Università degli Studi di Bergamo Scuola di Ingegneria Corso di Geometria e Algebra Lineare Prima prova in itinere 17 aprile 2018 Parte B Tema B1 Tempo a disposizione: un'ora e mezza. Calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi. Ogni esercizio deve cominciare all'inizio di una nuova pagina. Vanno consegnati solo questo foglio e la bella. Saranno tolti punti per le risposte non giusticate. SOLUZIONI Esercizio 1. Risolvere l'equazione ( z 3 + i 2 9 ) ((2 + i)z + (2 i)z 14) = 0 e posizionare le soluzioni nel piano di Gauss. dimensione almeno 10cm 10cm. Il graco dovrà essere fatto con cura e di L'equazione è un prodotto uguale a zero. l'equazione è soddisfatta se e solo se Per la legge di annullamento del prodotto, z 3 + i 2 9 = 0 oppure (2 + i)z + (2 i)z 14 = 0 La prima equazione ha per soluzioni l'insieme dei complessi z a distanza 3 da 3 i, cioè la circonferenza di centro 3 i e di raggio 3. Per risolvere la seconda equazione scriviamo z = x + iy in forma algebrica (cioè con x e y reali) e l'equazione diventa 4x 2y 14 = 0 (la parte immaginaria è nulla). Questa è l'equazione di una retta di vettore direzionale (1; 2) passante (per esempio) per il punto (4; 1) (ovvero il punto 4 + i). Per quanto riguarda il graco, la retta interseca la circonferenza in due punti. Esercizio 2. Si considerino le rette r : { x + y 10z + 5 = 0 y 3z 3 = 0 a) Dimostrare che r e s sono ortogonali. s : x = 1 t y = 2 + 2t z = 1 + t Un vettore direzionale della retta s è ovviamente v s = ( 1; 2, 1). Per trovarne uno della retta r basta calcolare il prodotto vettoriale v r = (1; 1, 10) (0; 1; 3) = (7, 3, 1). Poiché v s v r = 0, le due rette sono ortogonali. 1
b) Dimostrare che r e s sono incidenti; trovare il loro punto d'intersezione P 0. Basta inserire le equazioni (parametriche) di s in quelle (cartesiane) di r. Si ottiene un sistema di due equazioni nella sola incognita t, la cui unica soluzione è t = 2, che dà luogo al punto P 0 ( 1; 6; 1). c) Scrivere un'equazione cartesiana del piano π contenente r e s. Possiamo utilizzare la tecnica del fascio di piani. Quello contenente la retta r è α(x + y 10z + 5) + β(y 3z 3) = 0. Imponendo il passaggio per il punto (1; 2; 1), appartenente alla retta s, otteniamo α = 1 β, ossia il piano π di equazione x + 8y 17z 32 = 0. 9 d) Scrivere un'equazione cartesiana del piano π contenente r e ortogonale a π. Anche qui si può usare il fascio di piani contenenti r. Più semplicemente, dopo aver illustrato la situazione con un disegno, è immediato rendersi conto del fatto che π è il piano passante per P 0 ( 1; 6; 1) ed avente come vettore normale il vettore Quindi una sua equazione cartesiana è direzionale v s = ( 1; 2, 1) della retta s. (x + 1) + 2(y 6) + (z 1) = 0, ossia x + 2y + z 14 = 0. 2
Università degli Studi di Bergamo Scuola di Ingegneria Corso di Geometria e Algebra Lineare Prima prova in itinere 17 aprile 2018 Parte B Tema B2 Tempo a disposizione: un'ora e mezza. Calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi. Ogni esercizio deve cominciare all'inizio di una nuova pagina. Vanno consegnati solo questo foglio e la bella. Saranno tolti punti per le risposte non giusticate. SOLUZIONI Esercizio 1. Risolvere l'equazione ( z + 1 3i 2 9 ) ((1 + 2i)z + (1 2i)z + 14) = 0 e posizionare le soluzioni nel piano di Gauss. dimensione almeno 10cm 10cm. Il graco dovrà essere fatto con cura e di L'equazione è un prodotto uguale a zero. l'equazione è soddisfatta se e solo se Per la legge di annullamento del prodotto, z + 1 3i 2 9 = 0 oppure (1 + 2i)z + (1 2i)z + 14 = 0 La prima equazione ha per soluzioni l'insieme dei complessi z a distanza 3 da 1 + 3i, cioè la circonferenza di centro 1 + 3i e di raggio 3. Per risolvere la seconda equazione scriviamo z = x + iy in forma algebrica (cioè con x e y reali) e l'equazione diventa 2x 4y + 14 = 0 (la parte immaginaria è nulla). Questa è l'equazione di una retta di vettore direzionale (2; 1) passante (per esempio) per il punto (1; 4) (ovvero il punto 1 + 4i). Per quanto riguarda il graco, la retta interseca la circonferenza in due punti. Esercizio 2. Si considerino le rette r : { x + y + 5z 10 = 0 y + 2z 8 = 0 a) Dimostrare che r e s sono ortogonali. s : x = 1 t y = 2 + 2t z = 1 + t Un vettore direzionale della retta s è ovviamente v s = ( 1; 2, 1). Per trovarne uno della retta r basta calcolare il prodotto vettoriale v r = (1; 1, 5) (0; 1; 2) = ( 3, 2, 1). Poiché v s v r = 0, le due rette sono ortogonali. 1
b) Dimostrare che r e s sono incidenti; trovare il loro punto d'intersezione P 0. Basta inserire le equazioni (parametriche) di s in quelle (cartesiane) di r. Si ottiene un sistema di due equazioni nella sola incognita t, la cui unica soluzione è t = 2, che dà luogo al punto P 0 ( 1; 6; 1). c) Scrivere un'equazione cartesiana del piano π contenente r e s. Possiamo utilizzare la tecnica del fascio di piani. Quello contenente la retta r è α(x + y + 5z 10) + β(y + 2z 8) = 0. Imponendo il passaggio per il punto (1; 2; 1), appartenente alla retta s, otteniamo α = 2 β, ossia il piano π di equazione 4x 2y + 8z + 8 = 0. 3 d) Scrivere un'equazione cartesiana del piano π contenente r e ortogonale a π. Anche qui si può usare il fascio di piani contenenti r. Più semplicemente, dopo aver illustrato la situazione con un disegno, è immediato rendersi conto del fatto che π è il piano passante per P 0 ( 1; 6; 1) ed avente come vettore normale il vettore Quindi una sua equazione cartesiana è direzionale v s = ( 1; 2, 1) della retta s. (x + 1) + 2(y 6) + (z 1) = 0, ossia x + 2y + z 14 = 0. 2
Università degli Studi di Bergamo Scuola di Ingegneria Corso di Geometria e Algebra Lineare Prima prova in itinere 17 aprile 2018 Parte B Tema B3 Tempo a disposizione: un'ora e mezza. Calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi. Ogni esercizio deve cominciare all'inizio di una nuova pagina. Vanno consegnati solo questo foglio e la bella. Saranno tolti punti per le risposte non giusticate. SOLUZIONI Esercizio 1. Risolvere l'equazione ( z + 2 i 2 9 ) (( 2 + i)z + ( 2 i)z 6) = 0 e posizionare le soluzioni nel piano di Gauss. dimensione almeno 10cm 10cm. Il graco dovrà essere fatto con cura e di L'equazione è un prodotto uguale a zero. l'equazione è soddisfatta se e solo se Per la legge di annullamento del prodotto, z + 2 i 2 9 = 0 oppure ( 2 + i)z + ( 2 i)z 6 = 0 La prima equazione ha per soluzioni l'insieme dei complessi z a distanza 3 da 2 + i, cioè la circonferenza di centro 2 + i e di raggio 3. Per risolvere la seconda equazione scriviamo z = x + iy in forma algebrica (cioè con x e y reali) e l'equazione diventa 4x 2y 6 = 0 (la parte immaginaria è nulla). Questa è l'equazione di una retta di vettore direzionale (1; 2) passante (per esempio) per il punto ( 1; 1) (ovvero il punto 1 i). Per quanto riguarda il graco, la retta interseca la circonferenza in due punti. Esercizio 2. Si considerino le rette r : { x + y 4z 1 = 0 y z 5 = 0 a) Dimostrare che r e s sono ortogonali. s : x = 1 t y = 2 + 2t z = 1 + t Un vettore direzionale della retta s è ovviamente v s = ( 1; 2, 1). Per trovarne uno della retta r basta calcolare il prodotto vettoriale v r = (1; 1, 4) (0; 1; 1) = (3, 1, 1). Poiché v s v r = 0, le due rette sono ortogonali. 1
b) Dimostrare che r e s sono incidenti; trovare il loro punto d'intersezione P 0. Basta inserire le equazioni (parametriche) di s in quelle (cartesiane) di r. Si ottiene un sistema di due equazioni nella sola incognita t, la cui unica soluzione è t = 2, che dà luogo al punto P 0 ( 1; 6; 1). c) Scrivere un'equazione cartesiana del piano π contenente r e s. Possiamo utilizzare la tecnica del fascio di piani. Quello contenente la retta r è α(x + y 4z 1) + β(y z 5) = 0. Imponendo il passaggio per il punto (1; 2; 1), appartenente alla retta s, otteniamo α = 1 β, ossia il piano π di equazione x + 4y 7z 16 = 0. 3 d) Scrivere un'equazione cartesiana del piano π contenente r e ortogonale a π. Anche qui si può usare il fascio di piani contenenti r. Più semplicemente, dopo aver illustrato la situazione con un disegno, è immediato rendersi conto del fatto che π è il piano passante per P 0 ( 1; 6; 1) ed avente come vettore normale il vettore Quindi una sua equazione cartesiana è direzionale v s = ( 1; 2, 1) della retta s. (x + 1) + 2(y 6) + (z 1) = 0, ossia x + 2y + z 14 = 0. 2
Università degli Studi di Bergamo Scuola di Ingegneria Corso di Geometria e Algebra Lineare Prima prova in itinere 17 aprile 2018 Parte B Tema B4 Tempo a disposizione: un'ora e mezza. Calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi. Ogni esercizio deve cominciare all'inizio di una nuova pagina. Vanno consegnati solo questo foglio e la bella. Saranno tolti punti per le risposte non giusticate. SOLUZIONI Esercizio 1. Risolvere l'equazione ( z 1 + 2i 2 9 ) ((1 2i)z + (1 + 2i)z + 6) = 0 e posizionare le soluzioni nel piano di Gauss. dimensione almeno 10cm 10cm. Il graco dovrà essere fatto con cura e di L'equazione è un prodotto uguale a zero. l'equazione è soddisfatta se e solo se Per la legge di annullamento del prodotto, z 1 + 2i 2 9 = 0 oppure (1 2i)z + (1 + 2i)z + 6 = 0 La prima equazione ha per soluzioni l'insieme dei complessi z a distanza 3 da 1 2i, cioè la circonferenza di centro 1 2i e di raggio 3. Per risolvere la seconda equazione scriviamo z = x + iy in forma algebrica (cioè con x e y reali) e l'equazione diventa 2x + 4y + 6 = 0 (la parte immaginaria è nulla). Questa è l'equazione di una retta di vettore direzionale ( 2; 1) passante (per esempio) per il punto ( 1; 1) (ovvero il punto 1 i). Per quanto riguarda il graco, la retta interseca la circonferenza in due punti. Esercizio 2. Si considerino le rette r : { x + y + 8z 13 = 0 y + 3z 9 = 0 a) Dimostrare che r e s sono ortogonali. s : x = 1 t y = 2 + 2t z = 1 + t Un vettore direzionale della retta s è ovviamente v s = ( 1; 2, 1). Per trovarne uno della retta r basta calcolare il prodotto vettoriale v r = (1; 1, 8) (0; 1; 3) = ( 5, 3, 1). Poiché v s v r = 0, le due rette sono ortogonali. 1
b) Dimostrare che r e s sono incidenti; trovare il loro punto d'intersezione P 0. Basta inserire le equazioni (parametriche) di s in quelle (cartesiane) di r. Si ottiene un sistema di due equazioni nella sola incognita t, la cui unica soluzione è t = 2, che dà luogo al punto P 0 ( 1; 6; 1). c) Scrivere un'equazione cartesiana del piano π contenente r e s. Possiamo utilizzare la tecnica del fascio di piani. Quello contenente la retta r è α(x + y + 8z 13) + β(y + 3z 9) = 0. Imponendo il passaggio per il punto (1; 2; 1), appartenente alla retta s, otteniamo α = 5 β, ossia il piano π di equazione 5x 4y + 13z + 16 = 0. 9 d) Scrivere un'equazione cartesiana del piano π contenente r e ortogonale a π. Anche qui si può usare il fascio di piani contenenti r. Più semplicemente, dopo aver illustrato la situazione con un disegno, è immediato rendersi conto del fatto che π è il piano passante per P 0 ( 1; 6; 1) ed avente come vettore normale il vettore Quindi una sua equazione cartesiana è direzionale v s = ( 1; 2, 1) della retta s. (x + 1) + 2(y 6) + (z 1) = 0, ossia x + 2y + z 14 = 0. 2