TRASMISSIONE DEL CALORE

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1 CAPITOLO TRASMISSIONE DEL CALORE Studiando i sistemi termodinamici abbiamo visto che l energia può essere trasmessa sotto forma di calore per effetto di una differenza di temperatura tra il sistema e l esterno. La trasmissione del calore cerca di stabilire uantitativamente uesto trasmissione di energia. Come noto, il calore può essere trasmesso secondo tre meccanimi diversi: conduzione, convezione e irraggiamento che possono anche coesistere tra di loro. CONDUZIONE Se esiste un gradiente di temperatura all interno di un corpo l esperienza ci dice che c è una trasmissione di energia dalla regione a più alta temperatura a uella a più bassa temperatura. Diciamo allora che l energia viene tramessa per conduzione e che il calore trasmesso nell unità di tempo sull unità di area è proporzionale al gradiente normale di temperatura T A x Inserendo la costante di proporzionalità ka----- T x () dove è il calore scambiato nell unità di tempo e T x è il gradiente di temperatura nella direzione del flusso di calore. La costante positiva k è la conducibilità termica del materiale e il segno negativo è necessario per soddisfare il secondo principio della termodinamica, cioè il flusso di calore deve discendere la scala termodinamica delle temperature così come indicato dal sistema di coordinate della figura. T gen Adx x x+ dx x x x dx L euazione () viene chiamata legge di Fourier della conduzione ed è importante notare che essa definisce la conducibilità termica k che si esprime in watt per metro per grado Celsius se il flusso di calore è espresso in watt. SISTEMI ENERGETICI

2 TRASMISSIONE DEL CALORE CONVEZIONE E ben noto che una superficie metallica calda si raffredda più velocemente uando è posta di fronte ad un ventilatore che uando è esposta in aria calma. Diciamo che il calore viene trasportato via e chiamiamo uesto processo trasmissione del calore per convezione. T u T w Consideriamo la superficie calda della figura. La temperatura della superficie sia T w e la temperatura del fluido sia T. La velocità del fluido sia uella mostrata che si riduce a zero sulla superficie a causa delle azioni viscose. Poichè la velocità dello strato di fluido a contatto con la parete è nulla il calore viene trasmesso per conduzione in uel punto. Il gradiente di temperatura dipende però dalla velocità con cui il fluido trasporta via il calore; tanto più alta sarà la velocità tanto più grande sarà il gradiente. Per esprimere l effetto complessivo della convezione utilizziamo la legge del raffreddamento di Newton ha( T w T ) Il calore trasferito nell unità di tempo è legato alla differenza complessiva di temperatura tra fluido e parete e alla superficie A. La uantità h è il coefficiente convettivo di trasmissione del calore. Esso può essere calcolato nei casi più semplici ma il più delle volte deve essere determinato sperimentalmente. Nel caso in cui la superficie calda è esposta in aria calma si ha ancora un moto dell aria a causa di gradienti di densità vicino alla parete.in uesto caso si parla di convezione naturale (2) IRRAGGIAMENTO A differenza di conduzione e convezione, dove l energia viene trasmessa attraverso un mezzo materiale, nell irraggiamento il calore può essere trasmesso anche attraverso il vuoto. Il meccanismo in uesto caso è la radiazione elettromagnetica che si propaga per effetto di una differenza di temperatura (radiazione termica). Un radiatore termico ideale, o corpo nero, emette energia proporzionalmente alla uarta potenza della temperatura assoluta del corpo e alla sua superficie rad σat 4 (3) in cui σ è la costante di proporzionalità ed è nota come costante di Stefan-Boltzmann ed ha il valore W m 2 K 4. L euazione di Stefan-Boltzmann si applica solo ai corpi neri. Lo scambio netto di energia termica radiante tra due superfici sarà proporzionale alla differenza delle temperature assolute alla uarta potenza rad netta ---- σ( T 4 A T 4 2 ) Per tener conto che i corpi reali emettono meno di un corpo nero si introduce l emissività ε che lega la radiazione di una superificie grigia a uella di un corpo nero ideale εσa( T4 T 4 2 ) (4) 2

3 CONDUZIONE STAZIONARIA UNIDIMENSIONALE Quando il gradiente di temperatura è presente solo lungo una direzione la trasmissione del calore è unidimensionale PARETE PIANA Considerando una parete piana l integrazione della euazione () produce ka ( T x 2 T ) (5) se la conducibilità viene considerata costante. Lo spessore della parete è x e T e T 2 sono le temperature superficiali della parete. Se è presente più di un materiale, come nella parete multistrato di figura, dovendo essere uguale in ogni sezione il flusso di calore, si ha k A A T 2 T k (6) x B A T 3 T 2 k A x C A T 4 T 3 B x C Risolvendo ueste tre euazioni simultanemente il flusso di calore si scrive T T 4 - x A x B x C + + k A A k B A k C A A uesto punto possiamo guardare alla legge di Fourier da un altro punto di vista. Il calore trasmesso nell unità di tempo possiamo considerarlo come un flusso e la combinazione di conducibilità termica, spessore del materiale e area come una resistenza a uesto flusso. La temperatura è la funzione potenziale (motrice) per il flusso di calore e l euazione di Fourier si può scrivere in maniera analoga alla legge di Ohm dei circuiti elettrici flusso di calore differenza di potenziale termico resistenza termica Nell euazione (5) la resistenza termica è x ka e nell euazione (7) è la somma dei tre termini a denominatore che rappresentano tre resistenze termiche in serie. (7) T x A k A A x B k B A x C k C A A B C T T 2 T 3 T PARETE CILINDRICA Consideriamo un lungo cilindro di raggio interno r i, raggio esterno r e e lunghezza L. Esponendo il cilindro a una differenza di temperatura T i T e si stabilirà un flusso di calore. Per un cilindro di altezza molto più elevata rispetto al diametro si può assumere che il calore si propaghi solo in direzione radiale e uindi l unica coordinata che occorre specificare è il raggio r. Si può uindi applicare la legge di Fourier monodimensione. La sezione di passaggio del calore nel sistema cilindrico è A r 2πrL per cui la legge di Fourier è SISTEMI ENERGETICI 3

4 TRASMISSIONE DEL CALORE r k A r dt k2πrl dt dr dr con le condizioni al contorno (8) T T i per r r i T T e per r r e La soluzione dell euazione (8) è ln r e r i - 2πkL r e r i l T i T e 2πkL( T i T e ) - r ln--- e r i Nel caso di pareti multistrato si opera come nel caso piano. (9) COEFFICIENTE GLOBALE DI TRASMISSIONE DEL CALORE L euazione di trasmissione del calore per convezione ha( T w T ) può essere riscritta utilizzando l analogia elettrica nella forma seguente T w T -- ha dove il termine ha diviene la resistenza convettiva. Adesso consideriamo la pèarete piana della figura esposta su un lato ad un fluido caldo A e sull altro ad un fluido freddo B. Il calore trasmesso nell unità di tempo si può esprimere con (0) T A T T 2 fluido B h A x ka h 2 A fluido A h h 2 T A T T 2 T B T B ka h AT ( A T ) ( T x T 2 ) h 2 AT ( 2 T B ) Il processo di trasmissione del calore si può rappresentare con le tre resistenze in serie mostrate in figura. Il calore globale trasmesso si può calcolare come rapporto tra la differenza totale di temperatura e la somma delle tre resistenze termiche 4

5 T A T B () h A + x ka+ h 2 A Il calore globale trasmesso dalla combinazione di conduzione e convezione viene freuentamente espresso in funzione di un coefficiente globale di trasmissione del calore U definito dalla relazione UA T totale Con riferimento alla () il coefficiente globale di trasmissione del calore è (2) U - (3) h + x k + h 2 Per un tubo esposto a flusso convettivo sulla superficie interna e esterna l analogia elettrica appare come in figura fluido A fluido B - h i A i r e ln r i - 2πkL -- h e A e T A T i T e T B Da notare che l area per la convezione non è la stessa per i due fluidi perchè, in un caso, è la superficie interna del tubo, nell altro, la superficie esterna. Il calore globale trasmesso può essere espresso da T A T B --- (4) lnr - e r i h i A i 2πkL h e A e Essendo le superfici di trasmissione del calore diverse il coefficiente globale può essere basato o sulla superficie interna del tubo o su uella esterna U i --- A i lnr e r i A i h i 2πkL A e h e U e ---- A ---- e A --- e lnr e r i A i h i 2πkL h e (5) (6) SISTEMI ENERGETICI 5

6 TRASMISSIONE DEL CALORE DIPARTIMENTO DI ENERGETICA - POLITECNICO DI TORINO ESERCITAZIONE N. DI SISTEMI ENERGETICI. Il muro esterno di una casa è formato da uno strato di laterizio comune ( k 0.7 W ) dello spessore di 0.6 cm seguito da uno strato di intonaco di gesso ( k 0.48 W ) spesso 3.8 cm. Calcolare lo spessore della lana di roccia (isolante) in pannelli semirigidi ( k W ) che deve essere aggiunta per ridurre le perdite (o gli apporti) di calore attraverso il muro dell 80%. [ s 3.77 cm ] 2. Un tubo in acciaio inossidabile (8% Cr, 8% Ni, k 9 W ) con un diamentro interno di 2 cm ed esterno di 4 cm è ricoperto da uno strato di amianto (isolante) ( k 0.2 W ) spesso 3 cm. Se la temperatura sulla parete interna del condotto è mantenuta a 600 C e la temperatura esterna dell isolante è pari a 00 C, calcolare il flusso termico disperso per unità di lunghezza. Calcolare inoltre la temperatura interfacciale tra acciaio e amianto. [ L 680 W m, T C ] 3. Per progettare l impianto di riscaldamento della propria casa di montagna l ingegner Rossi vuole calcolare il flusso di calore che attraversa l involucro edilizio. Ogni parete disperdente occupa un area di 9 m 2 ed è formata dai seguenti strati:. intonaco da esterni ( s 2 cm, k 0.90 W ); 2. blocchi forati da 27 ( c.047 W ( m 2 C) ); 3. mattoni forati da 8 ( c W ( m 2 C) ); 4. intonaco da interni ( s cm, k 0.35 W ). Al centro di tre delle uattro pareti si trova una finestra in vetro semplice ( k W ) dello spessore di 0.7 cm che occupa una superficie di 0.7 m 2. Nella uarta parete vi è una porta vetrata di 2 m 2 con le stesse caratteristiche e spessore delle tre finestre. Il muro è esposto esternamente ad aria a 8 C ( h 23.2 W ( m 2 C) ) e all interno si desidera avera una temperatura di 20 C ( h 8. W ( m 2 C) ). Si trascurino le dispersioni di calore attraverso il soffitto e il terreno e l effetto dei serramenti e dei bordi delle pareti. [.295 kw ] 4. Un tubo in acciaio ( mm, d int mm ) ha una conducibilità d est termica pari a W ( m C). Il fluido che percorre l interno del tubo ha un coefficiente convettivo di W ( m 2 o C) ; la superficie esterna del condotto è ricoperta da uno strato di fibra di vetro dello spessore di 27 mm ( k W ( m o C) ). Il coefficiente convettivo sulla superficie esterna dell isolante è pari a.36 W ( m 2 o C). La temperatura del fluido interno è di 60 o C e uella ambiente è di 2. o C. Calcolare: a) il flusso termico disperso per unità di lunghezza, b) la temperatura tra acciaio e isolante, c) il coefficiente globale di scambio termico riferito sia all area interna, sia all area esterna del condotto. [ L W m, T C, U i W ( m 2 C), U e 0.47 W ( m 2 C) ] o 5. Un cilindro orizzontale in acciaio ( d 5 cm, h e 6.5 W ( m 2 C) ) è mantenuto ad una temperatura di 50 o C in una stanza dove aria e superficie muraria hanno una temperatura di 20 o C. Per il cilindro si assuma un emissività di 0.8. Calcolare il flusso termico totale per unità di lunghezza trasferito dal cilindro. [ L W m] o 6