Il matematico inaspettato

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1 Università degli Studi di Siena Facoltà di Lettere e Filosofia Corso di Laurea in Filosofia Il matematico inaspettato Le intuizioni matematiche nei bambini dai 12 mesi ai 5 anni Candidato: Antonella Galgano Relatore: Chiar.mo Prof. Massimo Squillacciotti Correlatore: Chiar.mo Prof. Riccardo Putti Anno Accademico 2008/2009

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3 . A Mario e Nicolò I miei due scienziati che mi hanno riconciliato con la matematica

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5 Indice Introduzione 7 1 Struttura della tesi Le capacità matematiche del bambino 9 1 Il concetto di numero in Piaget La conservazione della quantità Stadi dello sviluppo cognitivo Lo sviluppo delle abilità numeriche nel bambino Il processo di costruzione dei numeri nel bambino Dentro la teoria di Piaget L interpretazione olistica di Montessori Lo sviluppo non lineare Il piano dell infanzia L embrione spirituale Il lavoratore cosciente L interdipendenza dei quattro piani La critica al sistema educativo in atto La nascita del concetto di numero Antropologia del numero Il numero come espressione del pensiero I fondamenti del numero Le competenze numeriche dei bambini Innatismo nello sviluppo del concetto di numero La teoria costruttivista del concetto di numero Le abilità numeriche del bambino molto piccolo

6 6 Indice 4 Riflessioni conclusive Il ruolo dell ambiente nello sviluppo del bambino 49 1 L apprendimento della musica per osmosi Montessori: bambino e ambiente Ambiente e piani di sviluppo Il metodo tradizionale L ambiente, maestro invisibile Osservazione 63 1 L ambiente Il ruolo delle maestre Osservazione al Nido Le abilità matematiche Osservazione alla Casa dei Bambini I materiali di sviluppo della psicoaritmetica Discussione 95 1 Abilità matematiche osservate Possiamo chiamarle abilità matematiche? Concentrazione e flow Fattori facilitanti I giochi L ambiente Il ruolo dell adulto Che cosa manca in altri contesti? Concludendo Conclusioni 103

7 Introduzione Non mi è mai piaciuta la matematica. Ancor meno il ricordo dell ambiente scolastico che nulla offriva per rendere interessante questa materia. E continua a non piacermi la sequela di lamentele da parte di allievi ed amici sull osticità della matematica. Ma deve essere necessariamente così? L esperienza come insegnante e come madre mi dice invece di no, che esistono approcci in cui l ambiente stesso spinge il bambino a rendere visibili le intuizioni matematiche presenti nell essere umano fin dai primi mesi di vita. Non lo credevo possibile, ma osservando bambini di un nido Montessori apprendere e mettere in pratica concetti di quantità, di ordinamento e classificazione senza che nessuno glielo insegnasse mi ha spinto ad indagare l effetto dell ambiente sul manifestarsi dell intuito matematico cui i bambini sono capaci. Un altra motivazione che mi ha spinto ad approfondire il tema di questa tesi parte da una semplice constatazione: il bambino impara a parlare perché immerso in un ambiente fatto di parole, può addirittura imparare la musica se immerso in un linguaggio musicale (Gordon, 2003). E per la matematica? Perché non può essere lo stesso? Che cosa fa si che questo apprendimento per osmosi non funzioni? Non penso sia un problema intrinseco nella materia, ma nel come l ambiente che circonda il bambino non sia quasi mai preparato per facilitare l apprendimento della matematica, ma soffra di un preconcetto logico: che la matematica, essendo una materia astratta, non debba ricevere aiuti materiali dall ambiente, come se questo, in qualche maniera, la contaminasse. In questa tesi mi prefiggo quindi di dimostrare che un ambiente di apprendimento preparato e accogliente riesce a far emergere nei bambini alcuni

8 8 Introduzione concetti matematici in maniera naturale e senza esplicitamente proporre una didattica della matematica. La mia attenzione si è focalizzata su bambini che frequentano il nido e la scuola dell infanzia, cioè bambini tra i 12 mesi ed i 5 anni d età. Come strumento di studio ho utilizzato l osservazione diretta e passiva del comportamento di bambini di un nido e una scuola dell infanzia. Ho quindi messo in relazione la filosofia su cui si basano queste strutture con l effetto dell ambiente sul comportamento dei bambini. Per focalizzare l attenzione e non trasformare la tesi in uno sterile paragone tra diverse metodologie educative, accennerò brevemente all offerta formativa di un nido e una scuola dell infanzia tradizionale, mentre mi concentrerò sull ambiente del Nido e Casa dei Bambini della scuola Montessori di Varese. 1 Struttura della tesi Nel capitolo 1 porrò le basi del contesto cognitivo in cui si svolge l apprendimento della matematica nella fascia di età sotto studio (Piaget, Montessori, e gli esperimenti di Butterworth, Antell e Keating e altri). Passerò quindi nel capitolo 2 ad analizzare il ruolo nell apprendimento degli ambienti educativi e le differenti offerte dei nidi e scuole dell infanzia. Nel capitolo 3 definirò l approccio osservativo che ho adottato ed i risultati dell indagine condotta presso la scuola Montessori di Varese, fase focalizzata sull analisi dei comportamenti dei bambini correlati all apprendimento ed alla messa in pratica di concetti matematici. Le conclusioni di questa parte osservativa sono analizzate nel capitolo 4. La conclusione della tesi mostrerà come un ambiente sensoriale preparato è efficace nel trasmettere non solo concetti matematici, ma soprattutto amore per questa materia.

9 Capitolo 1 Le capacità matematiche del bambino Gardner (1977) scrive: Ho sempre pensato che il modo migliore per rendere la matematica interessante a studenti e non, è quello di accostarla come se fosse un gioco. A livelli superiori, specialmente quando la matematica è applicata a problemi concreti, può e deve essere terribilmente seria. A livello più basso, nessuno studente può essere motivato a studiare, per esempio, la teoria astratta dei gruppi dicendogli che la troverà bella, interessante, o addirittura utile... se diventerà un fisico delle particelle elementari. In questo capitolo saranno brevemente riassunte le idee riguardanti le capacità matematiche dei bambini, quando e come si manifestano. Verranno perciò confrontate principalmente le teorie e gli approcci Piaget e Montessori, e come queste siano state confutate o modificate da altri autori basandosi sull osservazione delle capacità dei bambini. 1 Il concetto di numero in Piaget Padre di una delle prime vere e proprie teorie cognitive intorno all elaborazione del concetto di numero (Piaget e Szeminska, 1968) è senz altro Jean Piaget: è,

10 10 Le capacità matematiche del bambino infatti, sua l ipotesi di un rapporto inscindibile tra le strutture d intelligenza generale e l evoluzione delle competenze numeriche nelle abilità di pensiero. Per Piaget le abilità matematiche sono un espressione dell intelligenza che si sviluppa attraverso l interazione con l ambiente e l azione sulla realtà circostante. L acquisizione delle abilità matematiche dipende dall apprendimento del linguaggio e del pensiero operatorio concreto; per Piaget, quindi, la capacità di numerare gli oggetti, e conseguentemente di compiere operazioni con i numeri, non è solo il risultato di un apprendimento scolastico. La sua tesi principale è che l acquisizione del concetto di numero si sviluppa per tappe successive, parallelamente al consolidarsi delle strutture logiche, e che la sequenza dei numeri è la sintesi operatoria della comprensione sia dell aspetto ordinale sia dell aspetto cardinale ed è solo in parte aiutata dall apprendimento. Per Piaget, il numero non è basato esclusivamente sulle operazioni di classificazione, ma nasce da una sintesi di due strutture: la struttura d ordine e quella d inclusione. Questa sintesi di strutture logiche produce nuove proprietà che si possono chiamare numeriche. Il numero scaturisce quindi da un astrazione delle qualità che differenziano un elemento dall altro. Questa astrazione rende un elemento equivalente agli altri: 1 = 1 = 1 = 1... Questi elementi possono essere classificati secondo le inclusioni: (1) (1+1) (1+1+1) ( )... ma nello stesso tempo, ordinati in serie. Ordinarli è il solo mezzo per non contare due volte lo stesso elemento. Studiando lo sviluppo di questa nozione nel bambino (ontogenesi) Piaget osserva che a livello preoperatorio (2 7 anni) queste strutture sono relativamente indifferenziate mentre in seguito, a livello operatorio (7 12 anni circa) si assiste ad una differenziazione ed ad una sintesi tra di esse. Questa sintesi numerica si afferma molto progressivamente, dapprima per i numeri più piccoli, poi per quelli maggiori. Quindi, secondo Piaget il numero è la sintesi tra classi e relazioni, ciò significa semplicemente che un insieme di elementi, per acquisire lo statuto di quantità numerica, deve essere percepito, identificato, preso in considerazione a partire dal numero di elementi che lo

11 1-1.1 La conservazione della quantità 11 compongono e essere riconosciuto come più grande o più piccolo di un altro in funzione di questo stesso criterio. Per l acquisizione del concetto di numero non è sufficiente solo riconoscere l equinumerosità di due insiemi ma diventa fondamentale anche la conservazione della quantità. Piaget in tal senso ha condotto tanti esperimenti che hanno mostrato che solo verso i 7 anni si può dare per scontato che i bambini abbiano acquisito l invarianza della quantità e quindi sappiano usare i numeri nel loro aspetto cardinale e ordinale. L età intorno ai 6 anni è critica ai fini di questa acquisizione: a questa età i bambini si trovano in un area di sviluppo prossimale, ed è per tale motivo che proprio il concetto di numero ha un ruolo centrale nella continuità da costruire tra la scuola dell infanzia e la scuola primaria. Ma proprio in questo punto si trova un limite della teoria piagetiana. È vero che i bambini piccoli hanno molto da imparare in aritmetica e che sono necessari anni perché le loro capacità concettuali si approfondiscano, ma è altrettanto vero che non sono privi di capacità numeriche prima di iniziare la scuola dell infanzia e neppure al momento della loro nascita. 1.1 La conservazione della quantità Con il concetto di conservazione della quantità Piaget intende la capacità di astrarsi da indizi superficiali, quali la forma o la densità dello spazio occupato dagli oggetti di più insiemi per stabilire relazioni di confronto di tipo quantitativo. La conservazione costituisce una condizione necessaria per qualsiasi attività razionale e in particolare per il pensiero aritmetico. Ad esempio, nella numerazione, ossia la capacità di contare, il numero resta invariato qualunque sia la disposizione, l ordine delle unità di cui è composto un insieme (Butterworth, 1999). In altri termini, se abbiamo cinque oggetti, il numero cinque non è affatto assegnato all oggetto posto per ultimo : gli oggetti sono in totale cinque, anche se si effettuano spostamenti tra di loro. Questo principio potrebbe essere definito come quello dell irrilevanza dell ordine. I bambini per contare hanno bisogno, pertanto, di capacità di astrazione e di individuare

12 12 Le capacità matematiche del bambino una corrispondenza biunivoca tra una sequenza non modificabile di parole (i numeri) e gli oggetti. Nel confronto tra due insiemi costituiti dallo stesso numero di elementi, non è possibile compiere delle operazioni, se non a condizione che sia percepita la conservazione della quantità. Piaget (Piaget e Szeminska, 1968, pag. 3) sostiene che qualsiasi cognizione, sia di ordine scientifico sia che provenga semplicemente dal senso comune, presuppone un sistema implicito o esplicito di principi di conservazione. Essa è la condizione formale di qualsiasi esperienza e di qualsiasi ragionamento, viene addirittura definita come la condizione necessaria per qualsiasi attività razionale e nemmeno il pensiero aritmetico sfugge a tale regola. Le operazioni stesse mostrano proprio la possibilità di effettuare qualsiasi permutazione sugli elementi lasciando invariata la numerosità totale del complesso. 1.2 Stadi dello sviluppo cognitivo Lo sviluppo psichico, che comincia con la nascita e termina con l età adulta, è paragonabile alla crescita organica e consiste essenzialmente in un cammino verso l equilibrio. Lo sviluppo è un passaggio continuo da uno stato di minore equilibrio ad uno di equilibrio superiore (Piaget, 1967). Piaget suddivide lo sviluppo cognitivo in quattro stadi principali, ognuno caratterizzato da una modalità di pensiero qualitativamente diversa, resa possibile dall emergere di un nuovo schema che si costruisce sulla base delle esperienze del bambino durante lo stadio precedente. Il completamento di uno stadio è condizione imprescindibile perché possa evolversi lo stadio successivo; ne discende che l ordine dei quattro stadi è invariabile. Gli stadi possono così essere così suddivisi: Stadio senso-motorio (dalla nascita ai due anni circa) Stadio pre-operatorio (dai due ai sette anni) Stadio operatorio concreto (dai sette ai dodici anni circa) Stadio operatorio formale (dai dodici anni a tutta l età adulta)

13 1-1.3 Lo sviluppo delle abilità numeriche nel bambino 13 Lo sviluppo delle abilità matematiche è plasmato principalmente dall acquisizione del concetto di conservazione della quantità. Piaget indagò molto su questo fenomeno, sostenendo che i bambini nello stadio pre-operatorio (dai due ai sette anni) non possiedono il principio di conservazione; ovvero non si rendono conto che la quantità di una certa sostanza non cambia al cambiare della sua forma. 1.3 Lo sviluppo delle abilità numeriche nel bambino Secondo Jean Piaget, i numeri anteriori al periodo in cui il bambino ha compreso l iterazione dell unità, cioè la possibilità di generare ogni volta un numero nuovo per mezzo dell addizione di unità, non sono ancora dei veri numeri, ma delle figure percettive. Il bambino sarà in grado di distinguere un insieme di due oggetti da un oggetto unico, un insieme di tre da un insieme di due, ma li distinguerà percettivamente, e ciò può dar luogo ad operazioni pratiche ma non operatorie, e dimostra che in questa fase, pre-operatoria, non vi è conservazione degli insiemi. Questa è l obiezione che si può fare alla tesi di un intuizione pura, innata del numero, di un intuizione anteriore alla logica (Piaget e Szeminska, 1968). Il primo stadio: assenza di conservazione. Se si presentano al bambino due recipienti della stessa forma e della stessa dimensione, contenenti l uno acqua colorata in azzurro, l altro acqua colorata in rosa, si domanda al bambino di travasare il contenuto di uno di questi recipienti in un recipiente di altra forma, per esempio più largo e più basso e gli si domanda se la quantità d acqua è rimasta la stessa, egli crederà che vi sia più acqua in un vaso più grande che in uno piccolo. Analogamente se si versa l acqua del primo vaso in due vasi più piccoli o in tre più piccoli, il bambino non avrà l impressione che l insieme delle due quantità equivale alla quantità iniziale. Egli dirà che è di più perché vi sono due vasi invece di uno ma se si continua ad aumentare il numero dei recipienti, finirà col dire che è di meno perché i recipienti sono più piccoli, questo dimostra che non vi è conservazione della quantità. La stessa esperienza si può fare su

14 14 Le capacità matematiche del bambino quantità discontinue 1, su insiemi propriamente detti di oggetti, per esempio con delle palline. Si domanda ad un bambino di mettere in due vasi uguali lo stesso numero di palline, affinché sia sicuro che il numero delle palline sia identico. Basta travasare la quantità di palline in recipienti di forme e dimensioni diverse perché il bambino ritenga che la quantità di palline aumenti o diminuisca, e ciò in ragione del livello raggiunto dalle palline, della larghezza del recipiente, o del numero dei recipienti. Anche questa volta, le quantità sono valutate in funzione dei rapporti percettivi non coordinati tra loro (quantità brute), inoltre, in questo caso si ritiene che secondo la forma che prende un quantitativo nel passare da un recipiente all altro, possa aumentare o diminuire nei suoi elementi stessi benché questi siano distinti tra loro. Il secondo stadio: inizio di complessi permanenti. Nello sviluppo della nozione di conservazione si può distinguere un secondo stadio caratterizzato dalle soluzioni intermedie, situate a metà strada tra la quantità bruta senza invariabilità e la quantificazione propriamente detta. Da una parte il bambino è portato a credere nella conservazione, sia perché i contenitori sono identici, sia perché queste due collezioni sono state costituite per mezzo di una corrispondenza biunivoca e reciproca. Si tratta però di una conservazione empirica, non ancora logica, che viene a mancare nel momento in cui la differenza percettiva tra i due vasi aumenta. Contrariamente a quanto avviene nel primo stadio, nel corso del quale i fattori percettivi annullavano senz altro la credenza nell equivalenza delle collezioni corrispondenti, si stabilisce ora una lotta senza risultato, poiché nessuna delle due tendenze prevale decisamente sull altra, infatti quando il bambino osserva le collezioni di palline crede nella non equivalenza e quando ricorda la corrispondenza che le ha costituite, crede di nuovo a questa equivalenza. Il terzo stadio: conservazione e coordinazione quantificate. È in questo stadio, che inizia tra i sei e i sette anni e mezzo, che il bambino acquisisce la vera conservazione. Adesso il bambino è sicuro, non ha bisogno di riflettere per assicurarsi della conservazione delle quantità totali, per lui è evidente che la quantità è rimasta uguale. Entrambe le coordinazioni di 1 Piaget usa il termine quantità discontinue, come sinonimo di quantità discrete

15 1-1.3 Lo sviluppo delle abilità numeriche nel bambino 15 relazioni effettuate nel corso dello stadio precedente rimangono essenziali, ma sono concentrate in un unico atto invece che costituirsi a poco a poco. Nei due casi vi è costruzione operatoria fondata sulla reversibilità, la compensazione delle reazioni. È in questo momento che il bambino considera come evidente, e non più empiricamente constatabile, ma logicamente evidente, che la quantità non ha potuto modificarsi durante il travaso (Piaget e altri, 1974, pag ). Un altro esperimento di Piaget riguarda la corrispondenza tra due file semplici di gettoni: si presenta al bambino una fila di gettoni rossi e gli si chiederà di trovarne altrettanti di un altro colore. Si osservano anche in questo caso tre stadi. Il primo stadio: confronto globale e valutazioni fondate sullo spazio occupato o sulla densità degli elementi. In questo stadio, i bambini di quattro anni e mezzo, a volte fino a cinque, giudicheranno la quantità dallo spazio occupato, essi disporranno una serie di gettoni vicini gli uni agli altri, senza corrispondenza termine per termine, senza numero, si baseranno nelle loro valutazioni sull una o sull altra delle due qualità globali di questa fila, cioè sulla lunghezza occupata o sulla densità degli elementi, in modo che si formi la stessa lunghezza, ma senza coordinare questi due rapporti l uno con l altro. Le quantità elementari non sono altro che i rapporti che si esprimono in più, in uguale o in meno (Piaget e altri, 1974, pag. 111), percepiti immediatamente tra le qualità date, ma non ancora coordinate fra loro; in questa maniera i bambini traducono direttamente la lunghezza delle file in termine di valore quantitativo. In questo stadio è impossibile confrontare due file qualsiasi senza che le qualità dell una siano paragonate a quelle dell altra, è per questo che una delle due file appare più lunga, più corta, della stessa lunghezza dell altra, più riunita o più distanziata. Questi due rapporti di lunghezza totale o di densità costituiscono gli inizi di ciò che

16 16 Le capacità matematiche del bambino diverrà più tardi la valutazione cardinale. Bisogna dire che questi rapporti quantitativi elementari rappresentano dei semplici schemi pratici e prelogici poiché sono anteriori ad ogni operazione propriamente detta, poiché queste quantità nascenti non sono ancora dotate di conservazione. Se si trattasse di conoscenza razionale, una fila di n elementi distanziati tra loro conserva questo stesso valore cardinale n, anche se la lunghezza della fila diminuisce, e questo perché gli elementi della fila sono stati accostati. È la relazione tra la lunghezza della fila e gli intervalli dei suoi elementi che determina la conservazione del complesso, mentre i due rapporti di lunghezza totale e di densità sono variabili. È proprio questa coordinazione logica dei due rapporti in gioco che i bambini di questo stadio non riescono ad effettuare, ed è per questo che non c è ancora conservazione dei gruppi né corrispondenza termine per termine. Ciò che segna questo primo stadio, o il punto di partenza di questa evoluzione, è una irreversibilità quasi completa del pensiero. Il secondo stadio: valutazione per corrispondenza intuitiva senza equivalenza durevole. Quando si chiede ai bambini di questo stadio di dare altrettanti elementi (gettoni) quanti ce n è nella fila modello, essi effettuano subito (o quasi) una corrispondenza ottica e spaziale tra la fila-copia e la precedente. I soggetti pervengono a costruire una fila-copia che abbia contemporaneamente la stessa lunghezza totale della fila-modello e la stessa densità, e questa duplice uguaglianza è assicurata dal fatto che ogni elemento della copia è posto di fronte ad un determinato elemento del modello. Si osserva che i bambini cessano di ammettere l equivalenza non appena la corrispondenza non viene più percepita immediatamente. Infatti, se distanziamo un po una delle due file di palline e si domanda loro se le due file siano ancora uguali, essi non ammetteranno più l equivalenza, questo perché sceglieranno, a caso, uno dei due criteri (lunghezza o densità) e in conformità a questo solo criterio giudicheranno la quantità totale.

17 1-1.3 Lo sviluppo delle abilità numeriche nel bambino 17 I rapporti di lunghezza totale e di densità sono individuati simultaneamente dai bambini quando la fila-copia presenta sia la stessa lunghezza sia la stessa densità della fila-modello ed ogni elemento dell una è posto di fronte ad ogni elemento dell altra; però, questa iniziale coordinazione non oltrepassa il piano della percezione, e quindi, non appena si alteri la figura percettiva che ha permesso di stabilire la corrispondenza, non soltanto questa scompare, ma scompare anche ogni coordinazione tra lunghezza e densità. Si può dire che questo secondo stadio è semi-operante, poiché, sul piano pratico o dell esperienza percettiva, perviene a realizzare la corrispondenza qualitativa, il che presuppone una coordinazione intuitiva delle relazioni in gioco. Questo carattere semi-operante procede di pari passo con un progresso nella reversibilità del pensiero. Il terzo stadio: corrispondenza operante (qualitativa e numerica) con equivalenza necessaria e durevole. Se viene distanziata o riunita una delle due file per considerare l equivalenza, i bambini ammetteranno che l equivalenza dura qualunque sia la figura geometrica formata dai gettoni. La corrispondenza termine a termine diviene così realmente quantificante ed esprime, d ora in poi, l uguaglianza numerica e non più e soltanto l uguaglianza qualitativa come negli stadi precedenti. I bambini arrivano a tener conto contemporaneamente delle relazioni di lunghezza e di densità, non più soltanto nel caso in cui le file da confrontare siano simili, ma anche (e questa è la novità rispetto allo stadio precedente) nel caso in cui le due file differiscano simultaneamente per lunghezza e densità. Per la prima volta, il bambino del terzo stadio generalizza l operazione di moltiplicazione delle due relazioni di densità e lunghezza e comprende che una fila più corta e più densa di un altra può essere uguale ad essa. È soltanto in questo momento che vi è il numero. Prima vi sono delle forme pre-numeriche, percettive, che precedono il numero, ma il numero non comincia che con la conservazione dell insieme

18 18 Le capacità matematiche del bambino numerico, con la conservazione delle equivalenze. La novità fondamentale di quest ultimo stadio sta nella mobilità e reversibilità del pensiero del bambino. 1.4 Il processo di costruzione dei numeri nel bambino In base agli studi effettuati da Jean Piaget, il numero nel bambino nasce in seguito alla conservazione dell insieme numerico e alla conservazione delle equivalenze, ma come arriva a costruire queste equivalenze durature, cioè questi numeri dal punto di vista operatorio? Secondo Piaget, affinché accada questo, sono necessarie nel bambino due condizioni psicologiche (Piaget e Szeminska, 1968, pag. 12): una è la conservazione dell insieme, l altra è l ordinamento in serie degli elementi. La conservazione dell insieme si basa su operazioni logiche. Essa non presuppone il concetto di numero, ma conduce al numero, per mezzo di operazioni logiche che si poggiano sulla reversibilità delle azioni. Si ha conservazione dell insieme quando il bambino avrà la nozione che il tutto è un insieme di parti che si possono distribuire a piacere. La relazione fra le parti e il tutto è la relazione logica per eccellenza costitutiva di questa conservazione. Per verificare questo Piaget prese una scatola con un certo numero di palline, tutte di legno, la maggior parte scure e solo due o tre bianche. La domanda che pose ai bambini per studiare la relazione fra le parti e il tutto era di dire se nella scatola vi erano più palline di legno, che palline scure, che ne rappresentano una parte. Tutti i bambini piccoli rispondevano che vi erano più palline scure, dacché le bianche erano soltanto due. Anche quando la domanda era posta in maniera diversa, i bambini rispondevano sempre allo stesso modo. Tutto questo è giustificato dal fatto che il pensiero dei piccoli è diverso da quello degli adulti. Il bambino non ha ancora un pensiero reversibile, possiede un pensiero che procede sempre avanti e non può andare a ritroso, né può agire con l immaginazione. Secondo Piaget, verso i sei anni e mezzo o sette, quando si forma la nozione del numero, il bambino sarà in grado di risolvere questo problema. Perché il bambino più piccolo non riesce invece a risolverlo? Cosa glielo impedisce? Egli può pensare al tutto e allora risponde correttamente,

19 1-1.4 Il processo di costruzione dei numeri nel bambino 19 può pensare alle parti e le paragona le une alle altre, ma non può pensare simultaneamente al tutto e alla parte, in questa maniera, quando egli ha tolto con il pensiero una parte, il tutto non esiste più, e non resta che l altra parte. Le palline scure saranno tutte le palline di legno meno le bianche, le palline bianche saranno tutte le palline meno le scure. Si tratta di un operazione inversa che necessariamente interviene per la conservazione del tutto, finché non vi è questa reversibilità non vi è conservazione del tutto, non appena c è reversibilità, c è conservazione del tutto. La seconda condizione psicologica affinché vi sia corrispondenza numerica è una condizione di ordine, si devono poter ordinare gli elementi, e psicologicamente bisogna sempre procedere in ordine in modo da non far corrispondere un elemento ad uno di quelli già contati, o da non dimenticarne qualcuno (Piaget e Szeminska, 1968, pag ). Cerchiamo di vedere, sempre secondo Piaget, la maniera in cui il bambino ordina in serie, e in che modo quest ordine si costruisce. Si domanda ad un bambino di disporre in scala delle asticelle di differenti grandezze. Se esse differiscono molto le une dalle altre, non vi sarà alcuna difficoltà a costruire la scala; se le asticelle sono poco differenti tra di loro, in modo tale che per costruire la scala, il bambino deve confrontarle a due a due, si possono osservare, anche in questo caso, tre stadi. Durante il primo il bambino forma semplicemente delle coppie e non sa coordinarle fra loro; questo stadio corrisponde alla non conservazione. Durante il secondo, egli comincerà con coppie e con piccoli raggruppamenti, procederà empiricamente, correggendosi di volta in volta, e costruirà la sua serie. È durante il terzo stadio che egli troverà il metodo per risolvere l esercizio. Adesso il bambino si trova nel periodo operatorio propriamente detto; all inizio confronterà la più piccola delle asticelle con tutte le altre e la collocherà, prenderà poi la più piccola di quelle che restano e collocherà anche questa, e così di seguito fino alla fine. Questo metodo implica di nuovo un operazione inversa, infatti, è necessario che l elemento così collocato sia più piccolo di quelli che restano, ma nello stesso tempo il bambino sa che il più piccolo di tutti quelli che rimangono è più grande di tutti quelli che lo hanno preceduto.

20 20 Le capacità matematiche del bambino È necessario, secondo Piaget, che queste condizioni preliminari, cioè l inserimento delle parti in un tutto che si conserva e l ordinamento in serie degli elementi, siano soddisfatte affinché si costruisca il numero, e nel momento in cui esse vengono soddisfatte, il numero intero si fa immediatamente accessibile al bambino (Piaget e Szeminska, 1968, pag. 6). 1.5 Dentro la teoria di Piaget La teoria Piagetiana ha portato sicuramente uno sconvolgimento nel modo di guardare lo sviluppo del bambino; essa ha lasciato forse il segno più grande nella psicologia dello sviluppo e di conseguenza in molti altri campi soprattutto quelli che si occupano del bambino e della sua crescita: la pedagogia e la didattica. Piaget è il primo che fornisce una teoria così ampia e ben articolata che ci permette di entrare nel mondo dei più piccoli, forse per troppo tempo inesplorato. È da considerare, tuttavia, che lo stesso Piaget non abbia probabilmente inteso fornire affermazioni conclusive su problemi cognitivi. Infatti, egli stesso, dopo aver pubblicato i primi dati, rimase sbalordito scoprendo che la gente li valutasse come se fossero affermazioni conclusive (Miller, 1993). Punti di forza Piaget ha sconvolto con i suoi studi il campo della psicologia dello sviluppo, riconoscendo, per la prima volta, il ruolo centrale svolto dalla cognizione. Per la prima volta uno psicologo si è soffermato a studiare questo particolare fenomeno della conservazione della quantità comprendendone l importanza e soprattutto la sua implicazione con l apprendimento della matematica. Piaget ha messo in luce nuovi fenomeni che hanno creato sorpresa: per esempio la mancanza di aspettativa nei bambini che gli oggetti siano permanenti. Ha studiato questi fenomeni nell ambiente naturale dei bambini. Nonostante il grande merito che va attribuito a Piaget nell essere stato un precursore, altri studi sono giunti ad interpretazioni discordanti nell analisi di

21 1-2 L interpretazione olistica di Montessori 21 questi fenomeni. In particolare, con la stessa procedura di Piaget si perviene sicuramente a risultati analoghi, ma a questi possono essere date diverse interpretazioni e, modificando la procedura, si possono ottenere risultati divergenti. Punti di debolezza Nella procedura standard, consistente nel formulare due volte la stessa domanda sulla quantità, prima e dopo la trasformazione, i bambini potrebbero essere indotti a pensare di dover cambiare la propria risposta a causa delle azioni compiute dall adulto sui materiali. Il bambino potrebbe non capire completamente le istruzioni, data la natura verbale della prova; infatti, nello studio di Mehler e Bever (1967) gli esiti sono più elevati per risposte non verbali. In particolare Gelman e Gallistel (1986) dimostrano che i bambini di tre anni si sorprendono se le loro aspettative di numerosità sono deluse dopo dei cambiamenti (Miller, 1993). I metodi di Piaget, dal punto di vista procedurale, potrebbero essere stati troppo complessi e, di conseguenza, potrebbero portare a sottostimare le conoscenze dei bambini. Naturalmente, se le procedure sono eccessivamente semplici, si potrebbero compiere falsi errori negativi, cioè attribuire ai bambini qualcosa che non hanno. La teoria di Piaget sulla conservazione della quantità ha sicuramente avuto il merito di avviare una ricerca che oggi, con metodologie sempre più raffinate, coinvolge in pieno anche le neuroscienze e mostra quindi una potenzialità della quale a tutt oggi gli sviluppi sono in fase di dibattito. 2 L interpretazione olistica di Montessori Per Maria Montessori la visione globale della psicologia evolutiva si articola in quattro fasi o piani. Questi piani corrispondono ad una struttura sequenziale di crescita della lunga infanzia umana e rappresentano la visione globale dello sviluppo dalla nascita (e perfino prima) alla maturità.

22 22 Le capacità matematiche del bambino Questa visione montessoriana dell intero sviluppo è la base si potrebbe dire di un progetto olistico dell essere umano che si sviluppa, spiega e giustifica l idea costante di Montessori circa l importanza dell educazione come aiuto alla vita. Le fasi non sono, quindi, dei compartimenti stagni ma solo una comoda struttura organizzativa. Montessori è attenta ad ogni aspetto dello sviluppo (fisico, intellettuale, emozionale ecc.) di tutte le fasi dell età evolutiva. Possiamo dire che la sua idea dell essere umano è doppiamente olistica: per ogni fase dello sviluppo considera l individuo nella sua globalità e, poi, l intero individuo in una particolare fase dell età evolutiva (es. adolescenza) è considerato nell ambito del continuum del suo sviluppo. Certamente è questa visione dello sviluppo così ampia, questa comprensione della natura ciclica e irripetibile delle stagioni della vita (Montessori, 1949, pag. 118) a costituire il principale lineamento distintivo del contributo di Maria Montessori alla psicologia evolutiva. 2.1 Lo sviluppo non lineare Montessori (1950b) afferma che studi scientifici e prove meticolose condotte in ogni parte del mondo con bambini di differenti razze e condizioni socioeconomiche hanno mostrato che lo sviluppo non procede in forma costante o lineare. Al contrario, accade in fasi, cicli o piani. Lungo la linea della vita, che indica l età cronologica dell individuo, troviamo i distinti periodi dello sviluppo: essi si susseguono dalla nascita a ventiquattro anni, secondo un ritmo di sei anni ciascuno. È questa numerazione per sei che ci dà la ripartizione dello sviluppo o, come Montessori la chiama, il ritmo costruttivo della vita. A cominciare dalla nascita, c è la progressione e l accrescimento di sensitività particolari e di specifiche caratteristiche relative alle sensitività stesse. Questa progressione non continua indefinitamente: una crescita continua non avrebbe senso alcuno nei termini della Natura. La progressione raggiunge il suo massimo attorno alla metà di un intero periodo di sei anni: nel primo, a

23 1-2.1 Lo sviluppo non lineare 23 tre anni di età. A questo punto, la progressione inverte direzione e diviene regressione/decrescenza. Anche questa, comunque, non continua a tempo indefinito: in questa fase giunge al suo termine a sei anni. Montessori chiama la parte iniziale lo schiudersi di una fase della vita (che significa anche l inizio di un insieme di particolari esperienze, acquisizioni e conquiste); la parte successiva rappresenta il concludersi di una fase vitale, ma anche preparazione all aprirsi di una nuova fase di sviluppo, con sue sensitività e caratteristiche del tutto nuove. In questa stessa maniera sono determinati tutti e quattro i piani di sviluppo identificati da Montessori come: Il piano dell infanzia (0-6 anni) suddiviso a sua volta in due sottofasi: L embrione spirituale (0-3 anni) Il lavoratore cosciente (3-6 anni) Il piano della fanciullezza (6-12 anni) Il piano dell adolescenza (12-18 anni) Il piano della maturità (18-24 anni) Nello sviluppo psichico sono presenti dei periodi sensitivi, definiti nebule, cioè periodi specifici in cui si sviluppano particolari capacità. Nella visione montessoriana dello sviluppo, questi periodi svolgono un ruolo vitale perché, cambiando natura da una fase ad un altra, determinano le caratteristiche proprie di ogni fase. Le sensitività pertinenti ad una fase particolare fanno la loro apparizione, aumentano, raggiungono la massima espressione e poi declinano; compaiono sensitività nuove, raggiungono il loro massimo e volgono verso il termine, per far posto ad altre nuove, e così via. Sono queste sensitività, allora, che guidano lo sviluppo e ne determinano il ritmo. Nel primo piano identificò i periodi sensitivi del linguaggio, del movimento, dell ordine, quest ultimo indispensabile per stabilire, tra continuità e cambiamento, i primi legami. Nel secondo piano individuò il periodo sensitivo della cultura del gruppo di appartenenza, con l interesse a conoscere e a capire la realtà umana, grazie alla forte capacità immaginativa e al senso di giustizia.

24 24 Le capacità matematiche del bambino Nel seguito tratteremo solo il piano dell infanzia come base per analizzare il processo di acquisizione delle capacità matematiche nei bambini dai 12 mesi ai 5 anni. 2.2 Il piano dell infanzia Il piano dell infanzia da 0 a 6 anni è quello di importanza massima per la formazione dell individuo ed è interessante notare che il lavoro intrapreso dall essere umano, così come quello da intraprendere per la propria formazione, è talmente differente nell ambito di ciascuna porzione del piano da indurre Montessori a suddividere l infanzia in due sottopiani distinti. L embrione spirituale Il bambino da 0 a 3 anni viene identificato da Maria Montessori come embrione spirituale ed è importante capirne la ragione. Alla nascita, il bambino sembra essere un nulla, nel senso che non ha qualità psichiche, né abilità motrici prestabilite (Montessori, 1999b, pag. 58). Ogni neonato, scrive Montessori, sembra un essere inerte, vuoto, insignificante (Montessori, 1999b, pag. 59). Eppure ha in sé potenzialità che determinano il suo sviluppo (Montessori, 1999b, pag. 58). In lui esiste un potere globale, un essenza umana creativa che lo spinge a formare l uomo del suo tempo, della sua civilizzazione (Montessori, 1999b, pag. 59). Montessori prosegue: Il neonato, dunque, deve intraprendere un lavoro formativo che, nel campo psichico, ricorda quello avvenuto per il corpo nel periodo embrionale. Egli ha un periodo di vita che non è più quello dell embrione fisico, e non è simile a quello che presenta l uomo da lui formato. Questo periodo post-natale, che si può definire il periodo formativo, è un periodo di vita embriologica costruttiva che rende il bambino un Embrione Spirituale. Così l umanità ha due periodi embrionali: uno è prenatale, simile a quello degli animali - e uno è postnatale, esclusivo all uomo (Montessori, 1999b, pag. 61). In altre parole, la specie umana (ed essa soltanto) ha vita embrionale doppia.

25 1-2.2 Il piano dell infanzia 25 È durante i primi tre anni, una parte di vita dimenticata dall individuo stesso che l ha sperimentata, che si creano le facoltà umane di base. Montessori spiega: In questo periodo psico-embrionale vi sono sviluppi che avvengono separatamente e indipendentemente quali il linguaggio, i movimenti delle braccia, i movimenti delle gambe ecc., e vi sono certi sviluppi sensoriali. Come nell embrione fisico, nel periodo prenatale, gli organi si sviluppano uno per uno, ognuno separato dall altro, così in questo periodo nell embrione psichico si sviluppano funzioni separate. Noi non possiamo ricordare questo periodo, perché nella personalità non vi è ancora unità. L unità potrà avvenire solo quando le parti siano completate (Montessori, 1999b, pag. 164). A causa della natura del lavoro di sviluppo durante i primi tre anni di vita e per la maniera con la quale questo lavoro viene condotto, Montessori chiama il bambino da 0 a 3 anni il creatore inconscio (Montessori, 1999b, pag. 165) e parla anche della manifestazione della mente assorbente (Montessori, 1999b) cioè della sua intelligenza che opera inconsciamente assorbendo ogni dato ambientale. Il lavoratore cosciente La natura del lavoro di sviluppo cambia durante la seconda sottofase dell infanzia, da 3 a 6 anni. A tre anni di età è come se la vita ricominciasse perché allora la coscienza si palesa piena e chiara (Montessori, 1999b, pag ). E ciò che questo piccolo bambino vuol fare è conquistarsi l ambiente e con esso i mezzi per il proprio sviluppo (Montessori, 1999b, pag. 165). Che cosa esattamente deve sviluppare? Tutte quelle funzioni, tutte quelle forze create prima dei tre anni deve ora svilupparle mediante esperienze coscienti ed esercizio della volontà. Montessori mostra che, in questo bambino più cresciuto, sono al lavoro due tendenze: quella di sviluppare la coscienza attraverso l attività sull ambiente, e l altra di perfezionare ed arricchire le conquiste già fatte (Montessori, 1999b, pag. 166). Perciò il periodo fra tre e sei anni è un periodo di perfezionamento costruttivo (Montessori, 1999b, pag. 166).

26 26 Le capacità matematiche del bambino Le mani del bambino, guidate dall intelligenza, cominciano ad eseguire compiti di tipo umano definito. Dalla mente assorbente si sviluppa per gradi la mente cosciente, il senso di realtà. Il bambino è sempre occupato a far qualcosa con le mani e, per questo, gli anni da tre a sei sono stati chiamati la benedetta età dei giochi (Montessori, 1999b, pag. 167). Quel gioco che è realmente lavoro, il lavoro del bambino per il proprio sviluppo. Per questo Montessori chiama il bambino da tre a sei il lavoratore cosciente (Montessori, 1999b, pag. 164). Montessori ha molto da dire circa la natura del lavoro e dello sviluppo durante questa sottofase dell infanzia. L individuo umano è un unità. Ora questa unità deve essere costruita e fissata attraverso esperienze attive sull ambiente, stimolate dalla natura. Gli sviluppi embrionali che si sono compiuti separatamente da zero a tre anni devono infine agire tutti insieme e organizzarsi a servizio della personalità. Il bambino sembra ora avere la necessità di organizzare logicamente i contenuti mentali assorbiti e di affinare e classificare i dati sensoriali. Ciò avviene quando nel periodo successivo, da tre a sei anni, la mano lavora e la mente è guida nel lavoro. Se le circostanze esterne non permettono questa integrazione, le energie continuano a spingere quelle formazioni parziali che vengono a svolgersi disorganizzate, deviando dal loro fine. La mano si muove senza scopo; la mente divaga lontana dalla realtà; il linguaggio cerca compiacenze in se stesso; il corpo si muove senza ordine. E queste energie separate, che mai trovano soddisfacimento, danno luogo a innumerevoli combinazioni di sviluppi errati, deviati, origini di conflitti e turbamenti. Tali deviazioni non sono da attribuire a difetti della personalità, ma devono essere interpretate come conseguenza di una mancata organizzazione della personalità (Montessori, 1999b, pag. 202). Tuttavia in seguito, come Montessori evidenzia, quando l ambiente offre motivi di attività costruttiva, tutte le energie convergono e le deviazioni spariscono. Allora soltanto, quando il bambino ha possibilità e libertà di svilupparsi normalmente, noi ne vediamo la personalità vera. È questo processo di transizione dallo sviluppo deviato a quello normale che

27 1-2.3 L interdipendenza dei quattro piani 27 Montessori chiama normalizzazione. Come risultato di questo processo, il bambino sviluppa, del tutto spontaneamente, il carattere. Montessori, infatti, identifica il periodo compreso fra tre e sei anni di età come periodo embrionale per la formazione del carattere (Montessori, 1999b, pag. 242). 2.3 L interdipendenza dei quattro piani Abbiamo visto come la vecchia idea dello sviluppo lineare, secondo la quale non c è cambiamento di forma, ma soltanto incremento graduale da ciò che è piccolo a ciò che è grande, da ciò che è meno a ciò che è più, sia stata sorpassata dall idea di una vita che si sviluppa assumendo forme differenti, trasformandosi, passando attraverso fasi o piani differenti e distinti tanto fisicamente quanto psichicamente. Le differenze sono talmente evidenti che Montessori compara i piani dello sviluppo alle modificazioni strutturali e funzionali proprie delle metamorfosi. Per questo, la vita di un essere umano che si sviluppa è una sequenza di nascite; è emersione e sparizione di potenzialità; è nascita e morte di interessi e di caratteristiche che sono manifestazioni di sensitività dominanti. Tuttavia, i piani dello sviluppo sono necessariamente interdipendenti anche fra loro, dacché l essere umano è una unità organica. Il piano che precede prepara sempre quello che segue, ne costituisce la base, nutre le energie che spingono l individuo verso il periodo di vita successivo. Allora l individuo passa da un piano di indipendenza ad un altro. Inizia dall indipendenza nel fare e nell agire che porta all indipendenza di giudizio per completarsi poi nell autonomia di pensiero, di giudizio, di decisione. Si forma così un adulto confacente al suo tempo e luogo, capace di adattarsi a situazioni e circostanze nuove: alla fine un adulto che può lavorare per l umanità, in grado di partecipare alla missione cosmica che abbiamo su questa Terra.

28 28 Le capacità matematiche del bambino 2.4 La critica al sistema educativo in atto Il piano inclinato con cui possiamo rappresentare il sistema educativo in atto comincia circa a sei anni di età e trova espansione massima durante il periodo degli studi universitari, fra 18 e 24 anni. Questa progressione rappresenta il campo dell azione educativa, ma ci rivela anche il concetto sottostante circa il modo di intendere lo sviluppo che qui, proprio secondo la vecchia concezione, ha carattere decisamente lineare. Come lineare è pure la progressione del numero delle varie materie studiate, e del numero dei differenti insegnanti coinvolti. Numeri che rappresentano anche la diversa quantità di conoscenza offerta all individuo. Materie, insegnanti, conoscenza: tutto aumenta conformemente al livello di istruzione, cioè con l età dell individuo. Conseguenza implicita in questo campo dell azione educativa che si espande col tempo è il pregiudizio che intelligenza e capacità di acquisizione aumentino costantemente con l età: più vecchi si è, più si è intelligenti, maggiore è l età e maggiore la capacità di apprendimento. Giudicando, perciò dai provvedimenti adottati dalla nostra società, la vita sembra svolgersi secondo un piano singolo, grande, lineare: una concezione dello sviluppo che si pone in contrasto totale e rigoroso con i piani dello sviluppo multipli, distinti, differenziati identificati dalla Montessori. Dobbiamo anche non dimenticarci che c è una filosofia sotterranea che imbeve tutte le azioni educative dei sistemi in atto: quella di causalità. Per essa l insegnante è causa e il bambino educato è l effetto prodotto. In altre parole, le abilità acquisite dall individuo durante il corso dello sviluppo sono conseguenza diretta di conoscenze trasmesse dall adulto. Questo significa che il bambino è ancora e soltanto un vaso vuoto da riempire o un foglio bianco su cui scrivere: riempimento e scrittura sono effettuati dall adulto che tuttora è colui che crea o modella l essere nuovo. Anche l idea dello sviluppo lineare dell essere umano è stata confutata, sia per il periodo prenatale sia per il periodo di sviluppo iniziale, da studi biologici e psicologici addirittura a partire dal XVIII secolo. Soltanto nel campo dell educazione troviamo ancora dominante, seppure in maniera nascosta, tale

29 1-2.5 La nascita del concetto di numero 29 concetto vecchio e superato che, sicuramente, mostra un conservatorismo di fondo in questo campo sostanziale dell attività umana. 2.5 La nascita del concetto di numero In Maria Montessori la teorizzazione psicologica è successiva alla pratica e quindi volta a giustificare a posteriori le intuizioni originarie. Per questo motivo la nascita dei concetti matematici non parte da una teoria cognitiva ma parte dall osservazione pratica di come certi materiali, meccanismi e certe influenze dell ambiente portano la mente matematica del bambino a svilupparsi e ad ampliarsi. È come se si osservasse dall esterno un meccanismo contenuto in una scatola: si può decidere di osservarne solo gli effetti esterni e continuare ad ignorare il reale funzionamento del meccanismo. Ma non dimentichiamo che Maria Montessori aveva una mente matematica, il suo desiderio era studiare ingegneria all università, ma per le difficoltà che una donna incontrava all epoca, dovette ripiegare su medicina. Queste osservazioni hanno quindi una solida base, anche se non teorizzata apertamente. Per Maria Montessori il punto centrale dell educazione è il bambino e il suo sviluppo. Le varie discipline gli sono offerte come mezzi per aiutarne la costruzione; perciò le varie materie vengono conformate alle peculiari esigenze dell età. Esplorando tali proposte, i bambini rivelano potenzialità che nessuno sospettava possedessero: concentrazione, capacità di ragionamento, intuito, a volte arrivando addirittura a conclusioni non illustrate nei testi di aritmetica, mostrando entusiasmo proprio per la matematica, una disciplina generalmente invisa ai bambini in età scolare. Questo fatto portò Maria Montessori ad accertare che la mente dell uomo è di natura matematica e che tutta l evoluzione dell umanità ne è la prova. I bambini mostrano, insomma, come potrebbe essere il figlio dell uomo, quando le sue potenzialità ricevono un aiuto reale allo sviluppo. Senza [... ] lo sviluppo matematico scriveva Maria Montessori già nel 1939 non è possibile comprendere il progresso della nostra epoca né parteciparvi. E ancora: Uno spirito senza matematica oggi è paragonabile a un uomo che ignora l alfabeto, al tempo in cui dominava la cultura letteraria. (Montessori,

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