Esempi di carte di controllo e Minitab

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1 Esempi di carte di controllo e Minitab (Paola Vicard) Questa è una piccola guida alla costruzione delle principali carte di controllo con Minitab. Per una presentazione complessiva si veda il testo Il controllo statistico della qualità con Minitab di Enzo Bellucco del 2007 (editore Franco Angeli) consigliato anche nei riferimenti bibliografici del presente corso.

2 Carte di controllo per variabili Le carte di controllo per variabili possono essere costruite seguendo i passi illustrati a lezione con riferimento al software Minitab. Il comando per costruire le carte di controllo si trova a partire dal menu Stat. Cliccando si apre una finestra in cui si seleziona control charts. A sua volta si apre un menu in cui si seleziona variable charts for subgroups. Delle possibili carte per variabili si sceglie o Xbar-R o Xbar-S (questa seconda tipologia va necessariamente scelta quando o l ampiezza n degli m campioni è maggiore di 10 oppure se gli m campioni hanno dimensione variabile). 2

3 Esempio: supponiamo di avere monitorato per sei giorni (da sabato a giovedì) il peso in grammi di pezzi prodotti da un processo m = 6 n = 3 Giorno Osservazioni Sab Dom Lun Mar Mer Gio x = R = = Le costanti sono A 2 = D 3 = 0 Carta x D 4 = = Carta R Valore centrale LIC = 0 =15.47 LSC = =22.97 = = =9.44 3

4 COME FARE CON MINITAB Innanzitutto vediamo come inserire i dati nel software. Una possibilità è inserire tutte le osservazioni in una colonna e nella colonna accanto indicare a quale campione appartiene ogni singola osservazione. Quindi in tutto il dataset sarà costituito da due colonne. Nel nostro esempio dovremo incolonnare i nostri 6 campioni e quindi avremo: 1. una colonna (chiamata peso (in g) di 6 3=18 osservazioni. 2. una colonna che indica in quel giorno è stata fatta l osservazione (chiamata giorno ). peso (in g) giorno 22 S 19 S 20 S 21 D 20 D 17 D 16 L 17 L 18 L 20 Ma 16 Ma 21 Ma 23 Me 20 Me 20 Me 19 G 16 G 21 G 4

5 Una volta scelto o Xbar-R o Xbar-S si apre una finestra di dialogo che guida nella costruzione della carta. Consideriamo il caso della carte Xbar-R Nella finestra di dialogo che si apre è necessario innanzitutto indicare dove si trovano le osservazioni da rappresentare. Abbiamo sistemato il data se in modo tale da avere tutte le osservazioni in una colonna ( all observation for a chart are in one column ). Nello spazio (area bianca) sotto la specificazione tutte le osservazioni sono in una colonna va indicata la colonna in cui si trovano le osservazioni (una volta posto il cursore cliccando nell area bianca, nel campo bianco a sinistra si avrà la lista delle colonne contenenti dati quantitativi. Se ce ne è più di una scegliere quella che contiene le misurazione di interesse, nel nostro caso scegliere peso in g. Cliccare sul nome della variabile e poi cliccare su select. In questo modo apparirà nello spazio bianco sotto ( all observation for a chart are in one column il nome della colonna con le misurazioni, ossia peso in g ). Nello spazio subgruop size va inserita la colonna contenente l informazione in merito al campione di appartenenza. Una volta posto il cursore cliccando nell area bianca accanto a subgruop size, nel campo bianco a sinistra si avrà la lista di tutte le colonne del vostro data set. Scegliere quella che contiene l informazione sul campione di appartenenza (nel nostro esempio giorno ). Cliccare sul nome giorno della variabile e poi cliccare su select. In questo modo giorno apparirà nello spazio bianco accanto a subgruop size. A questo punto cliccare su Xbar-R Options. Si apre una nuova finestra di dialogo con varie cartelle da poter consultare. 1. cliccare sulla cartella estimate e controllare che sia selezionata l opzione Rbar 2. cliccare su s limits. Nella prima parte display control limits at these multiples of the standard deviation indicare se volete 5

6 che vengano rappresentate altre bande di controllo oltre a quelle a 3σ (che vengono date in automatico dal software) cliccare su test. In automatico il software segnala solamente se qualche punto si trova al di fuori delle bande poste a distanza 3σ. In questa finestra potete specificare se volete altri dei criteri noti come criteri della Western electric. 4. cliccare OK in modo da tornare alla finestra principale della carta di controllo 5. cliccare OK in modo da mandare in esecuzione e ottenere grafico e rapporto di eventuali fuori controllo 1 E consigliabile in genere inserire 2 e 3 (cioè digitare 2 3) per avere anche le bande di sorveglianza). 6

7 X-bar Chart for peso LSC=22.97 Sample Mean Sample Number LIC=

8 R Chart for peso 10 LSC=9.44 Sample Range 5 R= LIC= Sample Number 5 6 8

9 Vediamo un altro esempio (anche questo svolto in aula). Provate a eseguirlo con Minitab. Esempio:stiamo rilevando la soddisfazione dei partecipanti ad un corso. Alla fine di ogni settimana (per 8 settimane) viene dato un questionario in cui i corsisti devono dare un voto tra 1 e 7 al docente della settimana. Si scelgono a caso 5 studenti a settimana. Ecco i dati m = 8 n = 5 Settimana x = R = = Le costanti sono A 2 = D 3 = 0 D 4 = = 5.05 Carta x Carta R Valore centrale LIC = 0 =3.68 LSC = = = =6.42 =5.02

10 Xbar/R Chart for voto Sample Mean LSC=6.42 Mean=5.05 LIC=3.68 Settimana Sample Range LSC=5.02 R=2.375 LIC=0 10

11 Per costuire la carta di controllo una volta eliminati i dati relativi alla settimana anomala, occorre, a partire dalla pagina principale del calcolo delle Xbar RChart cliccare sul comando Data Options. Nella figura che segue vedete come escludere i dati anomali che per noi sono quelli che si riferiscono alla quarta settimana di rilevazione. Abbiamo inserito la condizione per l esclusione cliccando sul tasto Condition e andando quindi a comporre la regola di esclusione. 11

12 Nella figura seguente vedete la maschera che si apre quando cliccate sul tasto Condition. 12

13 La carta di controllo risultante, una volta eliminati i dati della quarta settimana è: 13

14 Vediamo come costruire le carte di controllo per variabili x e S. Consideriamo l esempio che si trova in Tabella 5.3 del libro controllo statistico della qualità (2006) di D. C. Montgomery. N campione oss1 oss2 oss3 oss4 oss5 1 74,030 74,002 74,019 73,992 74, ,995 73,992 74,001 74,011 74, ,988 74,024 74,021 74,005 74, ,002 73,996 73,993 74,015 74, ,992 74,007 74,015 73,989 74, ,009 73,994 73,997 73,985 73, ,995 74,006 73,994 74,000 74, ,985 74,003 73,993 74,015 73, ,008 73,995 74,009 74,005 74, ,998 74,000 73,990 74,007 73, ,994 73,998 73,994 73,995 73, ,004 74,000 74,007 74,000 73, ,983 74,002 73,998 73,997 74, ,006 73,967 73,994 74,000 73, ,012 74,014 73,998 73,999 74, ,000 73,984 74,005 73,998 73, ,994 74,012 73,986 74,005 74, ,006 74,010 74,018 74,003 74, ,984 74,002 74,003 74,005 73, ,000 74,010 74,013 74,020 74, ,988 74,001 74,009 74,005 73, ,004 73,999 73,990 74,006 74, ,010 73,989 73,990 74,009 74, ,015 74,008 73,993 74,000 74, ,982 73,984 73,995 74,017 74,013 14

15 Di seguito vediamo come arrivare mediante i menu a tendina alla pagina per la costruzione delle carte X e S. 15

16 Vediamo come far leggere al software i dati nel nostro data set. Abbiamo che i dati di ogni gruppo sono inseriti per riga e quindi occorre scegliere l opzione observations for a subgroup are in one row of columns. In questa finestra occorre cliccare sulla voce Xbar-S Options. Si accede così ad una nuova finestra di dialogo (nella figura seguente) composta da varie schede. Andare alla scheda Estimate e lì selezionare come di seguito riportato. 16

17 A questo punto non resta che dare l OK definitivo. 17

18 Carte di controllo per attributi Le carte di controllo per variabili possono essere costruite seguendo i passi illustrati a lezione con riferimento al software Minitab. Il comando per costruire le carte di controllo si trova a partire dal menu Stat. Cliccando si apre una finestra in cui si seleziona control charts. A sua volta si apre un menu in cui si seleziona attributes charts. Delle possibili carte per variabili si sceglie p. 18

19 Esempio: il management di un albergo decide di monitorare un campione di 200 stanze per 4 settimane valutando, per ciascuna stanza, la presenza o meno di oggetti difettosi Giorno Stanze non conformi Stanze monitorate Giorno Stanze non conformi m = 28 Stanze monitorate n = 200 p = n stanze non conformi n stanze monitorate = 463 = ( ) 200 LSC = =

20 0.0827( ) 200 LIC = = COME FARE CON MINITAB Innanzitutto vediamo come inserire i dati nel software. Nel caso delle carte di controllo i dati possono essere inseriti nel software così come sono dati visto che già si ha una colonna in cui sono riportati tutti i dati relativi alle stanze non conformi (che è la variabile di nostro interesse). Pertanto il data set così come inserito sarà: giorno stanza controllate stanze non conformi Passiamo alla costruzione della carta. Una volta scelta la carta p si apre una finestra di dialogo che guida nella costruzione della carta. 20

21 Nella finestra di dialogo che si apre è necessario innanzitutto indicare dove si trovano le osservazioni da rappresentare. Cliccare nel campo bianco che si trova sotto variables. Nel campo bianco a sinistra si avrà la lista delle colonne contenenti dati. Scegliere quella colonna che contiene i dati sul numero di pezzi difettosi (nel nostro caso scegliere stanze non conformi ). Cliccare sul nome della variabile (cioè stanze non conformi ). poi cliccare su select. In questo modo apparirà nello spazio bianco sotto variables il nome della colonna stanze non conformi. Nello spazio subgruop size va inserita la colonna contenente l informazione in merito al numero di pezzi ispezionati (nel nostro caso si parla di stanze d albergo ispezionate e dobbiamo selezionare stanze controllate ). Quindi, una volta posto il cursore cliccando nell area bianca accanto a subgruop size, nel campo bianco a sinistra si avrà la lista di tutte le colonne del nostro data set. Scegliere quella che contiene l informazione sul numero di pezzi ispezionati (nel nostro esempio stanze controllate ). Cliccare sul nome stanze controllate della variabile e poi cliccare su select. In questo modo stanze controllate apparirà nello spazio bianco accanto a subgruop size. A questo punto cliccare su p chart Options. Si apre una nuova finestra di dialogo con varie cartelle da poter consultare. 1. cliccare sulla cartella estimate. L uso di questa cartella è importante quando si voglia produrre la carta di controllo omettendo alcuni dei campioni osservati. In particolare nello spazio bianco sottostante omit the following subgroups si può scrivere il numero o i numeri (se più di uno) dei campioni che non si vuole considerare nel calcolo della linea centrale e dei limiti di controllo. Notare che la prima volta che si costruisce questa carta, il campo dovrà rimanere bianco perché siamo ancora in fase esplorativa. Nota: Quando si scrivono in questa finestra i campioni che non devono essere usati nel processo di stima del valore centrale e dei limiti di controllo si produce come risultato una carta di 21

22 controllo che continua a rappresentare i campioni eliminati (come memoria del processo di costruzione della carta di controllo) ma i cui limiti e linea centrale sono calcolati escludendo i dati dei campioni che sono stati omessi (si veda a tal proposito l esempio sugli errori di battitura della nota sulle carte per attributi). 2. cliccare su s limits. Controllare che sia selezionata l opzione using actual sizes of the subgroups. 3. cliccare su test. In automatico il software segnala solamente se qualche punto si trova al di fuori delle bande poste a distanza 3σ. In questa finestra potete specificare se volete altri dei criteri noti come criteri della Western electric. 4. cliccare OK in modo da tornare alla finestra principale della carta di controllo 5. cliccare OK in modo da mandare in esecuzione e ottenere grafico e rapporto di eventuali fuori controllo 22

23 P Chart of stanze non conformi 0.14 UCL= Proportion _ P= Sample LCL=

24 Accade molto spesso nell analisi per attributi di avere dimensioni campionarie variabili. In tal caso si può effettuare l analisi in uno dei seguenti due metodi. 1) il primo metodo (e anche il più semplice) è quello dei limiti di controllo ad ampiezza variabile. In generale si hanno sempre m campioni ma di ampiezza differente e indicata con n i, i=1,...,m. La linea centrale viene calcolata come segue p D = n D + + n 1 m I limiti di controllo (superiore e inferiore) vengono calcolati separatamente per ogni singolo campione (e indicati LCI i e LSC i rispettivamente) in base a p e alla numerosità campionaria n i di quel campione, ossia LSC i = LIC i = p + 3 p 3 n i m p(1 p(1 n i p) p) 24

25 Esempio: numero di spugne prodotte in 32 giorni consecutivi da una fabbrica. Giorno Spugne non Spugne controllate Giorno Spugne non Spugne controllate conformi conformi m = D = 679 n = i= 1 i 32 i= 1 i p = n spugne non conformi n spugne controllate = 679 =

26 LSC i = LIC i = ( ) n i 0.034( ) n i COME FARE CON MINITAB? Esattamente come abbiamo fatto per la carta p quando la numerosità non è variabile (eseguire gli stessi comandi!) P Chart of spugne non conformi UCL= Proportion _ P= LCL= Sample Tests performed with unequal sample sizes si noti che la carta segnala un fuori controllo in corrispondenza del campione n. 26. In tal caso è necessario analizzare cosa è successo e vedere se è qualcosa di particolare e non di strutturale. 26

27 Fatto ciò è possibile costruire una nuova carta che, pur continuando a rappresentare il campione n. 26, non ne tenga conto in fase di calcolo della linea centrale e dei limiti di controllo. COME FARE CON MINITAB? Basta seguire sempre gli stessi comandi per la costruzione della carta p. Quando arrivate al passo 1 di pag.21 (della presente nota) nello spazio bianco sotto omit the following subgroups scrivere 26 (ossia scrivere il numero del campione che NON deve essere considerato nel calcolo della linea centrale e dei limiti di controllo della carta. Dopo ciò eseguire esattamente tutti i comandi visti a pag.21 e 22. Si ottiene P Chart of spugne non conformi UCL= Proportion _ P= LCL= Sample Tests performed with unequal sample sizes Notate che il fuori controllo continua ad essere rappresentato ma sia la linea centrale sia i limiti di controllo hanno un valore più basso di quelli calcolati precedentemente visto che non si considera più quel campione che presenta un numero particolarmente elevato di spugne difettose. 27

28 2) metodo basato sulla dimensione campionaria media. Questo metodo si basa sull ipotesi che la dimensione campionaria non sia estremamente variabile da campione a campione e che pertanto sia possibile approssimarla con l ampiezza media indicata con n dove 1 m n = n i m i= 1 L utilizzo di un ampiezza campionaria approssimata porterà alla determinazione di limiti di controllo approssimati che sono LSC = p + 3 p(1 p) n LIC = p 3 p(1 n p) 28

29 Esempio (continuazione del precedente) n = p = n spugne non conformi n spugne controllate = 679 = LSC = LIC = ( ) ( ) 623 COME FARE CON MINITAB? Basta eseguire tutti passi visti per la generica carta p con un unica differenze in merito al punto 2 a pag.21. In particolare nella cartella s limits controllare che sia selezionata l opzione assuming all subgroups have size. Nel campo bianco accanto a assuming all subgroups have size trovate scritto il numero 1. Cancellatelo e al suo posto scrivete la dimensione media dei vostri campioni (arrotondata all intero 1 m più vicino). Questa dimensione n = n i dovrete averla m i= 1 precedentemente calcolata dai vostri dati relativi al numero di pezzi (o unità) ispezionati (ossia nel nostro esempio a partire dalla colonna spugne controllate ). 29

30 P Chart of spugne non conformi 1 UCL= Proportion _ P= Sample LCL= notiamo che il campione n. 26 continua a segnalare un fuori controllo. Anche in questo caso si potrà procedere alla costruzione della carta (mantenendo per coerenza il metodo della numerosità campionaria media) eliminando il campione n