Due applicazioni dei logaritmi

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1 Due applicazioni dei logaritmi 22 febbraio 203 I logaritmi vengono usati per trattare grandezze che presentano ampie variazioni su un intervallo di diversi ordini di grandezze; il ph ne è un esempio. Il ph Il ph è una grandezza che esprime la concentrazione [H + ], misurata in moli al litro (moli/l), di ioni idrogeno in una soluzione acquosa ed è denito da ph = log [ H +] = log [H + ]. Il ph varia da 0 a 4. In dipendenza dal valore assunto dal ph, le soluzioni vengono così classicate: se ph < 7, se ph = 7, se ph > 7, la soluzione è acida; la soluzione è neutra; la soluzione è basica. Esercizio Il succo di limone ha una concentrazione di ioni idrogeno pari a moli/l. Sapendo che log 2 0,3, determinare il ph del succo di limone. Sappiamo che [H + ] = moli/l e che ph = log [H + ], quindi ph = log ( 2 0 3) = ( log 2 + log 0 3) = (0,3 3) = 2,7. In chimica, le parentesi quadre indicano la concentrazione molare di una sostanza in una soluzione acquosa; ad esempio, la scrittura [H + ] = 0,5 moli/l vuol dire che in ogni litro di soluzione è presente una quantità di ioni idrogeno H + uguale a mezza mole.

2 Esercizio 2 La Coca-Cola ha ph = 2,4. [H + ] di ioni idrogeno. Determinare la concentrazione In questo esercizio conosciamo il valore del ph = 2,4 e dobbiamo determinare [H + ]. Ricordiamo la denizione di ph: ph = log [ H +] = 2,4. Per ottenere il valore di [H + ], applichiamo la denizione di logaritmo 2 dopo aver cambiato i segni: log [ H +] = 2,4 [ H +] = 0 2,4 = 3, moli/l. Possiamo osservare che la Coca-Cola e il succo di limone hanno valori di [H + ] dello stesso ordine di grandezza. Esercizio 3 L'acqua pura è neutra, ph = 7, mentre il caè ha ph = 5. Di quanto è maggiore la concentrazione di ioni idrogeno del caè rispetto a quella dell'acqua? L'acqua pura e il caè hanno, rispettivamente, ph uguale a 7 e 5. Ricaviamo in entrambi i casi [H + ] dalla relazione ph = log [H + ]. Per l'acqua pura [H + ] = 0 7 moli/l. Infatti, log [ H +] = 7 log [ H +] = 7 [ H +] = 0 7 moli/l. Per il caè [H + ] = 0 5 moli/l. Infatti, log [ H +] = 5 log [ H +] = 5 [ H +] = 0 5 moli/l. In conclusione, il valore della concentrazione [H + ] del caè è cento volte maggiore di quello dell'acqua. Esercizio 4 I succhi gastrici hanno ph =. Di quanto è maggiore la concentrazione di ioni idrogeno dei succhi gastrici rispetto a quella dell'acqua? La concentrazione [H + ] dei succhi gastrici vale 0 moli/l. Nell'esercizio precedente abbiamo ricavato che per l'acqua essa vale 0 7 moli/l. Facendo il rapporto tra queste due quantità: [H + ] succhi gastrici [H + ] acqua = = 0 +7 = 0 6 possiamo concludere che il valore della concentrazione [H + ] dei succhi grastrici è un milione di volte maggiore di quello dell'acqua. 2 log a b = c a c = b 2

3 Esercizio 5 L'ammoniaca ha ph = 2. Di quanto è minore la concentrazione di ioni idrogeno dell'ammoniaca rispetto a quella dell'acqua? La concentrazione [H + ] dell'ammoniaca vale 0 2 moli/l. Dal rapporto [H + ] ammoniaca [H + ] acqua = = = 0 5 concludiano che il valore della concentrazione [H + ] dell'ammoniaca è centomila volte minore rispetto a quello dell'acqua. Possiamo osservare che una variazione di una unità nella scala del ph corrisponde ad una moltiplicazione o divisione per 0 della concentrazione [H + ]; la concentrazione [H + ] varia da 0 4 moli/l (corrispondente all'idrossido di sodio con ph = 4) a moli/l (corrispondente all'acido cloridrico con ph = 0). Passando ai logaritmi riusciamo a rappresentare questo ampio intervallo con una scala con 4 gradini. Esercizio 6 Sapendo che il latte ha ph = 6,6, determinare il valore della concentrazione di ioni positivi presenti nel latte. Esercizio 7 Determinare il ph del bicarbonato di sodio con la concentrazione di ioni positivi uguale a 3, moli/l. Esercizio 8 Una soluzione ha ph uguale a 0. Per quale ph la concentrazione [H + ] risulterebbe diecimila volte maggiore? Esercizio 9 Una soluzione ha ph uguale a. Per quale ph la concentrazione [H + ] risulterebbe diecimila volte maggiore? Esercizio 0 Vericare con almeno tre esempi che quantità con lo stesso ordine di grandezza hanno logaritmi con la stessa parte intera. La Terra e Marte hanno raggio uguale rispettivamente a 6, m e 3, m. Calcoliamo i logaritmi di queste due quantità e verichiamo che otteniamo due numeri con la stessa parte intera 6: log 6, = log 6,378 + log 0 6 0, = 6,805; log 3, = log 3,397 + log 0 6 0, = 6,53. 3

4 2 Il decadimento radioattivo Il sico inglese Ernest Rutherford (87937) mostrò che gli atomi di alcuni elementi, detti radioattivi, sono instabili: in un intervallo di tempo una proporzione ssa di essi si disintegra spontaneamente trasformandosi in atomi di un nuovo elemento. Indichiamo con N (t) il numero di atomi di una sostanza radioattiva presenti all'istante t. Il numero N (t) decresce secondo la legge esponenziale N (t) = N 0 e λ t. Il parametro N 0 rappresenta il numero di atomi presenti all'istante iniziale; infatti, N (0) = N 0 e λ 0 = N 0. Esercizio Per gli atomi di uranio λ =, /anni. Determinare dopo quanto tempo il numero iniziale di atomi di uranio diminuisce del 50%. Per determinare il tempo t anché il numero iniziale si dimezzi basta porre N (t) = 2 N 0 nell'equazione della legge esponenziale del decadimento radioattivo: 2 N 0 = N 0 e, t. Dividiamo ambo i membri per il fattore comune N 0 : 2 = e, t. Per la denizione di logaritmo naturale: ( ) ln =, t 2 da cui t = ln ( ) 2,554 0 = ln 2 0,554 0 = 4, anni. Esercizio 2 Determinare dopo quanto tempo il numero iniziale di atomi di uranio diminuisce del 5%. 4

5 2. Il metodo di datazione del Carbonio-4 ITCS E. Bona - Biella Per determinare il tempo t anché il numero iniziale di atomi di uranio diminuisca del 5% basta porre N (t) = N 0 (è rimasto il 95% degli atomi iniziali) e risolvere questa equazione in t come fatto prima. Esercizio 3 Per gli atomi di Carbonio-4 λ =, /anni. Determinare dopo quanto tempo il numero iniziale di atomi di Carbonio-4 diminuisce del 50%. Il decadimento del Carbonio-4 viene utilizzato per determinare l'età dei fossili e dei reperti archeologici. 2. Il metodo di datazione del Carbonio-4 Nel castello di Winchester è esposta una tavola di forma circolare. Secondo una leggenda sarebbe proprio questa la tavola rotonda appartenuta a re Artù nel V secolo. Nel 977 la tavola fu sottoposta al test del Carbonio-4. L'esame rivelò la presenza di una quantità di Carbonio-4 pari al 9% di quella contenuta nello stesso legno appena tagliato. È realmente la tavola rotonda di re Artù? Se t è l'età della tavola, si deve avere cioè N (t) = 9 00 N 0 () 9 00 N 0 = N 0 e, t. 5

6 2. Il metodo di datazione del Carbonio-4 ITCS E. Bona - Biella Dividiamo ambo i membri per il fattore comune N 0 : 9 00 = e, t. Per la denizione di logaritmo naturale: ( ) 9 ln =, t 00 da cui t = ln ( ) anni., La tavola ha quindi circa 780 anni e non potè appartenere a re Artù che visse nel V secolo. Esercizio 4 In un fossile il Carbonio-4 è diminuto dell'88%. Qual è l'età del fossile. 6