Carte di controllo per variabili

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1 Le carte di controllo Carte di controllo per variabili per variabili Queste note NON sostituiscono il testo di riferimento ma sono finalizzate ad agevolare lo studio del testo stesso.

2 Le carte di controllo per variabili si usano per monitorare un processo mediante caratteristiche continue (misurabili) della qualità del prodotto. In tale contesto, si tengono sotto controllo: la media ( x ) e la variabilità (misurata mediante il range R o la deviazione standard S). In particolare le carte utilizzate sono carta x che rappresenta come la media x del processo cambia nel tempo. (Infatti se la media si sposta dal valore normale allora si produrrà una frazione più elevata di non conformi) carta R, dove R è il range (valore massimo valore minimo). Questa carta riflette la dispersione all interno del campione osservato. (Anche in questo caso, se la variabilità si sposta verso valori più alti, pur rimanendo inalterata la media, aumenta la produzione di pezzi non conformi). Generalmente queste due carte vengono usate contemporaneamente per tenere sotto controllo sia la media sia la variabilità del processo. 2 Vediamo come si costruiscono...

3 Carta x Sia X la caratteristica quantitativa rilevata (si assume abbia distribuzione normale di media µ e deviazione standard σ). Generalmente i dati sono divisi in sottogruppi (piccoli campioni di numerosità compresa tra 2 e 10). Indichiamo con - m il numero dei campioni 1 (ad es. relativi a m periodi di tempo) e - con n il numero di unità che compongono ogni singolo campione 2. Per ognuno degli m campioni calcoliamo la media aritmetica x x + + x n n i = 1 i = 1,...,m x ha distribuzione normale di media µ e deviazione standard σ x. µ e σ non sono note e quindi è necessario stimarle. 1 Generalmente, se si è nella fase I di applicazione delle carte, allora m = 20 (o 25). 2 n è generalmente molto piccola (4, 5, o 6). Ciò è giustificabile se si usano sottogruppi razionali oppure se il costo di campionamento e di ispezione per unità è elevato. 3

4 Stimiamo la media µ del processo calcolando la media generale (ovvero la media aritmetica delle m medie dei campioni) come segue x1 + + xm x = m La linea centrale è data da x I limiti di controllo sono dati da LSC = x + A 2 R LIC = x A 2 R La costante A 2 è tabulata per diversi valori di n. Con R si vuole stimare la variabilità del processo. 4

5 Per calcolare R, si calcola R per ogni sottogruppo così: R = valore massimo nel sottogruppo valore minimo nel sottogruppo. Quindi il range generale si calcola facendo la media aritmetica dei range dei sottogruppi R = R R m m Osservazione 1: i limiti superiore e inferiore corrispondono alla regola del +3σ e 3σ. Quindi questa carta di controllo come la carta R (che vediamo ora) denota se una variazione è rilevante al punto di farci concludere che il processo è fuori controllo. 5

6 Osservazione 2: la possibilità di usare il range 3 per stimare σ deriva dal fatto che esiste ed è nota la relazione che lega R e σ nel caso in cui la variabile X sia normale. In particolare per la stima di σ si ha ˆ σ = R d 4 2. Quindi i parametri della carta di controllo sono LSC = 3 x 3 ˆ σ + = x + R n d n 2 Ossia A 2 = d 2 3 n LIC = 3 x 3 ˆ σ = x R n d n 2 3 L uso del range è legato a tempi precedenti in cui la potenza degli strumenti di calcolo era limitata e quindi si preferiva usare stimatori di facile calcolo. Lo stimatore basato sul range è meno efficiente ma per dimensione campionarie minori di 10 ha una performance accettabile e per questo continua ad essere utilizzato. 4 La costante d 2 è tabulata per diversi valori di n. 6

7 La carta R È necessaria per far individuare fonti straordinarie di variabilità. Abbiamo già individuato tutti gli strumenti per costruire questa carta. La linea centrale è data da R. I limiti di controllo sono dati da LSC = D 4 R LIC = D 3 R Le costanti D 3 e D 4 sono tabulate per diversi valori di n. LIC non va preso in considerazione quando la dimensione n dei sottogruppi è minore di 7. 7

8 Vediamo da dove derivano D 3 e D 4. Per costruire i limiti di controllo della carta R abbiamo bisogno di σ R. Sotto l ipotesi di normalità di X, sappiamo che il range relativo, W=R/σ, ha deviazione standard d 3 (funzione nota di n). Allora da R=Wσ, segue che σ R = σ W σ = d 3 σ σ non è noto e lo stimiamo con ˆ σ = R d2 quindi ˆ σ = d R d R 3 2 R d3 LSC = R + 3 ˆ σ R = R + 3d3 = 1 3 R d + = 2 d D 4 R 2 R d3 LIC = R 3 ˆ σ R = R 3d3 = 1 3 R d = 2 d D 3 R 2 8

9 Nota: i limiti di controllo per x e R così calcolati andrebbero considerati come limiti di prova (in quanto non noti a priori e quindi calcolati nella cosiddetta fase I dell impiego delle carte di controllo). I valori x e R degli m campioni usati vanno rappresentati sulla carta rispettiva per verificare se il processo era in stato di controllo quando sono stati presi gli m campioni. Se tutti i punti sono all interno dei limiti allora si può concludere che il processo è sotto controllo e i limiti (inferiore e superiore) possono essere usati per valutare la produzione futura (in fase II). 9

10 Se uno o più di questi è al di fuori dei limiti a) vanno esaminate le ragioni di tale situazione b) il dato (o i dati) corrispondenti vanno eliminati c) vanno ricalcolati i limiti escludendo i punti eliminati. d) si deve verificare che i nuovi limiti di controllo siano tali da contenere i punti rimasti. Se ciò non accade è necessario procedere ad ulteriori esami fintantoché tutti i punti cadono tra i limiti di controllo. Se molti punti prova sono fuori controllo allora vuole dire che il campionamento di prova è stato fatto in un periodo fuori controllo. 10

11 Esempio: supponiamo di avere monitorato per sei giorni (da sabato a giovedì) il peso in grammi di pezzi prodotti da un processo Giorno Osservazioni x R Sab Dom Lun Mar Mer Gio m = 6 n = x = R = = =

12 Le costanti sono 5 A 2 = D 3 = 0 D 4 = Carta x Carta R Valore centrale x = R = 3.67 LIC LSC = = = = = = = Queste costanti sono tabulate e sono fornite in fondo al libro di testo. Quando le carte vengono costruite con l ausilio di un software (ad es. Minitab), la procedura di calcolo stessa elebora i dati e usa le tavole implementate nel software. 12

13 R Chart for peso 10 LSC=9.44 Sample Range 5 R= LIC= Sample Number

14 X-bar Chart for peso LSC=22.97 Sample Mean Sample Number LIC=15.47

15 Esempio:stiamo rilevando la soddisfazione dei partecipanti ad un corso. Alla fine di ogni settimana (per 8 settimane) viene dato un questionario in cui i corsisti devono dare un voto tra 1 e 7 al docente della settimana. Si scelgono a caso 5 studenti a settimana. Ecco i dati Settimana x R m = 8 n = 5 15

16 x = R = = Le costanti sono A 2 = D 3 = 0 D 4 = = 5.05 Carta x Carta R Valore centrale LIC = 0 =3.68 LSC = = = =6.42 =

17 Xbar/R Chart for voto Sample Mean LSC=6.42 Mean=5.05 LIC=3.68 Settimana Sample Range LSC=5.02 R=2.375 LIC=0 17

18 Come si può notare la carta Xbar mostra un punto fuori controllo. La valutazione del docente nella quarta settimana di rilevazione è stata particolarmente bassa ed è al di sotto del limite di controllo inferiore. Occorre, quindi, eliminare il campione che si riferisce alla quarta settimana e calcolare le nuove stime del voto medio e della varianza del voto e contestualmente costruire la nuova carta che non tenga conto della settimana anomala. Sample Range Sample Mean ,8 3,6 2,4 1, Xbar-R Chart of voto 4 Sample UC L=6,687 _ X=5,286 LC L=3,885 UC L=5,135 _ R=2,429 Come scelta grafica, si è deciso di lasciare il gap bianco per mostrare dove si trova il campione che è uscito dell analisi. Si noti che, essendo stato eliminato il campione che aveva la media particolarmente bassa, ora le media globale è salita a 5,286 (mentre prima era 5,05). 0,0 LCL= Sample

19 Capacità del processo In precedenza avevamo parlato di limiti di specifica del processo. Non esiste alcun legame tra i limiti di controllo delle carte x e R e i limiti di specifica. I limiti di controllo vengono individuati in base alla variabilità naturale del processo (data dalla deviazione standard σ del processo). Si ricordi che esiste una relazione tra range medio R e deviazione standard σ di una variabile che ha distribuzione normale. I limiti di controllo quindi altro non sono che dei limiti di tolleranza naturali del processo e vengono solitamente posti, come abbiamo visto, a una distanza pari a 3σ dal valore medio. I limiti di specifica sono individuati indipendentemente dal comportamento naturale del processo: vengono in genere definiti dal management, dagli ingegneri, dalla clientela,... 19

20 È interessante analizzare dove si colloca il nostro processo rispetto ai limiti di specifica (LSS = limite superiore di specifica, LIS = limite inferiore di specifica). Quest analisi può essere condotta solamente dopo che, mediante le carte di controllo, si è stabilito che il processo è sotto controllo (ossia quando si può assumere che le variazioni nel prodotto/servizio sono dovute solamente alle cause comuni.) 20

21 La capacità del processo è la capacità che un processo ha di produrre beni o servizi che soddisfano i limiti di specifica. Perché i limiti naturali devono essere confrontati con i limiti di specifica? Immaginiamo un processo sotto controllo in cui, quindi, la distribuzione della nostra caratteristica di interesse è normale. Sappiamo che è pari a la probabilità che un valore sia fuori controllo (ossia fuori dell intervallo -3σ, +3σ. Se immaginiamo un milione di pezzi prodotti, allora si ha che =2700, cioè su un milione di pezzi prodotti 2700 sono non conformi. Se la distribuzione non fosse normale e/o portasse ad avere limiti naturali lontani da quelli di specifica, il numero di pezzi non conformi potrebbe essere molto più elevato. 21

22 La capacità del processo si riferisce all uniformità generale di comportamento del processo. Questa uniformità può essere intesa come uniformità del prodotto di tale processo. In tal senso l analisi della variabilità riveste un ruolo fondamentale. La variabilità viene intesa come: a) variabilità naturale o relativa ad un preciso istante b) variabilità rispetto al tempo In genere si assume l ampiezza 6σ della distribuzione della caratteristica di qualità come misura della capacità del processo. In ogni caso la capacità del processo viene misurata sulla base di indicatori della distribuzione di probabilità della caratteristica monitorata. 22

23 Dal momento che le cause speciali non agiscono, possiamo ritenere che il nostro processo operi in condizioni normali ; in particolare segua una distribuzione normale con - media = x - deviazione standard ˆ σ = R d 2 Possiamo calcolare (usando un software o le tavole della normale standardizzata) la probabilità che un prodotto del nostro processo non rispetti i limiti di specifica. Come si fa??? 23

24 Gli istogrammi (o, in alternativa, i diagrammi ramo-foglia). Indicata con X la variabile normale del nostro processo, questa probabilità è data da Prob(X > LSS) + Prob(X < LIS) Per calcolare queste probabilità dobbiamo stimare, a partire dai dati osservati, la media e la deviazione standard della nostra caratteristica di interesse. Se calcoliamo manualmente le nostre probabilità allora si procede come segue. Dobbiamo ricorrere alla standardizzazione e calcoliamo, indicata con X x Z = la normale standardizzata N(0,1), σˆ 24 P LIS x Z < + P LSS x Z > = σˆ σˆ = LIS x LSS x Φ + 1 Φ ˆ σ ˆ σ

25 Esempio (del peso) m = 6 n = 3 x =19.22 R = R ˆ σ = = = d Supponiamo che LSS = = 25 LIS = = 13 P(X < 13) + P(X > 25) = = P Z < + P Z > = = Φ(Z < 2.87) + P(Z > 2.66) = = Circa lo 0.6% (6 ogni mille pezzi prodotti) dei pezzi prodotti sarà fuori dei limiti di specifica. Si giunge al medesimo risultato se, stimate la media e la deviazione standard, si usa un software per il calcolo delle probabilità. 25

26 Alcune osservazioni Per usare questo strumento è necessario disporre di almeno 100 osservazioni in modo da avere indicazioni efficienti sulla media, la deviazione standard e la forma del processo (visualizzata mediante l istogramma). Bisogna prestare attenzione nella raccolta dei dati. Occorre: 1. scegliere la macchina o le macchine da utilizzare (attenzione, se si vogliono estendere i risultati a tutte le macchine allora è necessario che le macchine prescelte siano rappresentative della popolazione di macchine). 2. selezionare le condizioni operative/ambientali di riferimento 3. selezionare un operatore rappresentativo 4. controllare che sia bene eseguita la rilevazione dei dati e registrato l ordine temporale delle osservazioni. 26

27 Una volta raccolti i dati e disegnato l istogramma, si può vedere se la sua forma è vicina alla forma della distribuzione normale. In caso affermativo si può stimare (grazie alle proprietà della normale) che è pari al 99.73% la percentuale di beni prodotti all interno di x 3s,x + 3s. L osservazione dell istogramma dà anche informazioni sulla prestazione generale del processo e sulle eventuali ragioni di scarsa qualità dello stesso. 27

28 Grafici di probabilità. Sono un alternativa agli istogrammi e non richiedono numeri elevati di osservazioni. Il grafico di probabilità più diffuso è il normal probability plot. In sostanza, una volta raccolti i dati, si costruisce il normal probability plot in modo tale da verificare se il processo sta lavorando sotto un modello normale. In caso affermativo, la media e la deviazione standard si calcolano dal grafico come segue: la media è uguale alla mediana (ossia corrisponde al 50 percentile); la deviazione standard si stima mediante la differenza tra l 84 percentile e il 50 percentile. Attenzione: se il grafico avesse mostrato che la distribuzione del processo non è normale allora non sarebbe corretto usare lo stesso grafico (basato sulla normale) per calcolare media e deviazione standard. 28

29 Nota: l analisi del grafico di probabilità è molto soggettiva. Può essere, pertanto, opportuno accompagnarla con test statistici (per la verifica della normalità) oppure con il calcolo (sulla base dei dati campionari) dei seguenti parametri di asimmetria e di curtosi. asimmetria ˆ β M M = 3 β = M 2 M 2 2 ˆ curtosi n j xi x dove M i 1 j = = n, j = 12,, 3, 4. Si consideri che questi due indici assumono valori ben precisi nel caso in cui la distribuzione è normale. Infatti sotto normalità si ha: β = 0 e β =

30 Possiamo anche valutare la capacità del processo come rapporto tra processo (rappresentato dai limiti di specifica) e capacità produttiva (rappresentata dai limiti di controllo). In tal caso si costruiscono 30 indici della capacità del processo Possiamo calcolare questi indici quando: i) il processo è sotto controllo e sono state rimosse tutte le cause che determinano variazioni speciali; ii) il processo ha distribuzione normale (importanza del normal probabilità plot) iii) i dati analizzati sono quantitativi I tre elementi fondamentali nella costruzione e analisi di questo indice sono: 1. i limiti di specifica (LSS e LIS) 2. il centro naturale del processo x 3. la variabilità naturale del processo σ

31 Abbiamo i seguenti indici di capacità del processo. C p LSS LIS = 6σ C p si calcola quando sono definiti sia il limite inferiore che il limite superiore di specifica. Il denominatore costituisce la base per la definizione della capacità produttiva. Poiché σ è generalmente non nota, allora lo si sostituisce con la sua stima σˆ. Inoltre si ha che 1 C p 100 indica la percentuale di specifica usata dal processo. ************************ 31

32 C ps LSS x = 3σ C ps si calcola quando è definito solamente il limite superiore di specifica. (Ad esempio le poste devono far sì che una raccomandata arrivi a destinazione entro due giorni dalla spedizione). In questo caso la base per la definizione per la capacità produttiva è 3σ. C pi = x LIS 3σ C pi si calcola quando è definito solamente il limite inferiore di specifica. (Ad esempio posso imporre solo LIS nel caso della valutazione dei docenti). Anche in questo caso la base per la definizione per la capacità produttiva è 3σ. Come interpretare questi indici??? 32

33 L interpretazione dell indice C p risiede nel fatto che questo ci informa direttamente sulla numero sulla proporzione di prodotti difettosi che dovranno essere eliminati o rilavorati. Consideriamo l indice C p (quanto diciamo vale anche per C ps e C pi ). C p = 1 quando LSS LIS = 6σ cioè quando, se il processo è correttamente centrato, i limiti di specifica ed i limiti di controllo coincidono. (Si veda la curva (c) della figura seguente).circa lo 0.27% di unità prodotte sarà non conforme. C p > 1 quando LSS LIS > 6σ. Ciò significa che, se il processo è correttamente centrato, i limiti di controllo (ovvero i limiti di tolleranza naturali del processo) sono interni ai limiti di specifica. (Si veda la curva (a) della figura seguente). Un processo di questo tipo produce un numero estremamente basso di unità non conformi alle specifiche. 33

34 C p < 1 quando LSS LIS < 6σ. Ciò significa che, se il processo è correttamente centrato, i limiti di controllo (ovvero i limiti di tolleranza naturali del processo) sono esterni ai limiti di specifica. (Si veda la curva (b) della figura seguente). Un processo di questo tipo produce un numero notevole di unità non conformi alle specifiche. Nota: è necessario sottolineare che le considerazioni sull interpretazione dell indice C p poggiano sull assunzione di normalità della distribuzione della nostra caratteristica di interesse 34

35 (a) N(0,1) (b) N(0,2.5) (c) N(0,1.5) µ LIS Media del LSS processo 35

36 C p Difettosità in parti per milione Specifiche unilaterali Specifiche bilaterali (nel caso di processo centrato)

37 E se il processo non è correttamente centrato??? In altre parole, come ci possiamo accorgere se il processo non è posizionato sul valore centrale tra gli intervalli di specifica? Un modo per vedere se esiste un problema di questo tipo consiste nel calcolare anche C ps e C pi in aggiunta a C p. Se il processo non è correttamente centrato, uno dei due indici unilaterali risulterà inferiore ad 1. In sostanza abbiamo un altro indice bilaterale di capacità del processo. C pk = Min (C ps e C pi ) Se il processo non è ben centrato allora o C ps < 1 o C pi <1. quindi Min (C ps e C pi ) < 1 37

38 In sostanza C pk è un indice C p unilaterale rispetto al limite di specifica più vicino alla media del processo. Se C pk = C p allora il processo è centrato rispetto all intervallo di specifica. Se C pk < C p allora il processo non è centrato rispetto all intervallo di specifica. Può, pertanto, accadere che se da un lato C p ci fa sembrare che il processo ha un ottima capacità, l analisi della centratura ci può mostrare che nella realtà questo non è centrato e quindi ha una performance effettiva peggiore. Per queste considerazioni generalmente: C p viene detto indice di capacità potenziale del processo; C pk viene detto indice di capacità effettiva del processo. 38

39 Nota: l indice C pk è inadeguato da solo come misura di centratura del processo. Una conclusione corretta in merito alla centratura del processo si può avere solo confrontando C pk con C p. Questo perché per struttura C pk non dà informazioni sulla posizione della media del processo nell intervallo di specifica. Inoltre C pk è inversamente proporzionale a σ. Questo problema può essere superato usando l indice seguente: C pkm = LSS LIS 2 6 σ + µ T dove T = (LSS-LIS)/2 è il valore di riferimento. Si può anche scrivere 6 C C p pkm = 1 ξ con ξ 2 = T µ + 2 σ 2 µ e σ non sono noti e quindi C pkm può essere stimato come segue Ĉ Ĉ p pkm = 1 V con V 2 = T x + 2 S. 2 Deviazione attesa rispetto al valore di riferimento T 6 basta moltiplicare e dividere il denominatore di C pkm per σ 39

40 40 Nelle applicazioni si sta diffondendo la pratica di richiedere al fornitore, tra le clausole contrattuali, di dimostrare la capacità del proprio processo. In particolare si chiede di dimostrare che l indice C p soddisfa o supera un particolare valore di riferimento, diciamo C p0. Questo problema può essere formulato direttamente come una verifica di ipotesi H 0 : C p C p0 (il processo non ha capacità adeguata) H 1 : C p > C p0 (il processo ha capacità adeguata) Per dimostrare che il processo va bene dobbiamo rifiutare l ipotesi nulla. La decisione viene basata sulla stima di C p. in particolare, si rifiuterà H 0 quando la stima di C p supera un certo valore critico C. Sono state studiate (Kane, 1986) le proprietà di questo test ed è stata fornita una tavola contenente numerosità campionarie e valori critici C. In particolare, per eseguire questo test è necessario stabilire C p (sup), ossia la capacità del processo che accettiamo con significatività (1-α), e C p (inf), generalmente coincidente con C p0, ossia la capacità che viene rifiutata con probabilità (1-β).

41 Da questi valori, a partire da apposite tavole disponibili, si può determinare: 1) il valore critico C oltre il quale si può rifiutare H 0 (ossia accettare H 1 ); 2) la numerosità campionaria per effettuare correttamente il test coerentemente con C p (sup), C p (inf), α e β prefissati. Infatti, fissati C p (sup) e C p (inf) e α e β, si calcola C p (sup)/c p (inf). Leggendo apposite tavole 7 si trova C/C p (inf) = k e questa espressione può essere risolta per C dando luogo a: C = kc p (inf). Si noti che k è un numero maggiore di 1 (tanto più grande quanto più piccolo è il campione selezionato) quindi C > C p (inf). Questo significa che per mostrare la capacità del processo bisogna controllare che il valore di C p calcolato sul campione sia più grande di quello C p (inf) definito come linea di demarcazione tra capcità inadeguata e capacità accettabile. 7 si veda ad es. pag 298 del libro di testo 41

42 Osservazione: in alcune situazioni si può disporre dei valori della media e della deviazione standard della popolazione. Proprio questi valori µ e σ possono essere usati per costruire le carte di controllo. Con riferimento alla carta x abbiamo: La linea centrale è data da µ I limiti di controllo sono dati da LSC = µ+ 3σ LIC = µ 3σ n n 42

43 Con riferimento alla carta R abbiamo che possiamo ricavare il valore del range a partire da σ. Infatti sappiamo che: σ=r/d 2 e σ R =d 3 σ. Quindi La linea centrale è data da d 2 σ I limiti di controllo sono dati da LSC = d 2 σ + 3 d 3 σ = (d d 3 ) σ LIC = d 2 σ 3 d 3 σ = (d 2 3 d 3 ) σ 43

44 Carte di controllo x e S In presenza di dimensioni campionarie sufficientemente grandi (più di 10) oppure se la dimensione campionaria varia da campione a campione, è opportuno stimare σ con la deviazione standard campionaria S. La varianza campionaria corretta è data da S = n 2 i= 1 ( x ) 2 i x n 1 Mentre S 2 è uno stimatore corretto della varianza, S non è uno stimatore corretto della deviazione standard. Se la distribuzione è normale allora S è uno stimatore corretto di c 4 σ dove c 4 è una costante tabulata che dipende da n. 2 Inoltre la deviazione standard di S è σ 1 c 4. 44

45 Nel caso in cui a σ sia assegnato un valore standard, si può immediatamente calcolare la carta per lo scarto quadratico medio. Allora le linee della carta S sono: LSC = c σ + 3σ 1 c LC = c σ LIC = c σ 3σ 1 c ( ) c = + σ = ( ) c B S 4 6 = σ = B S

46 Supponiamo, come del resto effettivamente accade, che σ sia non noto. Allora deve essere stimato usando m campioni preliminari ciascuno di n unità. Sia S i la deviazione standard dell i-esimo campione. Si calcola S 1 m Si m i = 1 = S è uno stimatore corretto di c 4 σ, pertanto abbiamo che S c 4 è uno 2 S 2 stimatore corretto di σ. ˆ σ S = ˆ σ 1 c4 = 1 c4 c Allora le linee della carta S sono: S LSC = S c c LC = S S LIC = S 3 1 c c

47 ponendo 3 3 B = c B = + c si ha e c4 c4 LSC = B S LC = S 3 4 LIC = B S 47

48 Quando S viene usato per monitorare la variabilità allora può essere anche usato per definire corrispondentemente i limiti di controllo della carta x. ˆ σ S LSC = x + 3 = x + 3 = x + A3 S n c n LC = x ˆ σ S LIC = x 3 = x 3 = x + A3 S n c n 4 4 Nota: B 3, B 4 e A 3 sono tabulati per diversi valori di n. E se la dimensione campionaria è variabile? 48

49 Nel caso di dimensione campionaria variabile gli m campioni hanno numerosità n 1, n 2,,n m. Allora x e S vengono calcolati mediante le seguenti medie ponderate m m n 1 2 i x i n i S i i= 1 e i 1 m S = m n i ni m i= 1 i= 1 x= = Le linee di controllo vengono calcolate con le formule viste per le carte a dimensione fissa, ossia 3S LSC = x + = x + A3 S LSC = B S c n LC LIC = = S 3 4 B S LC = x S LIC = x = x + A3 S c n i i 49

50 La differenza è che nel caso a dimensione variabile le costanti B 3, B 4 e A 3 dipenderanno dalla dimensione campionaria usata per ogni singolo sottogruppo. In alternativa si possono costruire le carte di controllo basandosi sulla dimensione campionaria media n (se questa non è troppo diversa tra gli m campioni). 50

51 Carte di controllo per variabili in un contesto non manifatturiero Le carte di controllo per variabili possono essere usate anche in un contesto non industriale se si riesce ad avere una misura quantitativa della qualità del servizio. Un differenza è data dal fatto che in tale contesto sono difficilmente definibili limiti di specifica e quindi molto spesso la capacità del processo non è calcolabile. 51

52 Alcune note sulle carte di controllo per variabili Nota 1: Ogni carta di controllo prevede una revisione periodica dei limiti di controllo e della linea centrale. Queste revisioni possono essere eseguite ad intervalli di tempo regolari. A volte si sostituisce la linea centrale della carta x con un valore obiettivo, diciamo x 0. Se la carta R mostra una situazione di controllo allora riposizionare la linea centrale su un valore obiettivo può essere utile per raggiungere livelli di produzione desiderati dal management. (Questa operazione ha senso quando la media può essere modificata con semplici interventi sul processo). Nota 2: Un altro strumento di supporto è dato dalla carta di tolleranza. Questa consente di scoprire se ci sono dati anomali in un singolo campione tali da restituire valori di x o di R fuori controllo. 52

53 Nota 3: per interpretare correttamente le carte di controllo si deve avere sia una buona conoscenza statistica sia una buona conoscenza delle specificità e delle caratteristiche del processo produttivo in esame. Inoltre, ai fini di una interpretazione corretta della carta x bisogna prima accertarsi che la carta R sia sotto controllo. Mettere innanzitutto sotto controllo il processo dal punto di vista della variabilità, può servire ad eliminare anche fattori che possono distorcere x. 53