TOMOGRAFIA Il termine tomografia deriva dal Greco antico e significa rappresentazione di un corpo tridimensionale (3D) mediante una serie di sue sezioni trasverse bidimensionali (2D). Nell imaging medico con il termine tomografia s intende una serie di tecniche di acquisizione di dati che attraverso opportune tecniche ricostruttive portano a realizzare, con obiettivi diagnostici, mappe 3D di grandezze fisiche all interno del corpo umano. Le tecniche comunemente intese come tomografiche utilizzano radiazioni ionizzanti. TIPI DI TOMOGRAFIA Esistono diversi tipi di tomografia. La distinzione principale è tra tomografia trasmissiva e tomografia emissiva. Nella tomografia trasmissiva, usualmente detta tomografia a raggi X, la sorgente di radiazione è esterna al corpo e la grandezza fisica su cui si basa l imaging è il coefficiente di attenuazione lineare µ per gli X. La distribuzione spaziale del coefficiente µ rispecchia la struttura anatomica del corpo umano, con la possibilità di localizzare e differenziare i vari tipi di tessuto. Il tipo di imaging prodotto è di tipo anatomico-strutturale e può essere realizzato anche su oggetti/strutture inanimati, nei quali cioè non esiste attività metabolico-funzionale. Il tomografo che esegue questo tipo di imaging viene associato all acronimo TAC (Tomografia Assiale Computerizzata). Nella letteratura anglosassone la tomografia trasmissiva viene usualmente contraddistinta dall acronimo TCT (Transmission Computed Tomography). Nella tomografia emissiva la sorgente di radiazione è interna al corpo umano e viene somministrata al paziente sotto forma di radiofarmaco, usualmente per via endovenosa. Il radiofarmaco consiste di una sostanza dotata di un determinato tropismo nei confronti di particolari siti anatomici o di processi metabolico-funzionali. Detta sostanza viene marcata con un qualche elemento radioattivo, che emette radiazione penetrante con un tempo caratteristico di dimezzamento T 1/2. Dall acquisizione dei dati relativi alla radiazione che esce dal corpo del paziente si risale alla mappa 3D di captazione del radiofarmaco e questo fornisce informazione funzionale di utilità diagnostica. L applicabilità di questa tecnica di indagine è basata sull attività metabolico-funzionale dell organismo e, pertanto, la tecnica non può essere applicata ad oggetti inanimati. I tomografi che eseguono questo tipo di indagini sono di tipo SPECT (Single Photon Emission Computed Tomography) oppure di tipo PET (Positron Emission Tomography). 1
CAMPIONAMENTO DEL VOLUME DA RICOSTRUIRE In tutti i tipi di tomografia è sempre identificabile un asse, detto asse tomografico. Alla direzione dell asse tomografico corrisponde l asse di rotazione di eventuali parti mobili del tomografo o, nei casi in cui nulla ruota, l asse di simmetria del sistema, come, ad esempio, l asse di simmetria degli anelli di rivelatori nella PET. Il volume da ricostruire viene usualmente sezionato in fette (slices, in inglese), le quali sono perpendicolari all asse tomografico (fette trasverse). Esse hanno uno spessore b, detto spessore della fetta. Ogni fetta è suddivisa mediante una griglia cartesiana 2D in pixel quadrati di lato w. Poiché alla fetta si associa lo spessore b, i pixel diventano voxel. Un voxel è pertanto un parallelepipedo a sezione quadrata (lato w) nel piano della fetta e di altezza b nella direzione dell asse tomografico. L obiettivo della ricostruzione dei dati tomografici è la determinazione dei valori che la grandezza fisica oggetto di imaging assume in ogni voxel. In determinate situazioni si può arrivare a decine di milioni di valori. Ad esempio, con 200 fette del torace, ciascuna con 300 300 voxel, si arriva a 1.8 10 +7 valori. In merito alla complessità matematica della ricostruzione, si devono distinguere due casi. Nel primo caso la modalità di acquisizione dati è 2D o quasi 2D. Questo significa che il cross-talk tra il segnale acquisito in fette adiacenti è inesistente o trascurabile. In questo caso l onerosità computazionale della ricostruzione è molto ridotta in quanto si tratta di effettuare una sequenza di ricostruzioni indipendenti 2D di tante fette. L eventuale parallelizzazione del calcolo in questo caso è banale. Alla fine il volume ricostruito può essere ottenuto per impilamento delle singole fette 2D (slice stacking). Nei casi in cui l acquisizione è intrinsecamente 3D o nelle situazioni in cui, per effetti 2
parassiti, esiste e non è eliminabile il cross-talk tra fette vicine, la ricostruzione deve essere 3D con la conseguente onerosità computazionale ed allungamento dei tempi di calcolo. Questo è dovuto al fatto che la ricostruzione deve trattare contemporaneamente come incognite tutti i valori dei voxel contenuti nel volume da ricostruire. In questi casi scorciatoie 2D nell algoritmo di ricostruzione portano a fastidiosi artefatti da interslice blur. TOMOGRAFIA ASSIALE COMPUTERIZZATA (TAC) Si tratta del tipo più comune e diffuso di tomografia trasmissiva. Il primo tomografo a raggi X fu installato nel 1971 a Wimbledon (U.K.) ed il suo ideatore, G.H. Hounsfield, ricevette nel 1979, assieme a A. Cormack, il premio Nobel in Medicina. Dagli anni 70 dello scorso secolo almeno quattro generazioni di tomografi TAC si sono succedute. Nella prima generazione una sorgente collimata di raggi X invia un sottile pennello fine di raggi X sulla sezione del paziente. I raggi trasmessi vengono raccolti e misurati dal detector situato in posizione opposta alla sorgente. La sorgente e il detector, tra loro solidali, traslano orizzontalmente sino a raggiungere la posizione indicata con le linee tratteggiate, eseguendo in questo modo l acquisizione di una vista angolare. Successivamente ruotano di piccolo angolo (un grado o poco più) dalla posizione 1 verso la 2 per eseguire, mediante traslazione, l acquisizione della vista angolare successiva. La scansione è completata quando la rotazione complessiva ammonta a 180 gradi. La geometria di acquisizione è del tipo parallel-beam. Il tempo occorrente per ricoprire un intera sezione risulta quindi di parecchi minuti (anche un quarto d ora). La tendenza delle generazioni successive è orientata verso acquisizioni sempre più veloci con riduzione al minimo della dose assorbita dal paziente e degli artefatti da movimento del paziente e conseguente aumento dell utilizzo dello scanner in termini di numero di esami eseguiti. 3
Nella seconda generazione il movimento della sorgente e del detector e simile a quello della prima generazione con traslazione e rotazione. La differenza sta nel detector che e multiplo. Se il detector e fatto di 30 detectors spostati di 1 grado, per ogni traslazione si ottengono 30 vedute simultanee (geometria fan-beam mista). Se la rotazione dalla posizione 1 a quella 2 e di 30 gradi, bastano sei rotazioni per fare l intera scansione di 180 gradi della sezione, in un tempo che varia dai 10 ai 60 secondi. Nella terza generazione la traslazione viene eliminata ed il detector e largo tanto da intercettare tutto il fascio che attraversa la sezione del paziente (geometria fan-beam). La rotazione diventa di 360 gradi per ottenere tutta l informazione necessaria. Il tempo di acquisizione dell intera sezione scende a pochi secondi. Nella quarta generazione i detectors sono fissi e piazzati a ricoprire l angolo giro di 360 gradi mentre solo la sorgente ruota con tempi dell ordine del secondo. Se si costruisce 4
una sorgente X con un anodo circolare intorno al paziente, l invio dei raggi X è controllato elettronicamente e ruota rapidamente di 360 gradi. I tempi di scansione così ottenuti variano da 33 a 100 millisecondi. In questo modo si possono ottenere immagini nitide e ferme di un cuore in movimento. Sinistra: fetta trasversa (sezione assiale) di un immagine TAC dell encefalo ottenuta con un tomografo recente. Destra: fantoccio digitale ricavato da immagine di risonanza magnetica (RM) del fantoccio 2D di Hoffman (= involucro di plastica con cavità che rispecchiano l anatomia di una sezione orizzontale alta 1 cm dell encefalo all altezza dei nuclei della base). Per generare il contrasto in RM il fantoccio di plastica fu riempito di latte. Nell immagine digitale è stato aggiunto uno scalpo a forma ellittica per maggiore somiglianza con le corrispondenti immagini cliniche. L ACQUISIZIONE DEI DATI NELLA TAC Nella radiografia tradizionale i livelli di grigio che sono impressi sulla lastra fotografica sono il risultato della differente attenuazione che i raggi X subiscono nell attraversare i diversi tessuti del paziente. La direzione di incidenza è unica e pertanto l immagine risulta appiattita, in quanto manca l informazione sulla profondità. Solo l esperienza del radiologo riesce (quasi) sempre a supplire per questa mancanza di informazione e a dare la corretta interpretazione dell immagine radiografica. Se si pensa il volume suddiviso in voxel, come descritto precedentemente, il livello di impressionamento di un singolo pixel della lastra fotografica sarà il risultato dell attenuazione incontrata da quei raggi X che, emessi dalla sorgente, andranno a colpire quel pixel. Presumibilmente una colonna di n voxel sarà interessata e contribuirà all attenuazione dell intensità I del fascio incidente. Sia I t l intensità del fascio trasmesso, quello cioè che colpisce la lastra o il rivelatore. 5
La legge di Beer nella forma I t = I exp( n µ i w) (1) stabilisce per un assegnata intensità incidente I il valore dell intensità trasmessa I t dopo l attraversamento degli n voxel di larghezza w e caratterizzati ciascuno dal proprio valore µ i del coefficiente di attenuazione lineare. Sulla base della conoscenza di I e di I t la (1) permette di risalire solo al valore medio µ nella forma µ = 1 n n i=1 i=1 µ i = 1 n w ln ( I I t ). (2) Con un solo dato rappresentato dal rapporto I It non si possono ricavare le n incognite in quanto è stata scritta una sola equazione. Per avere almeno una stima dei valori delle n incognite si devono ottenere equazioni in numero confrontabile con n e quindi si deve acquisire un numero corrispondente di dati. Per ottenere questo risultato si irraggia il tessuto da angolazioni diverse, come suggerito dalle figure seguenti. Per ogni angolo si ottiene per scansione traslazionale un set di dati chiamato vista angolare (o proiezione) e con un numero adeguato di viste angolari opportunamente acquisite si è in grado di risalire ai valori µ i dei coefficienti di attenuazione o, almeno, ad una loro stima. In generale risulta opportuno acquisire un numero di dati confrontabile, come ordine di grandezza, con il numero di voxel da ricostruire. Pertanto, se si vuole ottenere una slice di 300 300 voxel, si dovranno acquisire circa 300 viste angolari, ognuna con passo di campionamento traslazionale di 300 pixel. Per ottenere veramente tutta l informazione 6
necessaria è indispensabile realizzare la completa copertura angolare. Questo, nel caso di geometria di acquisizione tipo parallel-beam, richiede l acquisizione delle viste angolari su 180, mentre in altre geometrie di scansione può essere necessaria l acquisizione su 360. Per ridurre al minimo la dose D per il paziente ed il tempo di occupazione dello scanner, viene evitata l acquisizione di dati ridondanti, ma a questo provvede (di solito) il software della macchina. TRASFORMATA-ANTITRASFORMATA DI RADON Dal punto di vista matematico, un acquisizione dei dati TAC relativi ad una fetta corrisponde a misurare i valori della trasformata di Radon della funzione µ(x, y), funzione che assegna il coefficiente di attenuazione lineare nel piano della fetta. Infatti, per una data direzione n di incidenza del fascio di X nel piano della fetta si ha ( ) I p n = ln = µ[x(l), y(l)] dl, (3) I t dove a secondo membro compare l integrale di linea del coefficiente di attenuazione lungo la direzione n. In un formalismo matematico completo si presenta la proiezione p n, una funzione di due variabili (l ascissa traslazionale e l angolo di vista), come la trasformata di Radon della µ(x, y). A questa trasformata è stato attribuito il nome del matematico tedesco Johann Radon, il quale per primo (nel 1917) ha proposto un metodo di soluzione per l antitrasformata: come ricavare la µ(x, y) se è nota la p n. Nella pratica la ricostruzione della distribuzione 2D del coefficiente di attenuazione in una fetta a partire dalle proiezioni (dette anche sinogramma) viene eseguita al calcolatore con efficienti metodi numerici. La stessa acquisizione dati (proiezione) a partire da un assegnata distribuzione può essere simulata al calcolatore e, di fatto, la ricostruzione è essenzialmente basata sulla versione ribaltata (retroproiezione) del meccanismo di acquisizione dati. Le due vignette seguenti mostrano il meccanismo di funzionamento della versione discretizzata della proiezione applicata ad una matrice 4 4 di attività. n 7
Nella figura di sinistra la riga ad angolo 0 del sinogramma (proiezione ad angolo 0) viene ottenuta riportando in basso le somme per colonna dei valori della distribuzione di attività. Nella figura di destra si calcola la riga ad angolo 90 del sinogramma (proiezione ad angolo 90 ) riportando in basso le somme per colonna dei valori della distribuzione di attività dopo che questa è stata ruotata di 90 in senso orario (proiettore a rotazione o, scherzosamente, a girarrosto). Il funzionamento dell algoritmo della retroproiezione viene illustrato nelle due vignette successive. In questo caso viene generata una matrice di attività mediante accumulo progressivo dei valori delle proiezioni. Si parte da una matrice di attività nulla. Si esegue la prima retroproiezione (angolo 0) usando la corrispondente riga del sinogramma (vignetta di sinistra). Nella vignetta di destra si illustra come viene eseguita la retroproiezione ad angolo 90. Ad ogni retroproiezione si sommano nuovi valori a quelli preesistenti nella matrice di attività. Si ruota di 90 la matrice di attività rispetto all orientamento normale e si esegue la retroproiezione per colonne dei valori del sinogramma relativo a 90, aggiornando per somma i valori della matrice. Successivamente si deve riportare la matrice nell orientamento normale prima di eseguire le retroproiezioni successive, ognuna delle quali, a sua volta, richiede la preliminare rotazione della matrice prima dell aggiornamento. Se, a partire da un assegnata matrice di attività, si ottengono i dati simulati usando l algoritmo di proiezione (proiettore) precedentemente illustrato e, poi, si retroproiettano questi dati, non si ottiene la matrice di partenza, né qualcosa che sia ad essa proporzionale. Per ottenere la matrice di partenza si deve preventivamente applicare ai dati il cosiddetto filtro a rampa, il quale può essere applicato o nel contesto della trasformata di Fourier oppure usandone la versione digitalizzata di G. N. Ramachandran & A. V. Lakshminarayanan (filtro RaLa). 8
Questa procedura rappresenta l algoritmo abitualmente usato per la ricostruzione dei dati tomografici TAC e porta il nome di retroproiezione filtrata (FBP dall inglese Filtered Back-Projection). Seguono due esempi di distribuzioni di attività (sorgente puntiforme fuori centro e un oggetto più complicato) con a destra i corrispondenti sinogrammi su 360. Segue il fantoccio 2D di Hoffman. il relativo sinogramma su 360 e, sotto, la corrispondente ricostruzione ottenuta con la FBP. 9
Lo schema della FBP e annessi. 10