Generalità I/III. Generalità II/III

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1 Generalità I/III Come noto l'equazione di bilancio della massa di un inquinante immesso in un flusso turbolento, espressa in un sistema di riferimento (x,y,z) fisso nello spazio, assume la forma: c c c c + u + v + w = t x y z x ( u c ) + ( v c ) + ( w c ) nella quale u, v e w rappresentano le 3 componenti, rispetto ad (x,y,z), del vettore velocità media del fluido. Nel caso generale a tre dimensioni compaiono 4 incognite: la concentrazione media c e le tre componenti del flusso turbolento u i c. Questa può quindi essere risolta una volta determinati per via sperimentale i tre termini di correlazione oppure, ed è la sola soluzione adottata, introducendo delle chiusure opportune, in modo da ridurre il numero delle incognite. Una delle chiusure più note ed applicate è quella al primo ordine, conosciuta anche come teoria del trasferimento del gradiente y z (1) Generalità II/III Mediante la quale si ottiene un'equazione differenziale alle derivate parziali nella quale compare come incognita la sola concentrazione media: c c c c + u + v + w = K t x y z x x c + K x y y c + K y z z c z () La () è nota in letteratura come EQUAZIONE DELLA DIFFUSIONE, e i relativi modelli di diffusione da essa derivati sono detti modelli K. Nella forma generale sopra riportata le diffusività turbolente sono state assunte diverse lungo i tre assi di riferimento (diffusione anisotropa) e variabili spazialmente (diffusione disomogenea). La soluzione della () può essere ottenuta per via analitica solo nel caso in cui le velocità medie e le diffusività siano descrivibili da particolari funzioni (ad esempio costanti nello spazio). 1

2 Generalità III/III Espressioni più realistiche delle K e delle velocità danno luogo invece a delle complicazioni analitiche spesso insormontabili; in questi casi la soluzione è ottenibile solo per via numerica (grid-model). La gran parte di queste soluzioni sono basate sulla tecnica delle differenze finite che, pur se non priva di svantaggi, è ancora oggi uno tra gli strumenti più semplici ed efficaci per risolvere questo tipo di problemi. Va inoltre osservato che, nonostante le numerose critiche cui sono stati sottoposti i modelli K, la relativa semplicità e i modesti tempi di calcolo hanno dato luogo ad un loro ampio utilizzo. Modelli K monodimensionali I/IV Verrà descritta una particolare soluzione dell'equazione della diffusione, utilizzata prevalentemente in atmosfera in presenza di terreno pianeggiante. Come verrà illustrato nel seguito, pur se il dominio di calcolo è bidimensionale, le caratteristiche del modello fanno sì che esso possa invece essere definito come monodimensionale. Si consideri un flusso nel piano verticale (x,z), omogeneo al variare della x e tale che la velocità media risulti parallela al medesimo asse. u 0; v = 0, w = 0 Si supponga inoltre che la u sia molto maggiore rispetto alla deviazione standard della velocità del vento relativa alla medesima direzione; l'inquinante sarà quindi trasportato lungo x per effetto prevalente della componente media, mentre la turbolenza avrà un effetto trascurabile: ( ) c u >> K x x c x x (3)

3 Modelli K monodimensionali II/IV ( ) Nella direzione z, dove la velocità media è considerata nulla w = 0, il termine di trasporto non interviene mentre è la sola turbolenza a disperdere l'inquinante. Lungo la direzione trasversale y il campo fluidodinamico può essere assunto omogeneo ( y = 0. ) I modelli di dispersione che si basano su queste ipotesi generali possono essere definiti monodimensionali rispetto alla turbolenza. Se la sorgente di inquinante è infinitamente estesa lungo la direzione trasversale (come nel caso di sorgenti lineari) il problema è completamente definito. Al contrario, nel caso di sorgente puntiforme è necessario tenere conto della dispersione lungo y. In queste condizioni si considererà in una prima fase solo la dispersione nel piano (x,z) ed a posteriori si terrà conto della dispersione lungo y con una legge di tipo gaussiano (le modalità di come vada considerato questo effetto saranno considerate nel seguito di questi appunti). Modelli K monodimensionali III/IV Se il flusso è stazionario e la sorgente di inquinante ha intensità costante nel tempo, l'equazione della diffusione (), con le ipotesi fatte, si semplifica nella: c c u = K z (4) x z z che può essere integrata analiticamente solo per alcune particolari funzioni di Kz(z) e u() z. In generale può essere risolta solo numericamente. Utilizzando le differenze finite la (4) può essere integrata con uno schema esplicito del tipo: ci+ 1 j cij K j+ 1/ ( ci j+ 1 cij ) K j 1/ ( cij ci j 1 ) u j = Δx ( Δz) (5) in cui i pedici i e j rappresentano le coordinate discretizzate dei nodi del grigliato, corrispondenti a x e z, mentre il termine è dato da: K j± 1/ = K z ( z ± Δz / ) j K j ± 1 (6) 3

4 Modelli K monodimensionali IV/IV La stabilità dello schema è assicurata quando viene verificata la seguente disuguaglianza: K max j j+ 1/ Δx 1 j ( Δz) u La concentrazione media può quindi essere determinata in tutto il campo applicando, ricorrentemente la (5) sino al raggiungimento della x massima del dominio considerato. Per quanto riguarda le condizioni al contorno, si assegna derivata nulla della concentrazione sia in corrispondenza della parete inferiore (l'inquinante non penetra attraverso il suolo) che di quella superiore (non c'è trasferimento di massa inquinata al di sopra dello strato limite atmosferico). (7) Modelli Gaussiani I Se le diffusività turbolente e le velocità medie sono costanti nello spazio l'equazione della diffusione () è risolubile per via analitica. L'espressione che si ricava per c è di tipo esponenziale, ed è analoga ad una distribuzione gaussiana: da qui il nome di modelli gaussiani. Essi costituiscono uno strumento semplice e versatile per stimare la concentrazione degli inquinanti nello strato limite atmosferico; il loro uso corretto è tuttavia circoscritto a condizioni meteorologiche e topografiche ben definite. Nonostante ciò essi sono stati ampiamente utilizzati nel passato, così come lo sono ancora oggi, poiché, oltre alla intrinseca semplicità di applicazione, ad essi fanno riferimento larga parte dei modelli di diffusione certificati dall'u.s. EPA (Environmental Protection Agency). Nei modelli gaussiani si assume che la sostanza inquinante venga trasportata dal vento nel verso in cui esso spira, e che la distribuzione della concentrazione media dell'inquinante nel piano verticale perpendicolare alla direzione del vento possa essere espressa da una legge di tipo gaussiano. 4

5 Modelli Gaussiani II Si consideri ad esempio il caso di una emissione stazionaria da una sorgente puntiforme in un flusso turbolento omogeneo e stazionario. La sorgente sia posta al di sopra di una parete piana (z=0) che si comporta come un riflettore perfetto per l'inquinante. Nelle ipotesi che: K x = cost, K y = cost, K z = cost (8) u = cos t, v = w = 0 (9) c u >> K x x c x x (10) Modelli Gaussiani III con le condizioni al contorno: c 0 per x, y, z c per (x, y,z) (x, y,z dz uc(x, y, z)dy = Q per x > x s s s (11) in cui Q (Kg/s) rappresenta la massa di inquinante emessa dalla sorgente per unità di tempo e ( x s, y s, z s ) sono le coordinate della sorgente (in particolare x = y 0 ), dalla () è possibile ricavare la seguente soluzione analitica: s s = c(x, y, z) Q y = exp πσ σ z u σ y s ) (z z exp σ s ) y z 5

6 6 Modelli Gaussiani III σ σ σ πσ = z s y z y ) z (z exp y exp u Q z) y, c(x, + + = z c K z y c K y x c K x z c w y c v x c u t c z y x z c K y c K x c u zz yy + = Modelli Gaussiani IV Se consideriamo il suolo come una superficie riflettente abbiamo la (1) per il caso di una sorgente puntiforme: (1) se la sorgente è lineare secondo y la (1) diventa la (1a) (1a) nelle quali: (13a) (13b) = 0 z c σ + + σ σ σ πσ = z s z s y z y ) z (z exp ) z (z exp y exp u Q y,z) c(x, + + = ) ( exp ) ( exp ),, ( z s z s z y z z z z u Q z y x c σ σ σ πσ u K y x y σ = u x K z σ z =

7 Modelli Gaussiani V Il secondo termine nella parentesi quadra nella (1) è dovuto alla presenza della superficie riflettente, per la quale è come se ci fosse una sorgente apparente speculare rispetto a quella reale (figura 1).σ y e σ z (espressi in metri) sono i parametri di dispersione (radici degli scarti quadratici medi della distribuzione della concentrazione) lungo le direzioni y e z, funzioni delle condizioni atmosferiche (K) e della distanza dalla sorgente (x). Ciò equivale a dire che essi dipendono dalla radice quadrata del tempo, in accordo con quanto predetto dall'analisi di Taylor per tempi lunghi. I modelli gaussiani possono quindi essere utilizzati solo per valutazioni su grande scala e non in prossimità della sorgente. Inoltre, se le espressioni (13) venissero effettivamente ricavate seguendo le (8) (k=cost, u 0, v = w = 0 ),le concentrazioni al suolo calcolate sarebbero molto diverse da quelle misurate nei casi reali. Questa incongruenza è causata dal fatto che nello strato limite atmosferico le ipotesi (8) non sono mai verificate. Infatti, anche nel caso di terreno piano la velocità media e le diffusività turbolente non sono mai omogenee lungo la verticale. Modelli Gaussiani VI Per ovviare a questo inconveniente le σ x e σ z sono state ricavate direttamente mediante delle serie di esperimenti effettuate in condizioni meteorologiche simili, in cui sono state misurate le concentrazioni al suolo. I casi considerati sono stati raggruppati in funzione della stabilità dell'atmosfera e della distanza sottovento alla sorgente. Oltre che mediante parametri fluidodinamici (numero di Richardson, lunghezza di Obuknov, ecc.), la stabilità atmosferica può essere valutata utilizzando dei metodi empirici. Uno dei più comuni, le classi di stabilità di Pasquill, distingue la stabilità dell'atmosfera in sette classi di stabilità (A,B,C,D,E,F), ricavate in base a cinque classi di vento in corrispondenza della superficie, tre classi di insolazione e due classi di nuvolosità durante le ore notturne (tabella 1). 7

8 Modelli Gaussiani VII Tabella 1 Categorie di stabilità in funzione della velocità del vento, dell'insolazione e della nuvolosità. Insolazione Stato del cielo Notturno Vento a 10 m (m/s) Calma < >6 Radiazione Solare (W/mq) Forte Moderata Debole > < A A-B B A-B B C B B-C C C C-D D C D D Nuvolosità (ottavi) > 4/8 <3/8 sereno - - G E F - D E - D D - D D - Modelli Gaussiani VIII L'applicazione dello schema nelle ore notturne richiede la conoscenza della nuvolosità (copertura del cielo in ottavi), non facilmente ottenibile nelle comuni stazioni di monitoraggio. Si può quindi in alternativa utilizzare la tabella, che fornisce la classe di stabilità in funzione del gradiente verticale della temperatura. All'atto dell'utilizzazione di un modello gaussiano si deve quindi dapprima valutare la velocità media (in genere a 10 m dal suolo) e successivamente la classe di stabilità attraverso la stessa velocità del vento e la misurazione dell'insolazione o di altri parametri equivalenti. Una volta nota la classe di stabilità, da grafici o da leggi di potenza (tabella 3) si ricavano le deviazioni standard della distribuzione di concentrazione σ x e σ z e il problema è quindi completamente determinato. 8

9 Modelli Gaussiani IX Tabella Classi di Pasquill in funzione del gradiente di temperatura verticale Grado di stabilità Instabilità forte Instabilità moderata Instabilità debole Neutralità Stabilità debole Stabilità moderata Stabilità forte Categorie di Pasquill A B C D E F G Gradiente termico verticale ( C/100m) <-1.9 da -1.9 a -1.7 da -1.7 a-1.5 da -1.5 a -0.5 da -0.5 a +1.5 da +1.5 a +4 >+4 Modelli Gaussiani X Tabella Parametri di dispersione in funzione della stabilità e della distanza sottovento (x) Categoria di Stabilità σy σz A B C D E F 0.x*(1+0.1x)-1/ 0.16x*(1+0.1x)-1/ 0.11x*(1+0.1x)-1/ 0.08x*(1+0.1x)-1/ 0.06x*(1+0.1x)-1/ 0.04x*(1+0.1x)-1/ 0.x 0.1x 0.08x*(1+0.x)-1/ 0.06x*(1+1.5x)-1/ 0.03x*(1+0.3x) x*(1+0.3x)-1 9

10 Modelli Gaussiani XI Molto spesso, in seguito all'alternanza del riscaldamento e raffreddamento giornaliero della terra ad opera della radiazione solare, o per altre cause meteorologiche (ad esempio scorrimento di masse di aria calda in quota), si determina uno strato di inversione termica in quota, cioè una zona con un gradiente di temperatura positivo. Così come per il suolo, anche questa zona può essere schematizzata, ai fini dei calcoli, come una parete riflettente per le particelle di inquinante poiché, per la sua forte stabilità, lo strato di inversione contrasta la loro spinta ascendente con il risultato che esse non riescono ad oltrepassarlo. Di questo effetto se ne può tenere conto utilizzando una serie di sorgenti, immagini speculari di quella reale. In questo caso la (1) si modifica nella: j Q y = = + ( z h j ) c( x, y, z) exp exp πσ y j= yσ z u σ σ z ( z + h j ) + exp σ z in cui hj=zs+jzi. zi è l'altezza a cui si trova lo strato di inversione. Modelli Gaussiani XII Infine, nel caso particolare di calma di vento e turbolenza omogenea: K x = cos t, K y = cos t, K z = cos t (15) u = v = w = 0 (16) se si considera un'emissione istantanea da una sorgente puntiforme di una massa M di inquinante e si assegnano le condizioni: c 0 per x, y, z (17) c per (x,y,z) (x,y,z ) c(x, y, z, t)dxdydz = M s s s e t = 0 (18) (19) 10

11 Modelli Gaussiani XIII c l'equazione della diffusione () ha soluzione: (0) ( x, y,z, t) = ( π) 3/ M σ x σ y σ z x exp σ x y exp σ y exp ( z z ) ( z + z ) σ s z + exp σ s z nella quale: σ x = K x t; σ y = K y t; σ z = K z t; x s = y s = 0. Anche la (0) è stata ottenuta ipotizzando la presenza di una superficie riflettente al suolo. In molti casi l'inquinante emesso possiede una temperatura molto più elevata rispetto all'aria circostante (galleggiamento termico) oppure una velocità alla sorgente non nulla (quantità di moto). In entrambi i casi l'inquinante tende rapidamente a salire lungo la verticale (diverse decine di metri a seconda dei casi) in modo compatto, e solo successivamente, una volta esaurito la spinta, inizia a diffondere ad opera delle azioni esercitate dal campo fluidodinamico nel quale è immesso. Modelli Gaussiani XIV In pratica è come se il camino fosse più alto rispetto a quello effettivamente presente. Di tale fenomeno (noto come plume-rise) viene tenuto conto considerando un'altezza aggiuntiva Δh, valutabile mediante formule empiriche, definita come l'innalzamento verticale del pennacchio. In questo caso in luogo dell'altezza della sorgente z s viene introdotta l'altezza effettiva H=z s +Δh (figura ). La gran parte delle espressioni di Δh possono essere rappresentate nella forma: Δh ( x) = cost Q a h x b u c s (1) dove a, b e c sono delle costanti, x è la distanza sottovento alla sorgente, la velocità media del vento alla quota z s mentre Qh è il calore immesso dalla sorgente. 11

12 Modelli Gaussiani XV Tra i vari schemi, quello proposto da Briggs (1969), noto come "legge dei /3", è uno dei più utilizzati: 3 ( ) x Δh x = 1.6 Fb u s dove Fb è il buoyancy flux parameter: ( ) Ts Ta Fb = gvsrs Ts in cui: - vf: velocità di emissione dei fumi (m/s); - rs: raggio della sorgente (camino) (m); - g: accelerazione di gravità (m/s); - Ts: temperatura dei fumi (K); - Ta: temperatura dell'aria (K). () (3) Modelli Gaussiani XVI Lo schema riportato è valido nel caso di plume galleggianti (Ts>Ta), indipendentemente dal grado di stabilità dell'atmosfera. Il valore calcolato per h(x) permette quindi la stima dell'altezza effettiva H da introdurre, in funzione della distanza sottovento x, nelle (1), (14) e (0). Ovviamente l'innalzamento del pennacchio cessa nel momento in cui la turbolenza ambientale diviene dominante rispetto al galleggiamento dei fumi. La quota massima raggiunta dal baricentro del pennacchio viene valutata in funzione della stabilità dell'atmosfera. In particolare: Δh max F = 15 u b s 3 5 per atmosfera instabile, 3 5 Δh max = 39F b per atmosfera neutra, 1

13 Modelli Gaussiani XVII mentre per atmosfera stabile: Δh max =.6 u s Fb g θ θa z 1 3 (6) (θ: temperatura potenziale) Nei casi in cui il flusso uscente può essere assimilato ad una corrente a getto; la risalita dei fumi può essere modellata in maniera del tutto analoga alla (): Δh ( ) 1 3 x =.3 F u s x m (7) Modelli Gaussiani XVIII dove il momentum flux parameter F m è pari a: F m = vs rs ρs ρ (8) ρ s nella quale e ρ rappresentano rispettivamente la densità dei fumi e quella dell'aria. In condizioni di calma di vento ( u s << 1m / s) le formule precedenti perdono di significato (plume verticale). Per il calcolo dell'altezza finale del pennacchio, Briggs (1975), in caso di atmosfera stabile, propose delle espressioni valide sia nel caso di plume galleggianti: 1 4 Δ h = 5.0 F b s 3 8 (9a) 13

14 Modelli Gaussiani XIX che per correnti a getto: Δ h = 4.0 F m s (9b) dove: g θ (30) s = θ z è il parametro di stabilità. La velocità media del vento u s che compare nelle formule del plume rise può essere fissata in diversi modi; quelli più comunemente utilizzati sono: a) porre u s = u 10 ; b) attraverso una stima diretta; c) mediante una legge di potenza del tipo: p zs u s = u10 10 (31) dove p è un esponente funzione della stabilità atmosferica e della natura del sito considerato (tabella 4). Modelli Gaussiani XX Tabella 4 Esponenti p in funzione della natura del sito e della stabilità dell'atmosfera Classe di stabilità A B C D E F p (aree urbane) p (aree rurali) Le formule di Briggs sono state incorporate all'interno di molti codici sviluppati dall'epa, dal momento che esse rappresentano un ragionevole compromesso tra accuratezza e semplicità, pur se tendono a sovrastimare la risalita del pennacchio a grandi distanze dalla sorgente. 14

15 Modelli Gaussiani XXI In conclusione, i modelli gaussiani hanno il vantaggio di essere estremamente semplici, possono essere utilizzati anche senza l'ausilio del calcolatore e necessitano di pochissimi dati d'ingresso. Tuttavia, a causa delle ipotesi riduttive sulle quali sono basati, non consentono valutazioni corrette del fenomeno della diffusione. Infatti, anche nel caso di terreno piano le velocità medie e le diffusività turbolente variano con la quota e tali variazioni influiscono notevolmente sul campo di concentrazione. Questi modelli risentono inoltre delle limitazioni intrinseche della chiusura del primo ordine utilizzata per ricavare l'equazione della diffusione (). Modelli Gaussiani XXII Figura 1 - Schematizzazione dell'evoluzione di un pennacchio gaussiano Δ h H z s σz (x) σ z (x) z x Sorgente immagine 15

16 Modelli Gaussiani XXIII Figura 1a casi di a) suolo (riflettente) e b) di invesione termica (riflettente) a) b) Modelli Gaussiani XXIII Figura - Schematizzazione del fenomeno del plume-rise Δ h H u Zs Zs H pennacchio verticale pennacchio piegato 16

17 Puff Model I Nel caso di campi fluidodinamici non omogenei, quando le componenti medie della velocità del vento e la turbolenza variano in maniera non trascurabile all'interno del campo considerato (ad esempio a causa di orografie complesse, circolazioni di brezza, isole di calore) e/o l'emissione dalla sorgente non è stazionaria, l'applicazione di un modello gaussiano è fortemente sconsigliata, soprattutto per valutazioni a breve distanza dalla sorgente. Si può invece ricorrere ai puff model, che sfruttano la soluzione gaussiana (0). Con i puff model si assume che ogni emissione di inquinante di durata Δt immette nell'atmosfera una massa ΔM = QΔt, dove Q è al solito la portata in massa. Il baricentro del puff contenente la massa ΔM è trasportato dal campo di velocità medio locale. Puff Model II Figura 3 Asse del plume e nuvola di inquinante 17

18 Puff Model III Se, al tempo t, il baricentro del puff si trova nel punto (x p,y p,z p ), allora la concentrazione dovuta al puff considerato in un generico punto (x,y,z) può essere calcolata in base alla legge (0): ( ) ( ) ΔM x x ( ) p y yp z z p Δc( x, y, z, t) = exp exp exp 3/ (3) ( π) σhσz σh σh σz dove σ h e σ z rappresentano rispettivamente i parametri di dispersione lungo il piano orizzontale e lungo la verticale. In generale essi vengono calcolati in base a delle leggi in funzione di alcune grandezze descrittive della turbolenza del flusso. La concentrazione totale in corrispondenza di un recettore al generico tempo t si ottiene sommando i contributi (3) dei singoli puff emessi dalla sorgente fino all'istante considerato. La (3) può essere generalizzata anche per tenere conto del contorno del campo (terreno, altezza dello strato limite ed eventuali ostacoli che perturbano in modo significativo il flusso d'aria). Puff Model IV I puff-model, per le modalità con cui si determina il trasporto dell'inquinante, potrebbero essere inclusi tra i modelli lagrangiani, sebbene la diffusione avvenga analogamente a quanto visto per i modelli gaussiani. Essi rappresentano la più avanzata e potente applicazione della soluzione gaussiana. 18

19 Modelli di diffusione urbana Un area urbana contiene infinite sorgenti di diffusione. L applicazione di modelli di diffusione classici con sorgenti puntiformi è praticamente irrealizzabile. E possibile però assumere che i contributi di sorgenti individuali alla concentrazione totale in un punto possano essere sommati. Quindi considereremo la maggioranza di queste piccole sorgenti in sorgenti di minore intensità ripartire su di un area (massa per unità di tempo per unità di area). Box Model Semplificando ulteriormente il problema della diffusione euleriana si ottengono i cosiddetti box model. Si assume che il campo delle concentrazioni sia costante all'interno di un parallelepipedo di aria (box), cioè si abbiano condizioni di mescolamento completo. L inquinante è assunto essere uniformemente miscelato in uno strato di profondità z i tra il suolo e l altezza di mescolamento. La velocità del vento viene assunta costante nello strato. 19

20 Box Model Figura 4 Schematizzazione di un box model Ca u Cb C=costante Qa zi C a C b concentrazione al di sopra dello strato di mescolamento concentrazione a monte Box Model Un assunzione ulteriore può essere che l altezza dello strato di mescolamento aumenti con il tempo: z i / t >0 (come avviene nelle ore della mattina). L equazione di bilancio per il volume considerato è: c z i Δxz i = ΔxQ a + uz i (C b -C) +Δx (C a -C) (33) t t c Δxz i termine indicante la variazione di concentrazione nel tempo; t ΔxQ a termine sorgente; uz i (C b -C) termine variazione di concentrazione dovuta al trasporto convettivo; zi Δx (C a -C) termine variazione di concentrazione dovuta all aumento dello t strato limite e ai moti di subsidenza. 0

21 Box Model Possono essere fatte ulteriori semplificazioni: c zi = = 0 t t C b = 0 Allora la soluzione è semplicemente: Δx Qa C = (34) zi u Δx Definendo C* come la concentrazione di equilibrio nel box e chiamando il u tempo di spostamento dell aria per attraversare completamente l area urbana, possiamo definire un tempo adimensionale: tu t* = Δx Box Model Allora sempre trascurando C b e C a la soluzione della (33) può essere scritta: c = C*-C t* che ha soluzione: C = C* + (C 0 -C*)e -t* dove C 0 è il valore iniziale della concentrazione; come il tempo aumenta, la concentrazione C nell equazione raggiunge la concentrazione di equilibrio C*. Le dimensioni del parallelepipedo variano a seconda del problema e possono essere anche grandi quanto un'intera città. Per avere una maggiore risoluzione si possono considerare molti elementi di volume (multi-box model), per ciascuno dei quali valgono delle relazioni analoghe alle precedenti, in cui si considerano anche i flussi di inquinante attraverso le pareti degli elementi contigui. 1

22 Box Model I box model sono semplici da utilizzare, richiedono un numero minimo di dati d'ingresso e brevi tempi di calcolo, ma impongono dei vincoli molto restrittivi nella risoluzione del problema. L'ipotesi di uniformità della concentrazione non è infatti realistica nel piano orizzontale e tanto meno in quello verticale. Se ad esempio si considera il caso molto frequente di emissioni al livello del suolo, ipotizzando il mescolamento istantaneo dell'inquinante su tutta l'altezza dell'elemento, si sottostimano i livelli reali di concentrazione nei bassi strati dell'atmosfera. In questi modelli, infine, non si tiene conto di alcun parametro della turbolenza. Modelli "Street Canyon" I box model possono fornire le concentrazioni di CO o SO x su aree però relativamente grandi. Nel caso di strade stretta c è un contributo addizionale alle concentrazioni, dovuto alle sorgenti locali. In questo caso la concentrazione totale C è la somma di quella mediata spazialmente C a e di una componente locale ΔC: C = C a + ΔC (37)

23 Modelli "Street Canyon" Figura 5 Schematizzazione di uno Street Canyon u Cb Lato sottovento Lato controvento z x w Modelli "Street Canyon" Se il vento è più o meno ortogonale alla strada, le equazioni per la concentrazione ΔC sono: Lato controvento kNS ΔC = 1/ (38) (u + 0.5)[(x + z ) + z] Lato sottovento ΔC = kNS w(u + 0.5) (39) ΔC concentrazione di monossido di carbonio (ppm) N flusso veicolare (veicoli/ora) S velocità media dei veicoli u velocità media del vento al livello dei palazzi (m/s) w larghezza della strada x,z distanza orizzontale e altezza del punto relativamente alla carreggiata k costante adimensionale 7 3

24 Modelli "Street Canyon" Per direzioni del vento quasi parallela alla strada: ΔC = [ΔC(controvento) + ΔC(sottovento)] (40) Tipologie di modelli Molti codici numerici, preposti sia al calcolo del campo fluidodinamico sia alla determinazione della diffusione di inquinanti, sono stati sviluppati e commercializzati da numerosi enti e consorzi nazionali ed internazionali, soprattutto statunitensi. Le difficoltà connesse al loro utilizzo crescono, in generale, con l'aumentare della complessità del modello, di conseguenza è richiesta una competenza via via più grande da parte dell'utilizzatore. La gran parte dei modelli commerciali sono stati implementati dalla U.S. EPA, contenuti nel pacchetto UNAMAP. Essi sono prevalentemente di tipo gaussiano, utilizzabili quindi solamente nei casi più semplici (terreno piano, turbolenza gaussiana, assenza di reazioni chimiche, ecc.). Modelli più complicati quali i modelli K oppure i modelli a puff sono invece più adatti quando si voglia tenere conto anche dell'orografia complessa o delle trasformazioni chimiche degli inquinanti emessi. Sono anche disponibili modelli lagrangiani a particelle, particolarmente adatti in caso di atmosfera convettiva e valutazioni su piccola scala, sebbene il loro uso sia molto limitato a causa della loro maggior complessità. 4

25 Tipologie di modelli Informazioni su modelli e codici disponibili possono essere trovati nella classica biblioteca dell EPA (U.S. Environment Protection Agency sito INTERNET che contiene in maggioranza modelli Gaussiani, o al CARB (California Air Research Board sito INTERNET che presenta un ottima scelta di modelli per il trattamento delle reazioni chimiche degli inquinanti in atmosfera. Inoltre in ambito europeo si può fare riferimento allo European Topic Centre on Air Quality dell Agenzia Europea per l Ambiente (indirizzo INTERNET che tra l altro predispone, organizza e aggiorna una banca modelli (MDS Model Documentation System) accessibile via INTERNET all indirizzo attraverso la quale si ha una descrizione delle caratteristiche di più di 80 modelli, e informazioni sulla loro disponibilità. Tipologie di modelli Sostanzialmente sono da prendere in considerazione le seguenti tipologie di modelli: - modelli analitici a pennacchio : codici molto semplici che richiedono pochi, essenziali dati meteorologici di ingresso e limitate risorse di calcolo; per la loro praticità sono stati e sono tuttora molto utilizzati. Questi modelli sono adatti a simulare situazioni stazionarie nello spazio e nel tempo. Esistono formulazioni tradizionali (modelli Gaussiani), in cui la dispersione turbolenta viene parametrizzata con coefficenti empirici ricavati da campagne sperimentali (curve di Pasquill-Gifford o di Briggs), e più avanzate (modelli ibridi ), in cui la dispersione verticale viene parametrizzata direttamente in funzione dei dati meteorologici che forniscono informazioni struttura termica e meccanica dei bassi strati dell atmosfera; 5

26 Tipologie di modelli - modelli tridimensionali a "puff": formulazione Gaussiana per la dispersione ma con possibilità di variare la direzione di trasporto nello spazio e nel tempo; - modelli tridimensionali Lagrangiani a "particelle": simulazione della dispersione di un inquinante attraverso pseudo-particelle la cui dinamica all interno del dominio di calcolo viene determinata dal campo di vento e delle condizioni di turbolenza locali dell atmosfera; - modelli tridimensionali Euleriani a griglia: si basano sull integrazione numerica dell equazione differenziale di conservazione della massa per ogni inquinante. Tipologie di modelli A parte i modelli analitici a pennacchio, tutte le altre tipologie di modelli necessitano di campi di vento tridimensionali, che si possono ottenere con modelli a conservazione di massa che ricostruiscono il flusso sull orografia del dominio, oppure con modelli meteorologici che risolvono l intero set di equazioni fluidodinamiche (equazioni di Navier-Stokes); In generale, la scelta tra modelli analitici e tridimensionali dipende dal livello di complessità dello scenario. In condizioni di terreno piatto e presenza di vento, può essere utilizzato un modello analitico a pennacchio; diversamente, è opportuno l uso di modelli tridimensionali. 6

27 Tipologie di modelli I modelli analitici a pennacchio possono utilizzare alternativamente come dati di ingresso le joint frequency functions, cioè i dati statistici sulla occorrenza di condizioni meteodiffusive definite da classe di stabilità, intensità e settore di provenienza del vento, oppure le serie temporali di dati meteorologici (almeno un anno completo con risoluzione oraria o trioraria). La seconda modalità è preferibile perché consente di considerare sorgenti con emissioni variabili nel tempo e di stimare i parametri di qualità dell aria per diversi tempi di media (Cirillo e Desiato, 1998). Le condizioni più critiche per l utilizzo di questi modelli sono rappresentate dalla calma di vento e dalla presenza di orografia complessa: in questi casi i risultati forniti dai modelli tridimensionali sono sicuramente più affidabili in quanto in essi si tiene conto della variabilità spaziale dei parametri atmosferici. Tipologie di modelli I modelli a puff possono essere considerati una categoria intermedia tra i modelli analitici tradizionali ed i modelli tridimensionali completi. Essi possono essere considerati validi finché una singola traiettoria rappresenta il trasporto degli inquinanti. In condizioni di forte disomogeneità questa approssimazione comporta una sensibile riduzione dell accuratezza dei risultati finali. Una traiettoria che rappresenta il movimento del centroide di un puff non rappresenta adeguatamente il trasporto della nube inquinante poiché l intensità e la direzione del vento variano generalmente con la quota; naturalmente in condizioni più complesse, come ad esempio nelle situazioni di brezza, una unica traiettoria non è sufficiente a riprodurre correttamente quanto accade in atmosfera. 7

28 Tipologie di modelli I modelli Lagrangiani a particelle e quelli Euleriani a griglia sono gli strumenti più avanzati per la simulazione della dispersione in atmosfera. Essi possono tenere conto compiutamente di tutte le misure meteorologiche disponibili e delle loro variazioni spaziali e temporali; i limiti sono costituiti attualmente nell incompleta conoscenza dei meccanismi della turbolenza e dell eccessivo tempo di calcolo che richiedono le simulazioni più complesse. Simulazioni complete della durata di un anno sono onerose, pertanto questi modelli vanno utilizzati prevalentemente per valutare le situazioni che si presumono più critiche. È possibile comunque ricostruire gli andamenti medi stagionali anche con limitati mezzi di calcolo: si simulano alcune decine di giorni tipici nell arco dell anno (suddivisi equamente tra le stagioni invernale ed estiva) e successivamente, pesando le diverse situazioni meteorologiche in base alla loro frequenza, si possono ricavare le mappe di concentrazione medie stagionali ed annuali. Tipologie di modelli I modelli a particelle sono preferibili alla scala locale per il maggior dettaglio vicino alla sorgente, poiché i modelli a griglia diluiscono immediatamente il termine di sorgente sul volume di una cella che, per esigenze computazionali, non può essere di dimensioni troppo piccole. Inoltre, nel caso di diverse sorgenti, al fine di attribuire il peso che ha ciascuna di esse nella determinazione delle concentrazioni in aria (matrici sorgenti-recettori), occorre ripetere le simulazioni per poter calcolare il contributo di ogni sorgente; nel caso dei modelli a particelle si può invece colorare diversamente le particelle in funzione delle diverse sorgenti e dei diversi inquinanti e calcolare con una sola simulazione i diversi contributi. L utilizzo dei modelli a griglia è invece indispensabile per le simulazioni in cui entrano in gioco le reazioni chimiche. Infine, l utilizzo di modelli tridimensionali, Lagrangiani o Euleriani, è praticamente indispensabile nel caso di simulazioni a scala più grande (mesoscala), in quanto occorre tenere conto della circolazione atmosferica a scala sinottica e delle sue variazioni spaziale e temporale. 8

29 Scenari di applicazione dei modelli Tra gli scenari più frequenti di applicazione dei modelli per la valutazione della qualità dell aria possono essere individuati i seguenti. Stima delle concentrazioni in aria dei principali inquinanti dovuti al traffico (CO, benzene) nelle aree urbane e in prossimità di importanti arterie stradali. Questo scenario è dominato da inquinanti primari, immessi localmente, ed è caratterizzato da una marcata variabilità spazio temporale delle concentrazioni; è quindi necessaria l applicazione di modelli ad elevata risoluzione spaziale e temporale (medie orarie). I modelli di possibile applicazione sono generalmente modelli analitici, che consentono il trattamento di sorgenti lineari sotto forma di grafo stradale. Per questo tipo di scenario è anche possibile utilizzare direttamente i dati prodotti dai modelli di traffico, tarandoli eventualmente con qualche misura disponibile. In ambiente urbano, in mancanza di adeguate fonti di dati (reti, campagne di misure, stime modellistiche), Scenari di applicazione dei modelli in prima approssimazione è possibile ricorrere alla stima delle emissioni potenziali conoscendo i flussi veicolari ed i livelli di congestione del traffico nelle diverse arterie che compongono la rete viaria cittadina (supponendo che nell area sia il traffico veicolare a fornire il contributo prevalente alle emissioni). Molte città dispongono di efficienti modelli di traffico calibrati con misure in campo, che riescono a simulare l andamento orario del traffico: noto il numero di veicoli per unità di tempo, la composizione del parco (cilindrata, tipo di combustibile usato, età dei veicoli) e la velocità media di percorrenza di ciascun arco stradale, tramite fattori di emissione accettati a livello europeo (CORINAIR, COPERT), si può calcolare la quantità di inquinante emessa nell unità di tempo e nell unità di lunghezza. Si può ottenere così una caratterizzazione delle arterie in termini di capacità emissiva, e da questa, utilizzando eventualmente qualche misura disponibile per calibrare i valori di concentrazione in aria, pervenire a una mappatura delle zone della città su cui concentrare le azioni di monitoraggio e di valutazione della qualità dell aria. 9

30 Scenari di applicazione dei modelli Va segnalato che non deve essere trascurato il contributo alle emissioni da parte delle due ruote, sia per l elevato numero di motoveicoli che circola nelle città che per la rilevanza del loro contributo alle emissioni di benzene ed IPA. Per il benzene sono da tenere in conto anche le cosiddette emissioni evaporative che provengono da veicoli in sosta (una sorgente che può rivelarsi importante è costituita dai grandi parcheggi) e dalle stazioni di rifornimento. Una categoria a parte è costituita dai casi in cui si vogliano valutare in dettaglio i campi di concentrazione all interno di arterie o incroci stradali. In questi casi vengono applicati modelli tridimensionali Euleriani ad alta risoluzione (modelli street canyon ), che necessitano, a monte, di campi di vento e di turbolenza tridimensionali ad alta risoluzione che riproducono il flusso turbolento indotto dagli edifici e dal traffico. Applicazione di modelli a griglia su aree relativamente estese, per la valutazione dell inquinamento fotochimico Questo scenario è dominato da inquinanti secondari (ozono ed ossidanti fotochimici che si producono in atmosfera per effetto di reazioni di inquinanti primari, detti precursori, immessi in un area estesa e distribuiti dalla circolazione atmosferica). Esso è caratterizzato da una minore variabilità nello spazio e da un marcato ciclo diurno e stagionale. I modelli più idonei per questo scenario sono di tipo Euleriano a griglia, che includono un modulo per il trattamento delle reazioni chimiche coinvolte nella produzione dello smog fotochimico. 30

31 Applicazione di modelli a griglia su aree relativamente estese, per la valutazione dell inquinamento fotochimico Nonostante il livello ancora notevole di incertezza dei risultati, allo stato attuale si può ritenere che l utilizzo dei modelli Euleriani fotochimici 3D, opportunamente verificati tramite il confronto diretto con le misure sperimentali effettuate in campagne intensive o anche attraverso opportuni indicatori fenomenologici costruiti a partire dalle misure stesse, possano fornire un contributo importante nelle valutazioni comparative tra diversi scenari emissivi, utili per la definizione di piani di risanamento. Esperienze internazionali nell applicazione di questi strumenti modellistici sono documentate da circa un ventennio negli Stati Uniti, e da circa un decennio in Europa. I risultati più significativi si ottengono limitatamente alla simulazione di episodi di inquinamento da ozono, in condizioni di alta pressione e cielo sereno, limitata influenza degli aerosol e di fenomeni di trasporto esterno di ossidanti rilevanti rispetto alla produzione locale. Applicazione di modelli a griglia su aree relativamente estese, per la valutazione dell inquinamento fotochimico Il dominio di applicazione copre generalmente un estensione orizzontale tra cento e duecento chilometri con una risoluzione orizzontale di griglia da uno a cinque chilometri e un estensione verticale fino a metri (almeno il doppio del massimo rilievo orografico presente nel dominio di calcolo) e con 10-0 strati verticali di spessore variabile da poche decine di metri ad alcune centinaia di metri. La verifica dei modelli utilizzati per la valutazione dovrebbe essere condotta considerando la capacità del modello di riprodurre in modo adeguato la distribuzione spaziale e la corrispondente evoluzione temporale delle concentrazioni delle seguenti specie chimiche: monossido di carbonio, monossido di azoto, biossido di azoto, biossido di zolfo, ozono. La verifica dovrebbe essere condotta preferibilmente a partire da una situazione di aria pulita, dopo un periodo di inizializzazione del modello di almeno 4 ore. 31

32 Applicazione di modelli a griglia su aree relativamente estese, per la valutazione dell inquinamento fotochimico Non dovrebbe essere considerata sufficiente la riproduzione dei soli picchi di concentrazione, ma anche la corretta riproduzione della localizzazione spaziale e temporale dei picchi. La verifica dovrebbe essere eseguita per almeno tre diversi episodi in aree campione, sufficientemente estese. Nelle aree di verifica dovrebbero essere presenti dati sufficientemente rappresentativi della distribuzione spaziale degli inquinanti. I principali punti critici nella applicazione di questi modelli riguardano: - l integrazione delle informazioni meteorologiche tra i dati a scala locale e quelli a scala sinottica; - la definizione di inventari delle emissioni completi e disaggregati nello spazio (risoluzione pari alla griglia di calcolo) e nel tempo (risoluzione oraria); - la speciazione dei VOC emessi dai diversi comparti e la scelta tra diversi processori chimici per la simulazione delle reazioni tra i vari inquinanti. Stima delle concentrazioni in aria derivanti dall esercizio di impianti industriali o di produzione di energia (sorgenti puntuali o areali). È il caso più frequentemente trattato con modelli: fin dagli anni 60 sono state effettuate simulazioni della dispersione di radionuclidi emessi in caso di rilascio accidentale da impianti nucleari e successivamente si è passati allo studio del comportamento di pennacchi di inquinanti emessi in atmosfera da grandi impianti industriali (centrali termoelettriche, inceneritori, acciaierie, ecc.), attraverso ciminiere (sorgenti puntuali) o dall insieme degli impianti (sorgenti areali). In questi casi il termine di sorgente è generalmente conosciuto o facilmente stimabile, come pure le caratteristiche delle emissioni (superficie emittente, altezza del rilascio, temperatura dei fumi); le dimensioni del dominio di interesse per valutare l impatto di queste sorgenti variano da poche centinaia di metri per rilasci vicino al suolo di fumi freddi, a diverse decine di chilometri per rilasci da camini elevati (>00m) di fumi caldi. 3

33 Stima delle concentrazioni in aria derivanti dall esercizio di impianti industriali o di produzione di energia (sorgenti puntuali o areali). I modelli storicamente sviluppati ed utilizzati per questi casi sono i modelli a pennacchio Gaussiani; è però opportuno ricordare i loro limiti cui si è già accennato. Infatti l applicazione di questi modelli in condizioni non appropriate, ha portato spesso a risultati deludenti nel confronto tra concentrazioni simulate e misurate. Si può consigliarne l uso per siti non orograficamente complessi, con percentuali di calme e venti deboli molto ridotte e per emissioni vicino al suolo; in questi casi, anche con pochi dati meteorologici (è sufficiente la serie storica dei dati di un anemometro posto alla quota di rilascio) si possono ottenere utili indicazioni sulle concentrazioni al suolo. Occorre prestare attenzione alla scelta dei parametri di dispersione, e basare la scelta tra le diverse famiglie di curve (Pasquill, Briggs, ecc.) sul confronto con dati misurati. Stima delle concentrazioni in aria derivanti dall esercizio di impianti industriali o di produzione di energia (sorgenti puntuali o areali). Per simulare le emissioni in tutte le altre condizioni (siti complessi, rilasci da camini superiori ai 100 m di fumi caldi) è necessario disporre di una serie sufficientemente lunga di misure meteorologiche rappresentative delle condizioni meteo-diffusive sull area in esame, così da poter applicare i modelli di simulazione per la dispersione degli inquinanti più aderenti alle reali condizioni dell atmosfera. In questi casi sono utilizzabili i modelli a puff e a particelle, supportati da opportuni modelli meteorologici per la ricostruzione dei campi di vento sui siti ad orografia complessa. 33

34 Stima delle concentrazioni in aria derivanti dall esercizio di impianti industriali o di produzione di energia (sorgenti puntuali o areali). In funzione delle risorse a disposizione si può procedere all utilizzo dei codici 3D solo per simulare le situazioni più critiche, utilizzando i modelli Gaussiani per valutazioni di massima o conservative; avendo a disposizione una serie oraria di profili verticali di vento e risorse di calcolo sufficientemente veloci si può utilizzare un modello a particelle anche in versione climatologica completa. I confronti con le misure sperimentali possono essere soddisfacenti anche in condizioni complesse, avendo cura di scegliere punti di misura significativi, in particolare non influenzati da altre sorgenti inquinanti presenti sul territorio. La scelta del modello (il caso dell atmosfera) 34

35 Ruolo dei processi chimico fisici Equazione della diffusione - convezione formulazione dal punto di vista matematico 35

36 Modelli matematici: input/output Dati di ingresso relativi al territorio 36

37 Dati di ingresso relativi alla meteorologia Dati di ingresso relativi alle emissioni 37

38 Inquinanti primari e secondari Tipi di inquinanti considerati 38

39 Dati di uscita dai modelli di dispersione (1/3) Dati di uscita dai modelli di dispersione (/3) 39

40 Dati di uscita dai modelli di dispersione (3/3) Misure meteorologiche necessarie per i modelli 40

41 Preprocessamento dei dati meteorologici Criteri di selezione per la scelta del modello 41

42 Scelta del modello Parametrizzazioni delle grandezze atmosferiche (1/) 4

43 Dipendenza dei risultati dai parametri (1/5) Dipendenza dei risultati dai parametri (/5) 43

44 Dipendenza dei risultati dai parametri (3/5) Dipendenza dei risultati dai parametri (4/5) 44

45 Dipendenza dei risultati dai parametri (5/5) Influenza delle condizioni locali 45

46 Modelli gaussiani Schema di modello gaussiano 46

47 Modelli euleriani Modelli eulero-lagrangiani 47

48 Schema di modello euleriano Modelli lagrangiani (1/) 48

49 Modelli lagrangiani (/) Schema di modello lagrangiano 49

50 Deposizione Condizioni al contorno 50

51 Esempi (1/13): Modello gaussiano, caso stabile Esempi (/13): modello gaussiano, caso instabile 51

52 Esempi (3/13): concentrazione media (sorgente elevata) Esempi (4/13): concentrazione media (sorgente al suolo) 5

53 Esempi (7/13): utilizzo di un preprocessore meteo Esempi (8/13): modello lagrangiano 53

54 Esempi (9/13): modello euleriano Esempi (10/13): modello eulero-lagrangiano a puff 54

55 Esempi (11/13): S.I.A. impianto termodistruzione di TN Esempi (1/13): S.I.A. impianto termodistruzione di TN 55

56 Esempi (13/13): S.I.A. impianto termodistruzione di TN Schede modelli (1/1) 56

57 Schede modelli (/1) Schede modelli (3/1) 57

58 Schede modelli (4/1) Schede modelli (5/1) 58

59 Schede modelli (6/1) Schede modelli (7/1) 59

60 Schede modelli (8/1) Schede modelli (9/1) 60

61 Schede modelli (10/1) Schede modelli (11/1) 61

62 Schede modelli (1/1) Riferimenti e software sulla rete internet 6

63 Modelli lagrangiani I modelli lagrangiani rappresentano una delle più valide alternative ai modelli euleriani nel calcolo della diffusione di inquinanti in un flusso turbolento. Le particelle, trasportate dai moti turbolenti presenti nel flusso, traslano secondo delle traiettorie casuali. Per tenere conto di questo comportamento, le velocità delle particelle devono essere ricavate dal modello mediante una forzante di tipo aleatorio. Nei modelli lagrangiani le particelle di inquinante sono considerate passive, sia in senso chimico (inquinante non reagente) sia in senso fluidodinamico, in quanto si ipotizza che esse si comportino come delle particelle di fluido, senza perturbare il campo di moto nel quale vengono immesse. Le velocità delle particelle saranno quindi coincidenti con le velocità istantanee del flusso nel punto corrispondente. Modelli lagrangiani I modelli di diffusione di tipo lagrangiano sono considerati puramente statistici, nel senso che non vengono mai utilizzate le equazioni classiche della fluidodinamica. La maggior parte di essi determina le traiettorie delle particelle calcolando le velocità ai vari istanti mediante delle equazioni differenziali stocastiche (ovvero delle equazioni differenziali nelle quali compaiono dei termini aleatori), in grado di simulare le forze che il flusso esercita sui singoli elementi fluidi. La soluzione sarà anch'essa un processo stocastico e uno dei problemi fondamentali è appunto la ricerca delle sue proprietà statistiche. I problemi teorici connessi con le equazioni differenziali stocastiche sono analoghi a quelli delle equazioni deterministiche: esistenza ed unicità della soluzione e sue proprietà analitiche, dipendenza della soluzione dalle condizioni iniziali e al contorno. 63

64 Criteri generali di scelta dei modelli di diffusione di inquinanti in atmosfera Elementi determinanti nella scelta del modello sono rappresentati dalla scala di trasporto, dalle condizioni meteorologiche e dall'orografia del sito analizzato. Se si è interessati alla diffusione su distanze (scale di trasporto) molto maggiori della scala spaziale integrale della turbolenza, è possibile utilizzare un modello euleriano basato su chiusure locali (relazioni empiriche in cui le grandezze incognite in un punto sono espresse in funzione di grandezze note nello stesso punto), ovvero uno dei modelli euleriani descritti nei precedenti paragrafi. Quanto più ci si avvicina alla sorgente, tanto meno accurata è la descrizione ottenuta con questi modelli, salvo cercare di limitare l'errore intrinseco della chiusura con diffusività turbolente calcolate "ad hoc", tenendo conto anche della distanza tra il punto analizzato e il punto di emissione. Questo tipo di modelli però, presenta caratteristiche di scarsa generalità. Un'alternativa è rappresentata dai modelli lagrangiani, che tengono conto anche della scala integrale della turbolenza e possono simulare la dispersione in prossimità della sorgente. Criteri generali di scelta dei modelli di diffusione di inquinanti in atmosfera Un altro elemento che determina la scelta del modello è dato dalle condizioni meteorologiche. In caso di stabilità termica dello strato limite atmosferico (ore notturne con venti deboli o moderati), le scale integrali della turbolenza hanno dimensioni ridotte (qualche decina di metri quelle spaziali e pochi minuti le temporali) e sono tanto più piccole quanto più è forte il gradiente verticale di temperatura potenziale. In queste condizioni l'applicazione dei modelli euleriani descritti non dà luogo ad errori rilevanti. L'unico modello che risulta sicuramente inadeguato è il box model per il quale, ricordiamo, si ipotizza un mescolamento completo dell'inquinante lungo la verticale. Man mano che ci si avvicina alle condizioni di stabilità termica neutra (forte vento e cielo coperto), le scale aumentano di dimensioni. In accordo con quanto detto per le scale di trasporto, l'applicazione dei modelli a chiusura locale è corretta solo se si considerano distanze dalla sorgente molto maggiori della scala integrale. In condizioni di instabilità termica (forte insolazione e venti deboli o moderati) le scale integrali diventano molto grandi (1 Km o decine di minuti) e quindi l'applicazione dei modelli euleriani descritti è del tutto inappropriata. 64