1 2 3 Idee per il tuo futuro Paolo Guidi Sistemi automatici per Elettronica ed elettrotecnica Elementi di teoria dei sistemi Fondamenti di informatica Simulazione e programmazione
Paolo Guidi Sistemi automatici per Elettronica ed elettrotecnica Elementi di teoria dei sistemi Fondamenti di informatica Simulazione e programmazione
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Indice 1 Sistemi 1 Concetti introduttivi 2 2 Classificazione intuitiva 3 3 Variabili 4 4 Stato di un sistema 5 5 Rappresentazione grafica 8 6 Classificazione sistemica 9 DOMANDE a risposta aperta 17 DOMANDE a risposta multipla 17 2 Modelli 1 Concetti introduttivi 18 2 Modello matematico 18 3 Funzione di trasferimento 20 4 Schema a blocchi 22 5 Componenti elementari dei sistemi 25 6 Analogie 28 ESERCIZI SVOLTI 32 ESERCIZI 34 DOMANDE a risposta aperta 35 DOMANDE a risposta multipla 35 3 Sistemi automatici 1 Concetti introduttivi 36 2 Sistemi di controllo 37 3 Struttura ad anello aperto 38 4 Struttura ad anello chiuso 40 5 Qualità dei sistemi di controllo 43 6 Tecniche di regolazione 46 7 Analisi di sistemi lineari e tempo invarianti 50 8 Progetto di un sistema di controllo 51 DOMANDE a risposta aperta 53 DOMANDE a risposta multipla 53 Indice V
4 Sistemi di ordine zero, uno, due 1 Concetti introduttivi 54 2 Risposta nel dominio del tempo 55 3 Sistemi di ordine zero 55 4 Risposta al gradino di sistemi di ordine uno 57 5 Risposta al gradino di sistemi di ordine due 60 6 Applicazioni 65 ESERCIZI SVOLTI 71 ESERCIZI 73 DOMANDE a risposta aperta 74 DOMANDE a risposta multipla 75 5 Richiami di informatica 1 Concetti introduttivi 76 2 Codifica delle informazioni 79 3 Tipologie di computer 81 4 Struttura fisica dei computer 83 5 Struttura logica dei computer 86 6 Caratteristiche delle memorie di massa 92 7 Caratteristiche delle periferiche 94 8 Trasmissione dati 102 9 Software di sistema 105 10 Sistema operativo 105 11 Organizzazione del sistema operativo 106 12 Sistema operativo Windows 108 13 Sistema operativo Linux 112 14 SistemaoperativoMacOS 112 DOMANDE a risposta aperta 113 DOMANDE a risposta multipla 113 6 Simulazione 1 Concetti introduttivi 114 2 Il programma Excel 115 3 Applicazioni di Excel 119 4 Il programma Multisim 132 5 Applicazioni di Multisim 135 ESERCITAZIONI 142 VI Indice
7 Tecniche di programmazione 1 Concetti introduttivi 146 2 Linguaggi e traduttori 146 3 Elementi di base dei linguaggi 149 4 Diagrammi di flusso 152 5 Progettazione 158 6 Programmazione strutturata 160 ESERCIZI SVOLTI 165 ESERCIZI 169 DOMANDE a risposta aperta 170 DOMANDE a risposta multipla 170 8 Linguaggi di programmazione 1 Concetti introduttivi 172 2 Linguaggio Basic 173 3 Linguaggio C/C++ 175 4 Linguaggio Pascal 178 5 Linguaggio HTML 183 6 Esercitazioni pratiche con Just Basic 1.01 186 7 Esercitazioni pratiche con wxdev-c++ 6.10.2 203 DOMANDE a risposta aperta 217 ESERCITAZIONI 217 9 Automi 1 Concetti introduttivi 219 2 Modelli 219 3 Evoluzione nello studio degli automi 220 4 Progetto in logica cablata 223 5 Confronto tra i due modelli 230 ESERCIZI SVOLTI 232 ESERCIZI 235 DOMANDE a risposta aperta 236 Indice analitico 237 Indice VII
1 Sistemi 2 Modelli 3 Sistemi automatici 4 Sistemi di ordine zero, uno, due 5 Richiami di informatica 6 Simulazione 7 Tecniche di programmazione 8 Linguaggi di programmazione 9 Automi
1 Sistemi 1 Concetti introduttivi La teoria conferisce al termine sistema un significato che molto spesso differisce da quello che gli viene attribuito nell uso comune. Un sistema viene definito come un insieme di più elementi (o entità o componenti) singolarmente individuabili che interagiscono per raggiungere un obiettivo comune. Per esempio un generatore di tensione e due resistori considerati come entità a sé stanti non costituiscono un sistema perché i singoli elementi non interagiscono l un l altro; inoltre, tra loro, non sussiste alcun legame o relazione se non quella di essere dei componenti elettrici. Se i medesimi elementi vengono collegati in modo da formare un circuito elettrico elementare, per esempio un partitore di tensione o un partitore di corrente, il loro insieme costituisce un sistema. L esempio viene evidenziato in FIGURA 1. partitore di tensione elementi singoli FIGURA 1 Sistemi partitore di tensione e partitore di corrente. partitore di corrente Si rientra nella definizione di sistema in quanto i singoli elementi interagiscono tra loro con l obiettivo di alimentare un carico elettrico (utilizzatore) a una tensione o a una corrente diversa da quella imposta dal generatore; il legame che esiste tra i componenti è in accordo con le leggi dell elettrotecnica. Anche un monitor e una tastiera presi come elementi a sé stanti non costituiscono un sistema; se vengono collegati in modo opportuno al modulo principale di un PC per svolgere le funzioni di unità periferiche si viene a formare il sistema computer evidenziato in FIGURA 2. 2 1 Sistemi
monitor lettori ottici alimentatore tastiera mouse hard disk contenitore FIGURA 2 Sistema computer. 2 Classificazione intuitiva Il sistema partitore (di tensione o di corrente) viene creato dall uomo; è pertanto un sistema artificiale; ulteriori esempi di sistemi artificiali sono: il sistema di regolazione dell acqua di una piscina; il sistema azienda. Il concetto di sistema si applica anche ai sistemi naturali ovveroaquelli esistenti in natura come ad esempio il sistema solare; anche per il corpo umano si utilizza il termine sistema inteso come insieme di componenti che, nel loro complesso, svolgono specifiche funzioni; si hanno per esempio il sistema digerente e il sistema circolatorio. Sistemi naturali sui quali è intervenuto l uomo si dicono sistemi misti. Il sistema di regolazione dell acqua di una piscina è un sistema fisico in quanto, per individuarne le sue caratteristiche come ad esempio la temperatura dell acqua, si può utilizzare un apposita strumentazione. Il sistema azienda è un sistema astratto in quanto, per individuare le sue caratteristiche come l efficienza, non si possono utilizzare degli strumenti, perlomeno quelli di tipo classico. Rispetto all ambiente che lo circonda si possono definire sistemi aperti (se sono in comunicazione con l ambiente del quale subiscono gli effetti) o sistemi chiusi (se, al contrario, non hanno scambi con l ambiente circostante). In genere un sistema viene definito aperto o chiuso in relazione a un determinato elemento di riferimento. Ad esempio il sistema per il condizionamento dell aria di una stanza priva di finestre può essere considerato aperto se studiato rispetto alla temperatura esterna, chiuso rispetto all intensità luminosa che non ha influenza sul comportamento del sistema stesso. Anche una rete elettrica può essere definita sistema aperto o chiuso rispetto alla temperatura a seconda che il suo comportamento venga o meno influenzato dalla temperatura stessa. Il concetto di sistema chiuso in senso assoluto è puramente teorico in quanto non può esistere un sistema il cui comportamento non venga assolutamente influenzato dall ambiente circostante. 2 Classificazione intuitiva 3
3 Variabili v FIGURA 3 Variabili del sistema partitore di tensione. I I 1 v 1 v FIGURA 4 Variabili del sistema partitore di corrente. I v 2 I 2 Per potere effettuare uno studio specifico su un sistema vengono associate ai componenti del sistema stesso delle variabili e, di conseguenza, dei segnali. Le variabili sono grandezze soggette a variazioni nel tempo; i segnali sono le funzioni che rappresentano l andamento nel tempo di queste variabili. Un sistema le cui variabili siano state suddivise tra variabili d ingresso e variabili d uscita si dice orientato. Le variabili d ingresso (o indipendenti o cause) rappresentano per il sistema delle sollecitazioni, levariabili d uscita (o dipendenti o effetti) sono le risposte che conseguono alle sollecitazioni. È evidente che l evoluzione nel tempo delle variabili d uscita è una diretta conseguenza dell evoluzione nel tempo delle variabili d ingresso. L orientamento di un sistema, ossia lo stabilire quali sono le variabili d ingresso e d uscita, non è univoco ma dipende dal contesto in cui il sistema viene inserito. La scelta delle variabili di un sistema dipende in pratica dal tipo di studio che si intende compiere sul sistema stesso. Per il sistema partitore di tensione, come evidenziato in FIGURA 3, viene logico scegliere come variabile d ingresso la tensione imposta dal generatore; la variabile d uscita può essere invece la tensione prelevata dall uno o dall altro resistore. Per il sistema partitore di corrente, come evidenziato in FIGURA 4, viene logico scegliere come variabile d ingresso la corrente imposta dal generatore; la variabile d uscita può essere invece la corrente che attraversa l uno o l altro resistore. Nel sistema meccanico molla vincolata a un estremo evidenziato in FIGURA 5 si può considerare come variabile d uscita la forza F applicata alla molla che determina la deformazione elastica della molla x considerata come variabile d ingresso. Nel sistema corpo in movimento di moto lineare uniforme soggetto ad attrito viscoso evidenziato in FIGURA 6 si può considerare come variabile d uscita la forza F applicata al corpo necessaria per mantenere il corpo stesso a una velocità costante v considerata come variabile d ingresso. x v F F FIGURA 5 Variabili del sistema molla vincolata a un estremo. FIGURA 6 Variabili del sistema corpo in movimento di moto lineare uniforme soggetto ad attrito viscoso. 4 1 Sistemi
3.1 Parametri I parametri non possono essere considerati come ingressi veri e propri ma come grandezze atte a definire quelle caratteristiche specifiche del sistema che ne influenzano il comportamento. Nei sistemi partitore di tensione e partitore di corrente si possono considerare come parametri i valori di resistenza. Nel sistema molla vincolata a un estremo si può considerare come parametro la costante di allungamento della molla. Nel sistema corpo in movimento di moto lineare uniforme soggetto ad attrito viscoso si può considerare come parametro il coefficiente di attrito viscoso. La conoscenza di questi parametri è necessaria per definire il comportamento di un sistema; per questo motivo vengono denominati parametri funzionali. Nel corso dello studio di un sistema si considerano solo quei parametri che concorrono a definire quelle caratteristiche del sistema che ne influenzano il comportamento. 3.2 Disturbi I disturbi vengono considerati come ingressi indesiderati che influenzano il comportamento del sistema determinando un evoluzione imprevista delle variabili d uscita. La natura dei disturbi suggerisce anche una ulteriore classificazione delle variabili d ingresso in: variabili non manipolabili (variabili il cui andamento nel tempo non può essere arbitrariamente imposto); variabili manipolabili (variabili il cui andamento nel tempo può essere arbitrariamente imposto). I disturbi possono essere a loro volta prevedibili o non prevedibili, misurabili o non misurabili. La presenza in una rete elettrica di una sovratensione (sovraccarico o corto circuito) può essere considerata come un disturbo in quanto evento non desiderato. Quando un segnale non viene trasmesso correttamente si usa il termine segnale disturbato proprio per indicare la presenza di una causa (disturbo) che modifica le sue normali caratteristiche. Un sistema può essere progettato in modo tale da compensare gli effetti prodotti dai disturbi. 4 Stato di un sistema Si consideri un condensatore che si sta caricando o un elemento riscaldatore che si sta riscaldando; la tensione ai capi del condensatore e la temperatura dell ambiente che circonda l elemento riscaldante, aumentando gradatamente nel tempo, sono soggette a variazioni; il sistema cambia di conseguenza il suo modo di essere ovvero il suo stato. 4 Stato di un sistema 5
Le variabili di stato sono variabili interne al sistema che caratterizzano con i loro valori lo stato del sistema. Con il termine stato di un sistema si intende l insieme dei valori assunti dalle variabili di stato in un determinato istante. Le variabili di stato identificano la capacità del sistema di immagazzinare quantità di energia, materia e informazione. Per rendersi conto della validità di quest ultima affermazione si pensi al condensatore e alla bobina che immagazzinano energia in quanto sede rispettivamente di campi elettrici e magnetici; considerazioni analoghe sono valide nei sistemi meccanici (energia immagazzinata in una molla), termici (quantità di calore immagazzinata in un ambiente) e idraulici (quantità di liquido contenuto in un serbatoio). Una variabile di stato può identificare anche un contenuto informativo; si pensi alla quantità di dati presenti in un archivio o alle modalità di funzionamento di un apparecchiatura (ad esempio una successione di stati di pausa e lavoro della medesima). Un sistema che ha variabili di stato deve essere dotato di memoria in quanto deve avere la capacità di memorizzare l evoluzione degli eventi che si susseguono nel periodo in cui il sistema stesso viene osservato. Per possedere queste capacità la risposta del sistema alle sollecitazioni non deve essere immediata e questo è il caso del circuito di carica di un condensatore o del sistema per il riscaldamento di una stanza. Un sistema che risponde immediatamente alle sollecitazioni non può essere di conseguenza dotato di memoria; per esso pertanto non è possibile definire delle variabili di stato. Si pensi in proposito al comportamento delle reti resistive; la tensione all uscita di un partitore di tensione ad esempio cambia nell istante stesso in cui il sistema viene sollecitato. 4.1 Traiettoria La traiettoria di un sistema che ha variabili di stato è soggetto nel tempo a cambiamenti di stato. Con il termine traiettoria si intende lo schema dei cambiamenti di stato di un sistema ossia la sua evoluzione nel tempo. È fondamentale per lo studio di un sistema la definizione degli stati elaconoscenza della sua traiettoria. 4.2 Diagrammi temporali e di stato I diagrammi sono rappresentazioni grafiche dello stato di un sistema. Con un diagramma temporale possono essere ad esempio rappresentate le variazioni del livello del liquido presente in un serbatoio considerato come variabile di stato di un sistema idraulico. 6 1 Sistemi
L esempio riportato in FIGURA 7 identifica le variabili di stato che rappresentano l evoluzione nel tempo dei livelli h del liquido presente nei serbatoi 1-2-3 appartenenti a un impianto industriale. h 1 2 3 Un diagramma temporale non è invece adatto per rappresentare le variazioni di stato di un sistema costituito da macchine operatrici movimentate da tre motori che possono essere considerati fermi (stato OFF) o in movimento (stato ON). Risulta più adatto un diagramma di stato, essendo in questo caso lo stato del sistema definito come l insieme dei valori assunti dalle variabili che, in un determinato istante, rappresentano rispettivamente le condizioni di motore fermo o in movimento. Le variabili di stato sono M 1, M 2 ed M 3 che possono assumere i valori ON e OFF. Con tre variabili di stato si possono avere otto possibili combinazioni di funzionamento e quindi otto possibili stati mostrati nella TABELLA 1. t FIGURA 7 Esempio di diagramma temporale. Stato M 1 M 2 M 3 S 0 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 OFF OFF OFF OFF ON ON ON ON OFF OFF ON ON OFF OFF ON ON Alcune possibili traiettorie sono ad esempio le seguenti: OFF ON OFF ON OFF ON OFF ON TABELLA 1 Esempio di diagramma degli stati. A) S 0, S 1, S 4, S 6 D) S 0, S 1, S 2, S 3, S 4, S 5, S 6, S 7 B) S 1, S 3, S 5, S 7, S 1, S 3,... E) S 4, S 5, S 6, S 7, S 4, S 5,... C) S 0, S 1, S 2, S 3, S 0, S 1,... F) S 3, S 6, S 7, S 3 Le traiettorie B, C ed E presentano un andamento ripetitivo, le altre costituiscono semplicemente una sequenza. Le traiettorie vengono visualizzate efficacemente con dei diagrammi di stato; in FIGURA 8 vengono riportati i diagrammi di stato relativi alle traiettorie A e B. S 0 S 1 S 4 S 6 S 1 S 3 S 5 S 7 traiettoria A traiettoria B FIGURA 8 Esempio di rappresentazione di traiettorie. 4 Stato di un sistema 7
5 Rappresentazione grafica Un sistema può essere visto come un blocco che comunica con l ambiente tramite ingressi e uscite. Per questo motivo, come viene evidenziato in FIGURA 9, è rappresentato graficamente con un rettangolo che indica il sistema; i segmenti orientati verso l interno identificano gli ingressi (che possono essere anche parametri e disturbi), i segmenti orientati verso l esterno le uscite. d 1 d 2 d z x A y x 1 x 2 B y 1 y 2 x n y m FIGURA 9 Rappresentazione grafica dei sistemi. FIGURA 10 Rappresentazione grafica del sistema partitore di tensione. p 1 p 2 p h Il blocco A rappresenta un sistema con una sola variabile in quanto evidenzia una sola relazione ingresso-uscita o causa-effetto. Il blocco B rappresenta un sistema a più variabili (n di ingresso, m di uscita, z disturbi e h parametri) in quanto evidenzia più relazioni ingressouscita o causa-effetto. Come evidenziato in FIGURA 10, il sistema partitore di tensione può essere rappresentato graficamente in modi differenti che dipendono dalle scelte operate sugli elementi del sistema (ingresso E e uscita V 1, ingresso E e uscita V 2, ingresso E e uscite V 1 e V 2 ). E E partitore di tensione partitore di tensione V 1 V 2 Il primo e il secondo caso identificano sistemi a una sola variabile (sistemi con un solo ingresso e una sola uscita); il terzo caso identifica un sistema con più variabili (sistemi con più ingressi e più uscite). Nelle rappresentazioni precedenti non sono stati evidenziati parametri e disturbi. Nel sistema leva a equilibrio di spostamento schematizzato in FIGURA 11 possono essere considerati rispettivamente come ingresso e come uscita gli sposta- E partitore di tensione V 1 V 2 FIGURA 11 Il sistema leva a equilibrio di spostamento. x 1 b 1 b2 x 2 8 1 Sistemi
menti x 1 e x 2 subiti dalla leva; i corrispondenti bracci della leva b 1 e b 2 sono i parametri del sistema. La rappresentazione grafica del sistema viene riportata in FIGURA 12. Nel sistema riduttore a ingranaggi schematizzato in FIGURA 13 possono essere considerati rispettivamente come uscita e come ingresso le velocità angolari dell albero condotto 2 e dell albero motore 1 ; i raggi delle ruote r 1 e r 2 sono i parametri del sistema. x 1 b 1 b 2 leva a equilibrio di spostamento x 2 FIGURA 12 Rappresentazione grafica del sistema leva a equilibrio di spostamento. 1 r 1 r 2 La corrispondente rappresentazione grafica del sistema viene riportata in FIGURA 14. Nel sistema pignone-cremagliera, utilizzato per trasformare un moto rotatorio in un moto traslatorio e schematizzato in FIGURA 15, possono essere considerati rispettivamente come uscita e come ingresso la velocità di traslazione v e la velocità di rotazione ; il raggio è un parametro del sistema. La corrispondente rappresentazione grafica del sistema viene riportata in FIGURA 16. r 2 r FIGURA 13 Il sistema riduttore ad ingranaggi. 1 r 1 r 2 riduttore a ingranaggi 2 FIGURA 14 Rappresentazione grafica del sistema riduttore a ingranaggi. v pignone-cremagliera v FIGURA 15 Il sistema pignone-cremagliera. FIGURA 16 Rappresentazione grafica del sistema pignone-cremagliera. 6 Classificazione sistemica La classificazione sistemica coinvolge essenzialmente considerazioni di tipo matematico sulle variabili caratteristiche del sistema. Si possono così identificare tipologie di sistemi a due a due di natura opposta; si hanno perciò sistemi: continui e discreti; lineari e non lineari; statici e dinamici; 6 Classificazione sistemica 9
stazionari (tempo invarianti) e non stazionari (tempo varianti); deterministici e probabilistici. Le tipologie di sistemi si possono combinare; i sistemi lineari e tempo invarianti per esempio assumono particolare importanza pratica. 6.1 Sistemi continui I sistemi continui sono caratterizzati dalla presenza di sole variabili continue. Una variabile si dice continua quando può assumere con continuità tutti i valori compresi in un determinato intervallo. Si considerino come esempi: una tensione che può assumere tutti i valori compresi tra 5 V e 10 V; una temperatura che può assumere tutti i valori compresi tra 10 C e 30 C. Il sistema partitore di tensione può essere considerato ancora continuo (nei valori) se a una resistenza di valore fisso si sostituisce un potenziometro perché la resistenza del potenziometro può assumere tutti i valori compresi in un determinato intervallo (facendo variare di conseguenza anche le grandezze che da essa dipendono). I sistemi possono essere continui sia nei valori sia nel tempo (sistemi tempo continui) ed è questo secondo aspetto che assume notevole importanza nello studio dei sistemi. La continuità nel tempo implica che non devono esistere istanti di tempo compresi in un determinato intervallo in cui non sia possibile assegnare un valore alle variabili del sistema. Il grafico riportato in FIGURA 17 mostra la continuità nel tempo di una variabile di sistema nell intervallo di tempo compreso tra gli istanti t 1 e t 2. La variabile di sistema può essere una temperatura (grandezza continua) che viene misurata continuamente nell intervallo di tempo considerato (ad esempio dalle 8 del mattino alle 8 di sera). I sistemi analogici sono sistemi, come quello ora descritto, che sono continui sia nei valori sia nel tempo. Un sistema può essere continuo ma non tempo continuo; si consideri per esempio un sistema in cui la temperatura non viene misurata con y y t 1 t 2 t FIGURA 17 Variabile di un sistema continuo tempo continuo. t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t 9 t FIGURA 18 Variabile di un sistema continuo tempo discreto. 10 1 Sistemi
continuità ma a intervalli di tempo cadenzati (ad esempio a ogni ora compresa tra le 8 del mattino e le 8 di sera). In questo caso il sistema si dice continuo tempo discreto. Il grafico riportato in FIGURA 18 mostra un esempio in cui una variabile di sistema continua (come può essere la posizione di un determinato pezzo meccanico) viene monitorata a intervalli di tempo regolari (in questo caso in dieci istanti). 6.2 Sistemi discreti I sistemi discreti sono caratterizzati dalla presenza di almeno una variabile discreta. Una variabile si dice discreta quando può assumere soltanto un determinato numero di valori prefissati (ad esempio i numeri ottenuti dal lancio dei dadi o il numero di coppie polari di un motore). I sistemi digitali in particolare sono sistemi discreti in cui le variabili presentano solo alcuni valori in accordo con un particolare sistema di numerazione (ad esempio quello binario). Lo stato di un interruttore, considerato come sistema, viene rappresentato da una variabile che, nel tempo, può assumere soltanto i valori corrispondenti alle situazioni di aperto (non si ha passaggio di corrente) e chiuso (si ha passaggio di corrente). L uscita del sistema fotocellula (costituito da un trasmettitore e da un ricevitore) è un segnale di tensione che, nel tempo, può assumere soltanto i valori corrispondenti alle situazioni in cui il fascio di luce emesso dal trasmettitore raggiunge o meno il ricevitore. Anche per i sistemi discreti valgono le medesime considerazioni svolte per i sistemi continui per quanto riguarda la variabile tempo. È infatti possibile definire con gli stessi criteri sistemi discreti tempo discreto e sistemi discreti tempo continuo. I sistemi combinatori e isistemi sequenziali sono dei sistemi discreti con caratteristiche particolari che trovano impiego pratico nell elettronica digitale. I sistemi combinatori sono prividimemoria; lo stato delle uscite, in un determinato istante, dipende esclusivamente dai valori assunti dagli ingressi nel medesimo istante. La contemporaneità citata è di fatto un astrazione, occorrendo comunque ai segnali un tempo finito per attraversare il sistema. Una semplice porta logica fondamentale (AND, OR, NOT) può essere considerata come un sistema combinatorio elementare. I sistemi sequenziali sono dotati di memoria; lo stato delle uscite, in un determinato istante, dipende, oltre che dai valori assunti dagli ingressi nel medesimo istante, anche dallo stato precedentemente assunto dal sistema. Esempi elementari di sistemi sequenziali sono i latch e i flip-flop che, sottoposti a certe condizioni relative agli ingressi, sono in grado di mantenere lo stato assunto in precedenza. 6 Classificazione sistemica 11
I sistemi sequenziali vengono definiti: propri, quando l uscita dipende dal tempo e dallo stato precedente; impropri, quando l uscita dipende dal tempo, dallo stato precedente e dall ingresso. 6.3 Sistemi lineari I sistemi lineari hanno caratteristiche tali che è possibile applicare il principio di sovrapposizione degli effetti (noto dall elettrotecnica ma estendibile a sistemi di natura differente). Il principio di sovrapposizione degli effetti afferma che quando un sistema viene sollecitato contemporaneamente da più ingressi che agiscono su di esso, l uscita del sistema stesso si ricava sommando i contributi delle uscite prodotti dai singoli ingressi quando agiscono indipendentemente. Un sistema lineare costituito da una rete resistiva con più generatori di tensione continua che agiscono contemporaneamente può essere studiato facendo agire separatamente i due generatori e sommando alla fine gli effetti prodotti. Le medesime considerazioni valgono anche per un sistema meccanico costituito da un corpo sottoposto a più forze che agiscono lungo la medesima linea di azione; lo spostamento prodotto tiene conto dei contributi dovuti a tutte le forze agenti singolarmente (considerando anche il fatto che le forze possono essere concordi o discordi). In un sistema lineare le variabili caratteristiche sono legate da relazioni di proporzionalità diretta ovvero da combinazioni lineari (somme di variabili moltiplicate per opportuni coefficienti). Per esempio in un sistema lineare con due ingressi e due uscite il legame tra le variabili viene descritto dalle seguenti relazioni: y y 0 2 1 FIGURA 19 Caratteristiche di sistemi lineari. x Y 1 = a 1 X 1 + a 2 X 2 Y 2 = b 1 X 1 + b 2 X 2 in cui a 1, a 2, b 1 e b 2 sono dei coefficienti di proporzionalità. Una relazione lineare viene rappresentata con una retta che ha coefficiente angolare finito e diverso da zero. Sono per esempio lineari le note relazioni dell elettrotecnica e della meccanica conosciute come legge di Ohm e seconda legge di Newton. Nel sistema partitore di tensione le relazioni che legano le uscite con l ingresso sono lineari e quindi rappresentabili con una retta. In FIGURA 19 vengono riportati due esempi di caratteristiche di sistemi lineari; la caratteristica 1 passa per l origine degli assi ed è caratterizzata da un legame di proporzionalità tra ingresso e uscita (rappresentato dal coefficiente angolare della retta); la caratteristica 2 è sempre lineare ma il legame tra ingresso e uscita non è di semplice proporzionalità in quanto a ingresso nullo corrisponde un uscita diversa da zero. La seconda caratteristica è tipica di un sistema polarizzato e il valore y 0 12 1 Sistemi
che l uscita assume per x = 0 si dice valore di polarizzazione (non è altro che l ordinata all origine nell equazione di una generica retta che non passa per l origine degli assi). Vale per i sistemi lineari anche il principio di omogeneità; si consideri una variabile d ingresso e la corrispondente variabile d uscita; in accordo con questo principio se la variabile d ingresso viene moltiplicata per una costante anche la variabile d uscita corrispondente sarà moltiplicata per la stessa costante. 6.4 Sistemi non lineari I sistemi non lineari hanno caratteristiche tali che non è possibile applicare il principio di sovrapposizione degli effetti. In un sistema non lineare almeno un legame tra le variabili caratteristiche non è rappresentato da una relazione di proporzionalità; il grafico corrispondente non è lineare come ad esempio la curva caratteristica di un diodo. Con opportuni accorgimenti un sistema non lineare può essere reso lineare per poi procedere allo studio del sistema applicando il principio di sovrapposizione degli effetti. In FIGURA 20 viene riportato un esempio di caratteristica non lineare di un sistema; la caratteristica può essere resa lineare considerando piccole variazioni x e y nell intorno di un punto di funzionamento P; in tale intorno il sistema può essere considerato lineare in quanto uscita e ingresso sono caratterizzati da un legame di proporzionalità dato dal rapporto tra y e x. y y x y x Linearizzare attorno a un punto di funzionamento non è in molti casi pratici una condizione restrittiva in quanto i componenti di un sistema vengono spesso ottimizzati per lavorare nell intorno di un determinato punto di funzionamento. Se l indagine sul sistema si limita all intervallo in cui la caratteristica è lineare è possibile l applicazione del principio di sovrapposizione degli effetti. Una rete elettrica comprendente diodi è senz altro non lineare; se l indagine si limita all intorno di un determinato punto di funzionamento il sistema può essere considerato lineare. x FIGURA 20 Caratteristica non lineare e linearizzata. 6 Classificazione sistemica 13
Nel caso del diodo si può operare sostituendo alla caratteristica lineare una caratteristica linearizzata rappresentata da un segmento orizzontale seguito da una semiretta inclinata a partire dalla tensione di soglia (caratteristica lineare a tratti); ciò equivale a sostituire al diodo un generatore di tensione e una resistenza; l errore che si commette con la sostituzione deve essere trascurabile; allo studio del circuito linearizzato si possono applicare i teoremi dell elettrotecnica. Un ulteriore esempio può essere quello di un sistema idraulico costituito da un serbatoio con condotte d ingresso e d uscita; la portata del liquido entrante è proporzionale alla posizione dello stelo di una valvola, la portata del liquido uscente è indipendente dall altezza del liquido nel serbatoio. La variazione nel tempo della posizione dello stelo può essere considerata proporzionale alla differenza tra portata entrante e portata uscente; il coefficiente di proporzionalità è rappresentato dall inverso della sezione orizzontale del serbatoio; questa affermazione è vera solo se si considerano come oggetto d indagine gli intervalli compresi tra i valori minimo e massimo della posizione dello stelo della valvola e del livello del liquido nel serbatoio. 6.5 Sistemi statici e dinamici I sistemi statici sono caratterizzati dal fatto che tutte le variabili del sistema si mantengono costanti nell intervallo di osservazione. Sono esempi di sistemi statici i partitori di tensione e corrente e in generale tutte le reti resistive (con la condizione che i parametri del sistema rimangano costanti nel tempo). Si ricorda che i sistemi statici sono prividimemoriain quanto la risposta a una sollecitazione è indipendente dalla storia passata del sistema. I sistemi dinamici sono caratterizzati dal fatto che almeno una variabile del sistema subisce delle variazioni nell intervallo di osservazione. L entità di queste variazioni dipende da quanto è accaduto in precedenza al sistema. In pratica è come se la risposta del sistema dipendesse dalla sua storia passata; in questo senso si dice che il sistema è dotato di memoria. Una rete elettrica comprendente condensatori che si caricano e si scaricano è sicuramente un sistema dinamico in quanto il raggiungimento di un determinato valore di carica o scarica di un condensatore non dipende soltanto dall entità della sollecitazione ma anche da come il condensatore era carico al presentarsi della sollecitazione medesima. 6.6 Sistemi stazionari e non stazionari I sistemi stazionari, denominati anche sistemi tempo invarianti, sono caratterizzati dal fatto che tutti i parametri del sistema si mantengono costanti nell intervallo di osservazione. 14 1 Sistemi
Essi presentano caratteristiche tali che, a parità di sollecitazione applicata, forniscono nel tempo la medesima risposta. La proprietà di traslazione nel tempo di cause ed effetti propria di questi sistemi è valida sia in condizioni di linearità sia di non linearità. I sistemi costituiti da reti resistive sono da considerarsi tempo invarianti se si ritiene che il valore ohmico dei componenti non subisca nel tempo alterazioni apprezzabili. Se il medesimo segnale d ingresso viene applicato al sistema in istanti differenti, la risposta alla sollecitazione del sistema stesso sarà sempre la medesima. In un sistema tempo invariante i parametri devono rimanere invariati nel tempo. Dal punto di vista teorico non dovrebbero esistere sistemi tempo invarianti; anche nell esempio delle reti resistive infatti i parametri del sistema subiscono nel tempo delle variazioni in quanto, come noto, il valore ohmico delle resistenze dipende dalla temperatura. Si è pertanto portati a definire un sistema tempo invariante quando si ritiene che le variazioni dei parametri si possano considerare così irrilevanti che la risposta a una stessa sollecitazione, nel tempo, può essere ritenuta sempre uguale. Si osserva che un medesimo sistema può avere le caratteristiche di un sistema stazionario in determinati intervalli di tempo e non averle in altri. I sistemi non stazionari, denominati anche sistemi tempo varianti, sono caratterizzati dal fatto che almeno un parametro del sistema non si mantiene costante nell intervallo di osservazione. Essi presentano caratteristiche tali che, a parità di sollecitazione applicata, forniscono nel tempo risposte differenti. Se in una rete resistiva il valore di una resistenza subisce nel tempo delle escursioni predefinite (ad esempio da un valore minimo a un valore massimo), esso rende il sistema non stazionario in quanto le risposte alle sollecitazioni in tempi differenti danno risposte diverse. Il medesimo sistema, una volta raggiunto il massimo valore e rimanendo questo costante, può essere definito stazionario per tempi di osservazione successivi a questo evento. 6.7 Sistemi deterministici e probabilistici I sistemi deterministici sono caratterizzati dal fatto che la traiettoria e quindi il legame esistente tra le variabili del sistema sono noti a priori. La risposta del sistema è prevedibile perché esistono delle ben determinate relazioni tra le variabili che possono essere di tipo matematico o di altra natura. Il sistema partitore di tensione è un esempio di sistema deterministico in quanto a parità di sollecitazione (la tensione imposta dal generatore) la risposta del sistema è sempre la stessa (le tensioni ai capi delle resistenze 6 Classificazione sistemica 15
vengono sempre ripartite nello stesso modo e assumono sempre i medesimi valori). Il sistemasemaforo è un esempio di sistema deterministico poiché è noto a priori il legame tra le variabili del sistema; quando l impianto viene avviato risponde sempre nello stesso modo ossia gli stati del sistema evolvono attraverso la sequenza ciclica verde-giallo-rosso. I sistemi probabilistici sono caratterizzati dal fatto che la traiettoria e quindi il legame esistente tra le variabili del sistema non sono noti a priori. Ne consegue che la risposta del sistema a una determinata sollecitazione non è prevedibile; a ogni possibile uscita si può associare soltanto una probabilità che essa si verifichi. A qualsiasi gioco, come ad esempio la roulette, può essere associato un carattere probabilistico. Un esempio molto intuitivo è il gioco dei dadi; il legame tra il numero di lanci e il numero di volte che si può presentare una determinata faccia è di tipo probabilistico (una volta su sei lanci); e non può risultare nemmeno noto lo schema dei cambiamenti di stato del sistema; la traiettoria infatti risulta nota soltanto dopo che i lanci sono stati effettuati. 16 1 Sistemi
DOMANDE a risposta aperta 1 Spiegare il significato di sistema facendo riferimento alla definizione. 2 Definire la differenza tra sistema fisico e sistema astratto. 3 Definire la differenza tra variabili, parametri e disturbi. 4 Facendo riferimento alla rappresentazione grafica riportata in FIGURA 21 e tenendo conto delle convenzioni fissate, stabilire quali sono le variabili d ingresso, di uscita, i parametri e i disturbi. 12 Definire le caratteristiche di un sistema deterministico facendo specifico riferimento alla traiettoria. 13 Spiegare il significato dei termini sistemi senza memoria e sistemi con memoria mettendone in evidenza le differenze. 14 Ricorrendo a semplici esempi spiegare la differenza tra sistema combinatorio e sistema sequenziale. 15 Mostrare con un grafico un esempio di andamento nel tempo di un sistema continuo tempo discreto. R 1 R 2 C 1 V 1 V 2 V 3 FIGURA 21 5 Facendo riferimento alla rete elettrica riportata in FIGURA 22, definire in modo opportuno variabili d ingresso, di uscita e parametri. I 1 I 2 DOMANDE a risposta multipla 1 Un sistema può essere considerato approssimativamente chiuso quando: A B C D le interazioni con l ambiente influenzano il suo comportamento le interazioni con l ambiente non influenzano il suo comportamento quando non è aperto quando è approssimativamente aperto 2 Il principio di omogeneità è valido per sistemi: R 1 R 2 R 4 A B C D lineari probabilistici non lineari discreti 3 I sistemi dinamici sono caratterizzati dal fatto che: FIGURA 22 R 3 E 1 E 2 6 Definire variabili d ingresso, d uscita e parametri del sistema molla vincolata a un estremo. 7 Definire variabili d ingresso, d uscita e parametri del sistema riduttore a ingranaggi e rappresentarle con uno schema a blocchi. 8 Spiegare il significato del termine stato di un sistema. 9 Spiegare i significati di sistema aperto e sistema chiuso facendo riferimento a esempi concreti. 10 Definire le caratteristiche di un sistema polarizzato. 11 Definire le caratteristiche di un sistema discreto. A nessuna variabile del sistema subisce variazioni nell intervallo di osservazione B almeno una variabile del sistema subisce variazioni nell intervallo di osservazione C almeno due variabili del sistema subiscono variazioni nell intervallo di osservazione D almeno tre variabili del sistema subiscono variazioni nell intervallo di osservazione 4 I sistemi analogici sono sistemi che: A B C D sono continui solo nei valori sono continui solo nel tempo sono continui sia nei valori che nel tempo non sono continui nei valori e nemmeno nel tempo 5 Una porta logica fondamentale può essere considerata un sistema: A B C D lineare combinatorio sequenziale probabilistico Esercizi 17