n copie 1. ω è multilineare, ovvero è lineare in tutte le variabili. in altre parole:

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1 Lo spazio vettoriale delle forme multilineari antisimmetriche Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n su un campo K, di caratteristica diversa da 2, ovvero tale che + 0 in K. Tale ipotesi è necessaria in quanto esistono campi, anche di uso quotidiano come il campo F 2 con due elementi, nei quali vale invece + = 0. Questo implica che = in K rendendo insensato quel che stiamo per dire in questa sezione. Lo spazio vettoriale n V delle forme multilineari antisimmetriche di grado n su V è definito come segue: tali che n V = {ω : V V V K} }{{} n copie. ω è multilineare, ovvero è lineare in tutte le variabili. in altre parole: ω(v,..., v i, λ v i, + λ 2 v i,2, v i+,... v n ) = λ ω(v,..., v i, v i,, v i+,... v n ) + λ 2 ω(v,..., v i, v i,2, v i+,... v n ) per ogni i =,..., n; 2. ω è antisimmetrica, ovvero per ogni permutazione σ dell insieme {, 2,..., n} si ha ω(v σ(), v σ(2),..., v σ(n) ) = ( ) σ ω(v, v 2,..., v n ), dove ( ) σ indica il segno della permutazione σ, ovvero vale se σ è data da un numero pari di scambi, e vale se σ è data da un numero dispari di scambi. Osserviamo che, se ω è multilineare, l antisimmetria è equivalente al fatto che ogni qual volta due argomenti di ω sono uguali, il valore di ω è zero: ω(v,..., v i, w, v i+,..., v j, w, v j+,..., v n ) = 0. Per convincersi di questo basta osservare che se ω è antisimmetrica, allora scambiando la variabile che oppuca il posto i con quella che occupa il posto j corrisponde a fare esattamente uno scambio, e poiché è dispari, l espressione deve cambiare segno: ω(v,..., v i, v i, v i+,..., v j, v j, v j+,..., v n ) = ω(v,..., v i, v j, v i+,..., v j, v i, v j+,..., v n ) A questo punto, ponendo v i = v j = w si ha la tesi. Vice versa, se ω(v,..., v i, w, v i+,..., v j, w, v j+,..., v n ) = 0 per ogni w, allora ponendo w = v i + v j si ottiene 0 = ω(v,..., v i, v i + v j, v i+,..., v j, v i + v j, v j+,..., v n ) = ω(v,..., v i, v i, v i+,..., v j, v i, v j+,..., v n )+ + ω(v,..., v i, v i, v i+,..., v j, v j, v j+,..., v n )+ + ω(v,..., v i, v j, v i+,..., v j, v i, v j+,..., v n )+ + ω(v,..., v i, v j, v i+,..., v j, v j, v j+,..., v n ) = ω(v,..., v i, v i, v i+,..., v j, v j, v j+,..., v n )+ + ω(v,..., v i, v j, v i+,..., v j, v i, v j+,..., v n ),

2 ovvero l antisimmetria. Osserviamo inoltre che conseguenze immediate della multilinearità e dell antisimmetria sono:. ω(v,..., v i, 0, v i+,..., v n ) = 0; 2. ω(v,..., v i, v i + λv j, v i+,..., v n ) = ω(v..., v n ), i j; cioè il valore di ω non cambia se si sostituisce l i-esimo vettore con l i-esimo vettore più un arbitrario multiplo scalare del j-esimo vettore (con i j). La struttura di spazio vettoriale su n V è quella ovvia: (ω + η)(v,..., v n ) := ω(v,..., v n ) + η(v,..., v n ); (λω)(v,..., v n ) := λ(ω(v,..., v n )). Proposizione.Lo spazio vettoriale n V ha dimensione uguale ad. Dimostrazione. Sia V = {e,..., e n } una base di V. Consideriamo l applicazione Φ : n V K definita da Φ(ω) = ω(e,..., e n ) È immediato osservare che Φ è un applicazione lineare. Inoltre è iniettiva. Supponiamo infatti che ω sia un elemento del nucleo di Φ e siano v,..., v n vettori arbitrari di V. Poiché B è una base di V, avremo v i = v j i e j, per oppurtuni elementi v j i K. Allora dalla multilinearità di ω si ha ω(v,..., v n ) = ω(v i e i,... v in n e in ) v i vin n ω(e i,... e in ). Nell ultima espressione, come argomento di ω comapiono i vettori della base B; usiamo l antisimmetria per riordinarli: ω(e i,... e in ) = ɛ i,...,i n ω(e,..., e n ), dove ɛ i,...,i n è il simbolo totalmente antisimmetrico (o simbolo di Levi-Civita), definito da + se i, 2 i 2,... è una permutazione pari; ɛ i,...,i n = se i, 2 i 2,... è una permutazione dispari; 0 se i, 2 i 2,... non è una permutazione. Ad esempio: ɛ,3,2 = ; ɛ 2,3, = +; ɛ,, 3 = 0. 2

3 Avendo introdotto queste notazioni abbiamo ω(v,..., v n ) = ɛ i,...,i n v i vin n ω(e,..., e n ) = ɛ i,...,i n v i vin n Φ(ω) = 0, in quanto avevamo supposto ω ker(φ). Riassumento, se Φ(ω) = 0, allora ω = 0 (in quanto è nulla calcolata su un qualunque argomento), il che prova l iniettività di Φ. Mostriamo ora la suriettività di Φ. Poiché K è generato da K, basterà mostrare che esiste una forma multilineare antisimmetrica ω B tale che Φ(ω B ) =. Da quanto appena osservato sull iniettività di Φ segue subito che esiste un unico possibile candidato per ω B, vale a dire: ω B (v,..., v n ) := ɛ i,...,i n v i vin n. L espressione a destra dell uguale è effettivamente una forma multilineare antisimmetrica. La multilinearità si vede osservando che l espressione ɛ i,...,i n v i vin n è, rispetto ad ognuno dei vettori v i, un espressione omogenea di primo grado nelle coordinate v j i ; l antisimmetria è data dalla presenza del simbolo totalmente antisimmetrico. Abbiamo dunque dimostrato che Φ è un isomorismo tra lo spazio vettoriale n V e lo spazio vettoriale K. Poiché dim K (K) =, si ha la tesi. È importante osservare che nel corso della dimostrazione abbiamo anche mostrato che, fissata comunque una base B = {e,..., e n } di V esiste ed è unica una forma multilineare antisimmetrica ω B, di grado n, tale che ω B (e,..., e n ) =. Esempio. Sia V = R 2, e sia B la base canonica. Allora, se ( ( a c v = ; v b) =, d) si ha: ω B (v, v 2 ) = ad bc. Il determinante di un endomorfismo Alla definizone del determinante di un endomorfismo premettiamo un semplice lemma: se W è uno spazio vettoriale di dimensione su K allora lo spazio vettoriale End(W ) degli endomorfismi di W è canonicamente isomorfo al campo K. Infatti, qualunque sia la dimensione di W l applicazione K End(W ) 3

4 data da λ λ Id è lineare e iniettiva. Se inoltre W ha dmensione, allora è un applicazione lineare iniettiva tra spazi della stessa dimensione finita, e dunque è un isomorfismo. Questo fatto si può anche vedere nel modo seguente: sia {e} una base di W. Allora se ϕ : W W è un endomorfismo, ϕ è completamente determinato dal suo valore su e. Poiché e è una base di W si avrà ϕ(e) = λ ϕ,e e, dove λ ϕ,e K è uno scalare dipendente (a priori) da ϕ e da e. Cambiando base si vede però subito che λ ϕ,e è in effetti indipendente da e, e dipende solamente da ϕ. Comunque lo si sia dimostrato, quel che importa è il significato del lemma: se W è uno spazio vettoriale di dimensione, tutti e soli i suoi automorfismi sono le moltiplicazioni per gli scalari. Sia ora V uno spazio di dimensione n, e sia ϕ : V V un endomorfismo. Per ω n V, poniamo (ϕ ω)(v,..., v n ) := ω(ϕ(v ),..., ϕ(v n )). Si vede subito che ϕ ω è ancora un elemento di n V, e che ϕ : n V n V è lineare. Ma abbiamo dimostrato che n V ha dimensione, quindi ϕ dev essere la moltiplicazione per uno scalare, dipendente solamente da ϕ. Questo scalare prende il nome di determinante dell endomorfismo ϕ e si indica con det(ϕ) K. Tutto quanto abbiamo detto finora si può riassumere dicendo che det(ϕ) è quello scalare caratterizzato dall identità Le seguenti proprietà sono immediate:. det(id V ) =. ϕ ω = det(ϕ) ω, ω n V. 2. det(ϕ ψ) = det(ϕ) det(ψ) (formula di Binet). Come corollario otteniamo che, se ϕ è invertibile, allora det(ϕ ) det(ϕ) = det(ϕ ϕ) =, dunque se ϕ è invertibile, anche il suo determinante è invertibile e si ha det(ϕ ) = det(ϕ) È interessante osservare che vale anche il viceversa. Si ha cioè: Proposizione. Sia ϕ : V V un endomorfismo di uno spazio vettoriale di dimensione finita. Allora ϕ è invertibile se e solo se det(ϕ) è diverso da zero. Dimostrazione. Abbiamo appena dimostrato che se ϕ è invertibile, allora anche det(ϕ) è invertibile. Poiché det(ϕ) è un elemento del campo K, essere invertibile è equivalente ad essere diverso da zero. Viceversa, supponiamo che ϕ non sia invertibile e mostriamo che in questo caso si ha det(ϕ) = 0. Poiché ϕ è un 4

5 endomorfismo di uno spazio vettoriale di dimensione finita, la non invertibilità di ϕ equivale alla sua non iniettività, dunque esiste un vettore e diverso da 0 in V tale che ϕ(e ) = 0. Poiché e 0, l insieme {e } è un sistema di vettori linearmente indipendenti, e possiamo dnque completarlo a una base B = {e, e 2,... e n } di V. Sia ω B la forma antisimmetrica di grado n associata a questa base. Dalla definizione di determinate e di ω B abbiamo Ma ϕ(e ) = 0, dunque det(ϕ) = det(ϕ)ω B (e,..., e n ) = ω B (ϕ(e ),..., ϕ(e n )). ω B (ϕ(e ), ϕ(e 2 ),..., ϕ(e n )) = ω B (0, ϕ(e 2 ),..., ϕ(e n )) = 0. Come corollario immediato della proposizione precedente abbiamo che, se ω è una forma multilineare antisimmetrica di grado n su V con ω 0, allora un insieme di n vettori {v,..., v n } di V è una base se e solo se ω(v,..., v n ) 0. Infatti, sia B = {e,..., e n } una base di V. Poiché dim K ( n V ) = e ω 0, si avrà ω = kω B, con k 0, k K. Inoltre, per la proprietà universale delle basi, esiste ed è unica un applicazione lineare ϕ : V V tale che ϕ(e i ) = v i per ogni i =,..., n, e sappiamo che ϕ è un isomorfismo se e solo se {v,..., v n } è una base. Allora la tesi sege immeditamente dall identità ω(v,..., v n ) = det(ϕ)ω(e,..., e n ) = k det(ϕ). Il calcolo esplicito dei determinanti Vediamo ora come calcolare esplicitamente il determinante di un endomorfismo ϕ quando sia nota la matrice che lo rappresenta rispetto ad una data base B = {e,..., e n } di V. Per far questo basta ricordare la definizione del determinante di ϕ e il fatto che esiste (ed è unica) una forma multilineare antisimmetrica ω B tale che ω B (E,..., e n ) =. Si ha infatti det(ϕ) = det(ϕ)ω B (e,..., e n ) = ω B (ϕ(e ),..., ϕ(e n )). Se A è la matrice che rappresenta l endomorfismo ϕ rispetto alla base B, allora ϕ(e i ) = A j i e j e dunque, ripetendo i calcoli fatti all inizio di questa nota, ω B (ϕ(e ),..., ϕ(e n )) = ω B (A i e i,... A in n e in ) = ɛ i,...,i n A i Ain n In definitiva abbiamo trovato la formula esplicita det(ϕ) = ɛ i,...,i n A i Ain n. Da notare che, poiché lo scalare det(ϕ) è intrinsecamente definito, esso non dipende dalla scelta della base B. Otteniamo così il seguente risultato non banale: nonostante i coefficienti (A j i ) dipendano dalla base che si è scelta per rappresentare l endomorfismo ϕ come una matrice, l espressione ɛ i,...,i n A i Ain n è invariante per cambiamenti di base. 5

6 La formula di Laplace La formula di Laplace è la riduzione del calcolo del valore di una forma multilineare antisimmetrica di grado n su uno spazio vettoriale di dmensione n al calcolo dei valori di n forme multilineari antisimmetriche di grado n su spazi vettoriali di dimensione n. Non è altro che la generalizzazione ad n dimensioni delle classiche formule della geometria elementare Area parallelogramma = Base Altezza Volume parallelepipedo = Area di base Altezza Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n e sia B = {e,..., e n } una sua base. Per ogni i =,..., n indichiamo con B i B il sottoinsieme ottenuto togliendo il vettore e i da B, e con V i V il sottospazio generato da B i. Osserviamo che B i è una base di V i, che dunque ha dimensione n. Indichiamo inoltre con ι i : V i V l inclusione e con π i : V V i la proiezione di V su V i data da π i : v j i v j e j. Notiamo che π i ι i = Id Vi, mentre se v V si ha v = ι i π i (v) + v i e i, per ogni i =,..., n. Da notare che in questa formula non c è una sommatoria sottointesa su i. Infatti è vero che l indice i compare ripetuto in alto e in basso nell addendo a destra, ma i è solo in basso nell addendo a sinistra! Più esplicitamente, abbiamo le formule v = ι π (v) + v e ; v = ι 2 π 2 (v) + v 2 e 2 ;... Infine, sempre per ogni i =,..., n consideriamo le applicazioni definite da η i : V i V }{{} i K n copie η i (v,..., v i, v i+,..., v n ) = ω B (ι i (v ),..., v i, e i, ι i (v i+ ),..., ι i (v n )). È immediato osservare che η i è una forma multilineare antisimmetrica di grado n su V i. Inlotre, calcolando η i sui vettori della base B i di V i si ottiene, dunque η i = ω Bi. Siano ora {v,..., v n } n arbitrari vettori di V, e calcoliamo ω B (v,..., v i, e i, v i+,..., v n ). Scrivendo v j = ι i π i (v j ) + v i j e i e sfruttando la multilinearità e l antisimmetria di ω B troviamo ω B (v,..., v i, e i, v i+,..., v n ) = ω B (ι i π i (v ),..., ι i π i (v i ), e i, ι i π i (v i+ ),..., ι i π i (v n )) = ω Bi (π i (v ),..., π i (v i ), π i (v i+ ),..., π i (v n )). 6

7 Possiamo ora calcolare ω B (v,..., v n ) in termini delle forme ω Bi. Scrivendo il vettore v k come v k = v i k e i, troviamo infatti ω B (v,..., v n ) = vkω i B (v,..., v k, e i, v k+,..., v n ) n = ( ) k+i vkω i B (v,..., v i, e i, v i,..., v k, v k+,..., v n ) = = i= n ( ) k+i vkω i Bi (π i (v ),..., π i (v i ), π i (v i ),..., π i (v k ), π i (v k+ ),..., π i (v n )) i= n ( ) k+i vkω i Bi (π i (v ),..., π i (v k ), π i (v k+ ),..., π i (v n )) i= L utilizzo pratico della formula di Laplace è molto più semplice di quanto la sua formulazione stratta potrebbe lasciar supporre. Vediamolo in un esempio. Sia ϕ : R 3 R 3 l endomorfismo rappresentato, rispetto alla base canonica B, dalla matrice Vogliamo calcolare det(ϕ). Abbiamo visto che dove v = det(ϕ) = ω B (v, v 2, v 3 ), 2 ; v 2 = ; v 3 = 2. 2 Applichiamo la formula di Laplace scrivendo il vettore v 2 come combinazione lineare dei vettori della base canonica (chiaramente potremmo fare lo stesso anche con v o con v 3 ). Si ha v 2 = 2e + 3e 2 + 5e 3. Inoltre Dunque π (v ) = π (v 3 ) = det(ϕ) = ω B (v, v 2, v 3 ) ( 2 ) ; π 2 (v ) = ( 2) ; π 2 (v 3 ) = ( ) ; π 3 (v ) = ( ) 2 ; π 2 3 (v 3 ) = ( 2) ( ) 2 = 2 ω B (π (v ), π (v 3 )) + 3 ω B2 (π 2 (v ), π 2 (v 3 )) 5 ω B (π 3 (v ), π 3 (v 3 )) ( ) ( ) ( ) = 2 det + 3 det 5 det = 2(4 + ) + 3(2 2) 5( + 4) = 35. 7

8 Riassumendo, lo sviluppo di Laplace rispetto alla seconda colona del determinante di ϕ è det 2 2 ( ) ( ) ( ) = 2 det + 3 det 5 det, e il calcolo del determinante di una matrice 3 3 è stato ridotto al calcolo di 3 determinanti di matrici 2 2. La formula di Cramer Sia ω una forma multilineare antisimmetrica di gardo n su uno spazio vettoriale V di dimensione n, e siano {v,..., v n, w} n + vettori di V. Allora si ha l identità ω(v,..., v n )w = ω(w, v 2,..., v n )v + ω(v, w, v 3,..., v n )v ω(v,..., v n, w)v n. (identità di Cramer). Dimostriamaola dapprima nel caso in cui {v,..., v n } sia una base di V. Fissiamo i vettori {v,..., v n } e consideriamo le due applicazioni lineari ϕ, ψ : V V definite da ϕ :w ω(v,..., v n )w ψ :w ω(w, v 2,..., v n )v + ω(v, w, v 3,..., v n )v ω(v,..., v n, w)v n. Allora dimostrare l identità di Cramer si riduce a dimostrare che ϕ = ψ. Poiché due applicazioni lineari coincidono se e solo se coincidono su una base dello spazio vettoriale di partenza, e poiché stiamo supponendo che {v,..., v n } sia una base di V, la dimostrazione dell identità di Cramer in questo caso si riduce a verificare ϕ(v i ) = ψ(v i ) per ogni i =,..., n, il che è immediato. Dimostriamo ora la formula nel caso in cui {v,..., v n } non siano una base. In questo caso ω(v,..., v n ) = 0 e dunque la formula di Cramer si riduce all identità ω(w, v 2,..., v n )v + ω(v, w, v 3,..., v n )v ω(v,..., v n, w)v n = 0 quando {v,..., v n } non è una base di V. Poiché V ha dimensione n, {v,..., v n } non è una base se e solo se i vettori {v,..., v n } sono linearmente dipendenti. A meno di rinumerare i vettori possiamo supporre sia v n ad essere linearmente dipendente da {v,..., v n. Esisteranno cioè scalari λ i tali che v n = λ v + + λ n v n. Adesso osserviamo che per multilinearità ed antisimmetria si ha ω(v,..., v i, w, v i+,..., v n ) = λ i ω(v,..., v i, w, v i+,..., v i ) = λ i ω(v,..., v n, w), 8

9 per ogni i =,..., n. Dunque ( ) n n ω(v,..., v i, w, v i+,..., v n )v i = ω(v,..., v n, w) λ i v i i= ovvero l identità di Cramer. = ω(v,..., v n, w)v n, Una tipica (ed immediata) applicazione della formula di Cramer è la seguente: sia ω una forma non nulla, e sia B = {v,..., v n } una base di V. Allora le coordinate w i di un vettore w rispetto alla base B sono date da w i = ω(v,..., v i, w, v i+,..., v n ). ω(v,..., v n ) i= La formaula di Cramer può essere utilizzata per la soluzione dei sistemi lineari con n equazioni in n incognite, come nell esempio seguente. Supponiamo di voler risolvere il sistema lineare { x + 2y = 4 x y = con x, y R. Questo sistema è equivalenta all equazione vettoriale in R 2, dove v = x v + y v 2 = w ( ) ( ) 2 ; v 2 = ; w = ( ) 4. Dalla formula di Cramer, indicata con B la base canonica di R 2, abbiamo ovvero cioè da cui ω B (v, v 2 )w = ω B (w, v 2 )v + ω B (v, w)v 2, ( ) 2 det w = det ( ) 4 v + det 3 w = 3 v 3 v 2, w = v + v 2 e ne ricaviamo { x = y = ( ) 4 v 2, Osserviamo inoltre che ω B (v, v 2 ) = 3 0 ci dice anche che {v, v 2 } è una base di R 2 e dunque quella appena trovata è anche l unica soluzione del sistema dato. 9