Indice 1 Introduzione alla Meccanica Razionale 1 1.1 Che cos è la Meccanica Razionale..................... 1 1.2 Un esempio................................. 2 2 Spazi Vettoriali, Spazio e Tempo 7 2.1 Cos è unvettore?.............................. 7 2.1.1 Dimensione e orientazione..................... 8 2.1.2 Prodotto scalare.......................... 9 2.1.3 Spazio affine............................ 9 2.2 Lo spazio e il tempo............................ 10 2.2.1 Lo spazio.............................. 10 2.2.2 Il prodotto vettoriale........................ 12 2.2.3 Il tempo............................... 13 2.2.4 Lo spazio vettoriale delle altre grandezze fisiche......... 13 3 Teoria dei Momenti 15 3.1 Definizioni.................................. 15 3.2 Legge di variazione dei momenti..................... 16 3.3 Asse centrale................................ 17 3.4 Sistemi equivalenti e sistemi equilibrati.................. 19 3.5 Complementi................................ 22 3.5.1 Ancora sull asse centrale...................... 22 3.5.2 Vettori paralleli........................... 22 3.5.3 Esercizi sull asse centrale..................... 24 3.5.4 Esercizi grafici........................... 27 4 Cinematica dei Corpi Rigidi 29 4.1 Sistemi di riferimento fisso e solidale................... 29 4.2 Rotazione nel piano............................ 33 4.3 Gli angoli di Eulero............................. 36 4.4 Moti rigidi.................................. 38 4.5 Formula fondamentale dei moti rigidi................... 42 4.6 Rigata fissa e rigata mobile........................ 45 4.7 Ancora sulle rigate del moto........................ 46 4.8 Moti rigidi: casi particolari........................ 48 4.9 Moti rigidi piani.............................. 49
ii INDICE 4.10 Il teorema di Eulero............................ 51 4.11 Rotazioni finite ed infinitesime...................... 52 5 Esercizi sui Moti Rigidi 57 5.1 Disco che rotola senza strisciare...................... 57 5.2 Disco che rotola e striscia......................... 58 5.3 Moto di un asta vincolata a scorrere su due assi............. 60 5.4 Esercizi di ricerca di Base e Rulletta................... 64 6 Composizione di Moti Rigidi 71 6.1 Richiami di Cinematica Relativa..................... 71 6.1.1 Cinematica relativa......................... 71 6.1.2 Esempio: Moto uniforme di un punto su una guida ruotante.. 73 6.1.3 Esercizi sui moti relativi...................... 74 6.2 Composizione di moti........................... 77 6.2.1 Composizione di moti rigidi.................... 77 6.2.2 Composizioni di rotazioni intorno ad assi incidenti....... 79 6.2.3 Il differenziale di un autoveicolo.................. 79 6.2.4 Rotolamento puro di un disco su un altro............ 80 6.2.5 Composizione di moti rigidi di rotazione............. 81 6.2.6 Esercizi sulla composizioni di moti rigidi............. 84 7 Introduzione alla Statica 87 7.1 Forze concorrenti nel piano........................ 87 7.2 Forze parallele nel piano.......................... 93 7.2.1 Il caso di due forze parallele.................... 93 7.2.2 Due forze parallele in direzioni opposte............. 94 7.2.3 Forze parallele nel piano...................... 95 7.3 Forze distribuite nel piano......................... 98 7.4 Caso generale di forze nel piano...................... 100 8 Statica del Corpo Rigido 103 8.1 Un po di terminologia........................... 103 8.2 Le equazioni cardinali della statica.................... 104 8.3 Sistemi materiali piani........................... 105 8.4 I principali tipi di vincoli nel piano.................... 106 8.5 Posizione del problema statico....................... 109 8.6 Alcuni esempi di sistemi piani....................... 115 8.7 Statica per sistemi di un sol corpo rigido................. 119 8.8 Statica per sistemi composti da più parti rigide............. 124 9 Statica grafica 129 9.1 Poligono funicolare............................. 129 9.2 Osservazioni sul poligono funicolare.................... 132 9.3 Risoluzione grafica di travi con cerniera e appoggio........... 133 9.4 Travi con tre appoggi. Travi incastrate.................. 136 9.5 Arco a tre cerniere............................. 137
INDICE iii 10 Appendice di Statica 141 10.1 Sistemi piani composti da più parti rigide................ 141 10.2 Travature reticolari............................. 145 10.2.1 Metodo dei nodi.......................... 146 10.2.2 Metodo delle sezioni........................ 150 10.3 Cenno sui carichi distribuiti........................ 152 10.3.1 Esercizi sui carichi distribuiti.................... 155 11 Richiami di Dinamica del Punto 157 11.1 Le leggi di Newton............................. 157 11.2 Il problema della meccanica del punto.................. 159 11.3 Forze posizionali.............................. 160 11.4 Richiami di Dinamica Relativa del Punto................ 161 11.5 Energia cinetica, lavoro e potenza di una forza............. 163 11.6 Commenti sul bilancio energetico..................... 165 11.7 Esercizi di dinamica del punto....................... 168 11.8 Potenziale di una forza conservativa................... 168 11.8.1 Forme differenziali chiuse ed esatte................ 168 11.8.2 Calcolo del potenziale U per un campo di forza......... 169 12 Moti Oscillatori 171 12.1 Moto armonico............................... 171 12.2 Oscillatore lineare con termine forzante................. 176 12.2.1 Oscillatore lineare con termine forzante: il caso ω = µ... 177 12.3 Oscillatore lineare smorzato........................ 178 12.4 Oscillatore lineare smorzato con forzante................. 183 12.5 Conclusioni................................. 187 13 Dinamica di un Sistema di Punti Materiali 189 13.1 Forze interne e forze esterne........................ 189 13.2 La prima equazione cardinale....................... 191 13.2.1 Esercizio............................... 192 13.2.2 Il teorema di König........................ 193 13.3 La seconda equazione cardinale...................... 194 13.3.1 Il teorema di König per il momento angolare.......... 195 13.4 Il teorema delle forze vive......................... 196 13.4.1 Esercizio............................... 198 13.4.2 Le forze conservative........................ 200 13.4.3 L esempio del campo gravitazionale e della molla........ 201 14 Geometria delle Masse 203 14.1 Introduzione alla geometria delle masse................. 203 14.2 Centro di Massa.............................. 204 14.2.1 Centro di massa.......................... 204 14.2.2 Esercizi sul Centro di Massa nel piano.............. 206 14.2.3 Esercizi sul Centro di Massa nello spazio............. 208 14.3 Momenti d Inerzia............................. 208 14.3.1 Momento d inerzia: Definizioni.................. 208
iv INDICE 14.3.2 Momento d inerzia rispetto ad una retta generica........ 211 14.3.3 Ellissoide d inerzia......................... 212 14.3.4 Teorema di Huygens........................ 213 14.4 Esercizi sui Momenti di Inerzia...................... 215 14.5 Terna principale d inerzia......................... 226 14.5.1 La terna principale d inerzia.................... 226 14.5.2 Ricerca della terna principale d inerzia............. 227 14.5.3 Terna principale per i sistemi piani................ 228 14.5.4 L omografia d inerzia........................ 229 14.6 Esercizi sull Ellissoide d Inerzia...................... 234 14.6.1 Ricerca della terna principale d inerzia.............. 234 14.6.2 Ricerca dell ellissoide d inerzia.................. 236 15 Il Principio dei Lavori Virtuali 241 15.1 Coordinate generalizzate.......................... 241 15.2 Vincoli lisci e lavoro virtuale....................... 242 15.3 Il principio di d Alembert......................... 244 15.3.1 Esempio del caso dinamico.................... 245 15.3.2 Esempio del caso statico...................... 246 15.3.3 Come usare il principio di D Alembert per risolvere problemi di statica................................ 247 15.4 Le equazioni di Lagrange......................... 248 15.4.1 Un semplice esempio: il punto materiale soggetto a potenziale. 250 15.4.2 Un vantaggio: l arbitrarietà nella scelta delle coordinate.... 251 15.4.3 Un altro semplice esempio: la macchina di Atwood....... 252 15.4.4 Un esempio con vincoli dipendenti dal tempo.......... 253 15.5 Espressione lagrangiana dell energia cinetica............... 254 15.5.1 Conservazione dell energia..................... 255 16 Dinamica dei Sistemi Rigidi 257 16.1 Il caso dei sistemi rigidi.......................... 257 16.2 Sistemi rigidi liberi............................. 260 16.3 Rotazioni di un corpo rigido intorno ad un asse fisso.......... 260 16.3.1 Rotazione.............................. 261 16.4 Precessioni. Equazioni di Eulero..................... 263 16.5 Precessioni per inerzia. Moto alla Poinsot................ 263 16.6 Interpretazione geometrica delle precessioni per inerzia......... 266 16.7 Proprietà dinamiche degli assi principali di inerzia............ 267 16.8 Cenno al giroscopio............................. 270 16.8.1 Rotazioni intorno ad un punto fisso: il caso M (e) O 0..... 270 16.8.2 Un semplice esperimento...................... 272 16.8.3 Esempio: la trottola simmetrica pesante............. 273 16.8.4 Il giroscopio come indicatore di direzione fissa.......... 275
INDICE v 17 Esercizi sui Sistemi 277 17.1 Calcolo di quantità meccaniche...................... 277 17.1.1 Disco omogeneo........................... 277 17.1.2 Asta omogenea........................... 281 17.1.3 Lamina triangolare......................... 283 17.1.4 Lamina quadrata.......................... 286 17.1.5 Lamina semicircolare........................ 287 17.2 Esercizi................................... 289 17.2.1 Asta vincolata a due guide ortogonali.............. 289 17.2.2 Bipendolo.............................. 292 17.2.3 Pendolo su un piano ruotante................... 294 17.2.4 Asta girevole intorno ad un asse................. 299 17.2.5 Moto di un corpo rigido intorno ad un asse fisso........ 302 17.2.6 Due masse ruotanti intorno ad un asse.............. 304 17.2.7 Disco su un piano inclinato mobile................ 305 17.2.8 Disco su un piano con forza elastica e momento motore.... 308 17.3 Esercizi di Esame.............................. 315 17.3.1 Esercizi di esame.......................... 315