Motore ad induzione Controllo ad Orientamento di Campo (FOC) Controllo non interagente

Motore ad induzione Controllo ad Orientamento di Campo (FOC) Controllo non interagente P. Valigi Ottimizzazione e Controllo 12 Marzo 214

Il modello Motore ad induzione: uno statore, in genere avvolto, e da un rotore, spesso a gabbia di scoiattolo. Da un punto di vista elettromagnetico, sia lo statore che il rotore possono essere rappresentati con tre avvolgimenti uguali, alimentati da una terna trifase simmetrica equilibrata.

Il modello I circuiti trifase possono essere rappresentati tramite la schematizzazione bifase equivalente (Krause): due avvolgimenti di statore e due di rotore. Il modello dinamico può essere ricavato dall analisi di questi circuiti equivalenti: R s i sa + dψ sa R s i sb + dψ sb R r i rd + dψ rd R r i rq + dψ rq = u sa, = u sb, =, =, R, i, ψ ed u: resistenze, le correnti, i flussi e le tensioni; i pedici s e r indicano statore e rotore; i pedici a e b denotano le componenti di un vettore rispetto ad una terna di statore fissa; i pedici d e q denotano le componenti di un vettore rispetto ad una terna ruotante a velocità n p ω, dove n p indica il numero di coppie polari del motore ad induzione e ω la velocità del rotore.

Il modello Il modello nel riferimento fisso (a,b) angolo δ tale che dδ = n pω, δ() =, i vettori (i rd,i rq ), (ψ rd,ψ rq ), wrt (d,q ), (i ra,i rb ), (ψ ra,ψ rb ) nella terna ( fissa ) (a,b): [ ] ( ) ( ) [ ] ( ira cosδ sinδ ird ψra cosδ sinδ ψrd =, = i rb sinδ cosδ i rq ψ rb sinδ cosδ ψ rq Applicando le trasformazioni: ) R s i sa + dψ sa = u sa, R s i sb + dψ sb = u sb, R r i ra + dψ ra +n p ωψ rb =, R r i rb + dψ rb n p ωψ ra =.

Il modello Nelle ipotesi usuali di linearità del circuito magnetico, di mutue induttanze uguali e trascurando le perdite nel traferro, il legame tra correnti e flussi è dato da ψ sa = L s i sa +Mi ra, ψ sb = L s i sb +Mi rb, ψ ra = Mi sa +L r i ra, ψ rb = Mi sb +L r i rb, dove L s, L r sono le autoinduttanze e M è la mutua induttanza. Con un poco di algebra: R s i sa + M ) dψ ra + (L s M2 disa = u sa, L r L r R s i sb + M ) dψ rb + (L s M2 disb = u sb, L r R r ψ ra R r Mi sa + dψ ra +n p ωψ rb =, L r L r R r ψ rb R r Mi sb + dψ rb n p ωψ ra =. L r L r L r

Il modello La coppia prodotta dalla macchina: e quindi la dinamica del rotore: T e = n pm L r (ψ ra i sb ψ rb i sa ), dω = n pm (ψ ra i sb ψ rb i sa ) T L JL r J, J momento d inerzia complessivo, T L coppia di carico. Ipotesi: linearità del circuito magnetico, mutue induttanze uguali, perdite nel traferro trascurabili. Espresso rispetto ad una terna solidale allo statore.

Il modello Dinamica complessiva del motore ad induzione, modello quinto ordine: dω dψ ra dψ rb di sa di sb = n pm (ψ ra i sb ψ rb i sa ) T L JL r J = R r L r ψ ra n p ωψ rb + R r L r Mi sa = n p ωψ ra R r ψ rb + R r Mi sb L r L r = MR r σl 2 ψ ra + n pm ωψ rb r σl r = n pm ωψ ra + MR r ψ rb σl r σl 2 r ( M 2 R r +L 2 r R s σl 2 r ( M 2 R r +L 2 rr s σl 2 r ) i sa + 1 σ u sa ) i sb + 1 σ u sb,

Il modello In forma compatta ω ψ ra x = ψ rb, u = i sa i sb ( ua u b ), p = ( p1 ) = p 2 ( ) TL T LN. R r R rn p vettore deviazioni parametri T L e R r dai valori nominali T LN e R rn. T L è tipicamente non noto. R r può avere variazioni anche del 5% intorno al suo valore nominale dovute a variazioni di temperatura del rotore durante il funzionamento.

Il modello Il modello ẋ = f(x)+u sa g a +u sb g b +p 1 f 1 +p 2 f 2 (x), f(x) = µ(ψ ra i sb ψ rb i sa ) T LN J αψ ra n p ωψ rb +αmi sa n p ωψ ra αψ rb +αmi sb αβψ ra +n p βωψ rb γi sa n p βωψ ra +αβψ rb γi sb f 1 (x) = 1 J, f 2 (x) =, g a = 1 σ 1 L r ψ ra + M L r i sa 1 L r ψ rb + M L r i sb M σl 2 r M σl 2 r ψ ra M2 σl 2 i sa r ψ rb M2 σl 2 i sb r, g b =. 1 σ,

Il modello Le variabili di stato abitualmente accessibili sono la velocità e le due componenti della corrente di statore; le due componenti del flusso rotorico sono invece misurabili con molta difficoltà e vengono abitualmente stimate sulla base delle altre misure. Il vettore dell uscita misurata è dato da: y m := (ω,i sa,i sb ) T. Le applicazione sensorless di norma fanno riferimento ad una assenza del sensore di velocità. Le grandezze che interessa controllare sono invece costituite dalla velocità e dal modulo del flusso di rotore. Il controllo su quest ultima grandezza ha lo scopo di mantenere il motore entro i limiti di validità delle ipotesi di linearità dei circuiti magnetici, garantendo così la correttezza del modello. Il vettore delle uscite controllate è quindi: y c := (ω, ψ s ) T.

Controllo ad orientamento di campo (FOC) Una tecnica classica per il controllo dei motori ad induzione è il controllo ad orientamento di campo (Blaschke, 1971). Rappresentare i vettori (i a,i b ), (ψ a,ψ b ) (correnti statore, flussi rotore) nel riferimento fisso con lo statore (a,b) in vettori di un riferimento (d,q) ruotante con il vettore flusso di rotore. Definito l angolo: ρ = arctan ψ b ψ a le trasformazioni sono date da ( ) [ id cosρ sinρ = ( i q ) [ sinρ cosρ ψd cosρ sinρ = ψ q sinρ cosρ ]( ia ]( ψa ), i b ). ψ b Poiché cosρ = ψa ψ, sinρ = ψ b ψ, con ψ = ψa 2 +ψb 2 si trova: i d i q = ψ ai a +ψ b i b ψ = ψ ai b ψ b i a ψ, ψ d = ψa 2 +ψ2 b = ψ ψ q =.

Controllo ad orientamento di campo (FOC) Il controllo ad orientamento di campo può essere reinterpretato come trasformazione nonlineare nello spazio di stato, retroazione nonlineare. Cambio di coordinate nello spazio di stato ω = ω = ψa 2 +ψ2 b ρ = arctan ψ b ψ a i d = ψ ai a +ψ b i b ψ i q = ψ ai b ψ b i a ψ ψ d

Controllo ad orientamento di campo (FOC) Il modello del motore nelle nuove coordinate: dω dψ d di d di q dρ = µψ d i q T L J = αψ d +αmi d = γi d +αβψ d +n p ωi q +αm i2 q ψ d + 1 σ 1 ψ a u a +ψ b u b ψ d = γi q βn p ωψ d n p ωi d αm i qi d + 1 1 ψ b u a +ψ a u b ψ d σ ψ d = n p ω +αm i q ψ d. I termini di ingresso 1 ψ [ ψa ψ b ψ b ψ a ]( ua u b ).

Controllo ad orientamento di campo (FOC) Retroazione dallo stato ( ) [ ] 1( ) ua ψa ψ = ψ b ud. u b ψ b ψ a u q Il modello del motore, dopo cambio di coordinate e retroazione: dω dψ d di d di q dρ = µψ d i q T L J = αψ d +αmi d = γi d +αβψ d +n p ωi q +αm i2 q ψ d + 1 σ u d = γi q βn p ωψ d n p ωi d αm i qi d ψ d + 1 σ u q = n p ω +αm i q ψ d.

Controllo ad orientamento di campo (FOC) Per controllare il nuovo sistema si può definire il controllo in retroazione: ( ) ( ) ud n = σ p ωi q αm i2 q ψ d +v d u q βn p ωψ d +n p ωi d +αm i di q, ψ d +v q e quindi il sistema a ciclo chiuso diviene: dω di q dψ d di d dρ = µψ d i q T LN J = γi q +v q = αψ d +αmi d = γi d +αβψ d +v d = n p ω +αm i q ψ d.

Controllo ad orientamento di campo (FOC) Il modello originale è trasformato, tramite il cambio di coordinate e la retroazione, nel sistema precedente. Struttura molto semplice: la dinamica del flusso è lineare: dψ d di d = αψ d +αmi d = γi d +αβψ d +v d, e può essere controllata tramite il segnale v d, ad esempio con un controllore PI: t v d = k d1 (ψ d ψ d r ) k d2 (ψ d (τ) ψ d r )dτ, dove ψ d r è il valore desiderato per il modulo del flusso di rotore.

Controllo ad orientamento di campo (FOC) Quando l ampiezza del flusso ψ d è regolata al valore costante ψ d r, la dinamica del rotore è anch essa lineare: dω di q = µψ d r i q T L J = γi q +v q e può essere controllata in modo indipendente dal flusso tramite il segnale v q, ad esempio con due controllori PI annidati: v q T r t = k q1 (T T r ) k q2 (T(τ) T r (τ))dτ, t = k q3 (ω ω r ) k q4 (ω(τ) ω r )dτ, T = µψ d i q, dove T r è il valore desiderato per la coppia elettrica prodotta, generato dal regolatore esterno, e ω r è il valore di riferimento per la velocità.

Controllo ad orientamento di campo (FOC) La legge di controllo, nelle coordinate originali, corrisponde a : ( ) [ ] ( 1 ua ψa ψ = σ ψ b u b ψ b ψ a n p ωi q αm i2 q ψ d +v d n p βωψ d +n p ωi d +αm i di q ψ d +v q t v d = k d1 (ψ d ψ d r ) k d2 (ψ d (τ) ψ d r )dτ, ), v q T r t = k q1 (T T r ) k q2 (T(τ) T r (τ))dτ, t = k q3 (ω ω r ) k q4 (ω(τ) ω r )dτ, T = µψ d i q,

Controllo ad orientamento di campo (FOC) Durante i transitori di flusso, la non linearità ψ d i q nella equazione della coppia rende il sistema ancora non lineare e accoppiato. Transitori di flusso si possono avere quando il motore deve essere portato in condizioni operative nelle quali la velocità effettiva è maggiore di quella nominale, allorché è richiesta una operazione di deflussaggio per mantenere le tensioni applicate allo statore entro i limiti massimi consentiti dai convertitori. Ed anche quando il flusso viene variato per ottimizzare il rendimento. In queste situazioni, per via degli accoppiamenti e delle nonlinearità, i transitori sono di difficile analisi e possono risultare insoddisfacenti. Le misure di flusso, richieste per implementare le leggi di controllo precedenti, sono difficili da ottenere. Per risolvere questo problema sono stati proposti diversi schemi di osservatori per il flusso basati su misure delle correnti di statore e della velocità.

Il controllo geometrico Gli strumenti matematici fondamentali utilizzati nel controllo ad orientamento di campo sono trasformazioni non lineari di coordinate e reazioni non lineari dallo stato. L approccio geometrico al controllo dei sistemi non lineari, con le stesse tecniche, trasformazioni di coordinate e reazioni non lineari, si possono ottenere controllori che rendono il comportamento ingresso-uscita del motore ad induzione lineare e disaccoppiato, come mostrato da diversi autori. In analogia al caso del controllo ad orientamento di campo, le uscite da controllare sono: y c,1 = φ 1 (x) := ω, y c,2 = φ 2 (x) := ψ 2 a +ψ 2 b, ed il problema di controllo considerato è quello della linearizzazione e/o del disaccoppiamento della mappa ingresso-uscita, con reazione statica dallo stato.

Il controllo geometrico Il cambio di coordinate corrispondente alla scelta delle uscite: ξ 1 = φ 1 (x) = ω, ξ 2 = L f φ 1 (x) = µ(ψ a i b ψ b i a ) T LN J ξ 3 = φ 2 (x) = ψa 2 +ψ2 b, ξ 4 = L f φ 2 (x) = 2α(ψa 2 +ψb)+2αm(ψ 2 a i a +ψ b i b ), ( ) ψb = arctan := φ 3, ξ 5 ψ a che è uno ad uno nel dominio Ω := {x R 5 : ψa 2 +ψ2 b } ma è biunivoco solo per ξ 3 >, π/2 ξ 5 π/2.

Il controllo geometrico La trasformazione inversa è definita da: ω = ξ 1 ψ a = ξ 3 cosξ 5 ψ b = ξ 3 sinξ 5 1 i a = ( 1 ( ξ3 µ sinξ 5 ξ 2 + T ) ( )) LN ξ4 +2αξ 3 +cosξ 5 J 2αM ( ( 1 1 i b = ξ3 µ cosξ 5 ξ 2 + T ) ( )) LN ξ4 +2αξ 3 +sinξ 5. J 2αM

Il controllo geometrico La dinamica del motore ad induzione, con valore nominale dei parametri, nelle nuove coordinate è data da: ξ 1 = ξ 2 ξ 2 = L 2 fφ 1 +L ga L f φ 1 u a +L gb L f φ 1 u b e quindi: ξ 3 = ξ 4 ξ 4 = L 2 f φ 2 +L ga L f φ 2 u a +L gb L f φ 2 u b ξ 5 = L f φ 3. ( ) ( ξ1 L 2 = f φ 1 ξ 3 L 2 f φ 2 ) ( ua +D(x) u b dove D(x), matrice di disaccoppiamento, data da: [ ] [ Lga L D(x) = f φ 1 L gb L f φ 1 µ = L ga L f φ 2 L gb L f φ 2 σ ψ b 2αM σ ψ a ), det[d] = 2 αmµ σ 2 (ψ 2 a +ψ2 b ) Ω µ σ ψ a 2αM σ ψ b ].

Il controllo geometrico I termini L 2 f φ 1 e L 2 f φ 2 sono dati da: L 2 f φ 1 = µβn p ω(ψa 2 +ψ2 b ) µ(α+γ)(ψ ai b ψ b i a ) µn p ω(ψ a i a +ψ b i b ) L 2 fφ 2 = (4α 2 +2α 2 βm)(ψa 2 +ψb) (6α 2 2 M +2αγM)(ψ a i a +ψ b i b ) +2αMn p ω(ψ a i b ψ b i a )+2α 2 M 2 (ia 2 +i2 b ). La dinamica dell angolo del vettore di flusso ξ 5 è: dξ 5 = dφ 3 = n p ω+ αm ψa 2 +ψb 2 (ψ a i b ψ b i a ) = n p ξ 1 + R rn 1 (Jξ 2 +T LN ). n p ξ 3 La differenza tra la velocità angolare del flusso φ 3 e la velocità elettrica del rotore n p ω è abitualmente chiamata velocità di scorrimento ω s ; richiamando l espressione della coppia elettrica e la definizione di α, la velocità di scorrimento può essere scritta come: φ 3 n p ω =: ω s = R rnm L r ψ a i b ψ b i a ψ 2 a +ψ2 b = R rn n p T ψ 2.

Il controllo geometrico Il controllo in retroazione che linearizza e disaccoppia il motore a induzione: ( ) [( ) ( )] ua = D u 1 L 2 (x) f φ 1 va b L 2 f φ +, 2 v b dove v = (v a,v b ) T è il nuovo vettore di ingresso. Il sistema a ciclo chiuso, nelle coordinate ξ, è descritto da: ξ 1 = ξ 2 ξ 2 = v a ξ 3 = ξ 4 ξ 4 ξ 5 = v b = n p ξ 1 + R rn n p 1 ξ 3 (Jξ 2 +T LN ).

Il controllo geometrico La dinamica zero: ξ 5 = n p ξ 1 + R rn n p 1 ξ 3 (Jξ 2 +T LN ). La dinamica zero è stata resa inosservabile dalle uscite controllate.

Il controllo geometrico Per inseguire una traiettoria di riferimento ω r (t) e ψ 2 r(t), rispettivamente per la velocità e per il quadrato del modulo del flusso, i segnali di ingresso v a e v b possono essere scelti come v a v b = k a1 (ξ 1 ω r (t)) k a2 (ξ 2 ω r (t))+ ω r (t) = k a1 (ω ω r (t)) k a2 (µ(ψ a i b ψ b i a ) T LN J = k b1 (ξ 3 ψ 2 r ) k b2(ξ 4 ψ 2 r )+ ψ 2 r = k b1 (ψa 2 +ψb 2 ψ 2 r) + ω r (t))+ ω r (t) k b2 ( 2α(ψ 2 a +ψ2 b )+2αM(ψ ai a +ψ b i b ) ψ 2 r ) + ψ 2 r, dove (k a1,k a2 ) e (k b1,k b2 ) sono parametri costanti scelti in modo da rendere conforme a predefinite specifiche la dinamica del sistema lineare e disaccoppiato del secondo ordine: d 2 2(ω ω d r) = k a1 (ω ω r ) k a2 (ω ω r) d 2 2( ψ 2 ψ 2 r ) = k b1( ψ 2 ψ 2 r ) k d b2 ( ψ 2 ψ 2 r ).

Il controllo geometrico Commento Il sistema precedente, dal punto di vista ingresso-uscita, è disaccoppiato; la mappa ingresso-uscita è data da una coppia di sistemi lineari del secondo ordine. Questo consente di ottenere una regolazione indipendente delle due uscite. Le risposte transitorie sono ora disaccoppiate anche quando si deve deflussare. Questo è un miglioramento rispetto alla legge di controllo ad orientamento di campo. Commento Il cambio di coordinate nello spazio di stato, sia nel caso del controllo ad orientamento di campo sia della legge disaccoppiante, è valido sono nel dominio aperto Ω = {x R 5 : ψa 2 +ψb 2 }. Si noti che ψa 2 +ψb 2 = è una singolarità fisica del motore in fase di avviamento: se il flusso è nullo, non vi è possibilità di trasferire energia tra il sottosistema elettrico ed il sottosistema meccanico.

Il controllo geometrico Commento Dal punto di vista della conoscenza dei parametri, variazioni nella coppia di carico T L e nella resistenza di rotore R r determinano una perdita di disaccoppiamento ingresso-uscita ed errori di regolazione a regime. Commento Si noti come la presenza del campo magnetico ruotante, principio fisico sul quale si basa il funzionamento del motore ad induzione, abbia come conseguenza che il modello dinamico del motore non ha punto di equilibrio. Questo giustifica, da un punto di vista fisico, la non completa linearizzabilità del motore ad induzione.