Espansione e densita. Fattore di scala. Equazione di Friedmann. Equazione di Friedmann. Densita Critica

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1 Espansine e densita Il prim parametr che descrive l univers e la Cstante di Hubble, legat alla velcita di espansine csmica. Piu alt e il valre di H (km/s/mpc) e piu velcemente l univers si espande. La velcita di espansine (legata all energia cinetica del sistema) deve dipendere dalla densita di massa (da cui dipende l energia ptenziale del sistema; nel cas general relativistic dvrem cnsiderare tutte le frme di massa-energia). Una galassia che si trvi a distanza R da ni ha una energia cinetica / mv = / m(h 0 R) e una energia ptenziale derivante dall attrazine gravitazinale di tutta la massa presente nella sfera di raggi R (terema di Gauss ma e valid in un mezz infinit? In relativita generale si dimstra il terema di Birkhff) -GMm/R = -Gm( 4 / 3 π R 3 ρ)/r Densita Critica.Ni R m Se la smma di energia cinetica e ptenziale e maggire di 0, la galassia cntinuera a allntanarsi da ni indefinitamente Nel cas cntrari, l attrazine gravitazinale vincera e la galassia invertira il su mt. (cfr. sass lanciat per aria) Tutt dipende dal valre della densita. La densita che rende nulla l energia ttale e detta densita critica. / m(h 0 R) -Gm( 4 / 3 π R 3 ρ c )/R=0 r c = 3H 0 /(8 p G) Per analgia cl cas del sass lanciat per aria, ci aspettiam che se la densita reale attuale ρ e minre di ρ c, l espansine cntinuera, senn si invertira. Si definisce il parametr di densita W = r /r c Se W >= espansine infinita, altrimenti inversine Fattre di scala Siccme l espansine e un fenmen glbale, fattrizzerem le distanze csmiche R in un termine cstante χ (che descrive le psizini relative, e dett distanza cmvente) per un termine dipendente dal temp a(t) e cmune a tutti gli sservatri (dett fattre di scala) R(t)= χ a(t) L espansine di Hubble dr/dt(t )=H R(t ) pu essere scritta (da/dt) =H a(t ) da cui H =(da/dt/a) R (t) = χ a(t) R (t) = χ a(t) R 3 (t) = χ 3 a(t) Equazine di Friedmann Scriviam la cnservazine dell energia T+U=cstante=T +U : / (H(t)R(t)) 4 / 3 π G R(t) ρ(t)= / (H R ) - 4 / 3 π G R ρ E intrducend R(t)= χ a(t) e H(t)R(t)=χda/dt (da/dt) 8 / 3 π G a ρ(t)= (H a ) - 8 / 3 π G a ρ (da/dt) 8 / 3 π G a(t) ρ(t)= (H a ) (- Ω ) (da/dt/a) 8 / 3 p G r(t)= H (- W )(a /a(t)) Equazine di Friedmann per il fattre di scala. Equazine di Friedmann Per trvare la sluzine a(t) dvrem specificare ρ(t), cie definire le diverse cmpnenti dell univers e la lr densita. Nel cas di materia nn relativistica il numer di particelle si cnserva, quindi ρ(t) va cme /R(t) 3 : quindi r M (t)= r M (t )(a /a(t)) 3 e, in termini di densita critica r M (t )= (r M (t )/r c )r c =W M r c Se questa fsse l unica frma di energia presente, W =W M e l equazine di Friedmann diventerebbe

2 Equazine di Friedmann (n.r. matter) (da/dt/a) = 8 / 3 p G r M (t )(a /a(t)) 3 - H (- W M )(a /a(t)) (da/dt/a) = H [W M /a(t)] 3 + (- W M ) /a(t)] ] In quest cas, le sluzini dell equazine sn di due tipi a secnda del valre di W M. Si nti che ä<0 per gni t: l espansine dell univers e cmunque decelerata. Siccme ggi da/dt>0 si pssn avere sl due casi: espansine infinita espansine seguita da cllass. a(t) (da/dt) >0 a(t) (da/dt) >0 Equazine di Friedmann (n.r. matter) (da/dt/a) = H [W M /a(t)] 3 + (- W M ) /a(t)] ] Se W M <=, da/dt nn pu annullarsi, si ha quindi una espansine eterna. L univers prviene da un stat a densita infinita a t=0 (il Big Bang) ed espandera senza limite. Se Ω M =0 (univers vut ) allra a(t)=a [t / H -] (espansine a velcita cstante). L eta dell univers e H - Se Ω M = l equazine e integrabile facilmente e la sluzine e a(t)=a [t /(/3)H -] /3. L eta dell univers in quest cas e (/3)H -, minre del cas precedente perche la gravita la decelera: quindi l espansine dveva essere piu velce nel passat che ggi, e l univers impiega men temp a raggiungere le dimensini attuali. t t t t Equazine di Friedmann (n.r. matter) (da/dt/a) = H [W M /a(t)] 3 + (- W M ) /a(t)] ] Se W M >, da/dt pu annullarsi: si ha quindi una espansine seguita da una cntrazine. La massima espansine si raggiunge per da/dt = 0, che succede per a max tale che [Ω M /a(t)] 3 + (- Ω M ) /a(t)] ] =0, cie per a max = a [Ω M / (Ω M -)] Abbiam quindi il big bang seguit dal big crunch. Quant dett spra vale sl se l univers e riempit sempre e sl di materia nn relativistica. Nn e il cas reale! Il redshift Cnsideriam una srgente in crdinata χ I ftni emessi dalla srgente si prpagan radialmente vers di ni lung la crdinata χ, e ccuperann sequenzialmente tutte le crdinate tra χ e 0. Siccme si prpagan cn velcita c si avra c dt = dr = a(t)dc Il redshift Suppniam che una cresta dell nda luminsa sia emessa al temp t e ricevuta a t ; la cresta successiva sara emessa a t +λ /c e ricevuta a t +λ /c. Siccme χ e cstante, varra t cdt t + λ / c cdt t + λ / c cdt t + λ / c cdt χ = = + = t t c t t a(t) λ / a( t ) a(t) a( t ) t t +λ /c t t +λ /c t Ma i tempi λ /c e λ /c sn << di H -, il temp tipic di variazine di a(t). Quindi si pu cnsiderare a(t) cstante all intern dei nuvi integrali. Si ttiene allra c λ c λ a( t) λ = = = ( + z) a( t ) c a( t ) c a( t ) λ La lunghezza d nda dei ftni si allunga quindi nell stess md delle distanze intergalattiche.

3 Cmpnente relativistica Nell univers ci sn ftni che sn evidentemente relativistici. Anche i neutrini senza massa si cmprtan nell stess md. Chiamerem questa cmpnente radiazine. Abbiam vist che la lunghezza d nda della radiazine emessa dalle galassie si allunga cn l espansine dell univers (redshift). L stess effett deve valere per tutti i ftni presenti nell Univers. Quindi durante l espansine la densita di energia in radiazine si ridurra per due mtivi: la diluizine delle particelle in vlumi sempre piu grandi (R -3 ) la diminuzine di energia di ciascuna particella dvuta all allungament della lunghezza d nda (R - ) Pssiam quindi scrivere ρ R ~R -4 cie ρ R = ρ R /a(t)] 4 e anche W R =W R /a(t)] 4 Cstante Csmlgica Una ulterire pssibilita e che ci sia una frma di energia indipendente dal temp, che nn si diluisce cn l espansine. Viene chiamata Cstante Csmlgica e indicata cn Λ. Fu intrdtta in md del tutt empiric da Einstein, ed e stata riesumata per spiegare il cmprtament di supernvae ad alt redshift. Un esempi fisic di energia cn queste prprieta e l energia del vut. Il mdell standard della fisica delle particelle nn riesce a calclarla crrettamente. In quest cas r L = r L = (3H /8pG)W L Equazine di Friedmann (generale) Smmand le diverse cmpnenti dell energia abbiam [da/dt/a] = H { W R /a(t)] 4 +W M /a(t)] 3 +(- W ) /a(t)] +W L } cn W = W R + W M + W L E utile differenziare l equazine di Friedmann per capirne l andament. Si mltiplica per [a(t)/a ] amb i membri [da/dt] = a H {W R [a(t)/a ] - + W M [a(t)/a ] - +(- W ) + W L [a(t)/a ] } e si differenzia rispett a t: [da/dt]ä = a H {-ΩR [a(t)/a ] -3 -Ω M [a(t) /a ] - +Ω Λ [a(t) /a ]}[da/dt]/a Si ha quindi ä = -a H {WR /a(t)] 3 + /a(t)] W M / - W L [a(t)/a ]} Parametr di decelerazine Si ha quindi ä = -a H {W R /a(t)] 3 + /a(t)] W M / - W L [a(t)/a ]} E evidente che materia e radiazine tendn a decelerare l espansine (quand sn dminanti, ä<0) Invece la cmpnente di cstante csmlgica tende ad accelerare l espansine (quand e dminante, ä>0). E utile intrdurre il parametr di decelerazine q = -[a ä /(da/dt) ] utilizzand le eq. precedenti per (da/dt) e ä, e valutandle per t=t si ttiene q = W M / + W R - W L Parametr di decelerazine E utile sviluppare in serie a(t) nell intrn di t=t : a(t) = a(t ) + (da/dt)(t )(t- t ) + ( / ) ä(t )(t- t ) +.. = = a + a H (t- t ) - ( / )H a q (t- t ) + a(t) = a { + [(t- t )/H - ] - (q /)[(t- t )/H - ] + } Cn questa equazine si pu rivedere il diagramma di Hubble in md da ricavare sia H (pendenza) che q (deviazine dalla linearita ): Il diagramma di Hubble Cnsideriam la slita srgente in χ e suppniam che abbia luminsita L=hν(dN/dt). Il fluss ricevut da ni sara F=(/A) f hν ο (dn/dt ) dve A e l area del rivelatre e f e la frazine della sfera di raggi R = χ a ccupata dal rivelatre, cie f=a/[4π (χ a ) ] quindi F=hν ο (dn/dt ) /[4π (χ a ) ]. Ma hν ο =hν/(+z) e l intervall di arriv dei ftni e dt =dt(+z) per cui F= L/[(+z) 4π (χ a ) ] La distanza di luminsita della srgente e definita da F = L/[4πD L ] e quindi D L = (+z)(c a ) 3

4 Il diagramma di Hubble D L = (+z)(c a ) Per ttenere il diagramma di Hubble D L (z) si dvra esplicitare la dipendenza da z di χ t cdt a cda χ = = a t a(t) (+ z) a&( t) a(t) Utilizzand le diverse espressini dell equazine di Friedmann e definend a ˆ = a/ a si ttiene c daˆ aχ = 4 3 / H (+ z) aˆ [ Ω aˆ + Ω aˆ + Ω + ( Ω ) aˆ ] R Per srgenti relativamente vicine (z<<) si ttiene zc [ + q aχ = z...] H + M Λ Il diagramma di Hubble Per srgenti relativamente vicine (z<<) si ttiene [ + D zc q L aχ = z...] H + ppure M-m E quindi D L zc q = [ + z +...] H Nella quale si ricnsce la legge di Hubble nel prim termine, ed una deviazine da essa a z maggiri. Cstruend sperimentalmente un diagramma di Hubble e quindi pssibile determinare due parametri csmlgici imprtanti: H e q. q < qui pendenza c/h q =0 q > z Il diagramma di Hubble e Ω Λ Abbiam vist gia che la parte piu difficile dell esperiment cnsiste nella misura delle distanze: si devn trvare delle candele standard delle quali sia nta la luminsita assluta, per cui dalla luminsita apparente si pu inferire la distanza D L. Negli ultimi anni le misure di supernvae di tip a ad alt z hann evidenziat una tendenza a disprsi piu sulla curva cn q < che su quella cn q >, favrend un valre di q ~ 0.6. Quest frnisce un vincl tra Ω M e Ω Λ : q = Ω M / - Ω Λ (trascurand Ω R ) che implica Ω Λ >0. Che cs e? Ω Λ -q Ω Μο Equazine di Friedmann (generale) Trnand all equazine di Friedmann, e utile definire Ω K =(-Ω ) [da/dt/a] = H { W R /a(t)] 4 +W M /a(t)] 3 +W K /a(t)] +W L } Si pu vedere che succede quand dminan le diverse densita di energia, che hann dipendenza mlt diversa dal fattre di scala a(t): lg ρ ρ R ~a -4 ρ M ~a -3 ρ K ~a - ρ Λ ~a 0 lg a Fase di radiazine [da/dt/a] = H { W R /a(t)] 4 +W M /a(t)] 3 +W K /a(t)] +W L } Siccme [da/dt] >0, l univers era piu piccl in passat. Per fattri di scala abbastanza piccli (e quindi abbastanza indietr nel temp), indipendentemente dalla sua entita attuale, dmina la radiazine: [da/dt/a] = H W R /a(t)] 4 e quindi a(t) ~ t / La fine dell epca di radiazine ed il susseguirsi delle epche successive dipende dalle entita relative di W R,, W M, W K. Se W M >> W K dp la fase di radiazine c e una fase in cui dmina la materia. Fase di materia [da/dt/a] = H { W R /a(t)] 4 +W M /a(t)] 3 +W K /a(t)] +W L } Se W M >> (W K, W L [a /a ] 3 ) e la radiazine e diventata trascurabile, (cie a/a > [a/a ] eq = W R /W M ), cmincia una fase in cui dmina la materia. Allra [da/dt/a] = H W M /a(t)] 3 e quindi a(t) ~ t /3 La fine della fase di materia dipende dai valri relativi di Ω K =-Ω e Ω Λ. Se Ω > e Ω Λ ~ 0, allra l espansine raggiunge un massim per a max =a Ω M /(Ω -) e pi si inverte, ricllassand in una nuva era di radiazine (big crunch). 4

5 Dp la fase di materia Prim cas: W L =0 (universi aperti e chiusi classici) Se W > e W L ~ 0, allra l espansine raggiunge un massim per a max =a Ω M /(Ω -) e pi si inverte, ricllassand in una nuva era di radiazine (bigcrunch). Se W < e W L ~ 0, allra l epca di materia e seguita da un epca di curvatura, in cui dmina il termine (Ω -) e si ha una espansine libera: [da/dt/a] = H W K /a(t)] e quindi a(t) ~ t Secnd cas: W L >0 Se W < e W L > 0, allra l espansine e eterna. L epca di materia e seguita da un epca di curvatura quand l equazine di Friedmann e dminata dal termine (Ω -) ppure da un epca di vut, quand l equazine di Friedmann e dminata dal termine in Ω Λ. La fase di vut Se W = e W L > 0, allra l espansine e eterna ed espnenzialmente accelerata. [da/dt/a] = H W L e quindi a(t) ~ exp[ H W L / t ] per [a/a ]> [a/a ] Λ = [W M /W Λ ] /3 Se W > e W L > 0, allra l espansine pu nn essere eterna (quest cas e sfavrit dalle sservazini). Le misure di supernvae (W L > 0) e di anistrpie del fnd csmic a 3K (W =) sembran indicare che ggi ci si trvi gia in una fase di vut. Per specificare megli quali sn le varie fasi e quand avvengn, dbbiam fare un inventari della cmpsizine dell univers in termini delle quattr cmpnenti che cmpain nell equazine di Friedmann. Radiazine e Materia Relativistica W R Nell univers ci sn particelle relativistiche: ftni, neutrini ed antineutrini. I ftni piu abbndanti nell univers sn i ftni del fnd csmic a micrnde (CMB = csmic micrwave backgrund). I ftni della CMB hann un spettr di crp ner mlt precis, a T γ =.75K, e cie 4 γ/cm 3. Radiazine e Materia Relativistica Si pensa che i ftni della CMB pervadan tutt l univers. Per vari mtivi: La lr distribuzine anglare e incredibilmente istrpa. L Univers e incredibilmente trasparente alle micrnde. Si misura l effett Cmptn invers che il gas presente negli ammassi di galassie prvca sui ftni della CMB (effett Sunyaev-Zeldvich). Quest significa che i ftni della CMB prvengn almen da piu lntan di z=0. (ammass piu lntan in cui e stat sservat) Si misura l andament della temperatura del fnd a micrnde cn il redshift. Quest segue l andament aspettat per un fnd di radiazine che espande insieme all univers. CMB CMB cluster ad alt redshift CMB CMB CMB Ni 50 GHz 0 GHz Radiazine e Materia Relativistica L andament della temperatura cn il redshift si pu determinare semplicemente ricrdand che la densita di energia in radiazine scala cme ρ R (t)=ρ R /a(t)] 4 ; d altra parte per un crp ner ρ R =σt 4 e quindi per cnfrnt T(t)=T a /a(t). Se vale questa legge, l spettr di crp ner rimane di crp ner durante l espansine: infatti tutti i ftni (qualunque sia il lr impuls) subiscn l stess redshift in frequenza, per cui l espnente della distribuzine di crp ner hν/kt varia cn ν=ν ο (+z) e cn T=T ο (+z), e diventa hν ο /kt ο. Inltre il fattre di nrmalizzazine rimane quell crrett per un crp ner grazie alla cnservazine del numer di ftni n=n (+z) 3,e siccme T=T ο (+z), n scala cme T 3, rispettand la nrmalizzazine del crp ner. 5

6 Radiazine e Materia Relativistica L andament della temperatura cn il redshift e stat verificat sperimentalmente misurand la temperatura di eccitazine di alcune mlecle in nubi dve l interazine cn i ftni del fnd csmic e l interazine dminante [vedi Srinand et al. Nature (000)]. Radiazine e Materia Relativistica La CMB e di gran lunga il fnd di ftni dminante. La sua energia e mlt maggire di quella emessa dalle stelle. Inltre il fnd a micrnde e dminante rispett agli altri fndi extragalattici di radiazine. Si pu calclare quindi Ωγ=Ω CMB = /a] 4 Per calclare Ω R dvrem smmare Ω CMB e Ων. 6