Introduzione La teoria delle reti logiche tratta problemi connessi con la realizzazione e il funzionamento di reti per l elaborazione dell informazione (il termine logico deriva dalla stretta parentela fra la teoria di queste reti e l algebra di Boole) Una rete logica R è fornita da un certo numero di morsetti in ingresso (n) e da un certo numero di morsetti in uscita (m) Al suo interno i segnali che entrano attraverso i morsetti di ingresso I 1, I 2,,I n vengono trasformati nei segnali che escono attraverso i morsetti di uscita U 1,U 2,,U m I 1 U 1 Segnali Analogici Interfaccia Rete Logica R Interfaccia Segnali Analogici I n U m Una rete logica e la sua interfaccia con il mondo esterno L informazione ai morsetti di ingresso e di uscita è rappresentata da segnali digitali, segnali cioè che assumono nel tempo valori appartenenti ad un insieme finito di valori possibili In particolare ci si riferirà a segnali binari, che sono gli unici impiegati in realizzazioni pratiche Il sistema scambia informazioni con l esterno attraverso circuiti di conversione dei segnali, detti interfacce: poiché i segnali esterni sono in genere analogici, cioè funzioni continue del tempo, le interfacce convertono secondo codici opportuni i segnali analogici in segnali digitali, o viceversa NB: Le reti logiche non sono solo gli elementi architettonici dei sistemi di elaborazione dell informazione, ma anche delle centrali telefoniche, dei sistemi di trasmissione e di numerosissimi automatismi Reti e blocchi logici Proprietà di interconnessione: l interconnessione di più reti logiche R 1,R 2,,R k, aventi per ingresso segnali esterni e/o uscite di altre reti logiche e per uscite segnali di uscita esterne e/o ingressi di altre reti logiche, è ancora una rete logica R 1
I 1 U 1 I 2 Rete logica Interconnessione I 3 Rete logica U tra reti 2 I 4 Rete logica logiche I U 5 Rete logica 3 Proprietà di decomposizione: una rete logica complessa R può essere decomposta in reti logiche più semplici, fra loro interconnesse Nella decomposizione ci si arresta alle reti logiche elementari, chiamate anche blocchi logici, che non si possono (o non si desidera) decomporre in reti logiche più semplici I blocchi logici o gate elementari sono dunque i più semplici elementi costitutivi delle reti, ancora schematizzabili con la scatola R vista in precedenza Proprietà di decomposizione in parallelo: una rete logica a m uscite può essere decomposta in m reti logiche ad una uscita, aventi ingressi condivisi Non è nostra intenzione esaminare l interno delle scatole che delimitano i blocchi logici, entrando così nella descrizione della loro struttura fisica Notiamo che nello studio delle reti logiche si farà sempre l ipotesi che queste abbiano un andamento unidirezionale, cioè che non si possa in alcun modo alterare l informazione all ingresso agendo sui morsetti di uscita Segnali e variabili Il comportamento di una rete logica è descritto dall andamento temporale dei segnali binari, che si misurano in punti (morsetti) opportuni Un segnale si manifesta come grandezza fisica: in elettronica esso sarà la corrente che fluisce attraverso il morsetto, o la tensione del morsetto rispetto ad un dato punto di riferimento La scelta di segnali binari, come particolarizzazione di segnali digitali, rende massima l affidabilità di funzionamento delle reti ad alta velocità, o similmente permette di funzionare a massima velocità a pari affidabilità (Notiamo che anche l uomo, in circostanza difficili, interpreta con massima sicurezza segnali binari: si pensi al telegrafo o all alfabeto Braille) 2
Un segnale digitale, in particolare binario, dovrebbe presentare nel tempo variazioni istantanee tra valori diversi Ciò evidentemente è affidabile solo in prima approssimazione, cioè se la scala dei tempi è sufficientemente piccola da mantenere al di sotto della sensibilità di misura il tempo che il segnale impiega a cambiare valore Tale tempo è però finito, e l allargamento della scala presenta forme d onda che, pur dipendenti dalla materializzazione del segnale, hanno tutte in comune la proprietà di essere più o meno dolcemente raccordate Nei circuiti elettrici leggi complesse regolano la forma di un segnale S: all ideale andamento a gradino di figura (a) corrisponde nei fatti un andamento di quello di figura (b) Non si intende qui discutere le leggi che regolano queste variazioni di forma; è però indispensabile esaminare le conseguenze sul funzionamento delle reti da un punto di vista logico Notiamo innanzitutto che, pur se un generatore fornisse un onda idealmente squadrata, essa assumerebbe una forma reale del tipo (b) non appena fosse lasciata propagare in un mezzo fisico Così un segnale elettrico che si propaghi attraverso un circuito logico subisce un decadimento di quel tipo, anche se il circuito non opera nessuna trasformazione logica di esso Il passaggio attraverso circuiti logici successivi genera una deformazione via via crescente del segnale 3
S 1 S (a) S 0 S 1 0,9 S 1 0,1 S 1 S Segnale ideale t (b) Segnale reale S 0 S 1 S ts td t (c) S 0 d d Segnale reale approssimato t Tutto ciò equivale, agli effetti logici, alla presenza di un ritardo I circuiti logici, proprio perché non stimolabili con onde perfettamente squadrate interpretano un segnale binario, ad esempio S 0, se il suo valore si mantiene al di sotto di un limite inferiore prefissato, oppure S 1 se eccede un limite superiore Tali limiti sono detti soglie Nella fascia compresa tra dette soglie, cioè per valori che si presentano durante la transazione da S 0 a S 1 o viceversa, il segnale è non interpretabile Poste a tentativi le soglie al 10% e al 90% del valore di regime scelto per rappresentare S1, risulta evidente dalla (b) come l apparizione della S1 sia ritardata rispetto al caso ideale di un tempo di salita t s dell onda, e come l apparizione di S0 di un tempo di discesa t d Il periodo di tempo in cui il valore del segnale è compreso tra le soglie è detto transitorio I ritardi dovuti alla distorsione del segnale non sono gli unici di cui si debba tener conto: vi sono infatti anche ritardi dovuti alla propagazione nel mezzo (tuttavia trascurabili nel caso di reti elettriche, in cui la velocità del segnale è paragonabile a quella della luce) e ritardi dovuti al funzionamento dei blocchi logici 4
Tenendo conto di quanto detto ci si rende conto di come i segnali risultino distorti e trasposti nel tempo In genere tali deviazioni sono molto piccole, e in numerosi casi le reti logiche possono essere studiate come se i segnali in gioco fossero tutti ideali Se invece l andamento dei segnali nel tempo gioca un ruolo determinante, è possibile, in prima approssimazione, assegnare a ciascuna rete o blocco un ritardo d (in genere uguale per i fronti di salita e di discesa) che tenga conto globalmente di tutti i fenomeni esposti, e far uso del segnale approssimato a gradino esposto in figura (c), che si ottiene trasponendo nel tempo il segnale ideale di una quantità d A ciascun segnale si associa una variabile logica, che assume due valori corrispondenti al valore del segnale, e che riproduce nel tempo il comportamento ideale (o approssimato a gradino) del segnale Come si vedrà in seguito, lo studio matematico delle reti logiche opera su tali variabili Per semplicità indicheremo in seguito con lo stesso nome: la variabile, il segnale ad essa associato, il morsetto su cui si misura tale segnale Inoltre, seguendo una consuetudine ormai consolidata, indicheremo con i simboli 0 e 1 i due valori della variabile o del segnale Reti combinatorie e reti sequenziali Le reti logiche si dividono in due importanti classi: reti combinatorie, nelle quali i segnali di uscita (a transitorio esaurito) dipendono unicamente dai segnali d ingresso applicati alla rete nell istante considerato; reti sequenziali, nelle quali i segnali di uscita dipendono dai segnali di ingresso applicati alla rete nel tempo, fino all istante considerato Il comportamento di una rete combinatoria può essere descritto molto semplicemente elencando tutte le configurazioni di segnali di ingresso (NB: tali configurazioni sono in numero finito, essendo i morsetti in numero finito ed essendo i segnali di tipo digitale), e le corrispondenti configurazioni dei segnali d uscita: ciò prende il nome descrizione ai morsetti della rete Più complessa risulta la descrizione del comportamento di una rete sequenziale Bisogna innanzitutto osservare come tali reti siano provviste di una memoria, poiché mantengono traccia della storia passata 5
dei segnali di ingresso Per ora non ci addentriamo nel significato preciso di memoria; potremo dire che la storia dei segnali di ingresso è memorizzata all interno della rete attraverso quelli che vengono definiti stati interni della rete stessa Una transizione dei segnali di ingresso provoca in generale una transizione dello stato interno della rete: il nuovo stato interno dipende dalla configurazione dei segnali di ingresso e dello stato interno precedente (fare esempio dell ascensore) La configurazione dei segnali di uscita, a sua volta dipende dalla configurazione dei segnali di ingresso e dello stato interno della rete nell istante considerato NB: il comportamento delle reti combinatorie, transitorio a parte, può essere studiato sulla base dei segnali ideali; il comportamento delle reti sequenziali, essendo funzione della storia dei segnali, è legato ai ritardi dei segnali stessi e deve essere studiato sulla base dei segnali reali (approssimati a gradino) Il progetto logico Una importante fase del progetto di un sistema di elaborazione è il progetto logico, cioè l organizzazione di elementi costruttivi (i blocchi logici) in elementi architettonici (le reti logiche) Tale fase si intreccia ad altre mutuamente interdipendenti: 1 il progetto architettonico, cioè la definizione della struttura del sistema, della dimensione delle reti logiche, memorie, canali di comunicazione, etc; 2 il progetto elettronico, cioè la scelta degli elementi costruttivi, quali i blocchi logici, i registri, le interfacce, e il dimensionamento elettrico complessivo; 3 il progetto industriale, cioè la trasformazione del prototipo che scaturisce dalle fasi precedenti in un oggetto da realizzare industrialmente in numerosi esemplari Nelle realizzazioni importanti ognuna delle fasi descritte viene sviluppata da un gruppo di specialisti, che agiscono in stretta collaborazione, poiché ogni fase influenza le altre; in quelle più modeste un piccolo gruppo di persone, o al più una sola, affronta globalmente tutte le fasi del progetto NB: parlando di progetto elettronico si è menzionata la scelta degli elementi costruttivi e non la loro progettazione: l industria che costruisce sistemi di elaborazione non progetta e non costruisce ormai più i blocchi logici, né piccole unità funzionali (registri, memorie, etc) ma li acquista da industrie specializzate nella produzione in grande serie di tali elementi 6
In seguito ci rivolgeremo ai modelli matematici e ai metodi che riguardano il progetto logico In tale fase è possibile prescindere in larga misura dalla tecnologia impiegata, poiché anche se particolari tecnologie impongono vincoli al progettista, la metodologia è sempre la stessa NB: nonostante i molti sforzi volti a razionalizzare il progetto logico, esso è rimasto in gran parte allo stato artigianale 7