TOPOLOGIA - APPUNTI SETTIMANA 2/12/2013-5/11/2013

TOPOLOGIA - APPUNTI SETTIMANA 2/12/2013-5/11/2013 KIERAN G. O GRADY - 9 DICEMBRE 2013 1. Connessione Se X è uno spazio topologico connesso per archi vale il Teorema dei valori intermedi : dati una f : X R continua e a, b X la f assume ogni valore compreso tra a a e b. D altra parte esistono spazi topologici che non sono connessi per archi ma per cui vale il Teorema dei valori intermedi, diamo sotto due esempi. Esempi 1.1. (1) Sia Z R 2 il sottospazio Z := (x, sin(1/x)) x R } (0, ) R}. Sia γ : [a, b] Z un cammino continuo tale che γ(a) = (0, 0), e scriviamo γ(t) = (x(t), (t)) per t [a, b]. Si dimostra che x(t) = 0 per ogni t [a, b] (e quindi Z non è connesso per archi). D altra parte il Teorema dei valori intermedi vale per Z, vedi il terzo degli Esempi 1.3 e la Proposizione 1.6. (2) Sia X un insieme non numerabile e T conum la topologia conumerabile su X. Sia [a, b] R un intervallo: ogni applicazione continua f : [a, b] (X, T conum ) continua è costante. Infatti se Im f è un insieme finito c 1,..., c n } di cardinalità n 2 allora [a, b] = f 1 c 1 } f 1 c 2,..., c n } e sia f 1 c 1 } che f 1 c 2,..., c n } sono chiusi (perchè controimmagini di chiusi) non vuoti: ma questo è assurdo perchè ϕ: [a, b] R definita da 1 se t f 1 c 1 }, ϕ(t) := +1 se t f 1 c 2,..., c n risulta essere continua (la controimmagine di un chiuso è chiusa), ma questo è assurdo perchè contraddice il Teorema dei valori intermedi. Ne segue che Im f è infinito e perciò contiene una successione x 1,..., x n,... di punti distinti. Poniamo C i := f 1 x i, x i+1,..., x n,,...} per i = 1,..., n,...: allora f 1 C 1 f 1 C 2... f 1 C n... è una successione di chiusi di [a, b] con intersezione vuota, e questo è impossibile. (Notate che per questo argomento non è necessario che X non sia numerabile.) D altra parte una f : X R continua è costante (in particolare il Teorema dei valori intermedi vale per (X, T conum )). Infatti supponiamo che a, b X e f(a) < f(b). Siano U, V R aperti disgiunti contenenti a e b rispettivamente: allora gli aperti non vuoti f 1 U e f 1 V sono disgiunti, e questo è assurdo perchè aperti non vuoti di (X, T conum ) si intersecano giacchè X non è numerabile. Esiste una nozione di connessione più generale di quella per archi, e dimostreremo che uno spazio X è connesso se e solo se per X vale il Teorema dei valori intermedi. Definizione 1.2. Sia X uno spazio topologico. Diciamo che X è connesso se X = U V con U e V aperti implica che U = e V = X o U = X e V =. Un sottoinsieme Y X è connesso se lo è nella topologia indotta. 1

2 KIERAN G. O GRADY - 9 DICEMBRE 2013 Esempi 1.3. (1) Se X è connesso per archi allora è connesso. Infatti supponiamo che X = U V con U e V aperti non vuoti. Siano p U e q V : siccome X è connesso per archi esiste una γ : [a, b] X continua tale che γ(a) = p e γ(b) = q. Allora [a, b] = γ 1 (U) γ 1 (V ). Sia γ 1 (U) che γ 1 (V ) sono aperti (γ è continua) non vuoti. Definiamo ϕ: [a, b] R così: 1 se t γ 1 (U), ϕ(t) := +1 se t γ 1 (V ) La ϕ è continua perchè γ 1 (U) e γ 1 (V ) sono aperti, e Im ϕ = 1, +1}, ma questo è assurdo perchè [a, b] è connesso per archi (o per il Teorema dei valori intermedi). (2) Un X R è connesso se e solo se è un intervallo. Se X è un intervallo allora X è connesso per archi e quindi è connesso per il punto precedente. Ora supponiamo che X non sia un intervallo. Quindi esistono a < b X e c ([a, b] \ X). Allora X = ((, c) X) ((c, + ) X. Siccome (, c) X e (c, + ) X sono aperti non vuoti (a (, c) e b (, c)) segue che X non è connesso. (3) Lo spazio Z del primo degli Esempi 1.1 è connesso. Infatti supponiamo che Z = U V con U, V aperti non vuoti. Siano Z 1,+ il grafo di sin(1/x) per x > 0, Z 1, il grafo di sin(1/x) per x < 0, e Z 2 l asse delle ordinate. Quindi Z = Z 1,+ Z 1,+ Z 2 (attenzione: Z 1,± è aperto ma non chiuso e Z 2 è chiuso ma non aperto). Siccome Z 1,± e Z 2 sono connessi per archi si ha che Z 2 è interamente contenuto in uno tra U e V, diciamo U, e V contiene interamente uno (almeno) tra Z 1,+ e Z 1,, diciamo Z 1,+. Questa è una contraddizione perchè esistono punti di Z 2 nella chiusura di Z 1,+ (per esempio (0, 0)) e perciò U V. Osservazione 1.4. Uno spazio topologico X è connesso se e solo se vale una delle seguenti condizioni: (1) Se X = C D con C e D chiusi allora C = e D = X o C = X e D =. (2) Se Y X è chiuso e aperto allora Y = oppure Y = X. Per gli spazi topologici connessi valgono gli analoghi di risultati già dimostrati per spazi topologici connessi per archi. Proposizione 1.5. Siano X, Y spazi topologici e f : X Y continua. allora f(x) è connesso. Se X è connesso Dimostrazione. L applicazione f : X f(x) definita da f (cioè f(x) = f(x)) è continua, quindi possiamo supporre che f sia suriettiva. Supponiamo che Y = U V con U, V Y aperti. Allora X = f 1 U f 1 V. Siccome X è connesso f 1 U = e f 1 V = X o f 1 U = X e f 1 V =. Nel primo caso U = perchè f è suriettiva, nel secondo V = perchè f è suriettiva. Proposizione 1.6. Uno spazio topologico X è connesso se e solo se per X vale il Teorema dei valori intermedi, ovvero dati una f : X R continua e a, b X la f assume ogni valore compreso tra a a e b. Dimostrazione. Supponiamo che X sia connesso. Allora f(x) è connesso, e quindi è un intervallo per il secondo esempio di Esempi 1.3. Ora supponiamo che X non sia connesso: dimostreremo che per X non vale il Teorema dei valori intermedi. Per ipotesi X = U V con U e V aperti non vuoti. Definiamo ϕ: X R così: 1 se x U, ϕ(x) := +1 se x V La ϕ è continua perchè U e V sono aperti, e Im ϕ = 1, +1}.

TOPOLOGIA - APPUNTI SETTIMANA 2/12/2013-5/11/2013 3 Proposizione 1.7. Se X e Y sono spazi topologici connessi allora il prodotto X Y è connesso. Dimostrazione. Supponiamo che X Y = C D con C, D chiusi. Siano T C, T D Y definiti come T C := Y X } C}, T D := Y X } D}. Dimostriamo che Per Y definiamo X X } x (x, ) L applicazione i è continua e quindi Y = T C T D. (1.1) i X = i 1 C i 1 D è unione di chiusi disgiunti: siccome X è connessa si ha che X = i 1 C o X = i 1 D, ovvero T C T D. Inoltre T C T D = perchè C e D sono disgiunti. Abbiamo dimostrato che vale (1.1). A questo punto, giacchè Y è connesso basterà dimostrare che T C e T D sono chiusi (perchè allora uno tra T C, T D è uguale a Y, diciamo T C, e allora C = X Y e D = ). Per x X sia Chiaramente j x è continua. Siccome j x Y X Y (x, ) T C = x X jx 1 C vediamo che T C è una intersezione di chiusi e quindi è chiuso. 2. Componenti connesse Dimostreremo che ogni spazio topologico si può scrivere in modo unico come unione disgiunta di sottospazi connessi massimali. Definizione 2.1. Sia X uno spazio topologico. Un sottospazio Y X è una componente connessa di X se è connesso e, se Y Z con Z connesso allora Y = Z. Esempi 2.2. (1) Se X è connessa allora l unica componente connessa di X è X stesso. (2) Le componenti connesse di Q (con la topologia indotta dall inclusione Q R) sono i sottoinsiemi con un singolo punto. Proposizione 2.3. Sia X uno spazio topologico. Se X è l unione di una famiglia X i } di sottospazi connessi con intersezione non vuota allora X è connesso. Dimostrazione. Sia p i I X i. Supponiamo che X = U V dove U e V sono aperti: dobbiamo dimostrare che uno tra U e V è uguale a X. Sia i 0 I (I non è vuoto perchè l intersezione degli X i non è vuota). Siccome X i0 è connesso e X i0 = (X i0 U) (X i0 V ) uno tra U e V contiene X i0, diciamo U. D altra parte ogni X i è connesso, e siccome p (U X i ) segue che X i U per ogni i. Siccome X è l unione degli X i segue che U = X. Proposizione 2.4. Sia X uno spazio topologico. Allora X è l unione disgiunta (insiemistica) delle sue componenti connesse. Dimostrazione. Dato p X sia C(p) l unione di tutti i sottospazi connessi di X contenenti p. Allora C(p) è connesso per la Proposizione 2.3, e quindi è una componente connessa. Questo dimostra che X è unione delle sue componenti connesse. D altra parte se C 1, C 2 sono componenti connesse di X che hanno intersezione non vuota allora C 1 C 2 è connesso e contiene sia C 1 che C 2 : segue che C 1 = C 2. Qusto dimostra che X è l unione disgiunta delle sue componenti connesse.

4 KIERAN G. O GRADY - 9 DICEMBRE 2013 Osservazione 2.5. Nella Proposizione 2.4 X è l unione disgiunta insiemistica delle sue componenti connesse, non si afferma che X è l unione disgiunta topologica delle sue componenti connesse. Quest ultima affermazione è vera sotto una ipotesi debole su X, ma non è sempre vera, per esempio è falsa nel caso in cui X = Q. Osservazione 2.6. Sia f : X Y un omeomorfismo tra spazi topologici. Segue dalla Proposizione 1.5 che se C è una componente connessa di X allora f(x) è una componente connessa di Y. Quindi f induce una corrispondenza biunivoca tra la famiglia delle componenti connesse di X e quella delle componenti connesse di Y, in particolare la cardinalità delle componenti connesse di uno spazio topologico è invariante per omeomorfismi. In altre parole se il numero delle componeneti connesse di X è diverso dal numero delle componeneti connesse di Y allora X e Y non sono omeomorfi. Proposizione 2.7. Sia X uno spazio topologico. Se Y X è connesso allora Y è connesso. Dimostrazione. Sia Y = U V con U e V aperti: dobbiamo dimostrare che uno tra U e V è uguale a X. Per definizione di topologia indotta esistono aperti Ũ, Ṽ X tali che U = Ũ Y e V = Ṽ Y. Quindi Y (Ũ Ṽ ), Y Ũ Ṽ =. (2.2) Segue che Y = (Y Ũ) (Y Ṽ ), e siccome Y è connesso Y è contenuto in uno tra Ũ e Ṽ, diciamo Ũ. Quindi Ṽ Y = e perciò (X \ Ṽ ) Y, e siccome (X \ Ṽ ) è chiuso (X \ Ṽ ) Y. Dalla (2.2) segue che Y Ũ cioè U = Y. Corollario 2.8. Sia X uno spazio topologico. Ogni componente connessa di X è chiusa. Dimostrazione. Sia C una componente connessa di X. Allora C è connesso per la Proposizione 2.7, e per la massimalità di C segue che C = C. Esempio 2.9. Ci si può chiedere se le componenti connesse sono anche aperte. Questo è sicuramente vero se il loro numero è finito (il loro complementare è chiuso), ma non in generale. Le componenti connesse di Q sono i sottoinsiemei con un singlo punto, non sono aperti. 3. Compattezza Un risultato fondamentale dell Analisi studiata al primo anno (oltre al Teorema dei valori intermedi) è il Teorema di Bolzano-Weierstrass: se f : [a, b] R è continua allora f ha un massimo. Definiremo una classe di spazi topologici, cosiddetti compatti, per cui vale l analogo del teorema di Bolzano-Weierstrass (ma contrariamente all equivalenza tra essere connesso e validità del Teorema dei valori intermedi non ci sarà equivalenza tra essere compatto e validità del Teorema di Bolzano-Weierstrass). Definizione 3.1. Sia X uno spazio topologico. Un ricoprimento di X è una collezione U i } i I di sottoinsiemi di X la cui unione è X. Il ricoprimento è aperto se ciascun U i è aperto, è finito se I è finito. Un sottoricoprimento del ricoprimento U i } i I è un ricoprimento U j } j J dove J I. Esempi 3.2. (1) Il ricoprimento ( n, n)} n N+ di R è aperto ma non finito, e non ammette sottoricoprimenti finiti. (2) Il ricoprimento x}} x R di R non è aperto e non è finito. Definizione 3.3. Uno spazio topologico X è compatto se ogni ricoprimento aperto di X ammette un sottoricoprimento finito. Esempi 3.4. (1) Il ricoprimento aperto di R definito nel primo * degli Esempi 3.2 non ammette sottoricoprimenti finiti, quindi R non è compatto.

TOPOLOGIA - APPUNTI SETTIMANA 2/12/2013-5/11/2013 5 (2) Un intervallo chiuso [a, b] R è compatto. Infatti sia U i } i I un ricoprimento aperto di [a, b]. L insieme S dei c [a, b] per i quali esiste J I finito tale che [a, c] sia contenuto in j J U j è non vuoto perchè a S. Quindi esiste sup S. Basta dimostrare che sup S = b. Supponiamo che sup S < b. Esiste i 0 I tale che sup S U i0, e siccome U i0 è aperto e sup S < b esiste ɛ > 0 tale che [sup S, sup S + ɛ) U i0. Ma allora se c (sup S, sup S + ɛ) si ha che c S, contraddizione. Proposizione 3.5. Sia X uno spazio topologico compatto. Se Y X è chiuso allora Y è compatto (per la topologia indotta). Dimostrazione. Sia U i } i I un ricoprimento aperto di Y. Quindi per i I esiste un aperto Ũ i X tale che U i = Ũi Y. Aggiungendo a Ũi} i I l aperto V := (X \ Y ) otteniamo un ricoprimento aperto di X, e siccome X è compatto esiste un sottoricoprimento aperto finito. Sia J I l insieme degli indici che compaiono nel sottoricoprimento finito, chiaramente J è finito. Siccome V Y = si ha che Y j J Ũj, cioè Y = j J U j. Proposizione 3.6. Sia X uno spazio topologico di Hausdorff. Se Y X è compatto allora è chiuso. Dimostrazione. Sia p / Y : dobbiamo dimostrare che p / Y. Sia Y : siccome X è di Hausdorff esistono aperti U X e V X tali che U e p V. Il ricoprimento aperto U Y } Y ha un sottoricoprimento finito U Y } S, dove S Y è un sottoinsieme finito. L intersezione finita W := S V è un aperto contenente p che non ha intersezione con Y : infatti per costruzione W U = per ogni S, e siccome Y S U segue che W Y =. Ma allora Y è contenuto nel chiuso (X \ W ) e perciò p / Y. Corollario 3.7. Un sottoinsieme di R è compatto se e solo se è chiuso e limitato. Dimostrazione. Sia X R. Se X è chiuso e limitato allora è chiuso in un intervallo [a, b]. Siccome [a, b] è compatto (vedi il secondo degli Esempi 3.4) segue dalla Proposizione 3.5 che X è compatto. Ora supponiamo che X sia compatto. Siccome il ricoprimento aperto ( n, n) X} n N+ di X ammette un sottoricoprimento finito, X è limitato. D altra parte X è chiuso perchè è un compatto in uno spazio di Hausdorff, vedi la Proposizione 3.6. Faremo vedere che per gli spazi compatti vale l analogo del teorema di Bolzano-Weierstrass. Proposizione 3.8. Siano X, Y spazi topologici e f : X Y un applicazione continua. Se X è compatto allora f(x) è compatto. Dimostrazione. Sostituendo f(x) a possiamo assumere che f sia suriettiva. Sia V i } i I un ricoprimento aperto di Y. Allora f 1 V i } i I un ricoprimento aperto di X; siccome X è compatto esiste J I finito tale che X = f 1 V j } j J. Siccome f è suriettiva segue che Y = V j } j J. Corollario 3.9. Sia X uno spazio topologico non vuoto e compatto. Se f : X R è continua esistono massimo e minimo di f, cioè x 1, x 2 X tali che f(x 1 ) f(x) f(x 2 ) ogni x X. Dimostrazione. Per la Proposizione 3.8 l immagine f(x) è un compatto (non vuoto), e quindi è un chiuso limitato per il Corollario 3.7. Quindi < inf f(x), sup f(x) < +, e siccome f(x) è chiuso inf f(x) sup f(x) f(x). Esempio 3.10. Non è vero che se vale l analogo del teorema di Bolzano-Weierstrass per uno spazio topologico X allora X è compatto. Infatti sia X un insieme non numerabile. Ogni f : (X, T conum ) R continua è costante (e quindi ammette massimo e minimo), vedi il secondo degli Esempi 1.1, ma (X, T conum ) non è compatto. Infatti sia x 1,..., x n,... una successione di punti distinti di X, e U i := (X \ x i, x i+1,..., x n,...}). Allora U i } i N+ è un ricoprimento aperto di X che non ammette un sottoricoprimento fintio.