoli sulla carica; l ipercarica viene assegnata ai campi in base alle osservazioni sperimentali della carica elettrica, seguendo la legge Y W = (Q I W 3 ). La teoria perde la capacità di predire le cariche elettriche dei campi. S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Interazione Elettrodebole, Dinamica del Modello Standard 6/8

7 La lagrangiana del settore elettrodebole L EW = L G + L F + L H La lagrangiana di gauge L G = 1 4 F aµν F a µν 1 4 Bµν B µν Isospin debole SU() L F a µν = µw a ν νw a µ g ɛ abc W b µw c ν Campo di gauge: W µ = (W 1 µ, W µ, W 3 µ ) Ipercarica debole U(1) Y B µν = µb ν νb µ Campo di gauge: B µ La lagrangiana fermionica L F = ψ L ψ L i /Dψ L + ψ R ψ R i /Dψ R I fermioni destrorsi non si accoppiano con l isospin debole ( D µψ R = µ + i g ) 1 Y W B ν ψ R g 1 è l accoppiamento di U(1) Y I fermioni sinistrorsi hanno entrambi gli accoppiamenti ( D µψ L = [I g ) ] 1 µ+i Y τ W B ν +ig W µ ψ L S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Interazione Elettrodebole, Dinamica del Modello Standard 7/8

8 Il settore di Higgs La lagrangiana elettrodebole L EW contiene solo campi con massa nulla. È una teoria di gauge matematicamente consistente ma non ha alcun riscontro sperimentale, in quanto si osservano fermioni e bosoni con massa. È necessario aggiungere alla lagrangiana originale un settore di Higgs. ( ) φ + Il campo di Higgs è un doppietto complesso dell isospin Φ = φ 0 debole, con cariche elettriche Q + = +1, Q 0 = 0 e ipercarica Y H = 1. Accoppiamento del campo di Higgs con i campi bosonici La derivata covariante ha la stessa forma di quella dei campi sinistrorsi. L HG = (D µ Φ) D µ Φ V (Φ) ( D µφ = [I g ) ] 1 τ µ+i Bν +ig W µ Φ Potenziale o termine di auto-interazione di Higgs. ( ) µ e λ sono parametri positivi arbitrari. V (Φ) = µ Φ Φ+λ Φ Φ Accoppiamento del campo di Higgs con i campi fermionici L HF = g uq L ΦuR g d q L Φd R g νl L ΦνeR g el L Φɛ R + h.c. con Φ = iτ Φ. Le costanti di accoppiamento g u, g d, g ν, g e, sono arbitrarie. S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Interazione Elettrodebole, Dinamica del Modello Standard 8/8

9 Rottura spontanea della simmetria Lo stato fondamentale del campo di Higgs, Φ 0, si ottiene minimizzando il potenziale ( V (Φ 0 ) = µ Φ 0 Φ 0 + λ Φ 0 0) Φ = 0 in termini del valore di aspettazione del Φ nel vuoto. Ci sono due soluzioni Banale: Φ 0 = 0 Non banale: Φ Φ 0 = v = 1 µ λ Una configurazione di vuoto del campo di Higgs che: verifichi la condizione Φ Φ 0 = v ; rispetti al conservazione della carica. ( ) 0 Φ 0 = v/ Φ 0 descrive la rottura spontanea della simmetria SU() L U(1) Y. Il valore di v, che rappresenta la scala di energia che caratterizza la grandezza dell effetto, non è predetto dalla teoria. S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Interazione Elettrodebole, Dinamica del Modello Standard 9/8

10 Le masse dei fermioni e dei bosoni carichi I termini di massa generati dalla rottura spontanea della simmetria si ottengono scrivendo la lagrangiana L H = L HG + L HF in termini del valore di minimo del campo di Higgs e delle combinazioni cariche dei campi di gauge ( ) 0 Φ 0 = v/ W ± µ = W 1 µ ± i W µ L mass = v ) ( vg ) (g u uu+g d dd +g e ee + W + µ W µ + v ( ) ( Wµ 3 g ) ( ) 8 Bµ g 1 g W 3µ g 1 g g1 B µ Le masse dei fermioni sono arbitrarie. La teoria non predice alcun valore. m f = v g f f = u, d, e,... Le masse dei bosoni di gauge carichi W ±. M W = v g S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Interazione Elettrodebole, Dinamica del Modello Standard 10/8

11 Le masse dei bosoni neutri La rottura spontanea di simmetria determina un mescolamento dei bosoni di gauge neutri. La matrice di massa non è diagonale nella base dei campi neutri Wµ 3 e Bµ ( ) g M 0 = g 1 g g 1 g g1 Le combinazioni dei campi W 3 µ e B µ che diagonalizzano la matrice M 0, ovvero gli autovettori, sono Z µ = cos(θ W )W 3 µ sin(θ W )B µ A µ = sin(θ W )W 3 µ + cos(θ W )B µ L angolo θ W si chiama angolo di mescolamento debole o angolo di Weinberg, è definito in termini delle costanti di accoppiamento g 1 e g. ( ) g1 θ W = arctan g Gli autovalori della matrice M 0 rappresentano le masse dei campi neutri Z µ e A µ. M Z = v g 1 + g M γ = 0 Il rapporto delle masse dei bosoni con massa è indipendente dal valore di aspettazione del vuoto del campo di Higgs v. M W M Z = cos(θ W ) S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Interazione Elettrodebole, Dinamica del Modello Standard 11/8

12 La lagrangiana di interazione L int = ea µj µ em G F J µ ch Jchµ J em µ = Q f f γ µ f f =e,u,d,... Corrente elettromagnetica dei fermioni carichi. J µ ch = νe γµ (1 + γ 5 ) e + u γ µ (1 + γ 5 ) d + Corrente debole. Partendo direttamente dalla lagrangiana L F si ha L int = g (W + µ J µ ch + W µ J µ ch ) g 1 cos(θ W )A µj µ em + L nw L (f ) g nw = cos(θ W ) Z µ f ( g (f ) v γ µ + g (f ) a γ µγ 5 ) f Interazione debole neutra. g (f ) a e g (f ) v sono gli accoppiamenti assiale e vettoriale del fermione f. S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Interazione Elettrodebole, Dinamica del Modello Standard 1/8

13 La costante di Fermi g (f ) v = I (f ) W 3 sin (θ W )Q f g (f ) a = I (f ) W 3 Costanti di accoppiamento assiale e vettoriale del fermione f. Con θ w = 0 si avrebbero g (f ) v = g (f ) a. L accoppiamento neutro dipenderebbe solo dalla terza componente dell isospin debole I W 3. Sperimentalmente si osserva sin (θ W ) 0.3. L accoppiamento gv e,µ,τ = 1/ + sin (θ W ) 0.04 è soppresso rispetto a quello assiale ga e,µ,τ = 1/. La carica elettrica dei leptoni (carichi) e la costante di Fermi possono essere espresse come g e = g 1 cos(θ w ) = g sin(θ w ) G F = 8Mw Da queste relazioni e dal valore sperimentale di G F si ottengono MW = πα/ ( ) GeV 1 sin v = 46. GeV (θ W )G F sin(θ w ) GF S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Interazione Elettrodebole, Dinamica del Modello Standard 13/8

14 La gauge di Higgs Riscriviamo il campo di Higgs nella forma ( ) Φ(x) = e i τ α(x) [ 0 ] v + H(x) / Facciamo la trasformazione di gauge fermioni e Φ ( ) Φ(x) e i τ α(x) 0 Φ(x) = [ ] v +H(x) / Q kl e i τ α(x) Q kl U R U R D R D R le funzioni α j (x) (j = 1,, 3) e H(x) sono reali e nulle nello stato di vuoto. bosoni { Wµ W µ α W µ 1 g µ α B µ B µ Tale trasformazione elimina dalla lagrangiana la funzione α(x) e introduce per i campi di gauge dei termini di massa. In particolare si possono definire tre campi massivi due dei quali carichi W µ ± = W 1µ i W µ Z µ = gw 3µ g 1 +g Le masse dei bosoni W ± e Z sono M W + = M W M W = g v 4 g 1B µ g 1 +g A µ = g 1W 3µ g 1 +g ( g MZ = 1 + g ) v 4 Dopo la RSS rimane anche il campo scalare H che prende massa M H = m = λv + g B µ g 1 +g S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Interazione Elettrodebole, Dinamica del Modello Standard 14/8

15 Gradi di Libertà Il numero di gradi di libertà della teoria rimane lo stesso Considerando che un bosone vettore con massa nulla ha solo due possibili stati di elicità (trasversale), mentre se ha massa diversa da zero si ha anche la polarizzazione longitudinale quindi tre stati di elicità, passando dalla situazione iniziale, precedente alla RSS alla situazione finale avremo: Prima della RSS Dopo la RSS campo gradi di libertà campo gradi di libertà W 1µ, W µ, =4 W µ +, W µ 3=6 W 3µ, B µ =4 A µ, Z µ +3=5 Φ 4 H 1 totale: 1 totale: 1 Degli iniziali quattro gradi di libertà del campo di Higgs Φ tre si convertono nelle masse dei bosoni vettori W ± e Z, mentre il quarto è rappresentato dal campo scalare e neutro H(x). S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Interazione Elettrodebole, Dinamica del Modello Standard 15/8

16 Mescolamento dei fermioni Consideriamo la lagrangiana L HF nel caso di un numero generico n di generazioni. L HF = n ( α,β=1 g αβ u q L,α Φu R,β +gαβ d q L,α Φd R,β +gαβ ν l Φν L,α er,β +gαβ e l ) L,α Φɛ R,β +h.c Stati di singoletto u = (u, c, t,...) d = (d, s, b,...) ν = (ν e, ν µ, ν τ,...) e = (e, µ, τ,...) Stati di doppietto (( ) ( ) ( ) ) q u c t = d, s, b,... l = (( νe e ), ( νµ µ ), ( ντ τ ),... ) I campi della lagrangiana originale non sono gli autostati di massa. Le matrici degli accoppiamenti generazionali g u,d,ν,e, non sono diagonali. Dal meccanismo di rottura della simmetria si hanno le matrici n n delle masse m αβ f = v g αβ f, f = u, d, ν, e α, β = 1,,..., n. Le matrici m f e g f possono essere diagonalizzate rispetto agli autostati di massa. S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Interazione Elettrodebole, Dinamica del Modello Standard 16/8

17 Diagonalizzazione delle matrici di massa Consideriamo la lagrangiana delle masse dei fermioni L F,mass L F,mass = n ( α,β=1 u L,α m αβ u u R,β +d L,α m αβ s d R,β +ν L,α m αβ ν ) ν R,β +e L,α m αβ e e R,β +h.c. Sia M una matrice complessa n n = MM è una matrice hermitiana MM v α = m αv α Autovettori ortonormali: {v α} n α=1 Gli autovalori {mα} n α=1 sono non negativi mα = v αmm v α = M v α 0 α = 1,,..., n. La matrice unitaria U, di elementi U αβ = (v β ) α, diagonalizza MM = m diag(m1, m,..., m n ) = U MM U MM = Um U MM = Um U U MM Um 1 = m U MV = m V M Um 1 La matrice V è unitaria: VV = V V = I. Si ha una diagonalizzazione biunitaria : m =diag(m 1, m,..., m n) = U MV S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Interazione Elettrodebole, Dinamica del Modello Standard 17/8

18 Matrici di Massa La matrice di massa del leptone m f è diagonalizzata in m f dalle matrici unitarie S f L,R m f = S f L m f S f R m u m c 0... m u = 0 0 m t m m 0... m ν = 0 0 m f = u, d, ν, e m d m s 0... m d = 0 0 m b m e m µ 0... m e = 0 0 m τ Le relazioni tra le basi di sapore, f α L,R, e massa, f α L,R, sono u α L = (Su L )αβ u β L d α L = (Sd L )αβ d β L ν α L = (Sν L )αβ ν β L e α L = (Se L )αβ e β L u α R = (Su R )αβ u β R d α R = (Sd R )αβ d β R ν α R = (Sν R )αβ ν β R e α R = (Se R )αβ e β R S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Interazione Elettrodebole, Dinamica del Modello Standard 18/8

19 La lagrangiana con gli autostati di massa La lagrangiana delle masse negli autostati di massa ha la forma n ( L F,mass = u L,α mu αα u R,α +d L,α ms αα d R,α +ν L,α mν αα ν R,α+e L,α me αα e R,α )+h.c. α n ( ) = u αmu αα u α+d αms αα d α+ν αmν αα να+eαmαα e e α α La lagrangiana originale è scritta in termini degli autostati di sapore. Le particelle sono prodotte da interazioni deboli in autostati di sapore. Sperimentalmente si osservano stati asintotici, liberi, ovvero autostati di massa. La trasformazione f α L,R f L,R α non altera la struttura della corrente elettromagnetica e della corrente debole neutra. Nel caso della corrente elettromagnetica dei leptoni si ha J em(e µ ) = n α=1 e α γµ e α = n α=1 = n α=1 ( e L,α γµ e L,α + e R,α γµ e R,α ( (e L S e L )αγµ (S e L e L) α + (e R S e R )αγµ (S e R e R) α ) = n α=1 (e Lαγ µ e Lα + (e Rα γ µ e Rα ) = n α=1 eαγµ e α = J µ em(e) Le matrici SL,R f che agiscono nelle spazio dei sapori commutano con le matrici di Dirac. S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Interazione Elettrodebole, Dinamica del Modello Standard 19/8 )

20 Il mescolamento dei quark Il mescolamento dei sapori ha effetto nelle correnti deboli cariche dei quark J µ, in cui si hanno accoppiamenti tra generazioni diverse. ch In virtù della struttura uγ µ (1+γ 5 )d, le correnti cariche hanno solo campi sinistrorsi. J µ ch = n α=1 u Lα γµ d Lα = n α=1 (u LS u L )αγµ (SL d d L) α = n α,β=1 u Lαγ µ V αβ d Lα V S u L Sd L La matrice di mescolamento V, detta matrice di mixing di Cabibbo, Kobayashi e Maskawa (CKM), è unitaria, in quanto prodotto delle matrici unitarie dei sapori sinistrorsi di tipo up e down. È una matrice di mescolamento delle componenti sinistrorse che determinano la corrente carica. dl mix s mix L bl mix J µ ch = ( u L γ µ d mix L = V ud d L + V uss L + V ub b L = V cd d L + V css L + V cb b L = V td d L + V ts s L + V tb b L +c L γ µ sl mix +t L γ µ bl mix + ) La presenza di mescolamento di sapori, ovvero una matrice CKM diversa dall identità è conseguenza del fatto che le matrici unitarie SL u e Sd sono diverse. L S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Interazione Elettrodebole, Dinamica del Modello Standard 0/8

21 Parametrizzazione della matrice CKM 1 Una generica matrice unitaria n n, U può essere rappresentata in termini di una matrice hermitiana H, n n, come U = e ih. U ha lo stesso numero di parametri di H, n n + (elem. diag.) (n n)/ = n (elem. non diag.) La somma dei moduli quadri degli elementi di ogni riga o colonna è pari a uno. Per la k-esima riga: U k U kn = 1. I parametri possono essere distinti in angoli e fasi. Ciascun elemento può essere parametrizzato come prodotto di seni e coseni di determinati angoli per una fase: U ij = k,k I ij sin θ k cos θ k e φ ij. Il numero di angoli n θ coincide con il numero di parametri di una matrice n n ortogonale e reale O, con O ij = k,k I ij sin θ k cos θ k. Dalla condizione: O T O = I si ha la rappresentazione O = e A dove A è una matrice reale antisimmetrica, i.e. A T = A. Il numero di parametri di A, che coincide con quello di O che, a sua volta, corrisponde al numero di angoli di U, è dato dalla metà del numero di suoi elementi non diagonali: n θ =[#parametri di A] = n n Poiché il numero totale di parametri di U è n, il numero di fasi n φ sarà: n φ =n n θ = n n n = n + n S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Interazione Elettrodebole, Dinamica del Modello Standard 1/8

22 Le fasi fisiche Il numero di fasi fisiche della matrice di mescolamento è minore di n φ. La matrice V entra nella lagrangiana sempre moltiplicata per due spinori alcune fasi possono essere riassorbite nella ridefinizione degli spinori stessi. La corrente carica debole dei quark contiene n campi fermionici: u Lα, d Lα, α = 1,,..., n. Ciascun campo è definito a meno di una fase arbitraria. n j µ ch = u Lα γ µ V αβ d Lα α,β=1 Il numero di fasi arbitrarie nella corrente carica debole è ( n 1), poiché la lagrangiana è definita a meno di una fase globale. Le ( n 1) fasi libere possono essere scelte in modo da cancellare altrettante fasi della matrice V. u Lα e iθu α u Lα d Lα e iθd α d Lα V αβ e i(θd β θu α ) V αβ α, β = 1,..., n Il numero di fasi fisiche, nφ F, della matrice di mescolamento V, ovvero quelle che non sono eliminabili con un opportuna ridefinizione dei campi fermionici, è pari a nφ F = n φ (n 1) = n +n (n 1) = (n 1)(n ) S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Interazione Elettrodebole, Dinamica del Modello Standard /8

23 La matrice di Cabibbo Se ci sono n = generazioni c è un solo angolo e non ci sono fasi fisiche CP è conservata. n θ = n n = 1 n F φ = (n 1)(n ) = 0 La matrice di mescolamento è la matrice di Cabibbo. Dipendente dal solo angolo θ C, detto angolo di Cabibbo. ( ) cos(θc ) sin(θ V C = C ) sin(θ C ) cos(θ C ) Gli stati mescolati di Cabibbo. ( sc dc ) = V C ( s d ) ( ) s cos(θc ) + d sin(θ = C ) s sin(θ C ) + d cos(θ C ) Il valore dell angolo di Cabibbo si misura sperimentalmente, è estratto dalla corrente carica debole dell accoppiamento u dw +. sin(θ C ) 0.6. d cos(θ C ) u W + S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Interazione Elettrodebole, Dinamica del Modello Standard 3/8

24 La matrice CKM 3 3 La forma che esprime con maggiore evidenza il significato fisico di ciascun elemento V αβ della matrice CKM, come ampiezza di transizione α β, dal sapore up α al sapore down β. V = V ud V us V ub V cd V cs V cb V td V ts V tb Con n = 3 generazioni ci sono quattro parametri, tre angoli e una fase fisica. n θ = n n = 3 n F φ = (n 1)(n ) Dall invarianza per trasformazioni di CP si ottiene che l unica fase fisica deve essere nulla, quindi se CP è conservata la matrice di mescolamento è reale. = 1 c 13 c 1 c 13 s 1 s 13 e iδ V= c 3 s 1 s 3 c 1 s 13 e iδ c 3 c 1 s 3 s 1 s 13 e iδ c 13 s 3 s 3 s 1 c 3 c 1 s 13 e iδ s 3 c 1 c 3 s 1 s 13 e iδ c 13 c 3 θ 1, θ 3 e θ 13, sono gli angoli di mixing che variano nell intervallo [0, π]. δ è la fase responsabile della conservazione di CP definita in [0, π]. s ij =sin θ ij c ij =cos θ ij ij = 1, 3, 13 Con θ 3 = θ 13 = 0 e θ 1 = θ C, la matrice CKM si riconduce a quella di Cabibbo. S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Interazione Elettrodebole, Dinamica del Modello Standard 4/8

25 La parametrizzazione di Wolfenstein Una parametrizzazione alternativa della matrice CKM, basata su una struttura perturbativa, è la cosiddetta rappresentazione di Wolfenstein. Si ottiene da quella in termini degli angoli θ 1, θ 3 e θ 13, e della fase δ. 1 λ λ4 4 V= λ+ A λ 5 λ 3 A (1 ρ i η) (1 (ρ + i η)) 1 λ λ4 8 λ λ 3 A(ρ i η) ( 1 + 4A ) λ A +O(λ 5 ) λ A+ Aλ4 (1 (ρ + i η)) 1 A λ 4 Parametri di Wolfenstein λ, A, ρ, η λ sin(θ 1 ) Aλ sin(θ 13 ) Aλ 3 (ρ i η) sin(θ 13 )e iδ ρ ρ(1 λ /) η η(1 λ /) La rappresentazione di Wolfenstein è una espansione in λ = sin(θ 1 ). La violazione di CP è un effetto del terzo ordine in λ: λ 3 A(ρ i η). Le correzioni di ordine superiore si ottengono imponendo l unitarietà, ad esempio, per la prima riga: V ud + V us + V ub = 1. S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Interazione Elettrodebole, Dinamica del Modello Standard 5/8

26 Misura della matrice CKM Gli elementi della matrice CKM non sono predetti dalla teoria. Sono parametri da determinare sperimentalmente. Ciascuno di essi è ottenuto da diverse misure di processi diversi. Im(z) V tb V td γ 3 0 (V ) 3α V α1 = Vαb V αd α=1 α=u,c,t α Vub V ud β V cb V cd Re(z) Parametri di Wolfenstein λ = ρ = A = η = Parametri CKM sin(θ 1 ) = sin(θ 13 ) = sin(θ 3 ) = ) o ( δ = S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Interazione Elettrodebole, Dinamica del Modello Standard 6/8

27 Mescolamento dei neutrini Il fenomeno del mescolamento dei sapori si manifesta anche nel settore leptonico sotto forma del mescolamento dei neutrini. La matrice equivalente alla CKM del settore dei quark è detta matrice di Pontecorvo, Maki, Nakagawa e Sakata (PMNS) U PMNS = V ν(θ 1, θ 3, θ 13, δ)p(ν) = V ν(θ 1, θ 3, θ 13, δ) 0 e iα 1/ e iα / La matrice P(ν) si inserisce per considerare la possibilità che i neutrini siano particelle di Majorana. In questo caso, la condizione sui campi: νi C (x) = ν i (x), fissa n 1 fasi, che non si possono utilizzate per riassorbire le fasi del mescolamento, il numero di fasi fisiche diventa nφ FM = n φ (n 1)+(n 1) = n +n n = n(n 1) Le fasi α 1 e α, dette fasi di Majorana, sono osservabili ma non contribuiscono al fenomeno di oscillazione dei neutrini. S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Interazione Elettrodebole, Dinamica del Modello Standard 7/8

28 Oscillazione dei neutrini I parametri della matrice PMNS si estraggono dalle misure delle oscillazioni dei neutrini. Non c è evidenza di violazione di CP nel settore leptonico. Non c è la possibilità di verificare il carattere di Dirac o Majorana dei neutrini. Dati del 01. sin (θ 1 ) = ± 0.04 sin (θ 3 ) 0.95 (90% C.L.) sin (θ 13 ) = ± θ 1 = (39.9 ± 1.0) o θ 3 = ( )o θ 13 = (9.1 ± 0.6) o La matrice PMNS è diversa dalla matrice CKM. La matrice CKM può essere interpretata come V (λ,...) = I + O(λ). Lo sviluppo perturbativo della matrice PMNS è (1 s/) 6 U PMNS = 1 (1 + s a + re iδ ) 6 1 (1 + s) 3 1 (1 s/ a + re iδ /) 3 1 (1 + s + a re iδ ) 1 (1 + s/ + a + re iδ /) 6 3 r e iδ 1 (1 + a) 1 (1 a) r = 0. ± 0.01 s = 0.03 ± 0.03 a = 0.10 ± 0.05 S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Interazione Elettrodebole, Dinamica del Modello Standard 8/8