Il matematico inaspettato

Транскрипт

1 Università degli Studi di Siena Facoltà di Lettere e Filosofia Corso di Laurea in Filosofia Il matematico inaspettato Le intuizioni matematiche nei bambini dai 12 mesi ai 5 anni Candidato: Antonella Galgano Relatore: Chiar.mo Prof. Massimo Squillacciotti Correlatore: Chiar.mo Prof. Riccardo Putti Anno Accademico 2008/2009

2 .

3 . A Mario e Nicolò I miei due scienziati che mi hanno riconciliato con la matematica

4

5 Indice Introduzione 7 1 Struttura della tesi Le capacità matematiche del bambino 9 1 Il concetto di numero in Piaget La conservazione della quantità Stadi dello sviluppo cognitivo Lo sviluppo delle abilità numeriche nel bambino Il processo di costruzione dei numeri nel bambino Dentro la teoria di Piaget L interpretazione olistica di Montessori Lo sviluppo non lineare Il piano dell infanzia L embrione spirituale Il lavoratore cosciente L interdipendenza dei quattro piani La critica al sistema educativo in atto La nascita del concetto di numero Antropologia del numero Il numero come espressione del pensiero I fondamenti del numero Le competenze numeriche dei bambini Innatismo nello sviluppo del concetto di numero La teoria costruttivista del concetto di numero Le abilità numeriche del bambino molto piccolo

6 6 Indice 4 Riflessioni conclusive Il ruolo dell ambiente nello sviluppo del bambino 49 1 L apprendimento della musica per osmosi Montessori: bambino e ambiente Ambiente e piani di sviluppo Il metodo tradizionale L ambiente, maestro invisibile Osservazione 63 1 L ambiente Il ruolo delle maestre Osservazione al Nido Le abilità matematiche Osservazione alla Casa dei Bambini I materiali di sviluppo della psicoaritmetica Discussione 95 1 Abilità matematiche osservate Possiamo chiamarle abilità matematiche? Concentrazione e flow Fattori facilitanti I giochi L ambiente Il ruolo dell adulto Che cosa manca in altri contesti? Concludendo Conclusioni 103

7 Introduzione Non mi è mai piaciuta la matematica. Ancor meno il ricordo dell ambiente scolastico che nulla offriva per rendere interessante questa materia. E continua a non piacermi la sequela di lamentele da parte di allievi ed amici sull osticità della matematica. Ma deve essere necessariamente così? L esperienza come insegnante e come madre mi dice invece di no, che esistono approcci in cui l ambiente stesso spinge il bambino a rendere visibili le intuizioni matematiche presenti nell essere umano fin dai primi mesi di vita. Non lo credevo possibile, ma osservando bambini di un nido Montessori apprendere e mettere in pratica concetti di quantità, di ordinamento e classificazione senza che nessuno glielo insegnasse mi ha spinto ad indagare l effetto dell ambiente sul manifestarsi dell intuito matematico cui i bambini sono capaci. Un altra motivazione che mi ha spinto ad approfondire il tema di questa tesi parte da una semplice constatazione: il bambino impara a parlare perché immerso in un ambiente fatto di parole, può addirittura imparare la musica se immerso in un linguaggio musicale (Gordon, 2003). E per la matematica? Perché non può essere lo stesso? Che cosa fa si che questo apprendimento per osmosi non funzioni? Non penso sia un problema intrinseco nella materia, ma nel come l ambiente che circonda il bambino non sia quasi mai preparato per facilitare l apprendimento della matematica, ma soffra di un preconcetto logico: che la matematica, essendo una materia astratta, non debba ricevere aiuti materiali dall ambiente, come se questo, in qualche maniera, la contaminasse. In questa tesi mi prefiggo quindi di dimostrare che un ambiente di apprendimento preparato e accogliente riesce a far emergere nei bambini alcuni

8 8 Introduzione concetti matematici in maniera naturale e senza esplicitamente proporre una didattica della matematica. La mia attenzione si è focalizzata su bambini che frequentano il nido e la scuola dell infanzia, cioè bambini tra i 12 mesi ed i 5 anni d età. Come strumento di studio ho utilizzato l osservazione diretta e passiva del comportamento di bambini di un nido e una scuola dell infanzia. Ho quindi messo in relazione la filosofia su cui si basano queste strutture con l effetto dell ambiente sul comportamento dei bambini. Per focalizzare l attenzione e non trasformare la tesi in uno sterile paragone tra diverse metodologie educative, accennerò brevemente all offerta formativa di un nido e una scuola dell infanzia tradizionale, mentre mi concentrerò sull ambiente del Nido e Casa dei Bambini della scuola Montessori di Varese. 1 Struttura della tesi Nel capitolo 1 porrò le basi del contesto cognitivo in cui si svolge l apprendimento della matematica nella fascia di età sotto studio (Piaget, Montessori, e gli esperimenti di Butterworth, Antell e Keating e altri). Passerò quindi nel capitolo 2 ad analizzare il ruolo nell apprendimento degli ambienti educativi e le differenti offerte dei nidi e scuole dell infanzia. Nel capitolo 3 definirò l approccio osservativo che ho adottato ed i risultati dell indagine condotta presso la scuola Montessori di Varese, fase focalizzata sull analisi dei comportamenti dei bambini correlati all apprendimento ed alla messa in pratica di concetti matematici. Le conclusioni di questa parte osservativa sono analizzate nel capitolo 4. La conclusione della tesi mostrerà come un ambiente sensoriale preparato è efficace nel trasmettere non solo concetti matematici, ma soprattutto amore per questa materia.

9 Capitolo 1 Le capacità matematiche del bambino Gardner (1977) scrive: Ho sempre pensato che il modo migliore per rendere la matematica interessante a studenti e non, è quello di accostarla come se fosse un gioco. A livelli superiori, specialmente quando la matematica è applicata a problemi concreti, può e deve essere terribilmente seria. A livello più basso, nessuno studente può essere motivato a studiare, per esempio, la teoria astratta dei gruppi dicendogli che la troverà bella, interessante, o addirittura utile... se diventerà un fisico delle particelle elementari. In questo capitolo saranno brevemente riassunte le idee riguardanti le capacità matematiche dei bambini, quando e come si manifestano. Verranno perciò confrontate principalmente le teorie e gli approcci Piaget e Montessori, e come queste siano state confutate o modificate da altri autori basandosi sull osservazione delle capacità dei bambini. 1 Il concetto di numero in Piaget Padre di una delle prime vere e proprie teorie cognitive intorno all elaborazione del concetto di numero (Piaget e Szeminska, 1968) è senz altro Jean Piaget: è,

10 10 Le capacità matematiche del bambino infatti, sua l ipotesi di un rapporto inscindibile tra le strutture d intelligenza generale e l evoluzione delle competenze numeriche nelle abilità di pensiero. Per Piaget le abilità matematiche sono un espressione dell intelligenza che si sviluppa attraverso l interazione con l ambiente e l azione sulla realtà circostante. L acquisizione delle abilità matematiche dipende dall apprendimento del linguaggio e del pensiero operatorio concreto; per Piaget, quindi, la capacità di numerare gli oggetti, e conseguentemente di compiere operazioni con i numeri, non è solo il risultato di un apprendimento scolastico. La sua tesi principale è che l acquisizione del concetto di numero si sviluppa per tappe successive, parallelamente al consolidarsi delle strutture logiche, e che la sequenza dei numeri è la sintesi operatoria della comprensione sia dell aspetto ordinale sia dell aspetto cardinale ed è solo in parte aiutata dall apprendimento. Per Piaget, il numero non è basato esclusivamente sulle operazioni di classificazione, ma nasce da una sintesi di due strutture: la struttura d ordine e quella d inclusione. Questa sintesi di strutture logiche produce nuove proprietà che si possono chiamare numeriche. Il numero scaturisce quindi da un astrazione delle qualità che differenziano un elemento dall altro. Questa astrazione rende un elemento equivalente agli altri: 1 = 1 = 1 = 1... Questi elementi possono essere classificati secondo le inclusioni: (1) (1+1) (1+1+1) ( )... ma nello stesso tempo, ordinati in serie. Ordinarli è il solo mezzo per non contare due volte lo stesso elemento. Studiando lo sviluppo di questa nozione nel bambino (ontogenesi) Piaget osserva che a livello preoperatorio (2 7 anni) queste strutture sono relativamente indifferenziate mentre in seguito, a livello operatorio (7 12 anni circa) si assiste ad una differenziazione ed ad una sintesi tra di esse. Questa sintesi numerica si afferma molto progressivamente, dapprima per i numeri più piccoli, poi per quelli maggiori. Quindi, secondo Piaget il numero è la sintesi tra classi e relazioni, ciò significa semplicemente che un insieme di elementi, per acquisire lo statuto di quantità numerica, deve essere percepito, identificato, preso in considerazione a partire dal numero di elementi che lo

11 1-1.1 La conservazione della quantità 11 compongono e essere riconosciuto come più grande o più piccolo di un altro in funzione di questo stesso criterio. Per l acquisizione del concetto di numero non è sufficiente solo riconoscere l equinumerosità di due insiemi ma diventa fondamentale anche la conservazione della quantità. Piaget in tal senso ha condotto tanti esperimenti che hanno mostrato che solo verso i 7 anni si può dare per scontato che i bambini abbiano acquisito l invarianza della quantità e quindi sappiano usare i numeri nel loro aspetto cardinale e ordinale. L età intorno ai 6 anni è critica ai fini di questa acquisizione: a questa età i bambini si trovano in un area di sviluppo prossimale, ed è per tale motivo che proprio il concetto di numero ha un ruolo centrale nella continuità da costruire tra la scuola dell infanzia e la scuola primaria. Ma proprio in questo punto si trova un limite della teoria piagetiana. È vero che i bambini piccoli hanno molto da imparare in aritmetica e che sono necessari anni perché le loro capacità concettuali si approfondiscano, ma è altrettanto vero che non sono privi di capacità numeriche prima di iniziare la scuola dell infanzia e neppure al momento della loro nascita. 1.1 La conservazione della quantità Con il concetto di conservazione della quantità Piaget intende la capacità di astrarsi da indizi superficiali, quali la forma o la densità dello spazio occupato dagli oggetti di più insiemi per stabilire relazioni di confronto di tipo quantitativo. La conservazione costituisce una condizione necessaria per qualsiasi attività razionale e in particolare per il pensiero aritmetico. Ad esempio, nella numerazione, ossia la capacità di contare, il numero resta invariato qualunque sia la disposizione, l ordine delle unità di cui è composto un insieme (Butterworth, 1999). In altri termini, se abbiamo cinque oggetti, il numero cinque non è affatto assegnato all oggetto posto per ultimo : gli oggetti sono in totale cinque, anche se si effettuano spostamenti tra di loro. Questo principio potrebbe essere definito come quello dell irrilevanza dell ordine. I bambini per contare hanno bisogno, pertanto, di capacità di astrazione e di individuare

12 12 Le capacità matematiche del bambino una corrispondenza biunivoca tra una sequenza non modificabile di parole (i numeri) e gli oggetti. Nel confronto tra due insiemi costituiti dallo stesso numero di elementi, non è possibile compiere delle operazioni, se non a condizione che sia percepita la conservazione della quantità. Piaget (Piaget e Szeminska, 1968, pag. 3) sostiene che qualsiasi cognizione, sia di ordine scientifico sia che provenga semplicemente dal senso comune, presuppone un sistema implicito o esplicito di principi di conservazione. Essa è la condizione formale di qualsiasi esperienza e di qualsiasi ragionamento, viene addirittura definita come la condizione necessaria per qualsiasi attività razionale e nemmeno il pensiero aritmetico sfugge a tale regola. Le operazioni stesse mostrano proprio la possibilità di effettuare qualsiasi permutazione sugli elementi lasciando invariata la numerosità totale del complesso. 1.2 Stadi dello sviluppo cognitivo Lo sviluppo psichico, che comincia con la nascita e termina con l età adulta, è paragonabile alla crescita organica e consiste essenzialmente in un cammino verso l equilibrio. Lo sviluppo è un passaggio continuo da uno stato di minore equilibrio ad uno di equilibrio superiore (Piaget, 1967). Piaget suddivide lo sviluppo cognitivo in quattro stadi principali, ognuno caratterizzato da una modalità di pensiero qualitativamente diversa, resa possibile dall emergere di un nuovo schema che si costruisce sulla base delle esperienze del bambino durante lo stadio precedente. Il completamento di uno stadio è condizione imprescindibile perché possa evolversi lo stadio successivo; ne discende che l ordine dei quattro stadi è invariabile. Gli stadi possono così essere così suddivisi: Stadio senso-motorio (dalla nascita ai due anni circa) Stadio pre-operatorio (dai due ai sette anni) Stadio operatorio concreto (dai sette ai dodici anni circa) Stadio operatorio formale (dai dodici anni a tutta l età adulta)

13 1-1.3 Lo sviluppo delle abilità numeriche nel bambino 13 Lo sviluppo delle abilità matematiche è plasmato principalmente dall acquisizione del concetto di conservazione della quantità. Piaget indagò molto su questo fenomeno, sostenendo che i bambini nello stadio pre-operatorio (dai due ai sette anni) non possiedono il principio di conservazione; ovvero non si rendono conto che la quantità di una certa sostanza non cambia al cambiare della sua forma. 1.3 Lo sviluppo delle abilità numeriche nel bambino Secondo Jean Piaget, i numeri anteriori al periodo in cui il bambino ha compreso l iterazione dell unità, cioè la possibilità di generare ogni volta un numero nuovo per mezzo dell addizione di unità, non sono ancora dei veri numeri, ma delle figure percettive. Il bambino sarà in grado di distinguere un insieme di due oggetti da un oggetto unico, un insieme di tre da un insieme di due, ma li distinguerà percettivamente, e ciò può dar luogo ad operazioni pratiche ma non operatorie, e dimostra che in questa fase, pre-operatoria, non vi è conservazione degli insiemi. Questa è l obiezione che si può fare alla tesi di un intuizione pura, innata del numero, di un intuizione anteriore alla logica (Piaget e Szeminska, 1968). Il primo stadio: assenza di conservazione. Se si presentano al bambino due recipienti della stessa forma e della stessa dimensione, contenenti l uno acqua colorata in azzurro, l altro acqua colorata in rosa, si domanda al bambino di travasare il contenuto di uno di questi recipienti in un recipiente di altra forma, per esempio più largo e più basso e gli si domanda se la quantità d acqua è rimasta la stessa, egli crederà che vi sia più acqua in un vaso più grande che in uno piccolo. Analogamente se si versa l acqua del primo vaso in due vasi più piccoli o in tre più piccoli, il bambino non avrà l impressione che l insieme delle due quantità equivale alla quantità iniziale. Egli dirà che è di più perché vi sono due vasi invece di uno ma se si continua ad aumentare il numero dei recipienti, finirà col dire che è di meno perché i recipienti sono più piccoli, questo dimostra che non vi è conservazione della quantità. La stessa esperienza si può fare su

14 14 Le capacità matematiche del bambino quantità discontinue 1, su insiemi propriamente detti di oggetti, per esempio con delle palline. Si domanda ad un bambino di mettere in due vasi uguali lo stesso numero di palline, affinché sia sicuro che il numero delle palline sia identico. Basta travasare la quantità di palline in recipienti di forme e dimensioni diverse perché il bambino ritenga che la quantità di palline aumenti o diminuisca, e ciò in ragione del livello raggiunto dalle palline, della larghezza del recipiente, o del numero dei recipienti. Anche questa volta, le quantità sono valutate in funzione dei rapporti percettivi non coordinati tra loro (quantità brute), inoltre, in questo caso si ritiene che secondo la forma che prende un quantitativo nel passare da un recipiente all altro, possa aumentare o diminuire nei suoi elementi stessi benché questi siano distinti tra loro. Il secondo stadio: inizio di complessi permanenti. Nello sviluppo della nozione di conservazione si può distinguere un secondo stadio caratterizzato dalle soluzioni intermedie, situate a metà strada tra la quantità bruta senza invariabilità e la quantificazione propriamente detta. Da una parte il bambino è portato a credere nella conservazione, sia perché i contenitori sono identici, sia perché queste due collezioni sono state costituite per mezzo di una corrispondenza biunivoca e reciproca. Si tratta però di una conservazione empirica, non ancora logica, che viene a mancare nel momento in cui la differenza percettiva tra i due vasi aumenta. Contrariamente a quanto avviene nel primo stadio, nel corso del quale i fattori percettivi annullavano senz altro la credenza nell equivalenza delle collezioni corrispondenti, si stabilisce ora una lotta senza risultato, poiché nessuna delle due tendenze prevale decisamente sull altra, infatti quando il bambino osserva le collezioni di palline crede nella non equivalenza e quando ricorda la corrispondenza che le ha costituite, crede di nuovo a questa equivalenza. Il terzo stadio: conservazione e coordinazione quantificate. È in questo stadio, che inizia tra i sei e i sette anni e mezzo, che il bambino acquisisce la vera conservazione. Adesso il bambino è sicuro, non ha bisogno di riflettere per assicurarsi della conservazione delle quantità totali, per lui è evidente che la quantità è rimasta uguale. Entrambe le coordinazioni di 1 Piaget usa il termine quantità discontinue, come sinonimo di quantità discrete

15 1-1.3 Lo sviluppo delle abilità numeriche nel bambino 15 relazioni effettuate nel corso dello stadio precedente rimangono essenziali, ma sono concentrate in un unico atto invece che costituirsi a poco a poco. Nei due casi vi è costruzione operatoria fondata sulla reversibilità, la compensazione delle reazioni. È in questo momento che il bambino considera come evidente, e non più empiricamente constatabile, ma logicamente evidente, che la quantità non ha potuto modificarsi durante il travaso (Piaget e altri, 1974, pag ). Un altro esperimento di Piaget riguarda la corrispondenza tra due file semplici di gettoni: si presenta al bambino una fila di gettoni rossi e gli si chiederà di trovarne altrettanti di un altro colore. Si osservano anche in questo caso tre stadi. Il primo stadio: confronto globale e valutazioni fondate sullo spazio occupato o sulla densità degli elementi. In questo stadio, i bambini di quattro anni e mezzo, a volte fino a cinque, giudicheranno la quantità dallo spazio occupato, essi disporranno una serie di gettoni vicini gli uni agli altri, senza corrispondenza termine per termine, senza numero, si baseranno nelle loro valutazioni sull una o sull altra delle due qualità globali di questa fila, cioè sulla lunghezza occupata o sulla densità degli elementi, in modo che si formi la stessa lunghezza, ma senza coordinare questi due rapporti l uno con l altro. Le quantità elementari non sono altro che i rapporti che si esprimono in più, in uguale o in meno (Piaget e altri, 1974, pag. 111), percepiti immediatamente tra le qualità date, ma non ancora coordinate fra loro; in questa maniera i bambini traducono direttamente la lunghezza delle file in termine di valore quantitativo. In questo stadio è impossibile confrontare due file qualsiasi senza che le qualità dell una siano paragonate a quelle dell altra, è per questo che una delle due file appare più lunga, più corta, della stessa lunghezza dell altra, più riunita o più distanziata. Questi due rapporti di lunghezza totale o di densità costituiscono gli inizi di ciò che

16 16 Le capacità matematiche del bambino diverrà più tardi la valutazione cardinale. Bisogna dire che questi rapporti quantitativi elementari rappresentano dei semplici schemi pratici e prelogici poiché sono anteriori ad ogni operazione propriamente detta, poiché queste quantità nascenti non sono ancora dotate di conservazione. Se si trattasse di conoscenza razionale, una fila di n elementi distanziati tra loro conserva questo stesso valore cardinale n, anche se la lunghezza della fila diminuisce, e questo perché gli elementi della fila sono stati accostati. È la relazione tra la lunghezza della fila e gli intervalli dei suoi elementi che determina la conservazione del complesso, mentre i due rapporti di lunghezza totale e di densità sono variabili. È proprio questa coordinazione logica dei due rapporti in gioco che i bambini di questo stadio non riescono ad effettuare, ed è per questo che non c è ancora conservazione dei gruppi né corrispondenza termine per termine. Ciò che segna questo primo stadio, o il punto di partenza di questa evoluzione, è una irreversibilità quasi completa del pensiero. Il secondo stadio: valutazione per corrispondenza intuitiva senza equivalenza durevole. Quando si chiede ai bambini di questo stadio di dare altrettanti elementi (gettoni) quanti ce n è nella fila modello, essi effettuano subito (o quasi) una corrispondenza ottica e spaziale tra la fila-copia e la precedente. I soggetti pervengono a costruire una fila-copia che abbia contemporaneamente la stessa lunghezza totale della fila-modello e la stessa densità, e questa duplice uguaglianza è assicurata dal fatto che ogni elemento della copia è posto di fronte ad un determinato elemento del modello. Si osserva che i bambini cessano di ammettere l equivalenza non appena la corrispondenza non viene più percepita immediatamente. Infatti, se distanziamo un po una delle due file di palline e si domanda loro se le due file siano ancora uguali, essi non ammetteranno più l equivalenza, questo perché sceglieranno, a caso, uno dei due criteri (lunghezza o densità) e in conformità a questo solo criterio giudicheranno la quantità totale.

17 1-1.3 Lo sviluppo delle abilità numeriche nel bambino 17 I rapporti di lunghezza totale e di densità sono individuati simultaneamente dai bambini quando la fila-copia presenta sia la stessa lunghezza sia la stessa densità della fila-modello ed ogni elemento dell una è posto di fronte ad ogni elemento dell altra; però, questa iniziale coordinazione non oltrepassa il piano della percezione, e quindi, non appena si alteri la figura percettiva che ha permesso di stabilire la corrispondenza, non soltanto questa scompare, ma scompare anche ogni coordinazione tra lunghezza e densità. Si può dire che questo secondo stadio è semi-operante, poiché, sul piano pratico o dell esperienza percettiva, perviene a realizzare la corrispondenza qualitativa, il che presuppone una coordinazione intuitiva delle relazioni in gioco. Questo carattere semi-operante procede di pari passo con un progresso nella reversibilità del pensiero. Il terzo stadio: corrispondenza operante (qualitativa e numerica) con equivalenza necessaria e durevole. Se viene distanziata o riunita una delle due file per considerare l equivalenza, i bambini ammetteranno che l equivalenza dura qualunque sia la figura geometrica formata dai gettoni. La corrispondenza termine a termine diviene così realmente quantificante ed esprime, d ora in poi, l uguaglianza numerica e non più e soltanto l uguaglianza qualitativa come negli stadi precedenti. I bambini arrivano a tener conto contemporaneamente delle relazioni di lunghezza e di densità, non più soltanto nel caso in cui le file da confrontare siano simili, ma anche (e questa è la novità rispetto allo stadio precedente) nel caso in cui le due file differiscano simultaneamente per lunghezza e densità. Per la prima volta, il bambino del terzo stadio generalizza l operazione di moltiplicazione delle due relazioni di densità e lunghezza e comprende che una fila più corta e più densa di un altra può essere uguale ad essa. È soltanto in questo momento che vi è il numero. Prima vi sono delle forme pre-numeriche, percettive, che precedono il numero, ma il numero non comincia che con la conservazione dell insieme

18 18 Le capacità matematiche del bambino numerico, con la conservazione delle equivalenze. La novità fondamentale di quest ultimo stadio sta nella mobilità e reversibilità del pensiero del bambino. 1.4 Il processo di costruzione dei numeri nel bambino In base agli studi effettuati da Jean Piaget, il numero nel bambino nasce in seguito alla conservazione dell insieme numerico e alla conservazione delle equivalenze, ma come arriva a costruire queste equivalenze durature, cioè questi numeri dal punto di vista operatorio? Secondo Piaget, affinché accada questo, sono necessarie nel bambino due condizioni psicologiche (Piaget e Szeminska, 1968, pag. 12): una è la conservazione dell insieme, l altra è l ordinamento in serie degli elementi. La conservazione dell insieme si basa su operazioni logiche. Essa non presuppone il concetto di numero, ma conduce al numero, per mezzo di operazioni logiche che si poggiano sulla reversibilità delle azioni. Si ha conservazione dell insieme quando il bambino avrà la nozione che il tutto è un insieme di parti che si possono distribuire a piacere. La relazione fra le parti e il tutto è la relazione logica per eccellenza costitutiva di questa conservazione. Per verificare questo Piaget prese una scatola con un certo numero di palline, tutte di legno, la maggior parte scure e solo due o tre bianche. La domanda che pose ai bambini per studiare la relazione fra le parti e il tutto era di dire se nella scatola vi erano più palline di legno, che palline scure, che ne rappresentano una parte. Tutti i bambini piccoli rispondevano che vi erano più palline scure, dacché le bianche erano soltanto due. Anche quando la domanda era posta in maniera diversa, i bambini rispondevano sempre allo stesso modo. Tutto questo è giustificato dal fatto che il pensiero dei piccoli è diverso da quello degli adulti. Il bambino non ha ancora un pensiero reversibile, possiede un pensiero che procede sempre avanti e non può andare a ritroso, né può agire con l immaginazione. Secondo Piaget, verso i sei anni e mezzo o sette, quando si forma la nozione del numero, il bambino sarà in grado di risolvere questo problema. Perché il bambino più piccolo non riesce invece a risolverlo? Cosa glielo impedisce? Egli può pensare al tutto e allora risponde correttamente,

19 1-1.4 Il processo di costruzione dei numeri nel bambino 19 può pensare alle parti e le paragona le une alle altre, ma non può pensare simultaneamente al tutto e alla parte, in questa maniera, quando egli ha tolto con il pensiero una parte, il tutto non esiste più, e non resta che l altra parte. Le palline scure saranno tutte le palline di legno meno le bianche, le palline bianche saranno tutte le palline meno le scure. Si tratta di un operazione inversa che necessariamente interviene per la conservazione del tutto, finché non vi è questa reversibilità non vi è conservazione del tutto, non appena c è reversibilità, c è conservazione del tutto. La seconda condizione psicologica affinché vi sia corrispondenza numerica è una condizione di ordine, si devono poter ordinare gli elementi, e psicologicamente bisogna sempre procedere in ordine in modo da non far corrispondere un elemento ad uno di quelli già contati, o da non dimenticarne qualcuno (Piaget e Szeminska, 1968, pag ). Cerchiamo di vedere, sempre secondo Piaget, la maniera in cui il bambino ordina in serie, e in che modo quest ordine si costruisce. Si domanda ad un bambino di disporre in scala delle asticelle di differenti grandezze. Se esse differiscono molto le une dalle altre, non vi sarà alcuna difficoltà a costruire la scala; se le asticelle sono poco differenti tra di loro, in modo tale che per costruire la scala, il bambino deve confrontarle a due a due, si possono osservare, anche in questo caso, tre stadi. Durante il primo il bambino forma semplicemente delle coppie e non sa coordinarle fra loro; questo stadio corrisponde alla non conservazione. Durante il secondo, egli comincerà con coppie e con piccoli raggruppamenti, procederà empiricamente, correggendosi di volta in volta, e costruirà la sua serie. È durante il terzo stadio che egli troverà il metodo per risolvere l esercizio. Adesso il bambino si trova nel periodo operatorio propriamente detto; all inizio confronterà la più piccola delle asticelle con tutte le altre e la collocherà, prenderà poi la più piccola di quelle che restano e collocherà anche questa, e così di seguito fino alla fine. Questo metodo implica di nuovo un operazione inversa, infatti, è necessario che l elemento così collocato sia più piccolo di quelli che restano, ma nello stesso tempo il bambino sa che il più piccolo di tutti quelli che rimangono è più grande di tutti quelli che lo hanno preceduto.

20 20 Le capacità matematiche del bambino È necessario, secondo Piaget, che queste condizioni preliminari, cioè l inserimento delle parti in un tutto che si conserva e l ordinamento in serie degli elementi, siano soddisfatte affinché si costruisca il numero, e nel momento in cui esse vengono soddisfatte, il numero intero si fa immediatamente accessibile al bambino (Piaget e Szeminska, 1968, pag. 6). 1.5 Dentro la teoria di Piaget La teoria Piagetiana ha portato sicuramente uno sconvolgimento nel modo di guardare lo sviluppo del bambino; essa ha lasciato forse il segno più grande nella psicologia dello sviluppo e di conseguenza in molti altri campi soprattutto quelli che si occupano del bambino e della sua crescita: la pedagogia e la didattica. Piaget è il primo che fornisce una teoria così ampia e ben articolata che ci permette di entrare nel mondo dei più piccoli, forse per troppo tempo inesplorato. È da considerare, tuttavia, che lo stesso Piaget non abbia probabilmente inteso fornire affermazioni conclusive su problemi cognitivi. Infatti, egli stesso, dopo aver pubblicato i primi dati, rimase sbalordito scoprendo che la gente li valutasse come se fossero affermazioni conclusive (Miller, 1993). Punti di forza Piaget ha sconvolto con i suoi studi il campo della psicologia dello sviluppo, riconoscendo, per la prima volta, il ruolo centrale svolto dalla cognizione. Per la prima volta uno psicologo si è soffermato a studiare questo particolare fenomeno della conservazione della quantità comprendendone l importanza e soprattutto la sua implicazione con l apprendimento della matematica. Piaget ha messo in luce nuovi fenomeni che hanno creato sorpresa: per esempio la mancanza di aspettativa nei bambini che gli oggetti siano permanenti. Ha studiato questi fenomeni nell ambiente naturale dei bambini. Nonostante il grande merito che va attribuito a Piaget nell essere stato un precursore, altri studi sono giunti ad interpretazioni discordanti nell analisi di

21 1-2 L interpretazione olistica di Montessori 21 questi fenomeni. In particolare, con la stessa procedura di Piaget si perviene sicuramente a risultati analoghi, ma a questi possono essere date diverse interpretazioni e, modificando la procedura, si possono ottenere risultati divergenti. Punti di debolezza Nella procedura standard, consistente nel formulare due volte la stessa domanda sulla quantità, prima e dopo la trasformazione, i bambini potrebbero essere indotti a pensare di dover cambiare la propria risposta a causa delle azioni compiute dall adulto sui materiali. Il bambino potrebbe non capire completamente le istruzioni, data la natura verbale della prova; infatti, nello studio di Mehler e Bever (1967) gli esiti sono più elevati per risposte non verbali. In particolare Gelman e Gallistel (1986) dimostrano che i bambini di tre anni si sorprendono se le loro aspettative di numerosità sono deluse dopo dei cambiamenti (Miller, 1993). I metodi di Piaget, dal punto di vista procedurale, potrebbero essere stati troppo complessi e, di conseguenza, potrebbero portare a sottostimare le conoscenze dei bambini. Naturalmente, se le procedure sono eccessivamente semplici, si potrebbero compiere falsi errori negativi, cioè attribuire ai bambini qualcosa che non hanno. La teoria di Piaget sulla conservazione della quantità ha sicuramente avuto il merito di avviare una ricerca che oggi, con metodologie sempre più raffinate, coinvolge in pieno anche le neuroscienze e mostra quindi una potenzialità della quale a tutt oggi gli sviluppi sono in fase di dibattito. 2 L interpretazione olistica di Montessori Per Maria Montessori la visione globale della psicologia evolutiva si articola in quattro fasi o piani. Questi piani corrispondono ad una struttura sequenziale di crescita della lunga infanzia umana e rappresentano la visione globale dello sviluppo dalla nascita (e perfino prima) alla maturità.

22 22 Le capacità matematiche del bambino Questa visione montessoriana dell intero sviluppo è la base si potrebbe dire di un progetto olistico dell essere umano che si sviluppa, spiega e giustifica l idea costante di Montessori circa l importanza dell educazione come aiuto alla vita. Le fasi non sono, quindi, dei compartimenti stagni ma solo una comoda struttura organizzativa. Montessori è attenta ad ogni aspetto dello sviluppo (fisico, intellettuale, emozionale ecc.) di tutte le fasi dell età evolutiva. Possiamo dire che la sua idea dell essere umano è doppiamente olistica: per ogni fase dello sviluppo considera l individuo nella sua globalità e, poi, l intero individuo in una particolare fase dell età evolutiva (es. adolescenza) è considerato nell ambito del continuum del suo sviluppo. Certamente è questa visione dello sviluppo così ampia, questa comprensione della natura ciclica e irripetibile delle stagioni della vita (Montessori, 1949, pag. 118) a costituire il principale lineamento distintivo del contributo di Maria Montessori alla psicologia evolutiva. 2.1 Lo sviluppo non lineare Montessori (1950b) afferma che studi scientifici e prove meticolose condotte in ogni parte del mondo con bambini di differenti razze e condizioni socioeconomiche hanno mostrato che lo sviluppo non procede in forma costante o lineare. Al contrario, accade in fasi, cicli o piani. Lungo la linea della vita, che indica l età cronologica dell individuo, troviamo i distinti periodi dello sviluppo: essi si susseguono dalla nascita a ventiquattro anni, secondo un ritmo di sei anni ciascuno. È questa numerazione per sei che ci dà la ripartizione dello sviluppo o, come Montessori la chiama, il ritmo costruttivo della vita. A cominciare dalla nascita, c è la progressione e l accrescimento di sensitività particolari e di specifiche caratteristiche relative alle sensitività stesse. Questa progressione non continua indefinitamente: una crescita continua non avrebbe senso alcuno nei termini della Natura. La progressione raggiunge il suo massimo attorno alla metà di un intero periodo di sei anni: nel primo, a

23 1-2.1 Lo sviluppo non lineare 23 tre anni di età. A questo punto, la progressione inverte direzione e diviene regressione/decrescenza. Anche questa, comunque, non continua a tempo indefinito: in questa fase giunge al suo termine a sei anni. Montessori chiama la parte iniziale lo schiudersi di una fase della vita (che significa anche l inizio di un insieme di particolari esperienze, acquisizioni e conquiste); la parte successiva rappresenta il concludersi di una fase vitale, ma anche preparazione all aprirsi di una nuova fase di sviluppo, con sue sensitività e caratteristiche del tutto nuove. In questa stessa maniera sono determinati tutti e quattro i piani di sviluppo identificati da Montessori come: Il piano dell infanzia (0-6 anni) suddiviso a sua volta in due sottofasi: L embrione spirituale (0-3 anni) Il lavoratore cosciente (3-6 anni) Il piano della fanciullezza (6-12 anni) Il piano dell adolescenza (12-18 anni) Il piano della maturità (18-24 anni) Nello sviluppo psichico sono presenti dei periodi sensitivi, definiti nebule, cioè periodi specifici in cui si sviluppano particolari capacità. Nella visione montessoriana dello sviluppo, questi periodi svolgono un ruolo vitale perché, cambiando natura da una fase ad un altra, determinano le caratteristiche proprie di ogni fase. Le sensitività pertinenti ad una fase particolare fanno la loro apparizione, aumentano, raggiungono la massima espressione e poi declinano; compaiono sensitività nuove, raggiungono il loro massimo e volgono verso il termine, per far posto ad altre nuove, e così via. Sono queste sensitività, allora, che guidano lo sviluppo e ne determinano il ritmo. Nel primo piano identificò i periodi sensitivi del linguaggio, del movimento, dell ordine, quest ultimo indispensabile per stabilire, tra continuità e cambiamento, i primi legami. Nel secondo piano individuò il periodo sensitivo della cultura del gruppo di appartenenza, con l interesse a conoscere e a capire la realtà umana, grazie alla forte capacità immaginativa e al senso di giustizia.

24 24 Le capacità matematiche del bambino Nel seguito tratteremo solo il piano dell infanzia come base per analizzare il processo di acquisizione delle capacità matematiche nei bambini dai 12 mesi ai 5 anni. 2.2 Il piano dell infanzia Il piano dell infanzia da 0 a 6 anni è quello di importanza massima per la formazione dell individuo ed è interessante notare che il lavoro intrapreso dall essere umano, così come quello da intraprendere per la propria formazione, è talmente differente nell ambito di ciascuna porzione del piano da indurre Montessori a suddividere l infanzia in due sottopiani distinti. L embrione spirituale Il bambino da 0 a 3 anni viene identificato da Maria Montessori come embrione spirituale ed è importante capirne la ragione. Alla nascita, il bambino sembra essere un nulla, nel senso che non ha qualità psichiche, né abilità motrici prestabilite (Montessori, 1999b, pag. 58). Ogni neonato, scrive Montessori, sembra un essere inerte, vuoto, insignificante (Montessori, 1999b, pag. 59). Eppure ha in sé potenzialità che determinano il suo sviluppo (Montessori, 1999b, pag. 58). In lui esiste un potere globale, un essenza umana creativa che lo spinge a formare l uomo del suo tempo, della sua civilizzazione (Montessori, 1999b, pag. 59). Montessori prosegue: Il neonato, dunque, deve intraprendere un lavoro formativo che, nel campo psichico, ricorda quello avvenuto per il corpo nel periodo embrionale. Egli ha un periodo di vita che non è più quello dell embrione fisico, e non è simile a quello che presenta l uomo da lui formato. Questo periodo post-natale, che si può definire il periodo formativo, è un periodo di vita embriologica costruttiva che rende il bambino un Embrione Spirituale. Così l umanità ha due periodi embrionali: uno è prenatale, simile a quello degli animali - e uno è postnatale, esclusivo all uomo (Montessori, 1999b, pag. 61). In altre parole, la specie umana (ed essa soltanto) ha vita embrionale doppia.

25 1-2.2 Il piano dell infanzia 25 È durante i primi tre anni, una parte di vita dimenticata dall individuo stesso che l ha sperimentata, che si creano le facoltà umane di base. Montessori spiega: In questo periodo psico-embrionale vi sono sviluppi che avvengono separatamente e indipendentemente quali il linguaggio, i movimenti delle braccia, i movimenti delle gambe ecc., e vi sono certi sviluppi sensoriali. Come nell embrione fisico, nel periodo prenatale, gli organi si sviluppano uno per uno, ognuno separato dall altro, così in questo periodo nell embrione psichico si sviluppano funzioni separate. Noi non possiamo ricordare questo periodo, perché nella personalità non vi è ancora unità. L unità potrà avvenire solo quando le parti siano completate (Montessori, 1999b, pag. 164). A causa della natura del lavoro di sviluppo durante i primi tre anni di vita e per la maniera con la quale questo lavoro viene condotto, Montessori chiama il bambino da 0 a 3 anni il creatore inconscio (Montessori, 1999b, pag. 165) e parla anche della manifestazione della mente assorbente (Montessori, 1999b) cioè della sua intelligenza che opera inconsciamente assorbendo ogni dato ambientale. Il lavoratore cosciente La natura del lavoro di sviluppo cambia durante la seconda sottofase dell infanzia, da 3 a 6 anni. A tre anni di età è come se la vita ricominciasse perché allora la coscienza si palesa piena e chiara (Montessori, 1999b, pag ). E ciò che questo piccolo bambino vuol fare è conquistarsi l ambiente e con esso i mezzi per il proprio sviluppo (Montessori, 1999b, pag. 165). Che cosa esattamente deve sviluppare? Tutte quelle funzioni, tutte quelle forze create prima dei tre anni deve ora svilupparle mediante esperienze coscienti ed esercizio della volontà. Montessori mostra che, in questo bambino più cresciuto, sono al lavoro due tendenze: quella di sviluppare la coscienza attraverso l attività sull ambiente, e l altra di perfezionare ed arricchire le conquiste già fatte (Montessori, 1999b, pag. 166). Perciò il periodo fra tre e sei anni è un periodo di perfezionamento costruttivo (Montessori, 1999b, pag. 166).

26 26 Le capacità matematiche del bambino Le mani del bambino, guidate dall intelligenza, cominciano ad eseguire compiti di tipo umano definito. Dalla mente assorbente si sviluppa per gradi la mente cosciente, il senso di realtà. Il bambino è sempre occupato a far qualcosa con le mani e, per questo, gli anni da tre a sei sono stati chiamati la benedetta età dei giochi (Montessori, 1999b, pag. 167). Quel gioco che è realmente lavoro, il lavoro del bambino per il proprio sviluppo. Per questo Montessori chiama il bambino da tre a sei il lavoratore cosciente (Montessori, 1999b, pag. 164). Montessori ha molto da dire circa la natura del lavoro e dello sviluppo durante questa sottofase dell infanzia. L individuo umano è un unità. Ora questa unità deve essere costruita e fissata attraverso esperienze attive sull ambiente, stimolate dalla natura. Gli sviluppi embrionali che si sono compiuti separatamente da zero a tre anni devono infine agire tutti insieme e organizzarsi a servizio della personalità. Il bambino sembra ora avere la necessità di organizzare logicamente i contenuti mentali assorbiti e di affinare e classificare i dati sensoriali. Ciò avviene quando nel periodo successivo, da tre a sei anni, la mano lavora e la mente è guida nel lavoro. Se le circostanze esterne non permettono questa integrazione, le energie continuano a spingere quelle formazioni parziali che vengono a svolgersi disorganizzate, deviando dal loro fine. La mano si muove senza scopo; la mente divaga lontana dalla realtà; il linguaggio cerca compiacenze in se stesso; il corpo si muove senza ordine. E queste energie separate, che mai trovano soddisfacimento, danno luogo a innumerevoli combinazioni di sviluppi errati, deviati, origini di conflitti e turbamenti. Tali deviazioni non sono da attribuire a difetti della personalità, ma devono essere interpretate come conseguenza di una mancata organizzazione della personalità (Montessori, 1999b, pag. 202). Tuttavia in seguito, come Montessori evidenzia, quando l ambiente offre motivi di attività costruttiva, tutte le energie convergono e le deviazioni spariscono. Allora soltanto, quando il bambino ha possibilità e libertà di svilupparsi normalmente, noi ne vediamo la personalità vera. È questo processo di transizione dallo sviluppo deviato a quello normale che

27 1-2.3 L interdipendenza dei quattro piani 27 Montessori chiama normalizzazione. Come risultato di questo processo, il bambino sviluppa, del tutto spontaneamente, il carattere. Montessori, infatti, identifica il periodo compreso fra tre e sei anni di età come periodo embrionale per la formazione del carattere (Montessori, 1999b, pag. 242). 2.3 L interdipendenza dei quattro piani Abbiamo visto come la vecchia idea dello sviluppo lineare, secondo la quale non c è cambiamento di forma, ma soltanto incremento graduale da ciò che è piccolo a ciò che è grande, da ciò che è meno a ciò che è più, sia stata sorpassata dall idea di una vita che si sviluppa assumendo forme differenti, trasformandosi, passando attraverso fasi o piani differenti e distinti tanto fisicamente quanto psichicamente. Le differenze sono talmente evidenti che Montessori compara i piani dello sviluppo alle modificazioni strutturali e funzionali proprie delle metamorfosi. Per questo, la vita di un essere umano che si sviluppa è una sequenza di nascite; è emersione e sparizione di potenzialità; è nascita e morte di interessi e di caratteristiche che sono manifestazioni di sensitività dominanti. Tuttavia, i piani dello sviluppo sono necessariamente interdipendenti anche fra loro, dacché l essere umano è una unità organica. Il piano che precede prepara sempre quello che segue, ne costituisce la base, nutre le energie che spingono l individuo verso il periodo di vita successivo. Allora l individuo passa da un piano di indipendenza ad un altro. Inizia dall indipendenza nel fare e nell agire che porta all indipendenza di giudizio per completarsi poi nell autonomia di pensiero, di giudizio, di decisione. Si forma così un adulto confacente al suo tempo e luogo, capace di adattarsi a situazioni e circostanze nuove: alla fine un adulto che può lavorare per l umanità, in grado di partecipare alla missione cosmica che abbiamo su questa Terra.

28 28 Le capacità matematiche del bambino 2.4 La critica al sistema educativo in atto Il piano inclinato con cui possiamo rappresentare il sistema educativo in atto comincia circa a sei anni di età e trova espansione massima durante il periodo degli studi universitari, fra 18 e 24 anni. Questa progressione rappresenta il campo dell azione educativa, ma ci rivela anche il concetto sottostante circa il modo di intendere lo sviluppo che qui, proprio secondo la vecchia concezione, ha carattere decisamente lineare. Come lineare è pure la progressione del numero delle varie materie studiate, e del numero dei differenti insegnanti coinvolti. Numeri che rappresentano anche la diversa quantità di conoscenza offerta all individuo. Materie, insegnanti, conoscenza: tutto aumenta conformemente al livello di istruzione, cioè con l età dell individuo. Conseguenza implicita in questo campo dell azione educativa che si espande col tempo è il pregiudizio che intelligenza e capacità di acquisizione aumentino costantemente con l età: più vecchi si è, più si è intelligenti, maggiore è l età e maggiore la capacità di apprendimento. Giudicando, perciò dai provvedimenti adottati dalla nostra società, la vita sembra svolgersi secondo un piano singolo, grande, lineare: una concezione dello sviluppo che si pone in contrasto totale e rigoroso con i piani dello sviluppo multipli, distinti, differenziati identificati dalla Montessori. Dobbiamo anche non dimenticarci che c è una filosofia sotterranea che imbeve tutte le azioni educative dei sistemi in atto: quella di causalità. Per essa l insegnante è causa e il bambino educato è l effetto prodotto. In altre parole, le abilità acquisite dall individuo durante il corso dello sviluppo sono conseguenza diretta di conoscenze trasmesse dall adulto. Questo significa che il bambino è ancora e soltanto un vaso vuoto da riempire o un foglio bianco su cui scrivere: riempimento e scrittura sono effettuati dall adulto che tuttora è colui che crea o modella l essere nuovo. Anche l idea dello sviluppo lineare dell essere umano è stata confutata, sia per il periodo prenatale sia per il periodo di sviluppo iniziale, da studi biologici e psicologici addirittura a partire dal XVIII secolo. Soltanto nel campo dell educazione troviamo ancora dominante, seppure in maniera nascosta, tale

29 1-2.5 La nascita del concetto di numero 29 concetto vecchio e superato che, sicuramente, mostra un conservatorismo di fondo in questo campo sostanziale dell attività umana. 2.5 La nascita del concetto di numero In Maria Montessori la teorizzazione psicologica è successiva alla pratica e quindi volta a giustificare a posteriori le intuizioni originarie. Per questo motivo la nascita dei concetti matematici non parte da una teoria cognitiva ma parte dall osservazione pratica di come certi materiali, meccanismi e certe influenze dell ambiente portano la mente matematica del bambino a svilupparsi e ad ampliarsi. È come se si osservasse dall esterno un meccanismo contenuto in una scatola: si può decidere di osservarne solo gli effetti esterni e continuare ad ignorare il reale funzionamento del meccanismo. Ma non dimentichiamo che Maria Montessori aveva una mente matematica, il suo desiderio era studiare ingegneria all università, ma per le difficoltà che una donna incontrava all epoca, dovette ripiegare su medicina. Queste osservazioni hanno quindi una solida base, anche se non teorizzata apertamente. Per Maria Montessori il punto centrale dell educazione è il bambino e il suo sviluppo. Le varie discipline gli sono offerte come mezzi per aiutarne la costruzione; perciò le varie materie vengono conformate alle peculiari esigenze dell età. Esplorando tali proposte, i bambini rivelano potenzialità che nessuno sospettava possedessero: concentrazione, capacità di ragionamento, intuito, a volte arrivando addirittura a conclusioni non illustrate nei testi di aritmetica, mostrando entusiasmo proprio per la matematica, una disciplina generalmente invisa ai bambini in età scolare. Questo fatto portò Maria Montessori ad accertare che la mente dell uomo è di natura matematica e che tutta l evoluzione dell umanità ne è la prova. I bambini mostrano, insomma, come potrebbe essere il figlio dell uomo, quando le sue potenzialità ricevono un aiuto reale allo sviluppo. Senza [... ] lo sviluppo matematico scriveva Maria Montessori già nel 1939 non è possibile comprendere il progresso della nostra epoca né parteciparvi. E ancora: Uno spirito senza matematica oggi è paragonabile a un uomo che ignora l alfabeto, al tempo in cui dominava la cultura letteraria. (Montessori,

30 30 Le capacità matematiche del bambino 2009) In questo senso, nel piano per la formazione della mente matematica (perché è questo il traguardo) non vi concorre principalmente la matematica. Aritmetica, geometria, algebra, ma anche lingua, scienze naturali, biologia, geografia, geologia eccetera concorrono a costruire la mente matematica, cioè i processi mentali che, in quanto tali, non possono attribuirsi ad alcuna disciplina in particolare. Il progetto Montessori, cioè, non indaga la psicologia dell apprendimento della matematica, ma promuove il processo di costruzione della mente del bambino. Approccio che troviamo in Psicoaritmetica (Montessori, 1994). Questo libro è la relazione di un esperienza stimolante che, liberando i bambini dal dover imparare a memoria le regole che non capiscono e fornendo una visione chiara di ciò che la matematica può esprimere, ha fatto amare le matematiche. Sottolineo ancora una volta che questo libro non riporta una teoria cognitiva, ma piuttosto giustifica a posteriori le intuizioni e le osservazioni fatte sui bambini. L altro aspetto interessante che troviamo nel libro è la quasi totale assenza di teorizzazioni qui sostituite piuttosto da indicazioni pratiche. Uno dei filoni osservativi riportati nel libro parte dall analisi del modo di procedere della scuola tradizionale. Qui i procedimenti matematici sono solamente dichiarati: i bambini devono impararli e non è necessario far loro capire perché si opera in un certo modo e come un procedimento si collega ad un altro. Questo modo di procedere porta ad instaurarsi di una fra le più disastrose deviazioni dell intelligenza: quel fenomeno che gli psicanalisti hanno designato col nome di barriere psichiche. Ne Il segreto dell infanzia (Montessori, 1999a) leggiamo: Questa lenta opera di difesa prolungata conduce ad agire come se le funzioni naturali fossero perdute [... ]. Il più delle volte la barriera psichica [... ] si circonda di coefficienti che agiscono a distanza e che in psicanalisi si indicano col nome di ripugnanze. Niente di più comune che portarsi per tutta la vita una barriera psichica costruita nell infanzia. Ne è esempio la caratteristica ripugnanza che molti conservano per tutta la vita verso la matematica: non è soltanto una incapacità di agire; il solo nominarla fa sorgere un ostacolo interiore che impedisce l avvicinamento che produce stanchezza prima che possa iniziarsi l attività.

31 1-2.5 La nascita del concetto di numero 31 Ne La mente del bambino (Montessori, 1999b), Maria Montessori scrive che la forma della mente umana è matematica e l aggettivo, usato in posizione predicativa, indica una delle qualità caratteristiche della mente umana: l esattezza (che poi è il pascaliano Esprit de géométrie ); all inverso scrive anche: Questa parte della mente che si costruisce attraverso l esattezza si chiama mente matematica. Leggiamo anche che Allo stato naturale, lo spirito umano è già matematico: tende verso l esattezza, la misura e il raffronto (Montessori, 2009). Quasi un anno dopo la pubblicazione di Psicoaritmetica, Maria Montessori chiarisce quella che potremmo chiamare la sua psicologia dell aritmetica. I numeri con tutto quanto è ad essi connesso diventano per il bambino stimoli scientifici che provocano attività psichiche vitali. [... ] E nei periodi sensitivi, le materie d istruzione possono diventare autentici aiuti allo sviluppo [perché] La cultura si identifica con la costruzione della personalità stessa. [... ] Il materiale matematico in particolare, presentato nella maniera adatta e nel periodo sensitivo pertinente, permette al bambino di comprendere. E ancora: Bisogna analizzare ogni difficoltà, presentandole separatamente mediante un materiale concreto; vale a dire materializzare le astrazioni che non sono inaccessibili al bambino, ma abbisognano di un ponte materiale. Messo in contatto con questo materiale, il bambino mostra che la comprensione [... ] è soltanto il primo gradino di una attività prolungata e ripetuta. Come negli schemi proposti in alcuni metodi didattici, anche qui la materia è scomposta in frames logicamente concatenati nei passaggi. Però, e la distinzione dalle tecniche didattiche è fondamentale, alle sequenze nella sola lingua scritta, la Montessori aggiunge (certo non solamente per la matematica) uno specifico e adatto materiale che propone interventi diversificati. Tutto ciò è la risposta alla richiesta della psicologia dell apprendimento: la costruzione dei concetti matematici deve avere la sua radice nel concreto e attuarsi mediante una saggia programmazione (dove la saggezza è data dal tipo di materiale, dal suo uso, dal titolo e modi di approccio, dalla scomposizione in unità della materia e, principalmente, da una partecipazione non settorializzata delle funzioni della mente del bambino). In definitiva è il materiale che insegna: Un maestro sempre pronto, ugualmente

32 32 Le capacità matematiche del bambino paziente, di umore costante, che va analizzando e scoprendo, fino a raggiungere la radice del problema, scrive Maria Montessori. Un materiale con il quale è possibile la trasformazione di relazioni astratte in percezioni dirette, la costante ricerca di somiglianze e differenze, la classificazione, l uso di schemi come aiuto per organizzare una sequenza razionale, la comprensione, infine, nella maniera con la quale sono organizzate e si organizzano determinate situazioni. Un materiale operativo di sviluppo (e non, quindi, un sussidio didattico) poiché permette al bambino di rendersi conto dall interno di determinate soluzioni e procedimenti, ricostruendoli anche con la lentezza propria del processo analitico. Un materiale polivalente poiché può essere ripreso a livelli diversi, per fini diversi e riconsiderato sotto aspetti diversi dal bambino stesso. Un materiale sensoriale che pur richiede attività creativa di trasformazione o comunque manipolatoria; e anche un sussidio: che non aiuta l insegnante ma il bambino a sviluppare le sue potenzialità. Per esempio la conoscenza dei numeri da uno a dieci non avviene linearmente bensì per piani. Intorno ad un idea centrale interessante ed importante si svolgono parallelamente le conoscenze che portano a considerare e ad approfondire i particolari. Nell esempio il procedimento generale è: 1. conoscenza delle quantità 2. conoscenza del simbolo 3. associazione di cifre e quantità Questa conoscenza del numero si svolge in tre momenti con tre materiali differenti: 1. presentazione (aste ed esercizi relativi) 2. riconoscimento (fusilli) 3. dimostrazione di possesso della conoscenza (esercizio con marchette)

33 1-3 Antropologia del numero 33 3 Antropologia del numero 3.1 Il numero come espressione del pensiero Il numero nasce come strumento e modo d espressione del pensiero anche se, una volta strutturato, forma nel pensiero dell uomo una categoria specifica. È in questa prospettiva, quindi, che anche per il numero è pensabile un processo storico-evolutivo. Attribuire un nome, dare un ordine, dare un numero costituisce una catena simbolica che segue la concatenazione operativa del nesso tecnica-linguaggio (Pizzi e altri, 1987, pag. 55). Il processo di sviluppo del numero può essere caratterizzato dai seguenti passaggi, all interno di tre grandi segmentazioni storiche e cognitive (Pizzi e altri, 1987): 1. Fase dei presupposti del numero: il numero come determinazione rappresenta la capacità di definizione della pluralità senza contare, utilizzando le facoltà naturali di percezione delle piccole quantità. Consente di utilizzare la denominazione per definire i limiti dell insieme attraverso i suoi elementi, le totalità attraverso i loro componenti e di applicare le differenze tra singolare e plurale, nonché la definizione di unità, coppia e simili. 2. Fase di nascita del numero come simbolo: rappresenta l uso della corrispondenza unità per unità per controllare e definire gli elementi di un insieme, per enumerarli, determinando cosi un rapporto tra unità e quantità (uso di strumenti come l indicazione, le dita, sassolini, bastoni od ossi incisi). In questa fase ritroviamo anche la capacità di attribuire un nome a ciascuna unità della quantità, la percezione dell aspetto ordinale del numero ed esecuzione dell operazione di aggiungere una nuova unità ad una quantità già contata. 3. Fase della scienza del numero: rappresenta il passaggio dal conteggio alle operazioni matematiche, grazie al perfezionamento degli strumenti di calcolo, come l abaco e la scrittura. Il numero diviene segno. Come dimostrato dagli studi antropologici, tali fasi di sviluppo del concetto di numero sono caratteristiche sia dello sviluppo filogenetico, sia di quello

34 34 Le capacità matematiche del bambino ontogenetico. 3.2 I fondamenti del numero Per gli studi antropologici il concetto di numero rappresenta un segno di varia natura che serve a definire un insieme di elementi e a comprenderli quantitativamente. Per le scienze matematiche invece il numero è definito come ciascuno degli enti astratti che costituiscono una successione ordinata. In particolare, secondo i principi matematici del numero, i tratti distintivi di un sistema di numerazione sono: la capacità di definire quantitativamente gli elementi l arbitrarietà, cioè il segno numerico è indipendente da ciò che definisce la simbolicità, cioè il valore del numero è indipendente dal segno usato la sistematicità, cioè il numero fa parte di un sistema di altri numeri dotato di una relazione di interdipendenza degli elementi costitutivi il concetto di infinito l uso dello zero con significato di assenza e mancanza I numeri hanno, oramai, influenzato non soltanto lo sviluppo della scienza, ma anche molti degli aspetti umani della nostra vita. Oggi usiamo i numeri abitualmente, per contare, per fare statistiche, per comprare e vendere oggetti, per identificare le automobili, i telefoni, i conti correnti, per formulare le teorie scientifiche, e così via. Ma in che modo siamo giunti a descrivere e a rappresentare il mondo in termini numerici? Si può supporre che nell antichità sia esistito qualcuno che li abbia inventati? L importanza di quest idea fu così grande che venne adottata dai popoli vicini e dai vicini dei vicini. Questo implica, però, che i popoli più distanti da quello dell inventore abbiano avuto accesso ai numeri più tardi rispetto ai vicini, e qualcuno forse mai. La varietà all interno dei sistemi di numerazione che fanno ricorso alle parti del corpo, costituisce una prova contraria all ipotesi della diffusione dell invenzione dei numeri da un unico centro. Un altra possibilità è che l idea di numero sia un invenzione semplice che molte società possano aver sviluppato per conto proprio. La terza possibilità, quella sostenuta dalla ricerca degli ultimi venticinque anni

35 1-3.2 I fondamenti del numero 35 circa, è che l idea dei numeri non sia stata un invenzione, ma una componente intrinseca della natura umana, oltre che di certi animali (Butterworth, 1999, pag. 17). Brian Butterworth, neuropsicologo cognitivista, sostiene, infatti, che il genoma umano, cioè l insieme dei geni che fa di noi ciò che siamo, contenga le istruzioni per costruire circuiti cerebrali specializzati per l identificazione di piccole numerosità, il cosiddetto Modulo Numerico, che è il nucleo centrale di tutte le nostre capacità matematiche. La funzione del Modulo Numerico è classificare il mondo in termini di quantità numerica o numerosità, cioè mette chi lo possiede nelle condizioni di percepire il numero di elementi di un insieme come un processo automatico, anche se ci sono persone che nascono con una certa cecità per i numeri. Ciò che rende uniche le capacità numeriche umane, è lo sviluppo e la trasmissione di strumenti culturali che ampliano le facoltà del Modulo Numerico. Questi strumenti comprendono dei mezzi per facilitare l operazione del conteggio, come l uso di parole per esprimere i numeri, quello delle dita e delle tacche per contare oggetti, le procedure di calcolo, l uso dei simboli numerici o i teoremi e le loro dimostrazioni. Ciò significa che le nostre capacità numeriche dipendono da tre fattori: il nucleo centrale innato, le conoscenze matematiche della cultura in cui viviamo e la misura in cui abbiamo acquisito tali conoscenze. Se fossimo nati in una cultura con conoscenze matematiche molto limitate, le nostre capacità sarebbero inferiori rispetto a quelle che avremmo se avessimo avuto la possibilità di acquisirle da una cultura matematicamente più progredita. Così come, se avessimo poche opportunità o un desiderio limitato di acquisire conoscenze matematiche, le nostre capacità sarebbero inferiori a quelle che avremmo se avessimo dedicato più tempo allo studio sotto la guida di un insegnante. Ciò significa che persino la persona più pigra e meno interessata, nata in una cultura poco incline alla matematica, classificherà il mondo in termini di numerosità, dove per numerosità si intende il numero che si ottiene quando si contano gli elementi di un insieme. La capacità di concepire le numerosità è presente nel cervello di tutti, pronta ad essere usata sia che la società possieda buoni strumenti matematici sia che non li possieda, però le risorse culturali

36 36 Le capacità matematiche del bambino fornite dal linguaggio e da altri segni possono migliorare in misura notevole la sua applicazione. Allo stesso tempo, questa tesi implica l esistenza di persone nate senza un Modulo Numerico, e cioè senza la capacità innata di riconoscere piccole numerosità (Butterworth, 1999, pag. 18). 3.3 Le competenze numeriche dei bambini È stato dimostrato da recenti studi che un bimbo di pochi mesi di vita è già capace di discriminare le quantità e di categorizzare il mondo che vede e sente in termini di numerosità. Il bambino, quindi, nasce con la capacità di formarsi una rappresentazione della numerosità di un insieme di oggetti ed è anche in grado di memorizzarla rapidamente e di richiamarla. Antell e Keating, due psicologi americani, hanno verificato che neonati da uno a dodici giorni di vita riescono a discriminare insiemi di due o tre elementi (Antell e Keating, 1983). Essi si sono serviti della tecnica dell abituazionedisabituazione 2, che dimostra come i bambini già a pochi giorni di vita siano in grado di rilevare la differente numerosità tra due gruppi di stimoli. Nella sequenza sperimentale a ogni neonato venivano presentati alternativamente due cartoncini con due punti neri uguali, più o meno distanziati, in modo da indurre abituazione ; successivamente veniva mostrato un terzo cartoncino disabituante con tre punti neri allineati. Si è visto che i neonati, anche di un solo giorno di vita, osservavano più a lungo questo nuovo oggetto. Per controllare che non si trattasse di una semplice preferenza per immagini con un maggior numero di punti, Antell e Keating hanno proposto la sequenza sperimentale inversa e verificato che gli stessi risultati (tempi più lunghi di osservazione) si ottenevano se, dopo aver abituato il bambino ai tre elementi, si passava ai due. I bambini sembravano sensibili al numero di immagini contenute nel cartoncino. Questo significa che categorizzavano quel che vedevano in modo del tutto astratto, senza tener conto delle caratteristiche particolari di ogni figura: il colore, la dimensione, la forma, che cambiavano in ogni 2 Questa tecnica si basa sul fatto che i bambini guardano più a lungo gli stimoli nuovi: osservare a lungo la stessa cosa li porta ad abituarsi, a perdere interesse, mentre una cosa nuova li disabitua poiché induce interesse.

37 1-3.3 Le competenze numeriche dei bambini 37 cartoncino. Ma sorge spontanea una domanda: e se si trattasse di una forma di percezione di modelli visivi e non di numerosità, così come sosteneva Piaget? Immagini immobili di oggetti costituiscono particolari modelli geometrici: un oggetto è un punto, due una retta, tre non allineati un triangolo, ecc., il bambino potrebbe limitarsi a descrivere tali modelli. Questa ipotesi è stata indagata da Van Loosbrock e Smitsman (1990). Nel loro esperimento hanno mostrato a bambini di 5 e 13 mesi immagini in movimento: due rettangoli in varie tonalità di grigio percorrevano traiettorie casuali sullo schermo di un computer rendendo così impossibile l identificazione di modelli visivi. Nonostante questo, come in tutti gli altri esperimenti, quando il numero dei rettangoli cambiava, i tempi di osservazione si modificavano significativamente, dimostrando come i bambini reagissero alla numerosità degli oggetti in movimento. Le ricerche di Karen Wynn (1992) hanno evidenziato al riguardo come la sensibilità del bambino alla numerosità vada oltre la percezione di oggetti, immobili o in movimento, e riguardi anche insiemi di azioni. Negli esperimenti da lei descritti, quando bambini di sei mesi, abituati a vedere una marionetta fare due salti, ne vedevano compiere tre, i tempi di osservazione raddoppiavano. Anche in questo caso, la sequenza inversa (tre salti seguiti da due), è stata usata come controllo. Il bambino, perciò, nasce con la capacità di formarsi una rappresentazione della numerosità di un insieme di oggetti e, visto che il suo comportamento cambia quando cambia il numero di oggetti, può anche capire se un nuovo insieme abbia la stessa numerosità del precedente. C è un limite superiore al concetto di numerosità del bambino? Il numero massimo di oggetti percepibili sembra essere tre o quattro, tuttavia non si è sicuri che questo limite risieda nella nozione di numerosità del bambino e non nella sua capacità di percepire e di ricordare quello che ha percepito. La comprensione degli adulti, del fatto che le numerosità non hanno limiti, sembra dipendere dall intuizione che sia sempre possibile aggiungere un unità. Perciò qualsiasi limitazione da parte del bambino potrebbe avere a che fare più con la sua capacità di eseguire addizioni successive che con la serie di ragionamenti necessari per passare da tale capacità al concetto che i numeri non abbiano un limite superiore. La limitazione più probabile è la capacità di percepire

38 38 Le capacità matematiche del bambino immediatamente e senza contare la numerosità di un insieme visivo di oggetti. Si tratta di un processo specializzato nella percezione visiva che viene chiamato subtizing o, in italiano, immediatizzazione (Lucangeli e altri, 2003). Il possesso del concetto di numerosità implica molto di più dell essere capaci di decidere se due insiemi abbiano o no lo stesso numero di elementi. Esso comporta l abilità di individuare un cambiamento di numerosità quando nuovi elementi vengono aggiunti all insieme o elementi precedentemente inclusi vi vengono sottratti. I bambini piccoli hanno la capacità di farlo? Wynn (1992) ha riscontrato come bambini di 5 o 6 mesi sappiano compiere semplici operazioni di tipo additivo (1 + 1) e sottrattivo (2 1). Nell esperimento dell addizione in un teatrino veniva presentato un pupazzo che veniva poi nascosto da uno schermo. Un secondo pupazzo veniva mostrato e aggiunto al primo dietro lo schermo. Alla fine lo schermo si alzava rivelando la presenza di due pupazzi, il che era in linea con un aspettativa di addizione, (1 + 1 = 2), o di un solo pupazzo, il che non lo era, ( ). I bambini guardavano più a lungo questa seconda situazione, il che suggeriva a Wynn che questa deludesse la loro aspettativa. L esperimento di sottrazione era analogo, solo che inizialmente venivano presentati e nascosti due pupazzi, e successivamente si vedeva che uno di questi veniva sottratto. I bambini guardavano più a lungo nel caso in cui alla fine apparissero due pupazzi (2 1 2) piuttosto che uno (2 1 = 1). Questo dimostra che i bambini nascono con la capacità di eseguire processi di addizione e sottrazione che li portano a nutrire aspettative aritmetiche. Non sappiamo però se queste loro aspettative abbiano un carattere generale. Noi adulti sappiamo che, ogni volta che viene tolto un oggetto da un insieme, esso rimane con un oggetto in meno. Non sappiamo però se i bambini di quella età capiscano questo concetto solo perché notano una differenza rispetto alle loro aspettative quando si toglie un pupazzo da un insieme di due, oppure quando lo si aggiunge. Come afferma Butterworth (1999), la natura fornisce un nucleo di capacità per classificare piccoli insiemi di oggetti nei termini della loro numerosità [... ], per capacità più avanzate abbiamo bisogno dell istruzione, ossia di acquisire gli strumenti concettuali forniti dalla cultura in cui viviamo. Se dunque esiste una competenza numerica pre-verbale, innata e indipendente

39 1-3.3 Le competenze numeriche dei bambini 39 dalla manipolazione linguistico-simbolica, imparare a contare rappresenta il primo collegamento tra natura e cultura, tra la capacità innata del bambino di percepire le numerosità e le acquisizioni matematiche più avanzate della cultura nella quale è nato. Capire come evolvono le abilità di conteggio a partire dalle competenze pre-verbali di quantificazione, implica capire in che modo compaia la capacità di codificare le quantità attraverso il sistema verbale dei numeri, e in che modo esso si sviluppi fino a permettere la piena padronanza dei meccanismi della conta. In particolare, come avviene il passaggio dalle competenze numeriche pre-verbali all acquisizione delle parole-numero? Contare sembra essere una delle cose più semplici. Allora perché i bambini ci mettono tanto ad imparare se nascono con la capacità innata di contare? Cominciano attorno ai due anni e ne passano più di sei prima di capire come farlo e come servirsene. Secondo gli psicologi Rochel, Gelman e Gallistel, l acquisizione dell abilità di conteggio verbale è guidata dalla conoscenza innata di alcuni principi basati sulla competenza numerica non verbale (Gelman e Gallistel, 1986). I principi impliciti del come contare individuati sono: 1. il principio della corrispondenza biunivoca (a ogni elemento contato deve corrispondere una sola parola-numero e viceversa) 2. il principio dell ordine stabile (le parole-numero devono essere ordinate in una sequenza fissa e inalterabile) 3. il principio della cardinalità (l ultima parola-numero usata nel conteggio rappresenta la numerosità dell insieme) 4. il principio dell irrilevanza dell ordine (non ha importanza in quale ordine si contino gli oggetti di un insieme) 5. il principio di astrazione (qualunque cosa può essere contata) Emerge che contare non è così semplice come sembrerebbe. In primo luogo bisogna conoscere i vocaboli per esprimere i numeri come suoni del linguaggio; poi sapere che le quantità sono esprimibili attraverso parole-numero che hanno, come ogni segno linguistico, un rapporto convenzionale con il significato che sottintendono che, nel caso dei numeri, è la quantità. Imparare la sequenza delle parole usate per contare è il primo modo con il quale i bambini connettono il loro concetto innato di numerosità con le prassi culturali della società nella quale sono nati. Non tutte le società usano vocaboli speciali per contare, alcune

40 40 Le capacità matematiche del bambino si servono dei nomi di parti del corpo (Squillacciotti, 1996); la cosa importante è però che tutte usano i vocaboli in una sequenza fissa e inalterabile, in modo che ogni parola abbia sempre lo stesso significato. Imparare la sequenza verbale delle parole che esprimono i numeri non è affatto facile; spesso i bambini di due o tre anni pensano alle prime parole che indicano i numeri come ad un unica parola molto lunga unoduetrequattrocinque, ed occorre un po di tempo affinché si rendano conto che questa grossa parola è in realtà formata da cinque vocaboli più brevi. Se ci fosse solo un unica lunga parola, essi non potrebbero porre gli elementi della sequenza verbale in corrispondenza biunivoca con gli elementi da contare. Però, sapere che esiste una sequenza fissa di parole separate non basta per capire che queste parole si usano per contare. I vocaboli che esprimono i numeri hanno molti significati, non solo quello legato alla numerosità, perciò il bambino deve separare l uso di tali vocaboli legato al conteggio da altri, che può riscontrare a casa o a scuola, come per esempio dire l ora, compiere una misura, mettere oggetti in un dato ordine, indicare il numero civico della propria casa, dei canali televisivi, dei telefoni, ecc. Tutto questo indica che l acquisizione della sequenza verbale e il suo uso nel conteggio dipenderà molto da come gli viene insegnata e dai contesti in cui viene appresa. Il concetto di corrispondenza biunivoca appare intorno ai due anni indipendentemente dall apprendimento della sequenza dei vocaboli usati per contare: il bambino distribuisce un giocattolo ad ogni persona, mette ogni tazza sul suo piattino, nomina ed indica ogni persona in una fotografia, una ed una sola volta. Anche quando conosce la sequenza corretta dei vocaboli-numero, tende ad indicare ad uno ad uno gli oggetti che conta. Fino ai quattro anni non è però chiara la relazione tra questa strategia e il conteggio; per esempio il bambino sa utilizzare la strategia uno per te e uno per me per distribuire equamente delle caramelle, ma se poi un adulto le conta ed afferma di averne quattro, il bambino non è in grado di inferire di averne lo stesso numero (Pesenti et al., 1995 citato in Lucangeli e altri (2003)). Per quanto riguarda il principio di cardinalità, i bambini di tre anni e mezzo sono abili nel dire l ultima parola del conteggio come numero degli oggetti contati, ma questo non significa che comprendano realmente che il processo del contare fornisca la numerosità dell insieme. Spesso si tratta di una semplice imitazione del

41 1-3.4 Innatismo nello sviluppo del concetto di numero 41 comportamento degli adulti; se si chiede ad un bambino di questa età quanti siano gli oggetti che ha appena contato, può capitare che cominci a ricontarli nuovamente. Infine, i bambini devono capire che non ha importanza in quale ordine contino gli oggetti di un insieme, né di quale tipo siano gli oggetti da contare. Tuttavia, è vero che, perfino quando di norma obbediscono a tali principi, i bambini continuano a contare meglio oggetti concreti che non astratti, come i suoni o le azioni, inoltre trovano meno difficoltà a contare se gli oggetti sono allineati e si può cominciare a contarli da un estremo invece che dalla metà. 3.4 Innatismo nello sviluppo del concetto di numero In base agli studi effettuati su animali e neonati, Stanislas Dehaene, sostiene che noi umani possediamo una sensibilità innata per la quantità ma non per le numerosità (Dehaene, 2000). Lo studioso postula l esistenza di un meccanismo cerebrale chiamato Accumulatore presente anche in alcuni animali come i ratti, i piccioni e gli scimpanzé. Questo accumulatore rappresenta i numeri come quantità approssimate, un po come se fossero il livello di liquido in un contenitore. Questo meccanismo ci permette di percepire, memorizzare e confrontare grandezze numeriche perché numeri diversi sono rappresentati da livelli diversi di liquido. Le capacità conoscitive della nostra specie si differenziano da quelli degli animali in molti punti. A differenza degli animali noi possediamo la capacità di concepire vasti sistemi di simboli, che ci permettono di inventare, tra l altro, il linguaggio matematico. Inoltre siamo dotati di un organo cerebrale del linguaggio che ci permette di esprimere pensieri e di comunicarli agli altri. Infine siamo in grado di ideare progetti anche complessi e di portarli a termine, basandoci contemporaneamente su una memoria retrospettiva e su delle previsioni future. Tutto questo, secondo Dehaene, non vuol dire che la nostra rappresentazione dei numeri sia radicalmente diversa da quella degli animali, anzi, la nostra rappresentazione mentale delle quantità è molto simile a quella di un ratto o di una scimmia o di un piccione. Proprio come loro, senza ricorrere al linguaggio, possiamo numerare rapidamente collezioni di

42 42 Le capacità matematiche del bambino oggetti, addizionarli e confrontarli, però l intuizione delle grandezze numeriche, che ereditiamo dall evoluzione, favorirebbe il nascere di una matematica più avanzata. 3.5 La teoria costruttivista del concetto di numero Come già ho avuto modo di approfondire nel capitolo precedente, secondo gli studi effettuati da Piaget, capostipite del costruttivismo, le conoscenze logiche e matematiche si costruiscono nel bambino mediante l osservazione e l interiorizzazione delle regolarità nel mondo. Alla nascita, secondo Piaget, il cervello dell uomo può essere paragonato ad una pagina bianca, priva di qualsiasi conoscenza astratta, dal punto di vista genetico il bambino non possiede nessuna idea preconcetta sul mondo nel quale vivrà. Sarà dotato di un sistema di percezione e di comando motorio accanto ad un meccanismo generale di apprendimento che, progressivamente trarrebbe profitto dalle interazioni tra il soggetto e il suo ambiente per auto-organizzarsi. Perciò, secondo questa teoria, il bambino piccolo non avrebbe nessuna cognizione dell aritmetica. Infatti, nei primi anni di vita, e precisamente fino ai due anni circa, il bambino si troverebbe in una fase detta senso-motoria, in questo stadio esplora il mondo che lo circonda mediante i sensi e impara a controllarlo con i gesti, così facendo non può evitare di accorgersi di certe regolarità. Per esempio, un oggetto che scompare dietro uno schermo, riappare quando questo si abbassa; due oggetti quando si scontrano, non si compenetrano mai, e così via. Guidato da queste scoperte progressive, il bambino si costruisce una serie di rappresentazioni mentali sempre più raffinate e astratte del mondo nel quale vive e si muove. Per quanto riguarda la nozione di numero, così come per le altre rappresentazioni del mondo, deve costruirla utilizzando le sue interazioni senso-motorie con l ambiente. L uomo nasce senza alcuna idea aritmetica innata, e solo dopo parecchi anni di osservazioni attente arriva a comprendere che cos è il numero, poi attraverso la manipolazione di oggetti si rende conto che il numero è la sola proprietà che non varia al variare della posizione o della natura dell oggetto. Secondo Piaget, una delle prove che i bambini piccoli sono incapaci a capire l aritmetica è la

43 1-3.5 La teoria costruttivista del concetto di numero 43 non permanenza dell oggetto. Se si nasconde un giocattolo sotto un panno, un bambino che ha meno di dieci mesi sembra ignorare che il giocattolo continui ad esistere. Questo fa pensare che il bambino piccolo non conosca molto del mondo che lo circonda. Dice ancora Piaget: se non sa che gli oggetti non cambiano anche quando non si vedono più, come potrebbe sapere qualcosa sul loro numero? Questi sostiene che il concetto del numero non viene compreso prima dei sei anni e mezzo sette, fin quando il bambino non supera la prova della conservazione del numero. La conclusione di Piaget è che prima dell età della ragione, i bambini mostrano una completa ignoranza delle regole elementari dell inclusione degli insiemi, che costituiscono uno dei fondamenti dell aritmetica. Tutto questo significa che prima dei sei o sette anni, il bambino non sarebbe pronto ad apprendere l aritmetica. L insegnamento precoce della matematica, secondo Jean Piaget, sarebbe inutile e dannoso, perché verrebbe imparata a memoria, senza comprenderne il significato, inculcare con forza questi concetti nella mente del bambino provocherebbe ansia e paura nei riguardi della matematica. Invece che insegnare precocemente i numeri, sarebbe meglio cominciare dalla logica e dai rudimenti della teoria degli insiemi, la cui padronanza è necessaria per capire il concetto di numero. È ormai ben noto che ratti e piccioni sono in grado di riconoscere un numero dato di oggetti, anche quando viene modificata la loro posizione nello spazio; e che uno scimpanzé sceglie spontaneamente la più grande fra due quantità. È ragionevole pensare che i cuccioli della specie umana fino a quattro o cinque anni abbiano una padronanza della matematica inferiore a quella degli altri mammiferi? Alla luce di studi compiuti negli ultimi venti anni circa, sulle conoscenze numeriche dei piccolissimi, ci si è resi conto che la teoria di Piaget, sul numero nel bambino, presenta dei difetti. È ovvio che i bambini piccoli abbiano molto da imparare in aritmetica e che sono necessari anni affinché le loro capacità concettuali si approfondiscano, ma questo non significa che appena nati siano privi di capacità numeriche. Secondo Dehaene gli esperimenti di Piaget sono viziati e non permettono ai bambini piccoli di dimostrare ciò di cui sono capaci. Uno degli errori più gravi sta nel fatto che le prove svolte da Piaget si basavano su dei dialoghi, e non sempre il bambino di quell età comprende bene il senso delle domande che gli vengono poste. Se si interrogano i bambini senza far ricorso al linguaggio, le loro capacità

44 44 Le capacità matematiche del bambino numeriche si rivelano stupefacenti. Per esempio, Mehler e Bever, già nel 1967, dimostrarono che i risultati della prova classica di conservazione dei numeri di Piaget, possono cambiare completamente a seconda del contesto e della motivazione dei bambini (Mehler e Bever, 1967). Nella situazione classica lo sperimentatore formava due file di biglie, una corta ma formata da sei biglie, l altra più lunga ma formata da quattro biglie, se si chiedeva ai bambini dove ci fossero più biglie, la maggior parte dei bambini di tre o quattro anni sceglieva la più lunga, ma meno numerosa. Invece Mehler e Bever, sostituirono le biglie con delle caramelle e invitarono i bambini di tre quattro anni a scegliere una delle due file di caramelle e a poterle mangiare; in questo esperimento i bambini sceglievano la fila più numerosa anche se più corta, e questo è in conflitto con la teoria di Piaget. Inoltre anche bambini di due anni superavano brillantemente la prova sia con le biglie sia con le caramelle. L errore piagetiano, pertanto, non è dovuto a una mancanza di conoscenza aritmetica, ma solo alle condizioni fuorvianti in cui si svolge il test, al fatto che bambini di quell età possono dare alle domande dello sperimentatore un senso diverso, rispetto a quello che potrebbero dare gli adulti e basarsi per esempio sulla lunghezza delle file piuttosto che sul numero di oggetti presenti. Capire una frase significa andare oltre il significato letterale per comprenderne quello profondo e l intenzione di chi comunica, e vi sono circostanze in cui il significato reale può rivelarsi inverso a quello letterale. Due psicologi, McGarrigle e Donaldson, hanno verificato che l incapacità di conservare il numero nei bambini piccoli è legata a una cattiva comprensione delle intenzioni dello sperimentatore (McGarrigle e Donaldson, 1974). Nel loro esperimento metà delle prove era di tipo classico, cioè era lo sperimentatore che modificava la lunghezza delle file e chiedeva al bambino di indicare la fila con più elementi. Nell altra metà la trasformazione veniva compiuta da un orsetto di peluche e poi si chiedeva al bambino quale fosse la fila più numerosa. In questo secondo caso la domanda dello sperimentatore poteva essere vista dal bambino sincera e poteva essere interpretata in senso letterale. In questa situazione, la maggior parte dei bambini rispondeva in maniera corretta, sulla base del numero, senza lasciarsi influenzare dalla lunghezza delle file. Al

45 1-3.6 Le abilità numeriche del bambino molto piccolo 45 contrario, gli stessi bambini si sbagliavano e rispondevano sulla base della lunghezza quando la trasformazione era stata compiuta dallo sperimentatore. Ciò dimostra fondamentalmente due cose: una è che la stessa domanda può essere interpretata in modo diverso dal bambino a seconda del contesto; la seconda è che, al contrario di ciò che aveva sostenuto Piaget, quando la domanda è ben posta, il bimbo piccolo mantiene fisso il numero. 3.6 Le abilità numeriche del bambino molto piccolo Tutto questo non significa che la teoria di Piaget sia infondata o completamente erronea. Piaget si rendeva perfettamente conto che la sua prova di conservazione induceva i bambini a sbagliare, di fatto era espressamente ideata in modo che la lunghezza delle file fosse in conflitto con il numero degli elementi. Secondo Piaget, un bambino comprendeva veramente i fondamenti dell aritmetica soltanto se era in grado, su una base puramente logica, di predire quale fila contenesse il maggior numero di elementi, e non basandosi su eventuali cambiamenti della lunghezza, né sul modo in cui lo sperimentatore poneva le domande. Sempre secondo Piaget, scegliere il numero più grande di caramelle non richiede vere conoscenze concettuali sui numeri, ma soltanto una coordinazione senso-motoria per riconoscere il numero più grande e orientarsi verso di esso. Il fatto di saper scegliere precocemente il più grande tra due numeri, non significa che se ne comprendano i suoi fondamenti logici; Piaget pensava quindi che i bambini piccoli, così come gli animali, possano acquisire numeri senso-motori, ma non una conoscenza concettuale dell aritmetica. Per dimostrare che un bambino di soli pochi mesi sia in grado di individuare una differenza di numero e sappia distinguere per esempio il due dal tre, si sono fatti vari esperimenti tra cui quelli della Wynn descritti prima. È bene capire però se questa sensibilità precoce al numero è una conseguenza delle funzioni visuali del bambino o se si tratta della rappresentazione astratta dei numeri. I bambini piccoli sanno individuare il numero di suoni in una sequenza uditiva? Sanno che lo stesso concetto astratto 3 si può applicare sia a tre suoni che a tre oggetti visibili? Sono in grado di combinare mentalmente le loro rappresentazioni numeriche per eseguire calcoli semplici come 1+1 = 2?

46 46 Le capacità matematiche del bambino Una serie di esperimenti (Bijeljac-Babic e altri, 1993) dimostrano che i bambini molto piccoli prestano attenzione sia al numero di suoni che a quello degli oggetti del loro ambiente e quindi possiedono una rappresentazione astratta dei numeri, indipendentemente dal modo visivo e uditivo con cui vengono comunicati. Infatti, se mettiamo un bambino tra i sei e gli otto mesi davanti a due diapositive, una con due oggetti, l altra con tre e facciamo accompagnare la proiezione da colpi di tamburo, a volte tre, a volte due, dopo alcuni tentativi in cui non succede niente, il bambino comincia a fissare più a lungo la diapositiva in cui il numero di oggetti corrisponde alla sequenza di suoni ascoltati. Tutto questo significa che il bambino coglie il numero più che una forma sonora o una disposizione geometrica di oggetti, e che, nel suo cervello, alla vista di tre oggetti o all ascolto di tre suoni, si attiva una rappresentazione identica del numero tre. Questa rappresentazione interna astratta gli permetterebbe di individuare la coincidenza tra il numero di oggetti che presenta la diapositiva e il numero di suoni che contemporaneamente ascolta. Secondo Stanislas Dehaene il bambino piccolo ha una conoscenza precisa soltanto dei primi tre o quattro numeri (Dehaene, 2000, pag. 29). Ciò vuol dire che il bambino possiede una rappresentazione mentale approssimativa e continua dei numeri, come per gli scimpanzé e i ratti, e proprio come questi subisce l effetto distanza e l effetto grandezza. Quando il bambino si trova a dover confrontare due quantità abbastanza distanti, come il 2 o il 6, egli raramente sbaglia e sceglie la quantità più grande. Tuttavia, man mano che le quantità si fanno più vicine, per il bambino diventa sempre più difficile dire qual è il numero più grande. Questa variazione del tasso di errore in funzione della differenza numerica si chiama appunto effetto distanza. A questo si aggiunge l effetto grandezza, cioè un peggioramento delle capacità di calcolo quando aumenta la grandezza dei numeri da confrontare. Il bambino non ha difficoltà a determinare che il numero 2 è più grande del numero 1, mentre sbaglia sempre di più quando passa a confrontare coppie di numeri più grandi come il 2 rispetto al 3, il 3 rispetto al 4. Questi due effetti dimostrano che i bambini di pochi anni hanno una rappresentazione mentale approssimata e continua dei numeri e non una rappresentazione discreta. Ci si aspetta pertanto che, al di là di un

47 1-4 Riflessioni conclusive 47 certo limite, il bambino diventi incapace di distinguere un numero n dal suo successore n + 1, questo è ciò che si nota oltre il numero 4. Ci si aspetta, però, che riconosca numeri superiori a questo limite purché si mettano a confronto con altri più lontani. Quando la distanza numerica è sufficientemente grande, essi riconoscono o confrontano con successo coppie di numeri come 45 e 50, meno con numeri come 49 e 50. Il secondo limite dell aritmetica di un bambino piccolo riguarda la maniera in cui intuisce la presenza di più oggetti. I suoi calcoli aritmetici si basano sulla continuità della traiettoria degli oggetti e non sulla loro identità come avviene per gli adulti (Dehaene, 2000, pag ). Per esempio quando due oggetti escono alternativamente da destra e da sinistra da uno schermo, il bambino non li vede mai insieme e non mostra alcun interesse quando lo schermo si abbassa e compare un solo oggetto. Se si ritaglia una finestra in mezzo allo schermo, è impossibile che un oggetto che passi da destra a sinistra non appaia per un istante in questa finestra. In questa nuova situazione il bambino si aspetta di vederne due assieme, ed è sorpreso di vederne uno quando lo schermo si abbassa. In questo caso, le intuizioni numeriche dei bambini sembrano essere determinate dalla traiettoria spazio-temporale degli oggetti. Se questa non può essere seguita da un solo ed unico oggetto, il bambino ne deduce che esistono almeno due oggetti, in caso contrario pensa che l oggetto sia uno solo, anche se sembra che cambi forma, grandezza e colore. 4 Riflessioni conclusive Controverse sono le opinioni sulle capacità matematiche dei bambini: per alcuni fino ai 13 anni queste capacità non sono sviluppate (Odifreddi, 2005, pag. 7), per altri sono presenti già a pochi giorni di vita. A mio avviso questa confusione deriva dal mescolare l aspetto simbolico e astratto della matematica con le sue manifestazioni concrete. Il fatto che il bambino non capisca o non riesca ad eseguire 4+3 potrebbe dipendere da come viene proposto. Contando palline può arrivarci, mentre capire scritto su di un foglio, significa riuscire a tradurre dei segni in simboli cui è associato un significato matematico e solo allora applicare i concetti matematici per

48 48 Le capacità matematiche del bambino eseguire l operazione. Si tratterebbe quindi un po come per Piaget di capacità che dipendono da come viene posta la richiesta al bambino. Consideriamo anche la nostra vita quotidiana, ci sono tante cose che sono matematiche, ma che non definiamo tali: parcheggiare una macchina richiede enormi capacità geometriche, la stessa cosa l attraversare una strada evitando le auto. A volte queste capacità le chiamiamo intuito, e certamente non le formalizziamo in equazioni e formule, ma ciò nonostante continuano ad essere applicazioni inconsce di abilità matematiche. Un altra confusione a mio avviso deriva dal considerare le capacità mentali di un bambino a compartimenti stagni. Da una parte c è la vita, dall altra, ben separati i vari settori del sapere: matematica, lingua, capacità visive e così via. Bisogna, secondo me, considerare invece il bambino come un unità in cui le singole capacità sono delle specializzazioni innestate su un tessuto cognitivo unitario. Terzo motivo di confusione è il considerare il simbolico come parte del visivo. Quando un bambino vede scritta l espressione =, normalmente ricostruisce a mente l operazione: quattro cose messe insieme a tre cose per dare sette cose. Quindi quello che viene trasmesso dalla scritta è sì un concetto matematico, ma simbolico. Lo stesso effetto si può ottenere, sempre considerando il canale visivo, con perline e oggetti colorati. Consideriamo un altro aspetto delle nostre capacità visive. Un immagine vale mille parole, come dice il proverbio 3, perché non ha bisogno di inferenze logiche per la sua comprensione; passa, per così dire, direttamente nella nostra mente. Una descrizione verbale della stessa immagine ha invece bisogno da parte nostra di una interpretazione logica che trasformi i simboli, lettere e parole, in significato e, probabilmente, immagini mentali. Per la mia analisi ipotizzo quindi che il bambino abbia una mente matematica, come ci ricorda Maria Montessori, e nelle mie osservazioni sul campo cercherò di dimostrare questa ipotesi. 3 Proverbio apocrifo, essendo stato inventato nel 1927 da Fred Barnard, un pubblicitario, per proporre i suoi servizi. Più che al contenuto informativo, si riferiva alla capacità che hanno le immagini di attrarre l attenzione.

49 Capitolo 2 Il ruolo dell ambiente nello sviluppo del bambino Si analizzeranno ora gli ambienti educativi che coprono la fascia di età sotto studio. Per capire l importanza dell ambiente nell apprendimento in generale e nell apprendimento della matematica in particolare, partiremo dall analisi di un ambito molto specifico com è quello dell apprendimento musicale secondo il metodo Gordon. Come vedremo l ambiente stesso ha un effetto potente sull acquisizione di capacità anche senza che esplicitamente si richieda un intervento didattico da parte dell insegnante. Questa breve digressione ci porterà al punto centrale del capitolo in cui si analizzerà in profondità il progetto Montessori (Fresco, 2000) per quello che riguarda l effetto positivo dell ambiente sull apprendimento nel bambino. Infine le idee soggiacenti queste due filosofie educative saranno brevemente comparate con quello che normalmente viene proposto nei nidi e scuole dell infanzia a metodo tradizionale.

50 50 Il ruolo dell ambiente nello sviluppo del bambino 1 L apprendimento della musica per osmosi Un buon esempio di come l ambiente abbia un effetto potente sull acquisizione di capacità, anche senza che esplicitamente si richieda un intervento didattico da parte dell insegnante, lo troviamo nella Music Learning Theory (MLT) di Edwin E. Gordon (Gordon, 2003; AIGAM, 2009). Questa teoria descrive le modalità di apprendimento musicale del bambino a partire dall età neonatale e si fonda sul presupposto che la musica si possa apprendere secondo processi analoghi a quelli con cui si acquisisce il linguaggio. La MLT ha come obiettivo principale quello di favorire lo sviluppo dell attitudine musicale di ciascun bambino secondo le sue potenzialità, i suoi modi e soprattutto i suoi tempi. La MLT è iniziata osservando come un bambino impara la sua lingua madre. Per prima cosa il bambino ascolta la lingua parlata in casa. Per circa un anno di vita lo fa senza capire realmente la maggior parte delle parole dette intorno a lui, tuttavia quello che ascolta in quel periodo è molto importante per poi riuscire a parlare. Inoltre, più è ampio il vocabolario di parole che ascolta durante la prima infanzia e meglio parlerà più tardi. C è addirittura un altissima correlazione tra la ricchezza di vocabolario che si ascolta nella prima infanzia e l intelligenza che si ha in età adulta. Poi fino a circa cinque anni il bambino apprende la propria lingua ascoltando e parlando in libertà, in modo informale, prima che qualcuno gli insegni formalmente come leggerla. In questo periodo nessuno insegna al bambino a parlare in italiano, lo apprende dall ambiente che lo circonda. La musica non è una lingua, non ha nomi, verbi, aggettivi, ma il modo in cui si apprende la lingua è lo stesso con cui si apprende la musica. Per Gordon ciò che si dovrebbe fare quindi è educare i bambini alla musica e non insegnarla loro. Perché l insegnamento è indotto, è qualcosa che proviene dall esterno. L educazione invece è ciò che viene tratto fuori dall interno della persona attraverso l intuizione. Fine di un educazione musicale così concepita è lo sviluppo di una competenza fondamentale: l Audiation, definita da Gordon

51 2-1 L apprendimento della musica per osmosi 51 Capacità di sentire e comprendere nella propria mente musica non fisicamente presente nell ambiente. Non è dunque la crescita di un bambino musicalmente geniale o del musicista professionista a ogni costo a costituire la finalità della MLT ma, al contrario, quella di persone in grado di comprendere la sintassi musicale e di esprimersi musicalmente, con la voce o con uno strumento. La capacità di Audiation si sviluppa a partire dall età neonatale a contatto con un ambiente ricco di esperienze musicali di qualità. Durante i primi anni di vita l approccio indicato dalla MLT come adatto a favorire lo sviluppo dell Audiation, è quello della guida informale. L adulto competente musicalmente guida informalmente il bambino all apprendimento musicale, attraverso l esempio diretto, il gioco e il movimento. Il concetto di guida informale richiama quello montessoriano di educazione indiretta così come quello vygotskijano di zona prossimale di sviluppo. L adulto comunica con il bambino attraverso canti melodici senza parole e schemi tonali e ritmici, ascoltando le risposte musicali spontanee del bambino, rispecchiandole e contestualizzandole nella sintassi musicale. Il movimento libero, percettivo ed euristico del bambino è favorito e rispecchiato attraverso l esempio diretto dell insegnante. Le recenti scoperte nel campo delle neuroscienze a proposito dei neuroni specchio (Rizzolatti e Sinigaglia, 2006) confermano l intuizione di Gordon a proposito dell importanza del mettere in atto per primi le competenze musicali senza insegnarle in modo esplicito. Per concludere Gordon fa notare anche un altra caratteristica dell apprendimento della musica: Far ascoltare la musica non è il modo migliore di educare alla musica, bisogna parlare al bambino musicalmente in un rapporto diadico, in un contesto connotato affettivamente. Cassette e CD non aiutano, nessuno imparerebbe l italiano da un CD, nessun genitore direbbe di essere troppo occupato per insegnare l italiano al figlio e lo metterebbe ad ascoltare un CD, i genitori giorno per giorno parlano al bambino all interno di un rapporto.

52 52 Il ruolo dell ambiente nello sviluppo del bambino 2 Montessori: bambino e ambiente La Montessori sviluppò tutto il suo pensiero pedagogico partendo da una critica costruttiva della psicologia scientifica, corrente di pensiero affermatasi nei primi anni del XX secolo. L equivoco di base della psicologia scientifica era da ricercare nella sua illusione sostanziale, secondo la quale erano sufficienti un osservazione pura e semplice e una misurazione scientifica per creare una scuola nuova, rinnovata ed efficiente. In La scoperta del bambino (Montessori, 1950a, pag. 9) Maria Montessori scriveva: Immaginiamo uno dei nostri botanici o zoologi, pratico nella tecnica dell osservazione e dell esperienza, che avesse viaggiato p. es., per studiare sul luogo la peronospora e avesse compiuto in aperta campagna le sue osservazioni, e poi al microscopio e in generale nel laboratorio le ulteriori ricerche ed esperienze di coltura ecc.; o che avesse studiato le zecche, introducendosi nelle stalle e cercando tra gli escrementi degli animali, che, infine, intendesse che cosa è studiar la natura, e conoscesse tutti i mezzi che la moderna scienza sperimentale offre per raggiungere tale scopo; - dico, immaginiamo che uno di questi studiosi fosse designato, per i suoi meriti, a coprire un posto scientifico, con l incarico di compiere delle ricerche nuove sugli imenotteri; e che, giunto sul posto, gli mettessero davanti agli occhi una scatola, coperta di un limpido vetro, sul fondo della quale fossero infilate con uno spillo e conservate delle belle farfalle morte, ad ali spiegate. Il giovane studioso direbbe che quello è un giuoco da bambini e non un materiale di studio per scienziati: che quelle preparazioni nella scatola sono il complemento di una ginnastica che fanno i ragazzi nei giardini pubblici, quando acchiappano le farfalle con una reticella sospesa a un bastoncino. Lo sperimentalista innanzi a quell oggetto non potrebbe far nulla. Lo stesso sarebbe se ponessimo un maestro, che sia uno scienziato secondo il nostro concetto, in una delle nostre odierne scuole, ove i fanciulli sono soffocati nelle espressioni spontanee della loro personalità come esseri morti e stanno fissi al posto rispettivo, sul banco, come farfalle infilate a uno spillo, mentre dispiegano le ali del sapere aridamente acquisito - sapere che può esser simboleggiato da quelle ali, che hanno il significato di vanità.

53 2-2 Montessori: bambino e ambiente 53 Dunque non vale preparare il maestro scienziato: occorre approntargli la scuola. È necessario che la scuola permetta il libero svolgimento dell attività del fanciullo perché vi nasca la pedagogia scientifica: questa è la riforma essenziale. Il pensiero montessoriano elabora una sua pedagogia scientifica. Infatti, l introduzione della scienza nel campo dell educazione è il primo passo fondamentale per poter costruire un osservazione obiettiva dell oggetto. L oggetto dell osservazione è il bambino in sé, il suo comportamento, le sue reazioni, il suo interesse. Sintetizzando possiamo dire che gli elementi che caratterizzano la proposta montessoriana sono: l ambiente speciale della casa, costruita a misura del bambino, la maestra umile e il materiale scientifico. La teorizzazione psicologica della Montessori è successiva al metodo e quindi volta a giustificare a posteriori le intuizioni originarie. Quello che vedremo qui di seguito saranno quindi indicazioni operative sulla preparazione dell ambiente piuttosto che teorizzazioni sul perché di certe scelte. Ogni piano di sviluppo ha bisogni diversi e presenta manifestazioni proprie: occorrono dunque risposte differenziate, anche se nel percorso certi criteri generali come l ambiente preparato, il maestro formato, la libera scelta delle proprie occupazioni, l autocontrollo, l astensione dal giudizio verbalizzato, usato come pungolo per citarne solo alcuni restano sempre validi. Il bambino non cresce in modo uniforme, giorno per giorno, allo stesso passo. Se li guardiamo attentamente, scopriamo che non siamo noi le guide, ma piuttosto i guidati. Il maestro deve osservare il bambino con l idea non di plasmarlo secondo un proprio modello, ma di avere da lui gli insegnamenti per sapere come educare. È ovvio che sia la comunità degli adulti a decidere quali contenuti trasmette al bambino o al ragazzo, ma nella scuola di tipo direttivo, fortemente centralizzata, qual è ad esempio quella italiana, se si esaminano le varie aree indicate dai programmi statali, si vede che ai più giovani si vorrebbe insegnare l intero scibile, ancora più vasto oggi di quanto non fosse solo 30 o 40 anni fa. Uno studio frammentato puramente libresco non favorisce la comprensione

54 54 Il ruolo dell ambiente nello sviluppo del bambino di ciò che si sta facendo e a questo si aggiunge la difficoltà per l allievo di cogliere le relazioni interne ai vari filoni del sapere. Si può fare diversamente? L esperienza Montessori dice di sì in concreto, tramite le scuole che mettono al centro del loro lavoro l osservazione dei bisogni individuali e trattano i contenuti come mezzi di sviluppo raggiungendo così alti livelli di apprendimento e di socializzazione. Quindi lo spartiacque che rivela con certezza una situazione montessoriana poggia su: 1. l atteggiamento non direttivo e l intervento prudente nella parola, nel gesto 2. l attenzione vigile e continua al luogo, in cui il bambino vive, come ambiente preparato per favorire sempre la libera scelta e che ovviamente sarà molto diverso a seconda delle età 3. gli oggetti sono essenziali per l agire autonomo e per l autoverifica A ogni età, secondo Montessori, il fattore essenziale è comunque il clima relazionale fra adulti e bambini e di questi fra loro: non si lavora con gruppi preordinati di pari livello, non ci si basa a nessuna età sul confronto artificioso e sui premi ma si sviluppa la capacità critica, affidando ai bambini stessi molteplici e concreti mezzi di autocontrollo. Gli ambienti sono organizzati sempre a misura fisica e psichica di chi ne fruisce e gli oggetti sono messi a totale disposizione. C è la massima libertà di scelta delle attività, del tempo necessario a concluderle, del luogo, del compagno o compagni con cui lavorare, ma anche regole inderogabili: quella del riordino personale degli oggetti usati (miei finché li adopero, ma poi è mia responsabilità che tornino a disposizione di tutti); dell attesa, se un oggetto o uno strumento non sono subito disponibili; dell impegno personale a non disturbare il lavoro degli altri. Della scuola tradizionale Maria Montessori critica il fatto che in essa tutto l ambiente sia pensato a misura di adulto e non ci siano oggetti per la mano, organo dell intelligenza. In un ambiente così concepito, il bambino non si trova a suo agio e quindi non è nelle condizioni per poter agire spontaneamente. Il principio fondamentale è la libertà dell allievo, poiché solo questa favorisce la creatività del bambino già presente nella sua natura. Dalla libertà entro

55 2-2 Montessori: bambino e ambiente 55 confini ragionevoli (spazi di libertà) può emergere la disciplina. Un individuo disciplinato è capace di regolarsi da solo quando sarà necessario seguire delle regole di vita. Ma è soprattutto l atteggiamento degli adulti a favorire la liberazione delle potenzialità individuali. Sostituirsi al bambino con le migliori intenzioni di aiutarlo quando non è necessario è un impedimento al suo sviluppo. Egli agisce allora perché gli è permesso, per rendere conto, per ottenere l approvazione, per superare gli altri. Non è questo il vero significato di libertà; non è poter fare qualsiasi cosa possa piacere o per far piacere o per aderire al comando, sia pure moderato, di altri. Libertà significa intanto saper rispondere ai bisogni vitali di attività costruttiva. Se un bambino ha questa possibilità, rivela via via nuove attitudini: non fa le cose solo per sé, ma sviluppa una speciale sensibilità per rispettare i desideri, le esigenze, i tempi degli altri. Soddisfatto in profondità, diventa capace di ascolto e manifesta creatività e senso morale. Ancora ne La scoperta del bambino (Montessori, 1950a) troviamo una critica feroce di Maria Montessori all ambiente della scuola tradizionale (almeno a quella degli anni 50) in cui il teorico concetto di libertà diverge dalla sua realizzazione pratica: Chi dicesse che il principio di libertà informa oggi la pedagogia e la scuola farebbe ridere, come un fanciullo che davanti alle farfalle infilate insistesse ch esse son vive e possono volare. Un principio di repressione estesa talora fino quasi alla schiavitù, informando gran parte della pedagogia, ha informato anche lo stesso principio della scuola. Una prova - il banco. Ecco per esempio una luminosa prova degli errori della primitiva pedagogia scientifica materialistica, la quale s illudeva di portar le sue pietre sparse alla riedificazione del piccolo, crollante edificio della scuola. Esisteva il banco bruto e cieco ove si ammassavano gli scolari: viene la scienza e perfeziona il banco. In tale opera essa contempla tutti i contributi dell antropologia: l età del fanciullo e la lunghezza delle sue gambe, per modellare a un giusta altezza il sedile; con cura matematica calcola le distanze tra il sedile e il leggio, perché il dorso del bambino non si deformi nella scoliosi; e perfino (oh, profondità d intuizione e adattamento!) separa i sedili - e li

56 56 Il ruolo dell ambiente nello sviluppo del bambino misura nella larghezza affinché il fanciullo ci stia seduto appena appena, sì da non potersi più nemmeno sgranchire con mosse laterali, e ciò per essere separato dal vicino; e il banco è costruito in modo che il fanciullo sia il più possibilmente visibile nella sua immobilità: tutta questa separazione ha l intento occulto di prevenire gli atti di perversione sessuale in piena classe, perfino anche negli asili d infanzia. Che dire di tale prudenza in una società ove sarebbe scandaloso enunciare dei principi di morale sessuale nell educazione, per non contaminare l innocenza? Ma ecco la scienza che si presta a questa ipocrisia, fabbricando macchine. Non solo; la compiacenza va più in là; la scienza perfeziona i banchi in modo da permettere al massimo punto possibile l immobilità del fanciullo, o se si vuole, da risparmiargli ogni mossa. Così, affinché lo scolaro sia incastrato bene nel suo banco, sì che esso stesso lo sforzi alla posizione igienicamente conveniente - ecco il sedile, il posapiedi e il leggio disposti in modo che il fanciullo non potrebbe mai alzarsi in piedi. Ma appunto perché il sedile, a una mossa determinata, cade, il leggio si alza, il posapiedi si rovescia, il fanciullo ha precisamente lo spazio per stare in posizione eretta. [... ] È una conquista di libertà quella che occorre; non il meccanismo di un banco. 2.1 Ambiente e piani di sviluppo Abbiamo visto che nella prima fase dello sviluppo da zero a tre anni, la mente del bambino si configura come mente assorbente, che assimila inconsciamente, ma in modo selettivo, i dati con i quali viene in rapporto nel suo ambiente. L apprendimento, in questo periodo, si identifica col vivere stesso, è una sorta di processo vitale durante il quale il bambino realizza le sue prime forme di adattamento all ambiente. La seconda fase occupa i tre anni successivi, quelli che coincidono con l educazione prescolastica. Alla mente assorbente, che continua a mantenere vive le proprie energie di assimilazione, si accosta la mente cosciente che ubbidisce al bisogno del bambino di mettere ordine nell enorme cumulo di impressioni assorbite nel periodo precedente. È il momento in cui, per la Montessori, si giustifica e si impone l introduzione di materiale scientificamente studiato,

57 2-2.1 Ambiente e piani di sviluppo 57 capace di offrire al bambino l alfabeto dell organizzazione logica dei suoi contenuti mentali (classificazioni e seriazioni). La Montessori introduce a questo punto la nozione di mente matematica, mentre definisce i materiali operativi costruiti sulla base dell isolamento di singole qualità sensoriali, che mediano i rapporti conoscitivi del bambino con il suo ambiente. L educazione prescolastica assume così, le forme di una vera e propria scuola dell infanzia, con contenuti e metodi suoi propri, fondati su una serie di esercizi sensoriali di sviluppo, condotti per via analitica, ed esercizi di vita pratica, ad andamento per così dire sintetico, di applicazione delle acquisizioni sensoriali nelle situazioni comuni di vita. Il bambino che entra nella scuola dell infanzia è di solito, per come asserisce la Montessori, un soggetto deviato, cioè un bambino che per effetto delle inibizioni provocate dall adulto e dal suo potere ha subito un arresto o una deformazione nello sviluppo spontaneo del proprio embrione spirituale, cercando forme di compensazione che ne hanno alterato l autenticità e la creatività originarie. La Montessori lo definisce un bambino spezzato che per reagire è dovuto scappare rifugiandosi nei capricci o nel mondo dell immaginazione. La Montessori classifica come forme di deviazione il gioco, il gusto per le favole, il fantasticare a vuoto isolandosi dalla realtà, le tendenze al possesso e al potere, la pigrizia, la paura, tutte espressioni patologiche del mancato soddisfacimento dei bisogni naturali del soggetto. Queste affermazioni sono supportate, a dire della Montessori, dalla presenza di un ambiente adatto e di un materiale adeguato, dove il bambino perviene immediatamente alla sua conversione, attraverso la concentrazione sul proprio materiale e, quindi, con un comportamento che esclude gioco e fantasia, e si caratterizza per la ripetizione dell esercizio, la cura dell ordine e del lavoro severo. Sotto questo aspetto la scuola montessoriana si configura come clinica didattica piuttosto che come scuola dell infanzia. Ritorniamo ora ad uno dei punti focali della proposta montessoriana: l ambiente che comprende la struttura, il materiale della scuola, il materiale scientifico, l insieme delle attività di vita pratica, e, infine, l educatrice. La struttura non è costruita per i bambini ma è dei bambini, e dunque ordinata per far si che essi la sentano veramente loro. La Montessori insiste perciò sull importanza

58 58 Il ruolo dell ambiente nello sviluppo del bambino che l intero arredamento sia proporzionato all età del bambino. Il materiale di sviluppo altro non è che il prodotto delle scelte operate dai bambini di tutto il mondo sulla base degli interessi che hanno manifestato attraverso i loro processi di concentrazione, di ripetizione degli esercizi, di sviluppo complessivo delle loro personalità (incastri solidi, incastri piani, colori). Il materiale è costruito sul principio dell isolamento di un unica qualità (forma, colore, suono, dimensione, ecc.), ed è reso funzionale dalla logica della sua costruzione scientifica. Simile principio fa sì che il bambino soddisfi il suo bisogno di ordine e di lavoro, e nello stesso tempo possa lavorare in autonomia senza interferenze o aiuti da parte dell educatrice dacché i bimbi vivono in un ambiente eterogeneo e coesivo che permette loro di ricevere aiuti o indicazioni dai coetanei. In questo ambiente viene richiesto all educatrice un atteggiamento di grande umiltà e di rispetto per il progressivo dispiegarsi dello sviluppo infantile. Ad essa spetta il compito di organizzare l ambiente e di mostrare ai bambini l uso corretto del materiale: deve quindi attenderne la normalizzazione (la comparsa della concentrazione su un determinato materiale), per poi dedicarsi all osservazione dei comportamenti individuali. I suoi compiti sono di aiuto finalizzato ad uno sviluppo che deve potersi compiere secondo i ritmi della natura, e nella direzione originale di ciascuna individualità. Ancora ne La scoperta del bambino (Montessori, 1950a) Maria Montessori rimarca questo diverso ruolo ed atteggiamento dell educatore comparandolo al maestro di una scuola tradizionale dei suoi tempi: Nella classe c è il maestro faccendiere, che travasa le cognizioni nelle teste degli scolari. Per riuscire nella sua opera gli è necessaria la disciplina dell immobilità, dell attenzione forzata nella scolaresca; e al maestro conviene poter maneggiare con larghezza premi e castighi, per costringere a tale attitudine coloro che sono condannati ad essere i suoi ascoltatori. Vale la pena di sottolineare che atteggiamento dell educatore, ambiente scolastico e la libertà del bambino vanno di pari passo e sono inscindibili nel pensiero montessoriano.

59 2-3 Il metodo tradizionale 59 3 Il metodo tradizionale Le brevi considerazioni che qui riporto sul nido e scuola dell infanzia a metodo tradizionale derivano da due fonti: una, dall analisi dei Piani dell Offerta Formativa (POF) resi pubblici da varie scuole, l altra dall esperienza personale fatta visitando alcune scuole quando dovevo sceglierne una per mio figlio. Una prima osservazione generale che posso fare è che in queste scuole sembra non ci sia una teoria educativa soggiacente comune e condivisa, ma piuttosto una prassi. Prassi che indica che cosa fare, piuttosto che il perché farlo. Questa metodica porta ad accumulare e a proporre molte buone idee, che però sembrano sganciate dai reali bisogni dei bambini. Più in dettaglio questo modo di procedere ha effetti concreti su tre aspetti della funzione educativa della scuola: sull ambiente, sul ruolo dell adulto, ed infine sull attenzione ai bisogni dei bambini. In tutti i piani dell offerta formativa, l ambiente è dato per scontato, oppure se ne parla solamente come strutturazione di spazi fisici per ottenere un infrastruttura necessaria, ma non come parte fondamentale della formazione offerta ai bambini. Una struttura con un ruolo soprattutto istituzionale. Lasciando da parte la proposta dei POF e passando all osservazione concreta, ho notato che in generale gli ambienti sono pensati da adulti: spazi troppo ampi, mobilio eccessivamente colorato e di plastica, ecc. Gli ambienti sembrano predisposti più per intrattenere i bambini che per sviluppare le loro potenzialità. Ci sono, infatti, troppe cose, troppi giocattoli, ma non c è un progetto esplicito che li leghi fra loro. Per esempio si nota l assenza di oggetti funzionali alla ricerca esplorativa individuale, propria dell età 0 3 anni, ed una uniformità di tipi di giocattoli che si riducono quasi sempre a pupazzi e costruzioni. In pratica un ambiente come contenitore. Un ambiente così ha ricadute anche sul comportamento dei bambini: spazi troppo vasti e frastornanti spesso generano in loro ansia ed eccitazione. Il ruolo dell adulto è preponderante in queste scuole: è lui che decide che cosa i bambini possano o non possano fare, che cosa li interessa o meno.

60 60 Il ruolo dell ambiente nello sviluppo del bambino Anche l organizzazione dei turni e degli orari è in funzione delle esigenze del personale e non in risposta al bisogno di stabilità e di continuità relazionale dei bambini di questa età. Questa tirannia dell orario porta spesso, anche se non esplicitamente, a dare rilievo alle attività guidate a gruppi, a volte anche preordinati, di solito svolte dalle 9.30 alle del mattino ( quando ci siamo tutte ) intorno a proposte di movimento o di manipolazione (considerate le attività importanti ). Al tempo stesso questo approccio porta alla svalorizzazione del gioco individuale, peraltro reso difficoltoso dall assenza di oggetti adatti. Anche dal punto di vista emozionale l adulto, con tutta le buone intenzioni, ha un ruolo preminente. Ho osservato per esempio un eccessiva attitudine a prendere in braccio e a consolare, senza però creare rapporti personalizzati, anche a causa della continua rotazione delle educatrici. Di converso, specialmente al nido, a volte si svalorizza il bambino piccolo visto solo come lattante oppure giudicato bravo, rompiscatole, piagnone e così via. Questi giudizi si riflettono sul comportamento dei bambini con modalità ricorrenti come per esempio l aggressività, la concentrazione estremamente labile, la dipendenza ed il gregarismo nei confronti dell adulto, la mancanza di iniziativa. Spesso enfatizzare la didattica a scapito dell educazione ed attenzione ai bisogni del bambino fa si che non si colga il nesso fra cause (il ruolo dell adulto, l ambiente) ed effetti (bambini problematici, confusione). Infine l attenzione ai bisogni del bambino sembra essere subordinata alle esigenze del programma didattico: per esempio ho rilevato che tutti i POF riportano elenchi di progetti interessanti, ma in nessuno si parla del come questi vengano scelti, se rispettano le esigenze e gli interessi dei bambini oppure no. I progetti possono essere di per sé molto interessanti (educazione stradale, teatro, studio delle emozioni eccetera), ma non tutti i bambini hanno nello stesso momento quegli interessi. Un esempio tra i tanti. In quasi tutte le liste di progetti che ho esaminato, si parla di festa di Natale, di rappresentazione di fine anno e così via. Basta aver partecipato ad uno di questi eventi per rendersi conto che, spesso, questo

61 2-4 L ambiente, maestro invisibile 61 progetto soddisfa più che altro il desiderio dei genitori di vedere i loro bambini su di un palco, mentre per i piccoli nella migliore delle ipotesi è solo un gioco come un altro; nella peggiore, è una tragedia di bambini disperati e impauriti dall ambiente e dalla confusione. Anche se esula dal tema di questa tesi, ho notato un altro curioso fenomeno che avviene alla fine della scuola dell infanzia. In questo momento c è un cambiamento di rotta: appena i bambini arrivano alla scuola primaria abbandonano il gioco, e diventano dei teorici. Abbandonano la parte ludica e sensoriale e cominciano ad essere bombardati da nozioni e, quel che è peggio, noi adulti pretendiamo che il bambino apprenda in questa maniera. 4 L ambiente, maestro invisibile In questo capitolo abbiamo visto alcuni esempi, positivi e negativi, di come l ambiente, l atteggiamento degli adulti e l attenzione ai bisogni dei bambini influiscano sulla loro crescita e sull efficacia dell apprendimento. In sintesi possiamo dire che l ambiente, riguardo alla crescita del bambino, non è mero spazio fisico e non è neutrale. Nella fascia d età sotto studio, per il bambino apprendere equivale a vivere, non c è distinzione. Significa che esso impara per osmosi, assorbendo quello che avviene attorno a lui. Il gioco in un certo senso è consolidare queste esperienze ripetendole e ripercorrendole con le proprie capacità e i propri tempi. L ambiente può essere perciò un maestro invisibile se è un ambiente preparato, se l adulto lo concepisce a misura delle esigenze del bambino, se c è la libertà di usarlo secondo i propri fini. Di converso un ambiente pensato solo come contenitore può stimolare risposte dannose da parte del bambino, che non aiutano la sua crescita. Il secondo aspetto importante che ho toccato è il ruolo dell adulto. Da un lato esso non deve travasare conoscenze, essere un agente didattico. Deve invece capire il bambino, i suoi tempi e modi di apprendimento e di conseguenza

62 62 Il ruolo dell ambiente nello sviluppo del bambino creare l ambiente adatto attorno a lui. Deve inoltre riuscire a non sostituirsi al bambino, a non essere direttivo: l apprendimento non è un programma di lavoro da dover necessariamente portare a termine. Quello che serve sono conoscenze consolidate nella mente del bambino, non il raggiungimento di obiettivi didattici per una certa data. Infine non dimentichiamoci che non stiamo parlando di macchine o computer. Per far si che l apprendimento possa essere efficace, deve avvenire in un un rapporto diadico con l adulto e in un contesto connotato affettivamente. Come tutto questo si rapporta all apprendimento della matematica? Lo spiega Peano, il grande matematico: I calcoli sui numeri astratti diventano più divertenti, se fatti sotto forma di giochi. E prima ancora Platone: In Egitto sono stati inventati giochi aritmetici per i bambini, che così imparano divertendosi con piacere. [... ] Così facendo i bambini prendono confidenza con i numeri [... ] rendendo più vivace il loro modo di ragionare.

63 Capitolo 3 Osservazione Obiettivo dell osservazione è verificare sul campo quanto si è detto riguardo alle capacità matematiche dei bambini e riguardo all ambiente come maestro invisibile che facilita tale apprendimento. In questo capitolo riporterò le mie note sull osservazione svolta presso il Nido e Casa dei Bambini della Scuola Montessori di Varese 1 nel periodo Settembre 2007 Giugno Durante la mia osservazione, il Nido era frequentato da 21 bambini di età compresa tra gli 11 ed i 30 mesi seguiti da tre educatrici: Vanna, Micol e Adelaide. La Casa dei Bambini invece era frequentata da 38 bambini di età compresa tra i 2 anni e mezzo e i 5 anni seguiti da due educatrici: Chiara e Samantha. Nel periodo di osservazione, per prima cosa ho analizzato l ambiente, sia per avere un riscontro delle basi teoriche delineate nel capitolo 2, sia per capire come esso possa, nell ambito della mia analisi, facilitare attivamente l apprendimento. Poi, tramite interviste alle maestre, ho cercato di delineare il loro ruolo in relazione all ambiente. Infine ho osservato i bambini che agivano indisturbati sia al Nido sia alla Casa dei Bambini, compito, devo dire, reso difficile dalla naturale propensione dei bambini ad avvicinarsi all adulto. In questo capitolo riporto solo i fatti che ho osservato. La loro interpretazione ed integrazione sono rimandate al prossimo capitolo. 1 Scuola Montessori di Varese via Maggiora 10, Calcinate del Pesce (Varese)

64 64 Osservazione 1 L ambiente Ciò che mi ha sempre colpito entrando nella scuola di mio figlio è il silenzio. Un ambiente dove pace e tranquillità la fanno da padrone. Non c è nessun segreto, nessuna magia, i bambini stanno giocando! Sì stanno giocando, hanno scelto liberamente un attività e sono concentrati nel proprio lavoro non hanno motivo di disturbare o di parlare ad alta voce (fig. 3.1 e 3.2). Figura 3.1: Una caratteristica comune dei bambini del Nido è la concentrazione. Perché dovrebbero farlo? D altra parte anch io mi rendo conto che, quando sono costretta a fare un lavoro che non ho scelto ma che per ovvie ragioni devo fare, sono facilmente irritabile, rispondo male, smetto e riprendo più volte, mi distraggo facilmente. Al contrario, quando faccio qualcosa che mi appassiona, non mi rendo neanche conto che il tempo passa, sono concentratissima e quello che più conta, molto soddisfatta! Basta entrare nel Nido o nella Casa dei Bambini per vedere messa in pratica l attenzione all ambiente, elemento tipicamente montessoriano, come luogo protettivo, curato, attraente, funzionale al fare da sé e alla scelta diretta dell oggetto amato. Lo spazio come casa, nel senso della quiete e dell intimità domestica, degli affetti rassicuranti, ma anche della utilizzazione diretta degli

65 3-1 L ambiente 65 Figura 3.2: La concentrazione alla Casa dei Bambini. oggetti (fig. 3.3). Una casa dove ogni bambino può ripetere a piacere l attività che lo interessa, secondo un tempo personale, prendendo poco a poco coscienza di opportunità diverse ed anche dell eventuale errore, senza per questo sentirsi in colpa. Un ambiente dunque maieutico, promotore di crescita per i bambini, nonché per gli adulti. Gli ambienti sono interamente percorribili, senza parti poco illuminate, non troppo vasti, suddivisi da mobili bassi, diversificati a seconda delle proposte, con tutte le possibilità di azione accuratamente predisposte come in una bella vetrina di tanto in tanto rinnovata. Figura 3.3: L ambiente del Nido. Si vedono i ripiani con le attività predisposte.

66 66 Osservazione Osservando i bambini, riflettevo che non esiste il tipico bambino di tre mesi o di tre anni ma quel bambino reale, in questa o in quella situazione, con la sua storia personale. Il bambino reale è ben altra cosa dal bambino medio, data la varietà delle sue componenti di vita (anagrafica, sociale, emotiva, fisiologica, storica, affettiva, cognitiva). L ambiente che ho trovato privilegia nella quotidianità l attenzione al singolo, quale soggetto reale del proprio sviluppo, teso a un autonomia i cui tempi di conquista sono personali e quindi non prevedibili. Di conseguenza l ambiente è organizzato affinché ogni bambino possa scegliere, sperimentare, smettere, ricominciare secondo il proprio ritmo interno, mettendosi in rapporto con altri o stando per proprio conto. L ambiente, sia del Nido sia della Casa dei Bambini, assicura, con mezzi molto concreti, alcune libertà fondamentali per favorire l indipendenza della persona: la libertà di scelta, dell attività, del compagno, del luogo, della postura, dell espressione; la libertà di tempo, secondo il ritmo individuale di attenzione; la libertà di confronto, senza paura dell errore (vedi fig. 3.13). Poche norme chiare sul rispetto degli altri e delle cose, un ambiente interessante, predisposto con cura e sempre mantenuto in ordine armonico, sia dagli adulti che dai bambini insieme, sono questi i limiti rassicuranti che definiscono un ampia zona di libertà in cui esplorare, confrontare, conoscere senza paura fin dai primi anni di vita. Un esempio molto concreto. Nel Nido, come nella Casa dei Bambini, di ogni oggetto, sia esso un gioco o un materiale di sviluppo Montessori c è un unico esemplare. Molto presto i bambini sperimentano che chi sta adoperando quel gioco non può esserne privato, che c è un prima e un dopo, che occorre rispettare il turno. Piccola frustrazione positiva, che sviluppa il pensiero e la tolleranza: è straordinario come anche bambini di uno o due anni siano capaci di accettarla senza drammi, come un fatto del tutto naturale. Le attività previste nell ambiente consentono esplorazioni sensoriali (molto diversificate nel tempo) con oggetti differenziati per superficie, dimensione, morbidezza o durezza, forma, colore, destinati alle mani e alla bocca dei più piccoli, oppure oggetti che entrino in relazione tra loro per i bambini che cominciano a muoversi nello spazio; per i più grandi, oggetti con i quali

67 3-2 Il ruolo delle maestre 67 agire in modo reale, prima ancora che sul piano immaginario, come utensili per esplorare l acqua, la terra, cibi veri, sostanze varie; per passare poi al materiale di sviluppo tipico Montessori nella Casa dei Bambini. Lo ripeto perché mi sembra importante: i materiali offerti ai bambini non sono oggetti di plastica comunemente venduti come giocattoli, ma una tipologia di oggetti che si trovano nel mondo reale dell adulto e del bambino. Dunque l ambiente non è un insieme di angoli di gioco su progetto dell adulto, ma è una zona pensata e realizzata osservando i bambini, quindi modificata (semplificata o arricchita) in base ai loro interessi, sapendo che il banale in eccesso crea confusione, mentre il troppo poco induce ripetizione stereotipata e quindi noia. 2 Il ruolo delle maestre Il ruolo delle educatrici sembra totalmente passivo: stanno sedute tranquille, disponibili e osservano i bambini (fig. 3.4). L attività è auto-diretta e non richiede pertanto l incoraggiamento o la lode dell adulto che rimane, con la sua presenza attenta, un ancora emotiva per i bambini. Figura 3.4: La maestra è presente, ma non interviene nelle attività dei bambini.

68 68 Osservazione L educatrice, avendo la possibilità di osservare serenamente e costantemente, può conoscere il bambino, ciascun bambino, sotto una nuova luce: soggetto della propria formazione e persona che fin dalla nascita è attiva e competente, ma bisognosa di circostanze adeguate per crescere, per manifestarsi, per comunicare. E qui inizia il principale lavoro delle educatrici: quello di organizzare lo spazio e predisporre le attività in modo che siano in linea con le esigenze di crescita concrete dei bambini. Come si vede in figura 3.3 i materiali vengono preparati e disposti a livello del bambino che può così prenderli di sua iniziativa. Le educatrici mi hanno raccontato come hanno cominciato a scoprire con sorpresa che per i piccoli la relazione con lo spazio e con gli oggetti assume importanza parallela al rapporto con l adulto di riferimento o con uno o più coetanei. Poi, con le prime esperienze di cambiamento, rilevano l estremo bisogno di stabilità nelle esperienze sensoriali e relazionali che i bambini di questa età manifestano. L adulto, guida e parafulmine delle ansie del bambino, propone direttamente il meno possibile e protegge la capacità di ognuno di polarizzare la propria attenzione sull attività che in quel momento ritiene più interessante. 3 Osservazione al Nido Un fatto che mi ha colpito molto è stato vedere bambini di poco più di due anni usare con disinvoltura un paio di forbicine (vere, non di plastica). Ho chiesto alle educatrici come si fa ad insegnare a bambini così piccoli ad usare le forbici solo per tagliare la carta e non tagliarsi, magari accidentalmente, le dita. Mi hanno risposto che in realtà non insegnano, ma fanno vedere come si fa. Infatti quasi tutte le attività passano prima attraverso la dimostrazione fatta dall educatrice che prende il vassoio dell attività e si siede ad un tavolo (non esistono cattedre o tavoli diversi per le maestre) e, con molta tranquillità, comincia ad usare il materiale, con le forbici inizia a tagliare una strisciolina di carta facendo cadere i pezzetti in una ciotola vuota. L attività è accompagnata da brevi frasi pronunciate con un tono di voce tranquillo del tipo taglio una strisciolina di carta, faccio dei pezzettini tutti uguali. È inevitabile che il

69 3-3 Osservazione al Nido 69 nuovo gioco attiri la curiosità di qualche bambino che si avvicina e chiede di poterlo fare. A questo punto la maestra offre il vassoio al bambino e si mette al suo fianco, non per guidare o correggere, ma solo per osservare il bambino che taglia tutto concentrato. Alla fine la maestra gli da una busta con sopra il suo nome, affinchè lui stesso metta via i pezzetti che ha tagliato, perché quello è il risultato del suo lavoro! Tutti i materiali e le attività sono concepite in maniera tale che sia chiaro quando il lavoro è finito. Per esempio, il filo in cui il bambino infila delle perle è della lunghezza giusta per le perle che deve infilare (fig. 3.5). Così il materiale stesso trasmette l idea di qualcosa con uno scopo da raggiungere e la parte di filo ancora vuota rende visibile il concetto di tempo che manca o la proporzione del lavoro ancora da fare. Come si vede, dei concetti matematici. Figura 3.5: Giocare vedendo quanto manca all obiettivo. Ho visto poi come al termine di ogni attività i bambini, anche piccoli, rimettono tutto il materiale a posto. Questa attività di riordino (fig. 3.6) è vissuta come un esperienza piacevole poiché dà il senso, sia all adulto che al bambino, di una cosa completata. Non è quindi un semplice mettere in ordine, ma una parte importante dell attività stessa. Se matematica vuol dire ordine mentale e ordine di ragionamento, qui vediamo in azione o in apprendimento questa abilità matematica. Infine le maestre mi hanno fatto notare che i materiali del Nido non sono propriamente materiali di sviluppo Montessori, anche se ne riprendono i concetti base. Per esempio ogni materiale di sviluppo riprende uno ed un solo concetto, per focalizzare l attenzione del bambino e non creare confusione.

70 70 Osservazione Figura 3.6: Il riordino alla fine del gioco è parte integrante dell attività. Invece i materiali del Nido sono più semplificati ed adattati all età dei bambini, ma cercano comunque di trasmettere concetti che saranno alla base delle attività alla Casa dei Bambini. Per esempio in figura 3.7 il lavoro consiste nel riconoscere e classificare tre tipi di oggetti. Il concetto di classificazione, l uguaglianza saranno poi base per i materiali più matematici, per esempio. 3.1 Le abilità matematiche Il gioco degli incastri grande-piccolo trasmette il concetto di confronto fra grandezze ed è uno dei materiali che permette ai bambini piccoli di sperimentare i contrasti (fig. 3.8). I bambini acquisiscono molto presto il senso di cosa è grande e cosa è piccolo se hanno strumenti di confronto. Il saper confrontare sarà poi la porta per acquisire i concetti di uguaglianza, di ordinamento che sono alla base del concetto di numero. Il gioco dei travasi (fig. 3.9) aiuta a sperimentare praticamente la conservazione delle quantità e a superare più rapidamente la fase di cui parla Piaget (sez. 1.1).

71 3-3.1 Le abilità matematiche 71 Figura 3.7: Un esempio di materiale del Nido. Il bambino deve toccare per capire, per crescere, per costruire i concetti base della mente umana, per capire le differenze e le uguaglianze, i contrasti e le somiglianze. È una fase importantissima che dura con modalità sempre più ricche fin verso i tre anni. In tutti i materiali, l esplorazione sensoriale è fondamentale. Nella foto 3.10 si vede un bambino che verifica col dito se l incastro è adatto al piolo che deve infilarvi. I concetti relativi di largo-stretto vengono acquisiti sia per diretta sperimentazione (cfr. le foto 3.12 e 3.13), sia appunto tramite l approccio sensoriale. Un gioco che ho visto fare è basato sull uso di fotografie degli stessi oggetti Figura 3.8: Rapporti di dimensione: il gioco del grande-piccolo.

72 72 Osservazione Figura 3.9: Il gioco dei travasi per acquisire il senso della conservazione. Figura 3.10: L aspetto sensoriale è fondamentale per la comprensione. che il bambino adopera ogni giorno. Foto ben riconoscibili, con tutte le parti egualmente evidenti e proporzionate reciprocamente come dimensioni in modo che non risulti un bicchiere grande come una bottiglia. Mi sono accorta che a volte il bambino comincia a cercare di avvicinare cose uguali, segnale che la sua mente sta compiendo un importante passo avanti verso il concetto di uguaglianza. Alberto 14 mesi ha preso da un piano mensola un vassoio sul quale è appoggiato un materiale semplice composto da sette bastoni alti circa 20 cm e fissati su un piedistallo. Sui bastoni sono infilati 9 anelli di metallo comunemente usati per le tende (fig. 3.11). Alberto appoggia il vassoio sul tavolino e si siede, comincia a sfilare e infilare gli anelli con grande soddisfazione, osserva a lungo i bastoni, si infila gli anelli sulle dita. Ad un certo punto un anello rotola dal tavolino e finisce sotto la sua sedia, la cosa non lo distrae, lui continua a

73 3-3.1 Le abilità matematiche 73 giocare, infila, sfila ne infila uno sul pollice e gli altri sui bastoni. Dopo un quarto d ora di prove tra mani e bastoni abbandona il gioco, fa un giretto poi torna al tavolo, si siede, riprende in mano il materiale, lo appoggia sul vassoio e comincia a infilare gli otto anelli restanti. Lo osservo e non mi sembra soddisfatto, infatti, sfila di nuovo tutti gli anelli e li ri-infila, solleva la base e osserva sotto, si guarda intorno, guarda attentamente sul tavolo, solleva il vassoio. Mi chiedo incuriosita cosa stia avvenendo nella sua mente. Toglie di nuovo gli anelli dai bastoni, questa volta li mette in fila sul tavolo, li osserva, li ri-infila. Ricomincia a guardarsi in giro e dopo un po trova l anello caduto sotto la sedia. Con un gran sorriso di soddisfazione lo prende, infila tutti gli anelli sui bastoni, mette tutto sul vassoio e rimette il tutto sulla mensola. Figura 3.11: Il gioco degli anelli e la ricerca dell anello mancante. I bambini quando è ora di pranzo apparecchiano, di solito ad un tavolo ci sono circa dieci bambini. I posti assegnati ai bambini sono sempre gli stessi, ognuno ha il suo e non vengono mai scambiati. Quando il bambino di turno apparecchia, se manca un compagno, salta il posto dell assente. Federico sta usando la grattugia con un pezzo di pane, alterna l azione del grattugiare e ogni tanto sbocconcella un pezzettino. Si avvicina Nora, si posiziona alla sua sinistra Federico gli offre un pezzetto di pane. Si avvicina Marta si posiziona a destra e anche a lei viene offerto un po di pane. Federico va avanti in un gioco che a loro diverte molto, grattugia un po, poi stacca un pezzetto di pane per sé, poi lo offre a Nora e poi a Marta; dopo un po arriva Luca che si mette tra Nora e Marta di fronte a Federico; anche a lui viene offerto il pane e il gioco continua. Un po si grattugia e poi un bocconcino di pane per lui, un po per Nora, poi per Marta e poi per Luca. Il pane viene distribuito ai bambini che si sono avvicinati esattamente nell ordine di arrivo.

74 74 Osservazione Un altro gioco molto interessante e che a mio avviso alimenta nel bambino il pensiero divergente e favorisce la formazione di categorie logiche è il Gioco euristico ideato da Elinor Goldschmied 2. La parola euristico significa serve per scoprire o arrivare alla comprensione di... (come conquista, arrivarci con fatica) e descrive esattamente l attività nella quale i bambini sono impegnati. Lo scopo, che porta ad utilizzare questa parola non abitualmente in uso, e quello di mettere a fuoco la concentrazione del bambino impegnato nell uso degli oggetti e la disponibilità dell adulto ad una considerazione rispettosa di tale impegno. È un gioco pensato per bambini tra i 12 e i 20 mesi circa perché dopo quell età, nel gioco del bambino con gli oggetti, predomina l uso dell immaginazione e del linguaggio. Il materiale composto da 4 sacchi di stoffa di uguale colore (è predisposto un sacco per ogni tipo di oggetto e cosa importante gli oggetti sono in gran quantità perché mi spiegava l insegnante ciò evita il conflitto che si potrebbe creare per una contesa) vario materiale che si può reperire in casa (catenelle di ferro, pon-pon, bigodini, conchiglie, tubi di cartone), e almeno 3 recipienti per ogni bambino (scatole di latta, cestini). L educatrice predispone il materiale raggruppandolo in punti vari in uno spazio libero, sgombro da altro materiale di gioco e non disturbato da altre attività e poi si siede tranquilla, disponibile e osserva il gruppo. Ho osservato una grande varietà di modi con i quali i bambini scelgono di utilizzare gli oggetti per riempire, vuotare, infilare, selezionare, scartare, riconoscendo le differenze e le somiglianze: sovrapporre, mettere in sequenza, paragonare una cosa all altra e così via. Ho notato che qualche volta hanno successo nel loro scopo, qualche volta no, però imparano da ogni situazione a conoscere la natura dell oggetto ed il comportamento dello stesso nello spazio. I conflitti fra i bambini sono ridotti al minimo, e avvengono tra di loro scambi amichevoli, perché il materiale è abbondante e tenuto ben spaziato. Questi oggetti e molti altri offrono ai bambini l opportunità di sperimentare 2 Psicopedagogista infantile inglese

75 3-3.1 Le abilità matematiche 75 infiniti modi di giocare e di organizzare tale materiale senza schemi prefissati dall adulto. Una seduta di gioco euristico può durare fino a 45 minuti. Un terzo del tempo è destinato però alla raccolta ed al riordino del materiale. Il tempo utilizzato per mettere in ordine gli oggetti ha la stessa importanza del tempo trascorso per il gioco e può considerarsi estensione del gioco stesso. Ho visto che anche i più piccoli collaborano al riordino, e mi è sembrata un esperienza piacevole per loro in quanto dà il senso, sia all adulto che al bambino, di una cosa completata. Ho notato che in questo caso è l educatrice che giudica quando è giunto il momento di riordinare, comincia con il mettere via prima i contenitori, come messaggio ai bambini che è ora di concludere il gioco. Tale messaggio arriva quindi da un gesto anziché da una frase del tipo: chi mi aiuta a mettere a posto? Mentre durante lo svolgimento del gioco l educatrice rimane tranquillamente seduta in silenzio, nel momento del riordino prende uno dei sacchi tenendolo aperto fra le mani e nomina gli oggetti da raccogliere, aggiungendo frasi brevi e chiare del tipo: mi porti queste catenelle?, dando sempre il nome all oggetto che i bambini hanno già utilizzato, questo perché, mi hanno spiegato, risulterebbe inutile nominare un oggetto con il quale il bambino non ha già avuto un esperienza sensoriale e quindi diretta: la parola prende significato quando l esperienza è già stata fatta. Quando i bambini portano gli oggetti richiesti, per metterli nel sacco tenuto aperto dall educatrice, questa risponde con un grazie, non ci sono mai frasi che esprimono un giudizio, del tipo bravo bambino. Figura 3.12: Paragonare praticamente una cosa all altra.

76 76 Osservazione Durante il riordino, quando un bambino porta un oggetto diverso da quello richiestogli, ho visto l educatrice ringraziarlo, ma non glielo lascia mettere nel sacco, lo prende in mano e lo appoggia su una sedia che precedentemente ha posto accanto a sè. Mi hanno detto che è stato calcolato che se ad un bambino viene dato il contenuto di 4 sacchi, costituito da 50 pezzi per ciascun sacco, egli può teoricamente fare combinazioni! Si osserva una grande varietà di modi con i quali i bambini scelgono di utilizzare gli oggetti per riempire, vuotare, infilare, selezionare, scartare, riconoscendo le differenze e le somiglianze: sovrapporre, mettere in sequenza, paragonare una cosa all altra e così via (fig. 3.12). Figura 3.13: Auto-correzione nel gioco degli anelli. Nel gioco non c è insuccesso; può succedere che il bambino tenti di mettere una cosa grande in una cosa piccola (come in fig. 3.13), il problema lo crea lui, ma può adoperare il pensiero per risolverlo cercando una soluzione diversa: non è un fallimento, questo vuol dire imparare! Questi oggetti e molti altri offrono ai bambini l opportunità di sperimentare infiniti modi di giocare e di organizzare tale materiale senza schemi prefissati dall adulto. Tutto ciò offre ai bambini la possibilità di raggiungere uno scopo con la soddisfazione del risultato: se non si risolve il problema in un modo, c è

77 3-4 Osservazione alla Casa dei Bambini 77 sempre la possibilità di risolverlo in un altro e questo è alla base del moderno problem-solving. 4 Osservazione alla Casa dei Bambini La prima cosa che ho notato entrando nella Casa dei Bambini è stato lo spazio. Uno spazio vivo, interamente posseduto, cioè usato, dai bambini. Tutto intorno alle pareti (oppure nel mezzo, a delimitare spazi) ci sono scaffali bassi e aperti, con materiali molto vari per le scoperte sensoriali e logiche, vassoi con piccoli recipienti e contenuti diversi, matite e fogli a disposizione di tutti. Ci sono poi libri, figure da appaiare, piccoli tappeti su cui giocare a terra, eccetera. Una varietà di oggetti, veri il più possibile, presi dalla vita di tutti i giorni, oggetti della realtà quotidiana e strumenti di buona qualità, che funzionano davvero. Il gioco del far finta di cucinare, lavare, spazzare, scrivere, battere chiodi, innaffiare è significativo, per il bambino che lo scopre, per rivivere situazioni ed emozioni. Non ho visto mai forbici o pentole di plastica ma forbici vere così come tazzine di ceramica e cucchiaini di metallo. Ci sono spazi in cui raccogliersi per proprio conto, perché non si può vivere sempre in mezzo a una folla; dei tappeti, qualche cuscino su cui leggere in pace, piccoli tavoli su cui lavorare da soli, un angolino in cui nascondersi. Un ventaglio di proposte davvero molto ampio. L ordine è molto curato e così l armonia dei colori. L ambiente è tranquillo. Le voci dei bambini sono naturalmente controllate perché anche le maestre non alzano mai il tono di voce per chiamare a raccolta i bambini o anche per rimproverare, se occorre (fig. 3.14). Quindi poche differenze significative con l ambiente del Nido. Quello che è differente qui è che compare il materiale di sviluppo, materiale creato da Maria Montessori (fig. 3.14): lettere e cifre smerigliate, la torre rosa, la scala marrone, le aste delle lunghezze... L ambiente è organizzato in modo logico e chiaro. Non è sovraccarico ma ordinato in maniera tale che l occorrente per ogni attività sia facilmente accessibile. Allo stesso modo l intero percorso di sviluppo che un bambino

78 78 Osservazione Figura 3.14: La Casa dei Bambini. può seguire nel corso degli anni è sotto i suoi occhi. Così impara molto presto a scegliere il materiale adatto al suo momento di crescita. Mobili e oggetti favoriscono la libertà nel senso di libertà di scelta delle attività, libertà di movimento nello spazio e libertà dei tempi di lavoro. Libertà, ma anche responsabilità. Ogni oggetto e materiale di sviluppo è presente in un solo esemplare. Come ho già detto, il bambino impara così a rispettare il proprio turno. Parlando con le maestre, mi facevano notare che non esistono periodi rigidamente prestabiliti in cui si lavora ed altri in cui si fanno cose meno importanti. Tutto è importante per il bambino. L ambiente è quindi regolato e predisposto non sull età anagrafica, ma sulle abilità raggiunte, che ovviamente sono diverse da bambino a bambino. Così come al Nido vi è la zona dei travasi, la zona degli incastri, eccetera, qui ci sono poi zone differenti dedicate ad argomenti differenti. Ho trovato quindi la zona dedicata al linguaggio, quella dedicata alla matematica, alla storia e così via (fig. 3.15). Figura 3.15: L angolo della psicoaritmetica.

79 3-4 Osservazione alla Casa dei Bambini 79 Questa suddivisione non significa che le zone siano compartimenti stagni, come vedremo. Tra l altro nemmeno la Casa dei Bambini è un compartimento stagno rispetto al Nido. Ho visto bambini del Nido venire ad osservare che cosa fanno i loro compagni più grandi (fig. 3.16). Non c è quindi l idea preconcetta che ci sono cose che i bambini di una certa età non possono capire. Allo stesso modo non ho visto suddivisioni artificiali all interno degli argomenti, come ad esempio il primo anno si gioca con le cifre fino a dieci, poi fino a venti eccetera. Figura 3.16: Un bambino del Nido osserva uno più grande fare il gioco delle marchette. Trattandosi di materiale di sviluppo Montessori, le maestre lo presentano ai bambini, sono disponibili per rispondere alle domande, ma non aiutano, non si sostituiscono mai al bambino. Il loro impegno maggiore consiste nel preparare il materiale sulla base dei bisogni che hanno osservato nei bambini. Una particolarità che salta all occhio osservando il materiale di sviluppo Montessori, è che ognuno di essi isola una qualità unica. Posso dire che ciascun elemento di ogni materiale è un astrazione materializzata della qualità stessa, od anche che ogni materiale è la rappresentazione concreta di un solo

80 80 Osservazione Figura 3.17: La torre rosa: isolamento di una qualità unica. concetto. Per esempio la torre rosa (fig. 3.17) ha lo scopo di far sperimentare i volumi dal decimetro al centimetro cubo. Varia solo il volume, tutte le altre caratteristiche sensoriali sono tenute in sordina, non distraggono e sono tutte uguali. Probabilmente, se i cubi fossero colorati in maniera differente, o avessero appiccicati dei pupazzetti, non aiuterebbero i sensi a focalizzarsi su una ed una sola caratteristica per assorbirla e comprenderla. La scala marrone (fig. 3.18) è composta da dieci prismi che cambiano solo nelle dimensioni della base e mettono in evidenza i rapporti grosso/fino. Infine le aste delle lunghezze (fig. 3.19), dieci prismi che variano in una sola dimensione da un metro a un decimetro, evidenziano il passaggio graduale dal lungo al corto. Questo è il primo materiale logico-matematico con cui il bambino entra in contatto alla Casa dei bambini.

81 3-4.1 I materiali di sviluppo della psicoaritmetica 81 Figura 3.18: La scala marrone: variano solo le dimensioni della base. 4.1 I materiali di sviluppo della psicoaritmetica Dopo che i bambini hanno giocato a lungo con i materiali sensoriali di cui ho parlato sopra, la maestra presenta, individualmente o ad un piccolo ristretto gruppo di bambini, il gioco delle aste numeriche. Questo materiale è composto da 10 aste di lunghezze multiple di dieci centimetri che si distinguono dalla successione alternata di due differenti colori (fig. 3.20). L uno per esempio è blu; nella seconda asta le due sezioni, di dieci centimetri ciascuna, sono l una blu e l altra rossa; nella terza asta vediamo agli estremi due sezioni blu e una rossa nel mezzo. In tal modo, tutte le aste cominciano con la parte blu e così si ottiene anche che i colori delle differenti unità che compongono ciascun intero risultano chiaramente differenziati nella loro successione. In un primo momento è proprio la maestra a fare questo gioco, ma poi ho visto farlo dai bambini con sicurezza e disinvoltura e, soprattutto, con

82 82 Osservazione Figura 3.19: Le aste delle lunghezze: evidenziano il passaggio graduale dal lungo al corto. soddisfazione. La maestra, dicevo, prende le aste dallo scaffale iniziando dalla prima e le mette sul tappeto a terra in ordine sparso. Ogni volta dice questa è l asta dell uno, questa è l asta del due oppure semplicemente uno, due, tre e così via. In questa maniera viene associato il nome all asta, le aste quindi sono quantità che hanno un nome. Poi riordina le aste per lunghezza e successivamente riprende ogni asta e vi associa un cartellino con la cifra smerigliata corrispondente. Fa quindi un appaiamento quantitàsimboli. L ultimo passaggio è riordinare nuovamente le aste e collocare un altro cartellino con la cifra vicino alla corrispondente asta. È un gioco da cui derivano attività di composizione, scomposizione e confronto. Risulta evidente che ogni volta che si uniscono aste differenti si esegue un addizione e che ogni qualvolta tale somma viene scomposta, si effettua una sottrazione (fig. 3.21). Noto tre cose: primo, le aste danno concretezza all idea assoluta di numero senza introdurre la rappresentazione astratta della cifra; secondo, non c è un ordine rigido fra i concetti, non bisogna aspettare di conoscere tutto sui numeri per poter passare alle operazioni su di essi; terzo, l addizione, come ogni altra attività, ha in sé il concetto di autocorrezione (il controllo alla fine

83 3-4.1 I materiali di sviluppo della psicoaritmetica 83 Figura 3.20: Le aste numeriche. dell addizione: fig a destra). Figura 3.21: L addizione con le aste. Un altro gioco che ripete la situazione del contare le unità relative ai vari gruppi della serie numerica da uno a dieci o, più esattamente, da 0 a 9 è il gioco dei fuselli (fig. 3.22) o materiale delle unità sciolte: un casellario con stampate le prime nove cifre e dei bastoncini tutti uguali, i fuselli, appunto. Il bambino lega tra loro il giusto numero di bastoncini e li ripone nella casella corrispondente. Senza saperlo apprende la progressione numerica e come i

84 84 Osservazione numeri sono composti da unità tutte uguali. Anche il fatto che la cassetta zero sia lasciata vuota e che ci sono solo cifre fino al nove viene interiorizzato dal bambino come un qualcosa di logico e normale. Ovviamente il gioco si può fare sostituendo qualcos altro ai fuselli. Figura 3.22: Il gioco dei fuselli: i numeri concreti. Un altro gioco che mi ha colpito è il gioco delle marchette (fig. 3.23). Questo gioco consiste nel disporre, in primo luogo, dei cartoncini con i numeri da 1 a 10, secondo il normale ordine di successione e quindi, alla base di ogni numero, porre dei gettoni rossi (marchette) nella quantità corrispondente. Questo gioco è una riprova per verificare se l apprendimento è avvenuto, cioè, se si conoscono i numeri nella loro successione e le quantità da essi rappresentate. Il bambino dispone gli oggetti in fila a due a due, per i numeri dispari la marchetta spaiata si mette in centro in basso alla doppia fila. Una volta disposte le marchette, il bambino fa scorrere in mezzo alle due file una marchetta blu. Se questa passa il numero è pari, se non passa è dispari. Vediamo qui una classificazione astratta (pari/dispari) resa concreta dagli effetti che ha su un azione pratica (il passaggio della marchetta blu). Come si

85 3-4.1 I materiali di sviluppo della psicoaritmetica 85 vede, non vengono nemmeno tirati in ballo concetti come la divisibilità per due, ma la classificazione viene assorbita comunque in maniera molto chiara. Figura 3.23: Il gioco delle marchette per capire il pari/dispari. Per il gioco di figura 3.24 ho dovuto chiedere a mio figlio un chiarimento su cosa rappresentassero i bastoncini di perle colorate infilate su un bastoncino metallico. Mi risponde come se fosse una cosa ovvia e risaputa da tutti: Sono gialle quindi è il quattro (fig. 3.24). Ovvio. Ogni numero ha un colore che è sempre quello, è formato da perline legate fra loro (continuità con i fuselli di figura 3.22 che mostrano le unità legate tra di loro) e le stesse perline sono utilizzate anche in altri materiali: le tavole di Séguin 3 (per imparare la formazione dei numeri dall 11 al 19 (fig. 3.25)) e nel serpente positivo (gioco sull addizione). Mi sembra che i materiali creino ordine mentale anche ripresentando i concetti in differenti contesti utilizzando gli stessi suggerimenti sensoriali. Per capire la formazione dei numeri da 11 a 19 i bambini utilizzano le tavole di Séguin (fig. 3.25) in cui eseguono l operazione sovrapponendo materialmente il sei allo zero del dieci e poi rafforzano il concetto mettendo al fianco la barretta con le dieci perline che rappresenta il dieci e quella che rappresenta il sei. Le perline del dieci sono dorate e legate tra di loro per formare i multipli di dieci (fig. 3.26). Anche fisicamente, con il loro peso, i multipli danno l idea di quanto valga un 1000 rispetto ad un 100. Questi multipli sono poi srotolati per formare le catene del cento (fig. 3.27) e del mille (fig. 3.28). Come si 3 Un omaggio di Maria Montessori alla genialità pedagogica di Edouard Séguin.

86 86 Osservazione Figura 3.24: I bastoncini di perle colorate: i numeri acquistano concretezza. vede i bambini non amano le limitazioni, per giocare con la catena del mille hanno monopolizzato addirittura il corridoio. La catena del mille poi viene scomposta nei suoi costituenti (fig. 3.29) per capire come vengono costruiti i vari numeri. Ho notato che il lavoro dei bambini non finisce quando il gioco è terminato, ma comprende anche il riportare il risultato su carta (per esempio si vedano le figure 3.24 e 3.27). Anche qui mi sembra che il bambino stesso si aspetti questo passo, come per completare e chiudere il gioco. Per memorizzare le quattro operazioni, il bambino usa dei materiali specifici. Ho osservato bambini molto concentrati lavorare su un tavoliere quadrettato (fig. 3.30) dove nella prima riga orizzontale ci sono scritti i numeri da 1 al 18: i primi dieci sono in rosso, gli altri in blu. Tra il dieci e l 11 una linea verticale nera. Una scatola contenente nove asticine azzurre numerate da uno a nove, e nove rosse suddivise in tanti quadretti sempre numerate ad

87 3-4.1 I materiali di sviluppo della psicoaritmetica 87 Figura 3.25: La I tavola di Séguin. Figura 3.26: Il sistema decimale base (pur con qualche incertezza... ). un estremità. Il bambino pesca da un sacchetto la somma da rappresentare, mette in sequenza sul tavoliere un asta blu ed una rossa e legge sul tavoliere il risultato. Il risultato viene poi riscritto su un modulo. La tavola rende immediatamente percepibile quando il risultato è maggiore di dieci. È interessante che, assieme al gioco dell addizione, viene presentata la moltiplicazione. È logico, la moltiplicazione è una somma ripetuta. Ho trovato molto interessante il gioco per la memorizzazione della moltiplicazione (fig. 3.31). Un materiale composto da un sacchetto contenente una serie di cartellini su cui sono scritte tutte le possibili moltiplicazioni tra numeri a una cifra (i cartellini sono rigorosamente scritti a mano dalle maestre e plastificati), una scatolina contenente cento perle sciolte di colore blu, dieci cartoncini marcati con i numeri da uno a dieci, un gettone verde e la tavoletta

88 88 Osservazione Figura 3.27: La catena del cento. Figura 3.28: La catena del mille. quadrata con incavi, in ciascuno dei quali si può collocare una perla. In alto, come intestazione delle colonne di incavi, vi sono stampati i numeri da l a l0. Nella parte sinistra della tavoletta e in posizione mediana, vi è un incavo nel quale è possibile inserire un cartoncino che porta stampato uno dei numeri da l a l0. Questo cartoncino riveste il ruolo di moltiplicando, e si cambia a seconda della moltiplicazione che il bambino pesca dal sacchetto. Nell angolo in alto a sinistra, c è un grande incavo circolare che è sede per il gettone verde. L esercizio che si esegue con tale materiale è assai semplice. Lo vediamo nella foto 3.31: Nicolò ha pescato dal sacchetto il cartoncino 5 4. Comincia il gioco inserendo nella casella di sinistra il cartoncino col numero 5. Per moltiplicare

89 3-4.1 I materiali di sviluppo della psicoaritmetica 89 Figura 3.29: Il quadro del sistema decimale. 5 per 4, fa due cose: dapprima colloca il gettone verde al di sopra del 4, che contrassegna la quarta colonna di incavi, e poi dispone 5 perle nei cinque incavi verticali delle colonne dall uno al quattro. Per ultimo scrive il prodotto su dei moduli cartacei. Lo spostamento del gettone, che ha lo scopo di indicare di volta in volta il nuovo moltiplicatore, richiede al bambino una attenzione sempre attiva e la massima esattezza di esecuzione. Per me la divisione è sempre stata un ostacolo insormontabile; il ricordo della fatica che ho fatto nel capire numeri che ci stanno o non ci stanno, prendere

90 90 Osservazione Figura 3.30: Tavola dell addizione. Figura 3.31: Il materiale della moltiplicazione con l esecuzione di 5 4. in prestito, eccetera ancora oggi mi perseguita. Invece mio figlio, quando era ancora alla Casa dei Bambini, un giorno mi disse che doveva arrivare presto a scuola perché voleva fare il gioco della distribuzione delle perline. Appunto, la divisione. Figura 3.32: Tavola della divisione. Il materiale è composto da una tavoletta quadrata con 81 incavi (9 9) (fig. 3.32), in corrispondenza di ciascuna fila di fori sono scritti orizzontalmente, sopra una striscia verde, in alto, i numeri da 1 a 9; sul lato sinistro della tavoletta i numeri sono ripetuti verticalmente. Il materiale è costituito, oltre che dalla tavola di distribuzione, da una scatola con 81 perle verdi (dividendo) e da una serie di 9 birilli verdi chiamati i bambini (divisore); un sacchetto contenente una serie di cartellini su cui sono scritte tutte le possibili divisioni

91 3-4.1 I materiali di sviluppo della psicoaritmetica 91 col dividendo fino a 81 e il divisore a una cifra (i cartellini sono rigorosamente scritti a mano dalle maestre e plastificati). Se il bambino pesca dal sacchetto, per esempio, 36 : 7 comincia prendendo in considerazione 36 perle verdi nella loro scatola e 7 birilli che dispone lungo la striscia verde che in alto limita la tavola. A questo punto dice: Ciascun birillo deve ricevere la stessa quantità di perle e inizia l operazione assegnando una perla a ciascun birillo, e, conclusa una prima distribuzione, continua fino all esaurimento del dividendo (fig. 3.33). Poi, conta il numero delle righe di 7 perle ciascuna che si sono potute formare. La perla che avanza viene posta nell ultimo incavo in basso a destra. Il bambino a quel punto dice: 36 diviso 7 fa 5 con resto di 1. Successivamente riporta sul modulo il risultato. Questo materiale da al bambino l indicazione che nessun quoziente e nessun divisore possono essere maggiori di 9 e che nessun resto può essere maggiore o uguale al divisore. I bambini che stanno eseguendo delle divisioni sono tutti invariabilmente concentrati (fig. 3.33). Sembra che la maggiore attenzione e precisione necessarie risveglino maggiore interesse. Come se più complicata sia un attività, maggiore è l entusiasmo che suscita nei bambini. Figura 3.33: La tavola della divisione. Una delle ultime cose che ho osservato è stato vedere un bambino divertirsi molto con una tavola dei multipli (un semplice foglio di carta sul quale sono stampati i numeri da 1 a 100 ordinati in dieci colonne) (fig. 3.34). Mi spiegava la maestra che questo è un gioco che fanno però i bambini dell ultimo anno. Sarà anche vero, ma io quest anno ho insegnato in una quarta elementare con bambini di 9/10 anni e molti di loro hanno parecchie difficoltà nella memorizzazione delle tabelline, qui parliamo invece di bambini di 5 anni.

92 92 Osservazione Quando ho chiesto a un bambino se eseguiva per me il gioco dei multipli per prima cosa mi ha chiesto quale numero preferissi, alla risposta 3 ha cercato un pennarello di colore rosa. Ho domandato perché proprio il rosa e lui mi ha risposto: semplice, il 3 è rosa in riferimento ai bastoncini di perle colorate. Dopodiché ha cominciato a cerchiare tutti i multipli di 3, per poi disegnare le linee oblique e commentando alla fine: Hai visto, i multipli di 9 sono 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81 lasciandomi naturalmente molto sorpresa! Ultimo passo è stato creare una rete (fig. 3.35). Il risultato è interessante: i multipli non sono più un concetto da ancorare in qualche modo (le tabelline a memoria... ), ma diventano geometria, diventano una disposizione regolare di segni su un foglio rafforzata dal messaggio cromatico. Figura 3.34: La tavola dei multipli. Fin da quando frequentava la Casa dei Bambini, e ancora oggi che è in seconda

93 3-4.1 I materiali di sviluppo della psicoaritmetica 93 Figura 3.35: I multipli di 3 e la rete dei multipli di 3 (a destra). elementare, mio figlio rispondeva invariabilmente a chi gli chiedeva che cosa avesse fatto a scuola: ho giocato con l addizione, ho giocato con la divisione e così via. Queste risposte lasciano perplessi gli amici perché comunemente si equipara la scuola al lavoro. Non è mai stato così per mio figlio: per lui andare a scuola non è lavorare, ma giocare. E probabilmente in questa parola sta il segreto dell amore per la matematica, secondo me Platone (cfr. cap. 4) sarebbe molto soddisfatto.

94

95 Capitolo 4 Discussione L argomento che sostengo in questa tesi è che i bambini nella fascia di età che ho considerato hanno abilità matematiche e le manifestano quando si trovano nel giusto ambiente. Per vedere se le mie osservazioni corroborano questa tesi, proverò a risalire dagli effetti alle cause. Inizierò quindi riassumendo le osservazioni fatte (cap. 3) focalizzandomi sui fatti correlati alle abilità matematiche, poi comproverò che queste sono vere capacità matematiche, passerò quindi a dimostrare come la concentrazione che ho osservato nei bambini che svolgevano delle attività legate alla logica e alla matematica sia segno di un livello elevato di abilità matematiche. Per terminare raccoglierò quelle caratteristiche osservate che a mio avviso agiscono come facilitatori per il dispiegarsi delle abilità matematiche nel bambino. Per completezza riporterò anche quelle caratteristiche che invece bloccano il loro manifestarsi. 1 Abilità matematiche osservate Nei bambini del Nido ho osservato le seguenti specifiche abilità: 1. La capacità di classificazione e confronto (appaiamento di fotografie, classificazione di tre tipi di oggetti diversi, gioco euristico)

96 96 Discussione 2. La comprensione delle relazioni fra grandezze (piccolo/grande, anelli su pioli, il bastoncino da infilare nei buchi, il gioco dell infilo che da una stima dell avanzamento del lavoro) 3. L acquisizione intuitiva della numerosità (il bambino che ha perso l anello) 4. I primi approcci alla conservazione della quantità (travasi) 5. L acquisizione delle relazioni d ordine (apparecchiare, la distribuzione del pane) Alla Casa del Bambino ho osservato le abilità matematiche nel contesto dei materiali di sviluppo di Psicoaritmetica, per usare il termine originale di Maria Montessori Montessori (1994). Qui la conoscenza del numero avviene intorno ad un idea centrale interessante ed importante. Poi parallelamente si svolgono altre attività che portano a considerare e ad approfondire i particolari. Per esempio per i numeri i bambini passano dalla conoscenza delle quantità, alla conoscenza del simbolo, per poi associare le cifre alle quantità. Questa conoscenza del numero si svolge in tre momenti distinti con tre materiali differenti: presentazione (aste ed esercizi relativi), riconoscimento (fusilli), dimostrazione di possesso della conoscenza (esercizio con le marchette). Un esempio di attività in cui i bambini approfondiscono i particolari è, per esempio, il gioco delle marchette con cui acquisiscono una caratteristica del numero come quella della classificazione pari/dispari. Oppure la capacità di capire il valore relativo dei numeri (catena del mille, cubo del mille) tramite le attività in cui la caratteristica è resa accessibile ai sensi trasformando una quantità astratta in una caratteristica percepibile come il peso. Un altra abilità che ho osservato e che non è immediatamente classificabile come matematica, ma, a mio avviso, vi è correlata è l ordine mentale che traspare nei bambini quando sono impegnati nelle loro attività. Ordine che viene loro trasmesso anche dall ambiente tranquillo e non caotico in cui trascorrono parte della giornata.

97 4-2 Possiamo chiamarle abilità matematiche? 97 2 Possiamo chiamarle abilità matematiche? Certamente! Da quanto ho osservato, ciò che ho visto fare dai bambini è vera matematica. Non solo alla Casa dei Bambini in cui l identificazione è più chiara, ma anche al Nido, secondo me, molte delle reazioni che ho visto nei bambini piccoli le possiamo catalogare come espressione di concetti matematici. I bambini quindi sono capaci, anche a quest età di ragionare con categorie matematiche. Dire che i bambini non sono capaci di capire la matematica è come dire che non sono capaci di comunicare perché non sanno parlare. Un neonato comunica e comunica molto bene ciò di cui ha bisogno, anche se non conosce la grammatica e non sa parlare! Un ultima osservazione. Il bambino non è fatto a compartimenti stagni. Se ha acquisito un ordine mentale, questo si manifesta sia che faccia qualcosa attinente alla matematica, sia che faccia l analisi grammaticale di una frase, sia che studi le capitali europee, sia anche che giochi con i Lego. A mio avviso questo fatto deve essere tenuto nel debito conto quando si analizzano manifestazioni di abilità matematiche nel bambino. 3 Concentrazione e flow Uno degli aspetti che più mi hanno colpito durante l osservazione è stata la concentrazione mostrata dai bambini, anche del Nido, nel giocare e nell usare i materiali di sviluppo. Vista l età posso affermare sicuramente che questa concentrazione non è ottenuta con la forza di volontà. Secondo me, invece, la concentrazione deriva da quello stato interiore che lo psicologo Mihaly Csikszentmihalyi chiama flow, una condizione complessa, caratterizzata da elevata concentrazione, coinvolgimento ed immersione nell attività, controllo della situazione, chiara percezione dell andamento e delle finalità dell attività, positività dello stato affettivo, motivazione intrinseca, ovvero indipendenza da aspettative di ricompense o gratificazioni esterne all attività stessa (Csikszentmihalyi, 1990).

98 98 Discussione Per caratterizzare le condizioni sotto cui si instaura lo stato di flow si possono considerare due parametri: la difficoltà del compito (challenge) ed il livello di abilità di chi lo svolge (skill). Csikszentmihalyi nota che, se il compito è troppo facile, ci annoiamo, se il compito è troppo difficile rispetto alle nostre abilità, ci angosciamo, invece se il compito è di una difficoltà superiore alla media delle azioni abituali e richiede delle abilità ad un livello appena superiore a quelle che possediamo, allora subentra lo stato di flow. La condizione che ho osservato nei bambini mentre erano presi dalle attività si può descrivere proprio come uno stato di flow : elevata concentrazione, totale immersione nell attività che si sta svolgendo, motivazione intrinseca, contentezza di poter svolgere quell attività. Posso capovolgere la definizione di flow e dire che, se vedo un soggetto agire in uno stato con le caratteristiche del flow, allora posso ipotizzare che il compito che sta svolgendo è al limite superiore delle sue capacità, capacità possedute comunque ad un buon livello. Applicando questo ragionamento alle osservazioni da me fatte, ne deduco che i bambini che ho visto concentrati nello svolgere attività di psicoaritmetica, possiedono abilità matematiche ad alto livello. È una prova indiretta, ma a mio avviso valida. 4 Fattori facilitanti Quali fattori a mio avviso rendono possibile il dispiegarsi delle abilità matematiche in questi bambini? Questi fattori possiamo trovarli nel materiale utilizzato, nell ambiente e nel ruolo dell adulto. 4.1 I giochi In generale posso dire che i giochi fatti utilizzando i materiali di sviluppo hanno molte cose in comune. Tutti trasformano i concetti, anche astratti in attività sensoriali: le cifre smerigliate, la torre rosa, il blocco del 1000 che rende il rapporto fra multipli di 10 percepibile come peso.

99 4-4.2 L ambiente 99 Secondo, tutti i materiali rendono concreti i concetti utilizzando colori, forme e relazioni spaziali: i bastoncini colorati, la tavola dei multipli con le linee che formano una rete, le tavole di Séguin. Terzo, tutti i materiali evitano la simbolizzazione o il ragionamento astratto trasformandolo in operazioni pratiche e concrete. Per esempio la marchetta che passa/non passa; il gettone verde che va spostato nella moltiplicazione. Quarto e non ultimo, il fatto che ogni gioco focalizza un concetto alla volta, riducendo così le distrazioni ed il sovraccarico cognitivo: la torre rosa che concretizza solo la scala di volumi, le aste che concretizzano solo la quantità. 4.2 L ambiente L ambiente che ho trovato al Nido e alla Casa dei Bambini ha due caratteristiche fondamentali per facilitare l acquisizione di concetti matematici. Uno è la libertà, il bambino agisce secondo i suoi ritmi, sceglie liberamente ciò che in quel momento lo interessa in base anche alle sue capacità. Il secondo è l assenza di limiti artificiali, sia riguardo agli argomenti, sia riguardo all età. Per capire l importanza della libertà possiamo fare un paragone con la ricerca scientifica. Sappiamo benissimo che irreggimentarla, pretendere che produca, vuol dire ucciderla. Le idee nascono quando devono nascere, a volte nascono per caso, mentre si esplora qualcosa di totalmente diverso e magari improduttivo. Per il secondo punto possiamo fare un parallelo matematico: le serie infinite. Questi oggetti hanno certe caratteristiche a patto che li calcoliamo senza porre limiti alle variabili. Se invece pretendiamo di estrapolare leggi generali da calcoli fatti in un intervallo limitato delle variabili, allora si prendono delle solenni cantonate. Questo non vuol dire che negli ambienti del Nido e della Casa dei Bambini non ci sono limiti. I limiti sono sul piano del come, non sul piano del cosa. Abbiamo visto come ogni oggetto sia presente in unica copia, per abituare i bambini a rispettare i turni. I limiti che ho visto negli ambienti possono essere paragonati all origami. In quest arte ci sono delle regole ben precise: niente colla, niente forbici, niente tagli, ma nessun limite su

100 100 Discussione come piegare o come combinare i foglietti di carta. E che risultati straordinari produce! Probabilmente se non ci fossero limitazioni, si potrebbero costruire cose meravigliose, ma non così entusiasmanti o interessanti. Che altre caratteristiche ho notato nell ambiente? Che è un ambiente interessante, che stimola la curiosità, che spinge a sperimentare. Anzi, tutto negli ambienti facilita il lavoro di sperimentazione: i materiali sono visibili, il bambino è stimolato a provare, non ci sono giudizi che possono frenarlo, il contatto con gli altri, sia all interno della propria fascia di età che con i bambini più grandi, facilita lo scambio di esperienze, nella forma possibile a quest età. L ambiente è interessante anche perché stimola l azione. Un oggetto bello ma passivo interessa il bambino un giorno solo, mentre il fatto che ogni oggetto possa essere rimosso, usato, e riportato al suo posto rende l attrattiva dell ambiente inesauribile. Ma non solo, tutto quello che ho visto, materiali ed ambiente, aiutano il bambino nel controllo dell errore: le aste che hanno un solo modo corretto di essere disposte, la serie di anelli che rende chiaro quando è completa. Io penso che il controllo materiale dell errore conduca il bambino ad accompagnare i suoi esercizi col ragionamento, con la critica, con l attenzione sempre più interessata all esattezza, con una capacità raffinata a distinguere le piccole differenze, e prepara così la coscienza del bambino a controllare gli errori, anche quando questi non sono più materiali o sensibilmente evidenti, come spesso capita nella matematica. 4.3 Il ruolo dell adulto L adulto in questo ambiente ha un compito molto particolare, che non è quello di aiutare o di sostituirsi al bambino, ma quello di fornirgli i materiali giusti per il livello di sviluppo nel quale il bambino si trova. Livello che le maestre colgono osservando in continuazione i bambini. Un altro ruolo che credo di aver individuato, è quello di creare curiosità. La maestra che taglia le striscioline di carta con le forbicine stimola il bambino a provare, ma non lo forza a provare. Anche in questo aspetto, l adulto è un facilitatore, non un traino.

101 4-4.4 Che cosa manca in altri contesti? 101 Per il resto, il ruolo dell adulto lo possiamo definire in negativo: l ambiente in un certo senso non è un progetto dell adulto, le attività non si svolgono secondo la logica dell adulto, le conoscenze non vengono travasate dall adulto nella testa dei bambini. Insomma, un ruolo veramente difficile. Potremmo pensare che, se l adulto prende il comando, le conoscenze vengano acquisite più in fretta, ma confondiamo la quantità con quanto realmente viene assimilato dal bambino. Trasmettere cose che non rimangono o, peggio, che generano repulsione non serve a niente. Un po come pretendere di far crescere più in fretta l insalata tirandola per le foglie: è assurdo perché si strappa e si distrugge la piantina. 4.4 Che cosa manca in altri contesti? Dato come punto di partenza il fatto che i bambini hanno una mente matematica, che cosa impedisce loro di manifestarla? Uno degli errori è pretendere di introdurre il bambino al mondo dei numeri solo a partire dalla prima elementare. Il bambino invece fin da subito è a contatto con i numeri e anche con grandi numeri, sente parlare gli adulti di 100, 1000, eccetera, sa per esempio di avere una bocca, un naso, due occhi, due mani. Tra i 3 e i 7 anni una straordinaria ricchezza di connessioni neuronali porta il bambino a penetrare il mondo dei rapporti numerici e delle forme geometriche. Concetti costruiti sul fare e sull osservare i contrasti nella vita quotidiana, come grande/piccolo, tanto/poco, pesante/leggero, grosso/fino, alto/basso e via dicendo, sono alla base delle innumerevoli constatazioni che i bambini sono portati a fare sulle loro esperienze, tanto più sicure se hanno potuto sperimentare materiali esatti e nitidi e non invece materiale (come schede pre-stampate) che li obbliga ad una simbolizzazione precoce. Abbiamo visto che le abilità matematiche sono altra cosa rispetto alla sola interpretazione dei simboli. Sulla stessa linea è ugualmente dannoso il teorizzare e il porre dei limiti artificiali. Per teorizzare intendo lo sganciare l apprendimento dall aspetto

102 102 Discussione sensoriale e forzare la mente del bambino a trovare, se ci riesce, i necessari agganci fra quello che sente e le sue esperienze. Devo dire che questo è già un compito difficile per certi adulti, figuriamoci per un bambino! Porre dei limiti artificiali è un problema simile. Non c è motivo perché la matematica sia sganciata dal linguaggio o dalle materie artistiche, non c è motivo perché le nozioni debbano essere limitate a seconda dell età (in prima imparano i numeri fino a 30, poi in seconda fino a 90 e così via). Ricordo che quello che ho descritto riguardo alla matematica (cap. 3) si riferisce a bambini fra i tre ed i cinque anni d età! Purtroppo A scuola si imparano nozioni, non relazioni disse una volta il musicista Luciano Berio. Poi c è da considerare l ambiente, il luogo in cui dovrebbe avvenire la crescita cognitiva dei bambini. Oggi che nei primi sei anni di vita i bambini entrano in strutture in cui regnano sovrani gli oggetti di plastica, dove perfino il gioco di fantasia è fatto ad orario, dove sono guidati di continuo a produrre in gruppo, a essere confrontati e giudicati, dove l esplorazione individuale è sempre più limitata dalle richieste di prodotti valutabili (schede, disegni, ritagli e incollature, lavoretti su modello... ), le capacità personali di indagare, inventare, valutare, correggersi non possono non risultare compromesse. In questo tipo di ambienti, dove tutto si basa su scambi verbali, il bambino riflessivo, quieto o pensoso è considerato un asociale! Non parliamo poi di concentrazione o di immersione in un qualche compito. In questi ambienti gli educatori agiscono da protagonisti al posto dei bambini o si trasformano in animatori per farli giocare. 5 Concludendo Tirando le fila, che cosa posso dedurre dalle osservazioni fatte? La scienza non ha come suo oggetto ciò che desideriamo che sia, ma ciò che è. Il percorso della Montessori parte semplicemente da un diverso punto rispetto a Piaget, Wynn eccetera: invece di teorizzare sul funzionamento del cervello del bambino riguardo alle sue abilità matematiche, osserva il bambino nelle sue azioni. Diceva, infatti: si conosce l essere umano solo osservandolo.

103 Conclusioni La motivazione che mi ha spinto ad affrontare l argomento di questa tesi nasceva da una semplice constatazione: il bambino impara a parlare perché immerso in un ambiente fatto di parole, può addirittura imparare la musica se immerso in una varietà di suoni e ritmi. E per la matematica? Perché non può essere lo stesso? Che cosa fa sì che questo apprendimento per osmosi non funzioni? La mia idea era che non fosse un problema intrinseco alla materia, ma piuttosto fosse dovuto all ambiente che circonda il bambino che quasi mai è preparato per facilitare l apprendimento della matematica. Le premesse teoriche, infatti, mi dicono che il bambino, anche molto piccolo, ha una mente matematica come emerge dai lavori di Butterworth, Antell e Keating e dalle ricerche di Karen Wynn, ecc. L osservazione che ho compiuto al Nido e alla Casa dei Bambini della Scuola Montessori di Varese mi ha fornito valide conferme al fatto che nei bambini emergono, pur con tutte le differenze individuali, forti capacità logicomatematiche (riconoscimento esatto di quantità, forme, grandezze e altro ancora) e un crescente interesse ai numeri e alle cifre ad essi relative. Offrendo loro materiali con cui giocare con i numeri, ma anche con concetti matematici come le relazioni d ordine, il confronto eccetera, i bambini spontaneamente si appassionano all affascinante mondo della matematica. Un altra conclusione a cui sono giunta è che la matematica è solo un aspetto della formazione di un bambino, e le abilità matematiche solo una delle manifestazioni delle capacità della mente del bambino. Nei bambini che ho

104 104 Conclusioni osservato ho visto in pratica, nel loro agire, la manifestazione di quello che affermava Maria Montessori: la forma della mente umana è matematica. Nella tesi ho mostrato come un ambiente di apprendimento preparato e accogliente riesca a far emergere nei bambini questa mente matematica in maniera naturale e senza esplicitamente proporre una didattica della matematica. A questo punto non vorrei che si pensasse che un ambiente così stimolante crei dei piccoli geni della matematica con l obiettivo di sfruttare precocemente le capacita della mente infantile, magari a futuri fini aziendali. Io vedo semplicemente che un ambiente così vivo e davvero a misura di bambino pensante fa nascere l amore per una materia a lungo bistrattata e dà risposte a curiosità precise. I risultati si vedono, non solo nella familiarità con il mondo dei numeri, ma soprattutto nell ordine mentale, nell equilibrio psichico che in modi diversi i bambini manifestano.

105 Bibliografia AIGAM (2009). Associazione Italiana Gordon per l Apprendimento Musicale. Online, ultimo accesso: giugno Antell S. E.; Keating D. P. (1983). Perception of Numerical Invariance in Neaonates. Child Development, 54(3), Bijeljac-Babic R.; Bertoncini J.; Mehler J. (1993). How do 4-day-old infants categorize multisyllabic utterances? Developmental Psychology, 29(4), Butterworth B. (1999). Intelligenza Matematica. Rizzoli. Csikszentmihalyi M. (1990). Flow: The Psychology of Optimal Experience. Harper and Row, New York. Dehaene S. (2000). Il pallino della matematica. Mondadori. Fresco G. H., (a cura di) (2000). Montessori: perché no? - Una pedagogia per la crescita. Franco Angeli. Gardner M. (1977). Carnevale matematico. Zanichelli. Titolo originale dell opera: Mathematical Carnival: A New Round-up of Tantalizers and Puzzles from Scientific American, Knopf Publishing Group, Gelman R.; Gallistel C. R. (1986). The child s understanding of number. Harvard University Press. Gordon E. E. (2003). L apprendimento musicale del bambino dalla nascita all età prescolare. Ed. Curci.

106 106 Bibliografia Lucangeli D.; Poli S.; Molin A. (2003). L intelligenza numerica. Centro Studi Erickson. McGarrigle J.; Donaldson M. (1974). Conservation Accidents. Cognition, 3, Mehler J.; Bever T. G. (1967). Cognitive Capacity of Very Young Children. Science, 158(3797), Miller P. H. (1993). Teorie dello sviluppo psicologico. Il Mulino. Tit. orig. Theories of Developmental Psychology. New York Freeman and Company, Montessori M. (1949). Formazione dell uomo. Garzanti. Montessori M. (1950a). La scoperta del bambino. Garzanti. Montessori M. (1950b). Lezioni al Corso nazionale Montessori. (inedito). Montessori M. (1994). Psicoaritmetica. Garzanti. Montessori M. (1999a). Il segreto dell infanzia. Garzanti. Montessori M. (1999b). La mente del bambino. Mente assorbente. Garzanti. Montessori M. (2009). Dall infanzia all adolescenza. Franco Angeli. Odifreddi P. (2005). Idee per diventare matematico. Zanichelli. Piaget J. (1967). Logique et Connaissance scientifique. Encyclopédie de la Pléiade. Piaget J.; Szeminska A. (1968). La genesi del numero nel bambino. La Nuova Italia. Piaget J.; Boscher B.; Châtelet A. (1974). Avviamento al calcolo. La Nuova Italia. Pizzi C.; Veggetti S.; Squillacciotti M.; Wagua A., (a cura di) (1987). Numerare, contare, calcolare: per un approccio interdisciplinare allo studio della quantificazione. Cadmo.

107 Bibliografia 107 Rizzolatti G.; Sinigaglia C. (2006). So quel che fai, Il cervello che agisce e i neuroni specchio. Raffaello Cortina Editore. Squillacciotti M., (a cura di) (1996). Antropologia del numero. Categorie cognitive e forme sociali. Grafo edizioni, Brescia. Van Loosbrock E.; Smitsman A. W. (1990). Visual perception on numerisity in infancy. Developmental Psychology, 26, Wynn K. (1992). Addition and subtraction by human infants. Nature, 358(6389),

108

109 Ringraziamenti Innanzitutto ringrazio il Prof. Massimo Squillacciotti e il Prof. Riccardo Putti per il supporto che ho ricevuto nel compilare la mia tesi a 430 km di distanza. Un grazie speciale ai bambini del Nido e della Casa dei Bambini, veri protagonisti di questo lavoro che, senza tante teorie, ma con l agire pratico, mi hanno mostrato come il gioco può essere apprendimento. A Grazia Honegger Fresco per l aiuto concettuale, le innumerevoli occasioni di confronto e l interessante quanto consistente pila di libri che mi ha consigliato di leggere. Alle maestre del Nido Vanna, Micol, Adelaide ed Elisabetta, a quelle della Casa dei Bambini Chiara e Samantha per la disponibilità e la pazienza che hanno avuto nel rispondere alle mie domande e nell avermi spiegato l uso dei vari materiali. Alla coordinatrice del Nido e Casa dei Bambini Graziosa e alla segretaria Elisabetta per avermi permesso di stazionare nella scuola. Un grazie di cuore va alle mie colleghe Pina, Angela, Lidia, Mara, Anna e Gabriella che in questo anno particolarmente laborioso mi hanno spesso sollevata da alcune incombenze lavorative. Un grazie alla squadra di supporto senese: Luigi, Alfonso e Laura, che mi ha aiutato con la logistica universitaria. Grazie alla mia amica Cristina che mi ha incoraggiato a non demordere anche quando la tesi si stava perdendo in un mare di altre responsabilità. E da ultimo, ma non meno importante un grazie molto speciale al mio Nicolò, bambino paziente e attento, che con i racconti del suo fare a scuola mi ha chiarito molte idee e a Mario, grande referee, che ha letto la mia tesi con occhio da scienziato.