ESEMPIO - un sassolino (goccia) cade sulla superficie di un liquido in quiete.

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1 ONDE

2 Esaminiamo la modalità con la quale una perturbazione dallo stato di equilibrio di un punto materiale che fa parte di un mezzo esteso elastico viene trasmessa ad altri punti dell insieme. ESEMPIO - un sassolino (goccia) cade sulla superficie di un liquido in quiete. - Una particella del fluido è spostata verso il basso ricevendo energia meccanica - La particella è legata ad altre particelle del mezzo con cui scambia interazioni: la risultante di tali interazioni è una forza elastica di richiamo - Sotto l azione della forza elastica, la particella torna indietro e supera la posizione originaria, perché vi arriva con una certa energia cinetica: la particella inizia ad oscillare intorno alla posizione di equilibrio (essa si muove di moto armonico) - Poiché la particella è legata ad altre particelle del mezzo, sulle particelle contigue agiranno delle forze variabili con modalità dipendenti dal moto della prima particella - Le particelle contigue si muoveranno con un moto avente le stesse caratteristiche del moto della prima particella: esso è però sfasato in ritardo rispetto al moto della prima particella ed ha ampiezza generalmente ridotta - Il processo di trasmissione si ripete e ben presto la perturbazione si è estesa ad una notevole regione: l aspetto della superficie del fluido mostra la presenza di onde.

3 Caratteristiche della propagazione per onde: 1. I singoli punti interessati nella perturbazione hanno moti su traiettorie chiuse e limitate rispetto all estensione delle onde 2. La propagazione della perturbazione è dovuta ai legami esistenti fra i vari punti materiali, così che la perturbazione di un punto è trasmessa ai punti contigui 3. I moti di due punti vicini investiti dalla perturbazione sono oscillatori e simili tra loro, diversificandosi in genere solamente per l ampiezza e per uno sfasamento 4. La propagazione della perturbazione è accompagnata da trasmissione di energia sotto forma ordinata

4 La velocità di un onda che si propaga in una fune è uguale alla velocità delle singole particelle della fune? NO le velocità sono differenti sia in modulo che direzione!!! ONDA IMPULSIVA ONDA SINUSOIDALE

5 ONDE TRASVERSALI E ONDE LONGITUDINALI Le onde che si propagano in un mezzo elastico possono essere trasversali o longitudinali, a seconda che le oscillazioni delle particelle del mezzo avvengano nella direzione perpendicolare a quella di propagazione o nella stessa direzione. Onde trasversali Onde longitudinali

6 ONDE MECCANICHE Sono le onde che si propagano in mezzi materiali elastici. Caratteristica delle onde meccaniche è che esse seguono le leggi di Newton e per esistere richiedono la presenza di un mezzo materiale (acqua, corda, aria, roccia, ). Esempi: onde del mare, onde sonore, onde sismiche,... Le onde meccaniche possono essere trasversali o longitudinali. ONDE ELETTROMAGNETICHE Le onde elettromagnetiche non richiedono di un mezzo materiale per esistere. Tutte le onde elettromagnetiche viaggiano alla stessa velocità nel vuoto, pari alla velocità della luce: c = m/s Esempi: luce visibile, raggi ultravioletti, onde radio e televisive, raggi X, microonde, Le onde elettromagnetiche sono onde trasversali. ONDE DI MATERIA Elettroni, protoni, le altre particelle fondamentali e perfino atomi e molecole si muovono come onde. Dato che comunemente pensiamo a queste entità come ai costituenti della materia, esse sono chiamate onde di materia.

7 Se la vibrazione che dà origine all onda è sinusoidale (moto armonico), l onda stessa (se il mezzo è elastico) è sinusoidale. Nello spazio: una fotografia dell onda che si sta propagando nello spazio in un dato istante avrà la forma di seno o coseno. cresta o picco λ y A Periodo T A x valle A Ampiezza: massima altezza di una cresta o profondità di una valle λ Lunghezza d onda: distanza tra due creste successive (distanza tra due qualsiasi punti identici successivi dell onda) f Frequenza: numero di cicli completi compiuti da un determinato punto nell unità di tempo v Velocità: velocità della propagazione v = λ T v = f λ

8 RAPPRESENTAZIONE MATEMATICA DI UN ONDA SINUSOIDALE y x Onda al tempo t = 0 x Onda al tempo t All istante t = 0 y = A sin( 2π x) = A sin(kx) λ k = 2π numero d onda ([rad/m]) λ Se l onda si muove verso destra a velocità v, dopo un tempo t ogni punto dell onda si è spostato verso destra di una distanza x = vt. Per descrivere il punto all istante t, l argomento della funzione seno deve avere lo stesso valore numerico che aveva a t = 0. Se per t = 0 l argomento è kx, al tempo t deve essere k(x-vt) y = A sin[k(x-vt)) = A sin( 2πx λ 2πvt) = A sin(kx 2πf t) = A sin(kx ωt) λ y(x,t) = A sin(kx ωt)

9 Caratteristiche di un moto ondoso Le linee di propagazione di un moto ondoso vengono chiamate raggi. I punti di uno stesso raggio che sono a distanza λ, o multipli interi di λ oscillano in concordanza di fase. Il luogo dei punti contigui del mezzo che oscillano in fase tra loro si chiama superficie d onda. Il fronte d onda è formato dal luogo dei punti che sono raggiunti per la prima volta dal moto ondoso: il fronte d onda è la superficie d onda più avanzata nel verso della propagazione.

10 a) Onde piane: le superfici d onda sono piani paralleli e i raggi sono rette perpendicolari ai piani. b) Onde circolari: le superfici d onda sono circonferenze concentriche attraversate ortogonalmente dai raggi. c) Onde sferiche: le superfici d onda sono superfici sferiche concentriche attraversate ortogonalmente dai raggi.

11 ENERGIA TRASPORTATA DALLE ONDE Le onde trasportano energia: per un onda sinusoidale di frequenza f, le particelle si muovono di moto armonico semplice mentre passa l onda, quindi ciascuna particella ha un energia meccanica: E = ½ k A 2 L ENERGIA TRASPORTATA DALL ONDA E PROPORZIONALE AL QUADRATO DELL AMPIEZZA energia/tempo INTENSITA I = = area potenza area Potenza trasportata attraverso l unità di superficie perpendicolare alla direzione di propagazione Nel SI l unità di misura dell intensità è il Watt su metro quadro [W/m 2 ]

12 r 1 Se l onda è sferica: I = P 4πr 2 r 2 Se l emissione della potenza della sorgente è costante, l intensità decresce con il quadrato della distanza. Poiché l intensità è proporzionale al quadrato della distanza, l ampiezza A decresce come 1/r. Per un onda monodimensionale (onda trasversale su una corda), l area rimane costante, così che l ampiezza A (ignorando l attrito!) rimane costante. Perciò ampiezza e intensità non diminuiscono con la distanza. In realtà, lo smorzamento dovuto all attrito è sempre presente e parte dell energia viene trasformata in energia termica, con una conseguente diminuzione di ampiezza e intensità.

13 Velocità di propagazione La velocità di propagazione delle onde elastiche dipende dalle proprietà del mezzo nel quale le onde si propagano: v = fattore di compressione fattore di inerzia = K ρ Normalmente K dipende fortemente dalla densità del mezzo, per cui complessivamente i corpi con densità maggiore sono caratterizzati da una velocità delle onde elastiche maggiore.

14 PROPAGAZIONE DI UN ONDA SU UNA CORDA v Consideriamo un singolo impulso simmetrico che si propaga su una corda tesa con velocità v (rosso). In un sistema di riferimento che si muove con l impulso sembrerà che la corda si muova da destra verso sinistra con velocità v (azzurro). Applichiamo le leggi di Newton ad un elemento l di corda 2τ y = ma 2θ 2τ v2 y = m v R 2τ y = 2τ sinθ = ~ 2τθ= τ τ l = m v 2 R R τ v = m/ l l R μ massa per unità di lunghezza [kg/m] v = τ μ

15 PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE PER LE ONDE Due o più onde possono attraversare contemporaneamente la stessa regione. Le onde sovrapposte non si disturbano vicendevolmente in alcun modo. ONDE SOVRAPPOSTE SI SOMMANO ALGEBRICAMENTE A FORMARE UN ONDA RISULTANTE Se consideriamo 2 onde y1(x,t) e y2(x,t), l onda risultante è y1(x,t) + y2(x,t) La sovrapposizione di onde dà luogo a fenomeni di INTERFERENZA

16 Il termine differenza di fase esprime quantitativamente la posizione relativa delle creste delle due onde y1(x,t) = A sin(kx - ωt) y2(x,t) = A sin(kx ωt + φ) Interferenza costruttiva Interferenza distruttiva Interferenza parzialmente distruttiva φ = 0 φ = π φ = π/3 y y y x x x y y y x x x

17 ONDE STAZIONARIE Ogni punto della corda, muovendosi a causa di una percussione, induce quelli vicini a fare altrettanto, generando un onda che si propaga lungo tutta la corda fino ad uno dei due estremi fissi, dove si riflette generando una seconda onda che si propaga in verso opposto. Il moto di un punto della corda è quindi il risultato della sovrapposizione di due onde: una progressiva ed una regressiva. Per alcune particolari frequenze di vibrazione, la sovrapposizione dell onda progressiva e quella regressiva fa sì che ciascun punto si trovi sempre nella stessa condizione (vibrazione massima, intermedia, minima). Poiché tutti i punti della corda sono o in fase (salgono e scendono insieme) o in opposizione di fase, apparentemente l onda non si propaga più: ecco perché viene chiamata stazionaria. NODI i punti dell onda stazionaria dove c è interferenza distruttiva VENTRI i punti dell onda stazionaria dove c è interferenza costruttiva Le frequenze alle quali vengono prodotte le onde stazionarie vengono dette FREQUENZE NATURALI o FREQUENZE RISONANTI

18 ONDE STAZIONARIE Ogni punto della corda, muovendosi a causa di una percussione, induce quelli vicini a fare altrettanto, generando un onda che si propaga lungo tutta la corda fino ad uno dei due estremi fissi, dove si riflette generando una seconda onda che si propaga in verso opposto. Il moto di un punto della corda è quindi il risultato della sovrapposizione di due onde: una progressiva ed una regressiva. Per alcune particolari frequenze di vibrazione, la sovrapposizione dell onda progressiva e quella regressiva fa sì che ciascun punto si trovi sempre nella stessa condizione (vibrazione massima, intermedia, minima). Poiché tutti i punti della corda sono o in fase (salgono e scendono insieme) o in opposizione di fase, apparentemente l onda non si propaga più: ecco perché viene chiamata stazionaria. NODI i punti dell onda stazionaria dove c è interferenza distruttiva VENTRI i punti dell onda stazionaria dove c è interferenza costruttiva Le frequenze alle quali vengono prodotte le onde stazionarie vengono dette FREQUENZE NATURALI o FREQUENZE RISONANTI

19 ONDE STAZIONARIE Ventre L = λ 2 L = 2 λ 2 L = n λ n 2 n = 1,2,3, Nodo n è il numero di ventri L = 3 λ 2

20 Se una corda tesa viene pizzicata, onde con una grande varietà di frequenze viaggiano lungo la corda in entrambe le direzioni. Le onde vengono riflesse alle estremità e tornano indietro generando fenomeni di interferenza. Molte onde si smorzeranno velocemente e sopravvivono solo le onde che corrispondono alle frequenze risonanti della corda: le estremità della corda, essendo fisse, saranno dei nodi. Il moto sarà una combinazione di questi modi risonanti, corrispondenti a diverse frequenze risonanti: Frequenza fondamentale (prima armonica) λ 1 = 2 L f 1 = v λ 1 = λ 1 v 2L Seconda armonica Terza armonica Armonica di ordine n λ 2 = L λ 3 = 2L 3 λ n = 2L n f 2 = v λ 2 = 2 v 2L = 2 f 1 f 3 = v λ 3 = 3 v 2L = 3 f 1 f n = v λ n = n v 2L = n f 1 Ciascuna delle frequenze risonanti (armoniche) è multiplo intero della frequenza fondamentale.

21 Le onde stazionarie possono essere prodotte non solo sulle corde tese in vibrazione, ma in qualsiasi oggetto in vibrazione (esempio: membrana di tamburro, colonna d aria in un tubo o una canna). Le frequenze risonanti dipendono dalle dimensioni dell oggetto: oggetti grandi hanno frequenze risonanti più basse di quelli piccoli. Tutti gli strumenti musicali producono suoni grazie alle onde stazionarie.

22 violino pianoforte

23 IL SUONO Il suono che noi percepiamo con il nostro senso dell udito è dovuto ad una vibrazione delle molecole dell aria. Questa vibrazione si propaga nell aria sotto forma di un onda di pressione (onda elastica). L orecchio umano è capace di percepire suoni con frequenze nell intervallo di circa 20 Hz e Hz. Essendo la velocità del suono nell aria pari a circa 340 m/s si ottiene: a 20 Hz λ = v / f = 340 m/s / 20 Hz = 17 m a 20 khz λ = v / f = 340 m/s / 20 khz = 17 mm

24 Nei diversi materiali il suono si propaga con velocità diversa: Aria 343 m/s Anidride Carbonica 259 m/s Alcool Etilico 1207 m/s Acqua 1498 m/s Rame 3750 m/s Ferro 5120 m/s Vetro 5170 m/s

25 Onda armonica a 220 Hz Onda armonica a 440 Hz Onda armonica a 880 Hz Onda armonica a 1760 Hz

26 Suono La nota più bassa di un pianoforte 27,5 La nota più bassa di un cantante basso 100 La nota più bassa di un clarinetto 104,8 Il do centrale del pianoforte 261,6 Il la oltre il do centrale 440 L estensione superiore di un soprano 1000 La nota più alta di un pianoforte 4180 L armonica superiore degli strumenti musicali Il limite dell udito nelle persone anziane Frequenza (Hz) Il limite dell udito

27 Intensità del suono L intensità del suono β (SIL, Sound Intensity Level) viene comunemente espressa in decibel (db). β = 10 log ( I / I 0 ) dove I 0 è l intensità di un certo livello di riferimento. Di solito si considera come I0 la minima intensità udibile da un orecchio medio, pari a I 0 = W/m 2. Per questo valore di intensità β = 0 db. Alternativamente l intensità del suono può essere espressa secondo la pressione esercitata dall onda (SPL, Sound Pressure Level). β = 20 log ( p / p 0 ) dove p 0 = 20 µpa è l intensità della pressione di riferimento.

28 Intensità del suono Anche se la potenza emessa da una sorgente sonora è costante, la superficie sulla quale l onda si distribuisce aumenta con il quadrato della distanza. I percepita = I emessa / 4 π r 2 Per questo motivo l intensità percepita di un suono emesso da una sorgente lontana è minore di quello emesso da una sorgente vicina.

29 Attenuazione del suono Nelle situazioni reali parte dell energia sonora viene convertita in calore a causa di forze di tipo viscoso che si oppongono allo scorrimento delle molecole del fluido nella direzione di propagazione dell'onda. Questa attenuazione è legata a: l umidità e la temperatura dell'aria; la frequenza dell'onda sonora. Le onde a più elevata frequenza vengono assorbite con maggiore facilità. Un conseguenza di tale fatto è la modifica timbro dell'onda sonora emessa da un tuono quando viene percepito da lontano: la sua intensità sonora è debole a causa dell'attenuazione prodotta dalla distanza, ma soprattutto il suono è simile ad un "rombo" poiché l onda è costituita da frequenze molto basse, le uniche sopravvissute all'assorbimento atmosferico.

30 Sensibilità dell orecchio L orecchio umano ha una sensibilità che varia con la frequenza. Il suono percepito meglio è quello a frequenza f = 3 khz, frequenza di risonanza dell orecchio esterno. Curve isofoniche

31 Sensibilità dell orecchio db SPL Condizione ambientale Soglia del dolore Clacson potente ad un metro Interno della metropolitana Strada a circolazione media Ufficio commerciale Biblioteca Studio di radiodiffusione Soglia di udibilità