Lezione 4: Applicazioni alle forme di mercato oligopolistiche e alle relazioni tra imprese: Cournot, Bertrand, Stackelberg

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1 Corso di ECONOMIA INDUSTRIALE Proff Gianmaria Martini, Giuliano Masiero UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO Facoltà di Ingegneria Lezione 4: Applicazioni alle forme di mercato oligopolistiche e alle relazioni tra imprese: Cournot, Bertrand, Stackelberg Ve 9 Ott 4 Introduzione Le imprese controllano solitamente delle variabili chiave per conseguire i loro obiettivi di mercato Possono, ad esempio, modificare la quantità prodotta di un determinato bene oppure il prezzo di vendita Sul mercato delle telecomunicazioni Tele può decidere se fornire un maggiore o un minore quantità di traffico telefonico in una determinata fascia oraria oppure se aumentarne o ridurne il prezzo (la tariffa); oppure può intervenire su entrambe le variabili Naturalmente l impresa può formulare moltissime ipotesi riguardo a come reagiranno le concorrenti (Infostrada, Telecom, ecc) alle sue decisioni Potrebbe ritenere che le rivali mantengano inalterato il prezzo dei loro prodotti, oppure che non modifichino il livello di produzione Non solo, potrebbe ipotizzare che reagiscano in altri modi ancora Il modello di Cournot Nel modello di Cournot ogni impresa assume che le concorrenti continuino a produrre lo stesso livello di output L idea venne formulata nel 838 dall economista francese Auguste Cournot e applicata a due imprese che vendevano acqua minerale Quando in un mercato oligopolistico sono presenti solo due imprese abbiamo un duopolio Studiare il comportamento e l interazione di due sole imprese è chiaramente più agevole che occuparsi di un numero più elevato di concorrenti; i risultati del modello di duopolio possono essere facilmente generalizzati al caso di più imprese L ipotesi principale del modello è che ogni impresa consideri costante la quantità prodotta dalla concorrente, indipendentemente dalle sue decisioni di produzione Nonostante ciò il comportamento di ogni impresa riesce ad influenzare significativamente le decisioni dell altro Partiamo dalla funzione di domanda (lineare) del mercato, in cui l offerta è dalla da due imprese, e :

2 p a b( + ) dove a e b sono due parametri positivi e e sono le quantità prodotte dalle due imprese Poiché l impresa assume che l impresa non modifichi la sua quantità prodotta, la domanda per il bene offerto dall impresa sarà: p a b) ( b La curva di domanda viene quindi ottenuta sottraendo b dall intercetta verticale della curva di domanda di mercato Le prime unità del bene sono offerte dall impresa mentre l impresa fronteggia la domanda rimanente Se fosse uguale a zero, l impresa servirebbe l intera domanda Quando invece è positivo, la domanda dell impresa è rappresentata spostando l asse delle ordinate verso destra Poiché la curva di domanda dell impresa coincide con il tratto di domanda di mercato a destra del nuovo asse, viene anche chiamata domanda residuale a p D a-b c MR (a-c-b )/b La funzione di reazione Vediamo come l impresa massimizza il proprio profitto Ipotizzando un costo di produzione costante per unità di prodotto c, la funzione del profitto dell'impresa è data da: π [ a b( + ] c ) Possiamo assumere dei valori per i parametri a, b e c, che poi è possibile cambiare a piacimento Ipotizziamo quindi a e b, c4:

3 ( ) π 4 Utilizzando la funzione del profitto dell'impresa, possiamo individuare due livelli di cui corrisponde un profitto nullo: 48 In un grafico a 3 dimensioni possiamo rappresentare la funzione del profitto dell impresa al variare del livello di output dell impresa Ciò che interessa all'impresa è il punto di massimo della funzione dato i livello di Se fissiamo quindi il livello di produzione dell impresa, la funzione di profitto dell impresa è rappresentata da una parabola sul piano di intersezione che passa per un dato livello di Per massimizzare il profitto l impresa dovrà allora trovare il livello di produzione tale per cui π in quanto per una funzione strettamente concava (si noti che la funzione di profitto è strettamente concava rispetto a per ogni livello di dato) il punto di massimo si trova uguagliando a zero la derivata prima In termini economici ciò significa eguagliare i ricavi marginali ai costi marginali I ricavi marginali sono dati da

4 MR 4 Si noti che l inclinazione della funzione è doppia rispetto a quella della curva di domanda (rappresentata in figura) I costi marginali sono invece dati da MC 4 Risolvendo MR MC Rispetto a otteniamo quindi il livello di output che massimizza il profitto è 4 La funzione appena ricavata si chiama funzione di reazione dell impresa che possiamo anche indicare come ( ) R in quanto è funzione del livello di output dell impresa rivale Le decisioni dell impresa si modificano al variare del livello di output offerto dall impresa rivale Il livello di output scelto dall impresa, (a-c-b)/b, diminuisce all aumentare del costo di produzione (c) e della pendenza della funzione di domanda (b), mentre aumenta all aumentare del prezzo (a) che i consumatori sono disposti a pagare la prima unità di produzione immessa sul mercato Allo stesso modo, se consideriamo il problema di massimizzazione del profitto dell impresa abbiamo π ( ) 4 da cui deriva π 4 4 e risolvendo rispetto a ( ) 4 R Abbiamo quindi ottenuto le due funzioni di reazione Le due funzioni di reazione sono simmetriche in quanto le due imprese hanno preferenze, domande e funzioni di costo

5 identiche Graficamente possiamo rappresentare le due funzioni di reazione dopo aver invertito la funzione dell impresa : (a-c)/b- Supponiamo che l impresa decida inizialmente di produrre la quantità o (a-c)/b o Funzione di reazione dell impresa : R ( ) (a-c)/b Y e (a-c)/3b Funzione di reazione dell impresa : R ( ) Y e (a-c)/3b (a-c)/b (a-c)/b Conseguentemente l impresa deciderà di offrire la quantità sulla sua funzione di reazione corrispondente al livello di produzione della rivale o A questo punto l impresa reagisce modificando il proprio livello di produzione scegliendo una quantità sulla sua funzione di reazione in corrispondenza del livello di output della concorrente Il processo continuerà finché non si raggiungerà un punto di equilibrio stabile in corrispondenza dell intersezione delle due funzioni di reazione In questo punto nessuna delle due imprese sarà incentivata a modificare il proprio livello di produzione per reagire alla scelta operata dall altra impresa I livelli di output in corrispondenza del punto di intersezione delle due funzioni di reazione definiscono quindi un equilibrio di Nash per i duopolisti nel modello di Cournot Il livello di produzione di equilibrio dell impresa si ottiene sostituendo nella funzione di reazione dell impresa Risolvendo avremo: R ( ) 4 4 da cui ricaviamo 48 3 Possiamo calcolare il prezzo di equilibrio sostituendo i livelli di produzione di equilibrio nella funzione di domanda

6 ( a c) p a b( + ) a b 6,67 3b Il livello di profitto realizzato da ciascuna impresa nel modello di Cournot sarà invece dato da ( a c) ( a c) 3b 3b ( a c) 3b ( a c) 9b π a b c π E' possibile vedere l'effetto sull'equilibrio di una variazione di uno dei tre parametri a, b, e c Ad esempio, se crescono i costi (c aumenta), l'equilibrio si sposta verso l'origine Infatti abbiamo: e c < 3b Quindi le imprese producono meno, e scaricano l'aumento dei costi sul prezzo p c > 3 Esercizio In un mercato operano tre imprese, A, B e C Esse hanno la stessa funzione di costo totale di produzione data da CT(i) 8i, con i A,B,C La domanda del mercato è lineare e pari a p, con A + B + C (a) Determinare le funzioni di reazione delle tre imprese; (b) determinare l equilibrio di Cournot e i profitti delle tre imprese Il modello di Bertrand Secondo Bertrand le imprese scelgono invece il livello dei prezzi d ei loro prodotti e si confrontano su questa variabile Poiché le chiamate telefoniche effettuate con i diversi operatori sono sostanzialmente identiche, i consumatori preferiranno acquistare il servizio dall impresa che effettua il prezzo inferiore Nel modello di Bertrand si assume che ogni impresa fissi il proprio livello di prezzo assumendo che il prezzo del concorrente rimanga costante Vedremo che la concorrenza nei prezzi non porta allo stesso risultato della concorrenza nelle quantità: il modello di Bertrand raggiungerà delle conclusioni differenti da quello di Cournot Assumiamo che le due imprese abbiano le funzioni di domanda e di costo viste in precedenza nel modello di Cournot Assumiamo che l impresa fissi inizialmente il livello di prezzo p A questo punto l impresa avrà 3 alternative:

7 ) fissare un livello di prezzo superiore a p ; ) fissare un livello di prezzo pari a p ; 3) fissare un livello di prezzo marginalmente inferiore a p Mentre nel primo caso non riuscirà a vendere nessun traffico telefonico, nel terzo caso riuscirà ad appropriarsi di tutta la domanda di mercato Nel caso intermedio, invece, le due imprese si divideranno equamente il mercato E chiaro che la terza alternativa rappresenta la strategia migliore per l impresa Se infatti il prezzo è solo marginalmente inferiore a p, l impresa realizzerà un profitto doppio rispetto al secondo caso Poiché le imprese sono identiche, come nel modello di Cournot, la strategia ottimale per entrambe le imprese sarà quella di scegliere un prezzo marginalmente inferiore a quello fissato dal concorrente Ma a questo punto risulta chiaro che non potrà esistere un equilibrio se le imprese continueranno a ridurre il loro prezzo per fissarlo ad un livello inferiore a quello del rivale Tale processo continuerà finchè il prezzo non raggiungerà il costo marginale c Nessuna delle due imprese sarà incentivata a ridurre ulteriormente il prezzo al di sotto del costo marginale in quanto non avrebbe nessun guadagno dalla vendita del proprio prodotto Ad un livello di prezzo pari al costo marginale ogn una delle due imprese servirà metà della domanda di mercato P a D P P c Esercizio Sia p 4Q la funzione di domanda inversa del mercato, con Q q+q che rappresenta l offerta dell industria Le due imprese hanno la stessa funzione di costo data da CT 3qi (i, ) Determinare: (a) l equilibrio di Cournot; (b) l equilibrio di Bertrand; (c) l equilibrio di Stackelberg se l impresa è il leader

8 Il modello di Stackelberg Ipotizziamo che un impresa sappia che la sua concorrente si comporta come un ingenuo dupolista à la Cournot; come le converrebbe comportarsi? Nel 934 l economista tedesco Heinrich von Stackelberg si è posto questa domanda arrivando alla conclusione che l impresa prenderebbe le proprie decisioni sulla quantità da produrre considerando il loro effetto sulle scelte della rivale Anticiperebbe quindi la concorrente nelle proprie scelte dando luogo ad un ipotetico gioco sequenziale Riprendiamo i dati del modello di Cournot spiegato in precedenza e ipotizziamo che l impresa sia a conoscenza del fatto che l impresa assuma costante il livello di produzione dell impresa Vediamo quindi quale strategia converrebbe adottare all impresa La funzione di reazione dell impresa è R ( ) ( a c b ) b Sapendo che l impresa utilizzerà questa funzione di reazione e che fisserà il proprio livello di produzione in funzione della produzione del concorrente, può sostituire la funzione di reazione nell equazione della curva di domanda di mercato ottenendo: p a c b a b( + R ( )) A questo punto è possibile ottenere la funzione del ricavo marginale MR raddoppiando l inclinazione della curva di domanda (-b) Scegliendo poi il livello di produzione in corrispondenza dell uguaglianza tra ricavo marinale e costo marginale, l impresa massimizzerà il profitto: a c MR b c MC a 3c b Questo è quindi il livello ottimo di output per l impresa quando tiene conto che l imrpesa reagisce alle sue decisioni sulla base della funzione di reazione R ( ) Se quindi l impresa produce la quantità, l impresa produrrà la quantità corrispondente sulla sua funzione di reazione e cioè: ( ) ( a c b ) b a c 4b + R

9 Poiché l impresa conduce il gioco viene chiamata leader di Stackelberg L impresa che invece segue viene chiamata follower Si noti la particolarità del risultato rispetto al modello di Cournot Se l impresa ritenesse che la rivale producesse sempre il livello di output, le converrebbe scegliere un livello di produzione inferiore, corrispondente a quello sulla funzione di reazione R ( ) Facendo così, infatti, massimizzerebbe il proprio profitto Ma così non è in quanto l impresa sa che provocherebbe una reazione da parte dell impresa Si innesterebbe una spirale di reazioni che porterebbe l impresa a diminuire il livello di output per convergere verso il punto di intersezione delle due funzioni di reazione Per l impresa sarebbe sicuramente conveniente produrre un livello inferiore a se potesse impedire all impresa di variare la sua produzione Tuttavia non è in grado di farlo e quindi le conviene continuare a produrre il livello (a-c)/b R ( ) e (a-3c)/b R ( ) e (a+c)/4b (a-c)/b (a-c)/b Cournot, Bertrand, Stackelberg: raffronto dei risultati In un grafico è possibile rappresentare il risultato dei tre modelli studiati e procedere aad un raffronto anche con i due casi classici del monopolio e della concorrenza perfetta Si faccia riferimento ai livelli di output individuati sopra per trovare la posizione dei tre equilibri sulla curva di domanda p a D (a-c)/ c MR Monopolio Cournot Stackelberg Bertrand/Concorrenza perfetta m (a-c)/b