Matematica e cultura

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3 Matematica e cultura 2010

4 a cura di Michele Emmer Matematica e cultura

5 Michele Emmer Dipartimento di Matematica G. Castelnuovo Università degli Studi La Sapienza, Roma ISBN e-isbn DOI / Springer-Verlag Italia 2010 ( Copyright del capitolo Le perle veneziane: un tesoro da scoprire : Giovanni Sarpellon) Quest opera è protetta dalla legge sul diritto d autore, e la sua riproduzione è ammessa solo ed esclusivamente nei limiti stabiliti dalla stessa. Le fotocopie per uso personale possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall art. 68, commi 4 e 5, della legge 22 aprile 1941 n Le riproduzioni per uso non personale e/o oltre il limite del 15% potranno avvenire solo a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, Corso di Porta Romana n. 108, Milano 20122, [email protected] e sito web Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all utilizzo di illustrazioni e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla registrazione su microfilm o in database, o alla riproduzione in qualsiasi altra forma (stampata o elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. La violazione delle norme comporta le sanzioni previste dalla legge. L utilizzo in questa pubblicazione di denominazioni generiche, nomi commerciali, marchi registrati, ecc. anche se non specificamente identificati, non implica che tali denominazioni o marchi non siano protetti dalle relative leggi e regolamenti. L editore è a disposizione degli aventi diritto per quanto riguarda le fonti che non è riuscito a contattare. Traduzioni: Massimo Caregnato per gli articoli di C. Antonova, M. Fornasier, F. Grond; Federica Corradi Dell Acqua per l articolo di M. Rottmann Coordinamento editoriale: Barbara Amorese In copertina: incisione di Matteo Emmer tratta da La Venezia perfetta, Centro Internazionale della Grafica, Venezia, 1993 Occhielli: incisioni di Matteo Emmer, op. cit. Layout di copertina: Ikona s.r.l. Impaginazione: Ikona s.r.l. Stampa: Grafiche Porpora, Segrate, Milano Il congresso è stato realizzato grazie alla collaborazione di: Dipartimento di Matematica Applicata, Università di Ca Foscari, Venezia; Dipartimento di Matematica G. Castelnuovo, Università di Roma La Sapienza ; Dipartimento di Matematica, Università di Bologna; Dipartimento di Scienze per l Architettura dell'università di Genova; Dipartimento di Matematica, Politecnico di Milano; Dipartimento di Matematica F. Enriques, Università di Milano; Dipartimento di Matematica, Università di Pisa; Dipartimento di Matematica, Università di Trento; Galileo - Giornale di scienza e problemi globali; Liceo Scientifico U. Morin di Venezia-Mestre; Liceo Marco Polo, Venezia; S. P. Matematica: Scienza senza Frontiere, Università di Lecce; UMI - Unione Matematica Italiana. Il congresso si è svolto nell ambito del progetto PRIN 2007 Matematica, arte, cultura: possibili connessioni Stampato in Italia Springer-Verlag Italia S.r.l., Via Decembrio 28, I Milano Springer fa parte di Springer Science+Business Media (

6 Nel lontano West Il colonnello Kirby Yorke torna da una missione contro gli Apache, siamo alla frontiera tra USA e Messico, nel territorio del Rio Grande. Torna al suo forte sulla frontiera e incontra il generale inviato a parlare con lui. Si lamenta il colonnello: Il caffé non è buono come quello di una volta. Ne prenderò nota commenta con aria allusiva il generale ma forse un giorno sarà migliore e più forte. Bevo a quel giorno. Peccato per vostro figlio aggiunge il generale. Non so nulla. Mi dispiace Kirby, credevo sapeste. Bocciato in matematica a West Point, lo hanno allontanato dalla Accademia Militare. Davvero! Non è una vergogna cadere in matematica. A me pure non mi bocciarono per un pelo.

7 vi Nel lontano West Dialogo delle scene iniziali del film Rio Grande (in italiano il titolo suona Rio Bravo, il che pose qualche problema quando nel 1959 Howard Hawks realizzò Rio Bravo con John Wayne e Dean Martin. In italiano questo film si chiamò Un dollaro d onore), terzo film della trilogia di John Ford dedicata alla cavalleria Nordamericana. Film del 1950 con John Wayne nella parte del colonnello Yorke, e con Maureen O Hara, Ben Johnson e Victor McLaglen. Morale: neppure nei territori di frontiera in lotta con gli Apache si possono trascurare gli studi di matematica! Michele Emmer

8 Indice Matematica e religione. Omaggio a Florenskij Spazio iconico, geometria non euclidea e cultura nella visione del mondo di Pavel Florenskij Clemena Antonova Pavel Florenskij, tra matematica e religione Michele Emmer Curve di riempimento dello spazio nella new media art ispirata a Pavel Florenskij Florian Grond Florenskij, l infinito, la teologia Giorgio Israel Matematica e arte Superfici di seta: la geometria negli abiti di Capucci Isabeau Birindelli Pop Numbers Marco Pierini Forme matematiche: dalla formula alla forma nello spazio Michael Rottmann Matematica e immagini Da King Kong a Ratatouille: nuove sfide matematiche per i personaggi digitali Luca Fascione _zur form Florian Grond M.C. Escher e il piano iperbolico Gian Marco Todesco Matematica e cinema: novità Michele Emmer vii

9 viii Indice Matematica e applicazioni Pile di sabbia e dune del deserto: materia granulare e matematica Stefano Finzi Vita La matematica dentro l immagine Massimo Fornasier La fisica degli stormi di storni in volo Fabio Stefanini Matematica e Prezzi nel caos Marco Abate Matematica e sincerità Marco Li Calzi Matematica e letteratura Percorsi Michele Emmer Matematica: passione giovanile di Stendhal Michele Emmer Conti e racconti: la scienza come laboratorio creativo Robert Ghattas, Daniele Gouthier, Stefano Sandrelli Matematica e musica Dianaballo Davide Amodio Matematica e danza Incontrare la scienza a passo di danza: flamenco Samuela Caliari, Silvia Rensi Venezia Le perle veneziane: un tesoro da scoprire Giovanni Sarpellon

10 Matematica e religione. Omaggio a Florenskij Spazio iconico, geometria non euclidea e cultura nella visione del mondo di Pavel Florenskij C. Antonova Pavel Florenskij, tra matematica e religione M. Emmer Curve di riempimento dello spazio nella new media art ispirata a Pavel Florenskij F. Grond Florenskij, l infinito, la teologia G. Israel

11 Spazio iconico, geometria non euclidea e cultura nella visione del mondo di Pavel Florenskij di Clemena Antonova La costruzione dello spazio pittorico nelle icone medievali, o la cosiddetta prospettiva rovesciata, è per molti aspetti un problema intellettuale tipicamente russo. Sebbene l espressione prospettiva rovesciata sia stata originariamente coniata in tedesco da Oscar Wulff in un articolo del 1907 [1], la questione dello spazio nell arte delle icone, nel mondo occidentale, non è mai stata assurta a interesse accademico sistematico. È interessante rilevare che l unica obiezione seria alla posizione di Wulff fu quella di Karl Doehlemann nel 1910 [2], mentre Panofsky fece menzione della disputa Wulff-Doehlemann in una breve nota a piè di pagina nel suo testo Perspective as a Symbolic Form [3]. A parte questo episodio, l espressione prospettiva rovesciata è entrata nell uso comune senza grandi opposizioni ed è sempre stata intesa nell ottica di Wulff, vale a dire riferendosi al principio di costruzione spaziale tipica dell arte bizantina, per cui le linee parallele vengono rappresentate come divergenti piuttosto che convergenti, come avviene in lontananza nel normale spazio lineare 1. La situazione all interno dell ambiente accademico russo era molto diversa. Mentre Wulff, che proveniva da una famiglia tedesca di San Pietroburgo, dove studiò prima di trasferirsi in Germania, era molto noto e le sue opinioni erano ampiamente accettate, l intera questione della prospettiva rovesciata divenne un problema tale da mobilitare filosofi religiosi, semiologi culturali, ma anche matematici. Nel contempo, la teoria di Wulff veniva ulteriormente elaborata e arricchita, in molti casi tanto da non essere più riconoscibile. Probabilmente nessuna nozione appare più entusiasmante e allo stesso tempo problematica dell idea che lo spazio delle icone può essere inteso come analogo alla geometria non euclidea. L idea fu avanzata per la prima volta da Pavel Florenskij ( ), filosofo religioso e sacerdote che aveva studiato matematica e fisica. Il pensatore russo concentrò l attenzione su una carat- 1 Abbiamo messo in discussione tale punto di vista in [4] e l ho ulteriormente contestato in [5].

12 4 Matematica e cultura 2010 teristica comune dello spazio nelle icone e cioè la frequente rappresentazione delle linee rette come curve. Questo trattamento delle linee, secondo Florenskij, origina una curvatura generale dello spazio iconico, che presenta analogie con lo spazio ricurvo della geometria non euclidea. Se questa ipotesi viene vista nel contesto della filosofia dell icona di Florenskij, che egli espose in una serie di opere, ciò che traspare, credo, è il contrasto tra lo spazio euclideo e quello non euclideo, in cui quest ultimo può essere interpretato come una proposta di modello opposto al primo, che sostiene una visione del mondo moderna, secolare, kantiana. Nel presente lavoro analizzerò la proposta di Florenskij sulla base delle reazioni alla geometria non euclidea registratesi in Russia. Mostrerò come il problema matematico e scientifico della geometria non euclidea sia stato raccolto da scrittori, poeti e artisti russi e trasformato in una metafora. Il punto di vista di Florenskij su questo tema nel contesto della sua critica sull arte delle icone non ha stimolato, per quanto ne sappia, nessun interesse di tipo accademico. Allo stesso tempo è importante, in quanto suggerisce, da un lato, una spiegazione fondamentalmente nuova della prospettiva rovesciata mentre, dall altro lato, è indicativo della dimensione tipicamente russa della metafora della geometria non euclidea. L appropriatezza dell applicazione del concetto ottocentesco di geometria non euclidea a una pratica artistica medievale è, naturalmente, discutibile. Allo stesso tempo, l ipotesi di uno spazio curvo/concavo può potenzialmente contribuire alla spiegazione dello spazio iconico, il quale non ha ancora ricevuto la dovuta attenzione. La geometria non euclidea in Russia: dalla scienza alla metafora Il contributo russo alla storia della geometria non euclidea è ben noto. Il primo sistema di geometria non euclidea fu elaborato all inizio del XIX secolo da Nikolaj Ivanovič Lobačevskij ( ), professore all università di Kazan in Russia, in maniera indipendente dall ungherese Janos Bolyai ( ). Una seconda variante fu proposta più tardi dal matematico tedesco Riemann ( ). In parole semplici, le geometrie non euclidee negano il quinto postulato di Euclide, o postulato delle parallele, l implicazione del quale è che, per un punto non appartenente a una data linea retta, è possibile tracciare una e una sola retta parallela alla retta data. Per Lobačevskij, Riemann e altri si può tracciare più di una retta parallela per tale punto, ma soprattutto e fatto ancora più importante per altri scopi entrambi i tipi di geometrie suggeriscono la possibilità di uno spazio curvo. L idea di spazio curvo tornò alla ribalta negli anni Venti del Novecento con la teoria della Relatività Generale di Einstein, avanzata nel 1916 (l idea della curvatura del continuum spaziotemporale non era presente nella teoria della Relatività Speciale del 1905). È facile capire perché le avanguardie russe degli anni Venti, ma anche altrove, fossero attirate dall idea di spazio curvo. In termini artistici, lo spazio curvo mette

13 Spazio iconico, geometria non euclidea e cultura nella visione del mondo di Pavel Florenskij 5 in discussione le premesse stesse su cui si basa la costruzione della prospettiva lineare, e l arte modernista si caratterizzava per una appassionata rivolta contro la prospettiva classica. In termini filosofici, è una sfida alla filosofia di Kant che presuppone che gli assiomi della geometria siano a priori, cioè non possano essere appresi con l esperienza e siano insiti in noi. La possibilità stessa di immaginare altre geometrie mette in questione questa posizione e, per implicazione, insidia la visione del mondo kantiana. Entrambe queste idee la sfida alla prospettiva lineare classica nell arte e alla filosofia kantiana trovarono ampia risonanza in Russia, ma furono anche colorite dagli sviluppi intellettuali locali. L insoddisfazione sulla prospettiva come veniva praticata nell arte occidentale sin dal Rinascimento faceva parte anche di un movimento più ampio di riscoperta dell icona russa medievale, che aveva radici nella seconda metà dell Ottocento. La posizione anti-kantiana, d altra parte, era aspetto integrante della filosofia religiosa russa e tema ricorrente associato a quest area del pensiero filosofico. L interesse di alcune figure di spicco dell avanguardia russa per la geometria non euclidea negli anni venti va interpretata sullo sfondo di questo contesto. Negli anni precedenti era apparsa una serie di pubblicazioni sull argomento. Già nel 1893, in occasione del centenario della nascita di Lobačevskij, furono messe in circolazione traduzioni in russo delle opere di Riemann, Hermann von Helmholtz (a cui si deve in gran parte la disseminazione della geometria non euclidea presso un pubblico profano) e altri. A.V. Vasiliev dell università di Kazan curò un libro, intitolato Noviie idei v matematike (Nuove idee in matematica) (1913), che comprendeva una serie di testi sull argomento, tra cui uno scritto di Ernst Mach sulla percezione del senso. Un altro laureato in matematica a Kazan e uno dei più importanti poeti futuristi, Velimir Khlebnikov ( ), rivelò un interesse costante per la geometria non euclidea, che per lui come per gli altri, divenne un simbolo di libertà. In una poesia dedicata al ribelle cosacco Stepan Razin, Khlebnikov si definisce un Razin sotto il nome di Lobačevskij. El Lissitzky, così come Matyushin, rivelarono nella loro arte e nei loro scritti una preoccupazione rispetto allo spazio curvo e anche presso di loro è il concetto di libertà a essere fondamentale. Il caso di Khlebnikov è interessante in quanto, per qualcuno che avesse familiarità con il lato matematico e scientifico della questione, egli scelse intenzionalmente di trasformare la geometria non euclidea in metafora. In questo senso, Khlebnikov assomiglia a Florenskij, che, similmente, era un matematico e, similmente, si riferiva alla geometria non euclidea in maniera metaforica. L approccio di Florenskij, tuttavia, trova un precursore più immediato e diretto in Dostoevskij, in quanto entrambi usarono la geometria non euclidea come mezzo per problematizzare e andare dritto al cuore di una visione del mondo profondamente cristiana. In definitiva, l ipotesi di Florenskij su cui ci stiamo concentrando appartiene nello spirito al problema sollevato dal personaggio di Dostoevskij Ivan Karamazov in quello che probabilmente è uno dei passaggi più noti della letteratura russa [6]:

14 6 Matematica e cultura 2010 Posto che Dio esista, e che abbia realmente creato la terra, questa, come tutti sappiamo, è stata creata secondo la geometria euclidea, e l intelletto umano è stato creato idoneo a concepire soltanto uno spazio a tre dimensioni. Vi sono stati, invece, e vi sono anche ora, geometri e filosofi, e anzi fra i più grandi, i quali dubitano che tutta la natura, o più ampiamente, tutto l universo, sia stato creato secondo la geometria euclidea [...]. Umilmente riconosco che in me non c è nessuna capacità di risolvere problemi simili: in me c è una mente euclidea, terrestre, e come potrei pretendere di ragionare su ciò che non è di questo mondo? Come ho già osservato precedentemente (si veda [7]), la preoccupazione costante di Florenskij sull icona non riguarda affatto semplicemente la storia dell arte, dal momento che l immagine sacra fornisce un contesto per giudizi su quelli che per l autore russo erano i problemi più importanti e urgenti della cultura moderna. Tracciare un collegamento tra la geometria non euclidea e lo spazio iconico è più che un concetto intrigante, in quanto sostanzialmente si riduce all implicita asserzione che l icona, nella sua contestualizzazione in una visione del mondo religiosa presumibilmente, è l icona russa che Florenskij ha in mente può offrire un modello alternativo di visualizzazione rispetto a quello dominante dal Rinascimento e in particolare dall Illuminismo. Lo spazio curvo delle icone Probabilmente il contributo più importante degli scritti russi sulla prospettiva rovesciata è la dimostrazione che lo spazio dell icona è altamente complesso, molto più di quanto qualsiasi altra caratteristica osservata da autori vari possa suggerire. Chiaramente nello spazio iconico vi è molto di più che una semplice rappresentazione di linee parallele come divergenti in lontananza (come suggerì Wulff) o la concezione gerarchica della dimensione delle figure, per cui i personaggi più importanti sono raffigurati in dimensioni maggiori di quelli meno importanti (come sostenne Doehlemann). Fu Florenskij a notare per primo l interessantissimo fenomeno dei piani supplementari dell icona, cioè la frequente rappresentazione di diversi lati di un oggetto, che non potevano essere visti da una posizione fissa allo stesso momento. Pertanto, gli edifici possono essere raffigurati con i piani laterali uniti al prospetto, le facce dei santi presentano vedute di profilo unite al viso, ecc. 2. L attenzione posta sulla curvatura dello spazio iconico è un ulteriore preziosa deduzione. D altra parte, però, si può osservare che gli autori russi non sono riusciti a produrre una teoria convincente sullo spazio iconico, come si evince chiaramente dalle 2 Parlo più dettagliatamente della nozione di Florenskij di piani supplementari nel mio prossimo libro [5], in cui fornisco anche degli esempi di immagini.

15 Spazio iconico, geometria non euclidea e cultura nella visione del mondo di Pavel Florenskij 7 tante contraddizioni che si riscontrano nelle opere russe, a partire da Florenskij. Colpisce il fatto che Florenskij sembrasse non capire che mentre i piani supplementari dell icona funzionano bene insieme entro un sistema di spazio curvo, sia i piani supplementari, sia lo spazio curvo screditano la posizione di Wulff, che l autore russo e i suoi seguaci accettano implicitamente. L idea di Wulff che la prospettiva rovesciata ribaltasse le leggi della prospettiva classica presuppone comunque (come la prospettiva classica) uno spazio lineare. L idea di Florenskij di spazio curvo è entusiasmante proprio perché presuppone che la natura stessa dello spazio iconico sia fondamentalmente differente da quella di spazio lineare. Florenskij fa riferimento alla geometria non euclidea in molti dei suoi testi che affrontano il problema dell icona. Considererò qui, in particolare, il suo classico saggio Reverse Perspective, scritto nel 1919 e presentato l anno seguente al Diparti - mento Bizantino dell Istituto di Ricerca Artistica e Storica e Museologia di Mosca. Quest opera non solo influenzò enormemente autori russi successivi come Lev Zhegin e Boris Uspensky 3, ma rivelò anche la coesistenza di idee in mutua esclusione, come detto in precedenza. Annunciandosi promettente, il testo di Florenskij comincia con un breve paragrafo sui piani supplementari, un concetto più tardi abbandonato in favore della discussione poco proficua sul fatto che la prospettiva rovesciata ribalti le regole della prospettiva lineare. Ed è nel contesto dell opposizione tra la prospettiva rovesciata e quella lineare che viene citato Euclide. Florenskij delinea sei presupposti per la prospettiva lineare, che ritiene essere falsi, un opinione giustificata da ricerche scientifiche ottocentesche, svolte in particolare in Germania e in Austria. La prospettiva rovesciata non condivide tali presupposti ed è pertanto definita attraverso la loro negazione. Ci concentreremo qui sul primo e fondamentale presupposto, dal quale derivano tutti gli altri, e cioè quello dello spazio euclideo. La prospettiva lineare si basa sulla nozione per cui viviamo in uno spazio euclideo tridimensionale, del quale la nostra visione ci offre degli esempi, ai quali la prospettiva pittorica fornisce una forma visiva permanente. Tuttavia, come osservato da Ernst Mach, vi sono tre livelli differenti che devono essere distinti nel problema dello spazio, del quale lo spazio geometrico astratto è solo un caso particolare. Per quanto riguarda lo spazio fisico, non c è ragione per sostenere che sia euclideo [8], [9]. E nemmeno lo spazio fisiologico è euclideo e, secondo Mach [10] 4, se accettiamo che lo spazio fisiologico sia innato in noi, esso presenta troppe poche somiglianze con lo spazio geometrico per permetterci di vedere in esso una base sufficiente per una geometria avanzata a priori (in senso kantiano). 3 Sul trio Florenskij-Zhegin-Uspensky, si veda l articolo [4]. 4 La fonte originale di Mach è andata persa.