3 Rumore termico [PROAKIS, x6.5]

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1 3 Rumore termico [PROAKIS, x6.5] Il rumore termico è una fonte di disturbo sempre presente qualità di trasmissione di un segnale attraverso dispositivi elettronici. La sua importanza è maggiore quanto più piccola è la potenza utilizzabile dal trasmettitore. 3.1 Sorgente di rumore termico Un resistore fisico R posto alla temperatura T presenta ai suoi capi una tensione e(t) dovuta al movimento casuale degli elettroni per effetto termico. ffl La densità spettrale del valor quadratico medio della tensione e(t) (processo casuale) è data dalle leggi della meccanica quantistica e vale G e (f ) 2Rhjfj exp hjfj kt 1 ß 2RkT V 2 Hz (3.1-1) dove h 6: Joules s (costante di Planck), k 1: Joules/Kelvin (costante di Boltzmann) e l approssimazione vale se hjf jkt fi 1, ovvero per frequenze jfj fikth 6: Hz (6.25 THz!) a temperatura T 290K e quindi per tutte le frequenze comunemente utilizzate per la trasmissione di segnali elettromagnetici. ffl Densità spettrale di potenza di rumore disponibile è quella che può erogare il resistore fisico R. Così come la potenza disponibile di un generatore elettrico con tensione V e resistenza R>0 vale V 2 4R, la densità spettrale di potenza di rumore disponibile vale G n (f ) G e(f ) 4R 2RkT 4R kt 2 ed è indipendente dalla resistenza R. Il prodotto kt si indica con N 0. (3.1-2) 3.2 Caratteristiche di un doppio bipolo rumoroso La potenza di rumore in uscita da un amplificatore (o doppio bipolo) rumoroso, lineare con funzione di trasferimento H(f ) è: dove P no Z 1 kt 2 1Z 1 G n (f )jh(f )j 2 df + P na 1 jh(f )j 2 df + P na R kt 1 2 max jh(f )j 2 1 jh(f )j2 df f max f jh(f )j 2 ktg d B e + P na + P na kg d B e (T + T e ) (3.2-1) ffl P na è il contributo di potenza di rumore dato dal doppio bipolo; ffl g d maxjh(f )j 2 è il guadagno disponibile dell amplificatore che si suppone adattato in ingresso alla sorgente e in uscita al carico;

2 ffl B e èlabanda equivalente di rumore definita come B e R 1 1 jh(f )j2 df 2max f jh(f )j 2 (3.2-2) per ogni doppio bipolo lineare (attivo o passivo); essa rappresenta la banda di un filtro ideale (con funzione di trasferimento costante sulla banda passante) che trasferisca in uscita la stessa potenza di rumore; ffl T e èlatemperatura equivalente di rumore del doppio bipolo, definita come T e P na kg d B e (3.2-3) Si osservi che T e è l incremento di temperatura di rumore della sorgente dovuto al rumore introdotto dal doppio bipolo (non al guadagno). Assumendo che il doppio bipolo sia lineare e che al suo ingresso sia presente un segnale di potenza P s, il rapporto tra le potenze di segnale e di rumore in uscita vale S N o g d P s kg d B e (T + T e ) 1 P s 1+T e T ktb e 1 1+T e T S N i (3.2-4) dove (SN ) i è il rapporto segnale/rumore in ingresso o nell ipotesi che il doppio bipolo non introduca rumore. ffl Il rapporto segnale/rumore è un indice di qualità utilizzato per i sistemi di comunicazione analogici. ffl Il fattore F 1+ T e (3.2-5) T è detto cifra di rumore del doppio bipolo e rappresenta la perdita di rapporto segnale/rumore dovuta al doppio bipolo stesso. F viene misurato in genere alla temperatura T T 0 290Kedèespresso in db (come tutti i rapporti di potenze, tra cui il rapporto segnale/rumore). ffl La temperatura di rumore di una cascata di doppi bipoli adattati in impedenza e con la stessa banda equivalente di rumore è(equazione di Friis) T e T T e2 T e;n e (3.2-6) g n1 Dimostrazione: l adattamento fa sí che la potenza di rumore che passa attraverso ogni doppio bipolo sia moltiplicata per il guadagno disponibile g i e la temperatura di rumore aumenti di T e;i. Consideriamo le potenze di rumore sulla banda equivalente di rumore B. 1. All ingresso del primo doppio bipolo la potenza di rumore è P 0 ktb. 2. All uscita del primo doppio bipolo la potenza di rumore è P 1 k (T + T e1 )B. Questo equivale ad una sorgente di rumore alla temperatura T 1 (T + T e1 ).

3 3. All uscita del secondo doppio bipolo la potenza di rumore è P 2 kg 2 (T 1 + T e2 )B kg 2 [ (T + T e1 )+T e2 ]B (3.2-7) che equivale a una sorgente di rumore alla temperatura T 2 g 2 [ (T + T e1 )+T e2 ] g 2»T + T e1 + T e2 (3.2-8) La temperatura equivalente di rumore della cascata dei primi due doppi bipoli è pari all incremento di temperatura di rumore, ovvero: T e;1+2 T e1 + T e2 (3.2-9) 4. Analogamente, la potenza di rumore all uscita del terzo doppio bipolo equivale a quella erogata da una sorgente alla temperatura T 3 g 3 fg 2 [ (T + T e1 )+T e2 ]+T e3 g g 3 g 2»T + T e1 + T e2 + T e3 g 2 (3.2-10) e in questo caso, la temperatura equivalente di rumore della cascata dei primi tre doppi bipoli è T e;1+2+3 T e1 + T e2 ffl La cifra di rumore di una cascata di doppi bipoli vale + T e3 g 2 (3.2-11) F F 1 + F F n 1 g n1 (3.2-12) come si ottiene da (3.2-6) e dalla relazione inversa di (3.2-5), ovvero T e (F 1)T Effetto del disadattamento di impedenza In caso di catena di trasmissione disadattata, occorre tenere conto del disadattamento di impedenza al fine di calcolare correttamente la temperatura equivalente di rumore. Consideriamo il caso seguente: ffl sorgente di rumore con resistenza R s alla temperatura T ; ffl doppio bipolo con resistenze di ingresso e uscita R i e R o ; ffl resistenza di carico R L. Consideriamo una sezione della catena di trasmissione con resistenza di uscita R o e resistenza di carico R L. Il rapporto tra la potenza trasmessa attraverso la sezione e quella massima che può essere trasmessa è R L (R o + R L ) 2 4R o R L 1(4R o ) (R o + R L ) 2 (3.2-13) Questo coefficiente (sempre» 1) verrà detto fattore di disadattamento e indicato con la lettera ff. I fattori di adattamento all ingresso e all uscita del doppio bipolo sono ff i 4R s R i (R s + R i ) 2 e ff o 4R o R L (R o + R L ) 2 (3.2-14)

4 La potenza di rumore trasferita dal doppio bipolo sul carico è data da ktbff i g d ff o. La potenza di rumore introdotta dal doppio bipolo sul carico è data da kt e Bg d ff o avendo mantenuto la definizione originale di T e con adattamento della catena di trasmissione. Pertanto la potenza di rumore complessiva che viene trasmessa al carico vale k T + T e ff i ff i g d ff o (3.2-15) Questo significa che la temperatura equivalente di rumore in presenza di disadattamento all ingresso è aumentata dell inverso del fattore di disadattamento di ingresso, ovvero si ha T 0 e T e ff i ) F 0 1+ F 1 ff i (3.2-16) Per tenere in conto l effetto del disadattamento in una catena di doppi bipoli è sufficiente inserire un doppio bipolo non rumoroso con guadagno pari al coefficiente di disadattamento. 3.3 Rumore introdotto da una linea che attenua Tutti i canali di trasmissione disperdono parte della potenza trasmessa con una conseguente attenuazione di potenza del segnale. Indichiamo l attenuazione di potenza con L P T P R. ffl Per i canali fisici si conosce la perdita in db per unità di lunghezza. coassiale di 10 km da 2 db/km ) L 20dB. Esempio: cavo ffl Per i canali radio, l attenuazione di spazio libero a vista è L 4ßd 2 (3.3-1) con radiatori isotropi, d è la distanza di tratta e la lunghezza d onda. ffl La cifra di rumore di una linea di trasmissione alla temperatura T 0 vale F (SN ) i (SN ) o P T P R L (3.3-2) poiché la potenza di rumore all ingresso e all uscita è la stessa se si assume che il sistema sia alla temperatura T 0 e l origine del rumore sia esclusivamente termica (doppio bipolo passivo). 3.4 Effetto del rumore sui ripetitori analogici ffl In una lunga linea telefonica o catena di ponti radio è necessario inserire dei ripetitori per rigenerare la potenza del segnale. ffl Ogni ripetitore ripristina il livello di potenza del segnale trasmesso all inizio del tratto di linea attenuante che lo precede. ffl Assumendo che ogni tratto di linea abbia la stessa attenuazione L, ogni amplificatore abbia guadagno L e cifra di rumore F a, la cifra di rumore dello stadio linea+amplificatore (a guadagno unitario) vale F F 1 + F 2 1 L + F a 1 1L LF a (3.4-1)

5 ffl La cascata di n stadi linea+amplificatore (guadagno 1 L L 1, cifra di rumore LF a)dà una cifra di rumore complessiva F (n) F 1 + F F n nlf a (n 1) ß nlf a (3.4-2) E possibile ottimizzare il numero di punti di inserzione degli amplificatori al fine di rendere minima la cifra di rumore. Esempio. consideriamo una linea con attenuazione complessiva L suddivisa in n tratti di lunghezza uguale (ciascuno con attenuazione L 1n ) terminati da amplificatori che ripristinano il livello del segnale (guadagno L 1n e cifra di rumore F a fl 1). La cifra di rumore complessiva è F (n) ß nl 1n F a (3.4-3) Poiché F 1 LF a e F 1!1(essendo L>1), esiste un valore di n per cui F n è minima. Questo si ottiene derivando e annullando la derivata di F n rispetto a n: F 0 (n)» 1 ln L n L 1n F a 0 ) n ln L ln [L] db (3.4-4) e quindi il numero ottimo di amplificatori rigenerativi da inserire è all incirca 0:23 [L] db. In questo caso, la cifra di rumore complessiva vale: F (n) ß ln(l)l 1 ln(l) F a ln(l)ef a ) [F (n)] db ß [F a ] db +0:23 [L] db +4:34 db (3.4-5) Se la lunghezza della linea è km e l attenuazione è db/km, allora [L] db e la distanza ottima tra gli amplificatori rigenerativi è d n ß 0:23 [L] db 0:23 4:34 (3.4-6) Un valore tipico di attenuazione è 2 db/km, corrispondente a d 2:2 km di distanza tra ripetitori adiacenti.