1 - Lun. 29/9/03. Definizione. Un applicazione f :U R s, definita su un aperto U di R k, si dice di classe

Registro delle lezioni di Topologia (I modulo: Topologia Differenziale) Università di Firenze - Facoltà di Scienze MM.FF.NN. Corso di Laurea in Matematica A.A. 2003/2004 - Prof. Massimo Furi Libri consigliati: Milnor J.W., Topology from the differentiable viewpoint, The University Press of Virginia, 1965. Guillemin V. Pollak A., Differential Topology, Prentice-Hall Inc., 1974. Hirsch M.W., Differential Topology, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 33, Springer Verlag, 1976. 1 - Lun. 29/9/03 Definizione. Una funzione f :U R definita su un aperto U di R k si dice di classe C 0 se è continua. Per induzione, fissato un intero n 1, f si dice di classe C n se è derivabile in U e le sue derivate parziali sono di classe C n 1. Infine, f è di classe C (o liscia) se è C n, n N. Il seguente risultato è una conseguenza del Teorema di Lagrange. Teorema. Se f è C 1, allora è anche C 0. Esercizio. Provare per induzione che se f è C n allora è anche C n 1. Suggerimento. Indicare con p n la proposizione C n C n 1 e osservare che, per il teorema precedente, p 1 è vera. Definizione. Un applicazione f :U R s, definita su un aperto U di R k, si dice di classe C γ, γ N { }, se sono C γ le sue funzioni componenti: f 1, f 2,..., f s. Notazione. Sia f :U R un applicazione C 1 su un aperto U di R k. La matrice jacobiana di f in punto x U si indica col simbolo f (x). Per il ben noto Teorema del differenziale di una funzione composta, la matrice jacobiana in un punto x della composizione g f di due applicazioni di classe C 1 ha la stessa espressione che nel caso delle funzioni di una sola variabile reale: (g f) (x) = g (f(x))f (x), dove il prodotto delle due matrici g (f(x)) e f (x) va inteso righe per colonne. Si osservi che un applicazione f : U R s, definita su un aperto U di R k, è di classe C n (n 1) se e solo se è differenziabile e l applicazione che ad ogni x U associa la matrice f (x) è C n 1. Il seguente risultato segue facilmente dalla definizione induttiva di applicazione C n e dalle note formule che esprimono le derivate parziali prime della somma, del prodotto, del quoziente e della composizione di due funzioni. Versione del 20/3/04 1

Teorema. La somma, il prodotto, il quoziente e la composizione di applicazioni C γ, quando (e dove) ha senso, è ancora un applicazione di classe C γ. Esercizio. Sia f :(a, b) R di classe C γ e tale che f (t) > 0, t (a, b). Provare che f 1 è di classe C γ. Definizione. Un applicazione f :X Y, da un sottoinsieme X R k in un sottoinsieme Y di R s, si dice di classe C γ se per ogni p X esiste g:u R s, di classe C γ su un intorno aperto U di p in R k, per la quale si ha g(x) = f(x) per x U X. Facciamo notare che nella suddetta definizione è importante che l estensione g sia a valori nello spazio R s, e non necessariamente nel codominio Y della f. Si osservi, infatti, che se così non fosse, l identità i:[0, 1] [0, 1] non risulterebbe C 1. Osservazione. Se f :X Y è di classe C γ ed A è un sottoinsieme di X, allora anche la restrizione di f ad A è di classe C γ. Esercizio. Provare che la composizione di applicazioni C γ (tra arbitrari sottoinsiemi degli spazi euclidei) è ancora C γ e che, dato X R k, l identità i:x X è C. Con tecniche che sfruttano la nozione di partizione dell unità (di classe C ) è possibile provare il seguente risultato, che riportiamo senza dimostrazione: Teorema. Un applicazione f : X R k Y R s è di classe C γ se e solo se ammette un estensione ad intorno aperto di X di classe C γ. 2 - Mar. 30/9/03 Definizione. Un applicazione di classe C γ, f :X Y, si dice un diffeomorfismo (di classe C γ ) se esiste un applicazione C γ, g :Y X, per la quale si ha g f = 1 X e f g = 1 Y, dove 1 X e 1 Y denotano l identità in X e in Y, rispettivamente. In altre parole un applicazione f :X Y è un diffeomorfismo di classe C γ se è di classe C γ, è biiettiva, e la sua inversa è di classe C γ. Osservazione. Se f : X Y è un diffeomorfismo, allora la sua restrizione ad un qualunque sottoinsieme A di X è un diffeomorfismo di A su f(a). Esempio. L applicazione x x 3 è un omeomorfismo (di R su R), è di classe C, ma non è un diffeomorfismo. Teorema. Il grafico {(x, y) R k R s : y = f(x), x X} di un applicazione f : X R k Y R s di classe C γ è C γ -diffeomorfo al dominio X di f. Definizione (di varietà differenziabile m-dimensionale). Un sottoinsieme M di R k si dice una varietà differenziabile m-dimensionale (senza bordo) di classe C γ se ogni suo punto ammette un intorno (in M) C γ -diffeomorfo ad un aperto di R m. Osservazione. Il concetto di varietà m-dimensionale di classe C γ è locale. Primi esempi di varietà differenziabili: Versione del 20/3/04 2

gli aperti di R m sono varietà m-dimensionali di classe C ; il grafico di un applicazione f :U R, di classe C γ su un aperto U di R m, essendo C γ -diffeomorfo al dominio, è una varietà m-dimensionale di classe C γ ; gli aperti di una varietà differenziabile M sono varietà differenziabili della stessa classe e della stessa dimensione di M; le varietà affini in R k sono varietà differenziabili di classe C e dimensione uguale a quella dello spazio di cui risultano traslate. Esempio. La sfera unitaria S 2 R 3 è localmente il grafico di un applicazione C da un aperto di R 2 in R; quindi è una varietà differenziabile di classe C e di dimensione 2 (ricordiamo che il grafico di un applicazione C γ è C γ -diffeomorfo al dominio). Esercizio. Provare che la sfera unitaria di R m+1 è una varietà differenziabile m-dimensionale di classe C. Carte (o sistemi di coordinate) di una varietà differenziabile (sono diffeomorfismi da aperti della varietà su aperti degli spazi euclidei). Funzioni coordinate. Atlante di una varietà (collezione di carte i cui domini coprono la varietà). Parametrizzazioni (diffeomorfismi da aperti di spazi euclidei su aperti di una varietà). Esercizio. Sia f : U R s un diffeomorfismo tra un aperto U di R k e la sua immagine f(u) in R s. Provare che il differenziale df x è iniettivo per ogni x U. Esercizio. Dedurre, dall esercizio precedente, che se due aperti, U di R k e V di R s, sono diffeomorfi, allora k = s (ciò prova che il concetto di dimensione di una varietà differenziabile è ben definito). Osservazione. Sia M una varietà differenziabile m-dimensionale e siano ϕ:u ϕ(u) e ψ:v ψ(v ) due carte di classe C γ su M. Il cambiamento di carta ψ ϕ 1 :ϕ(u V ) ψ(u V ), essendo composizione di due diffeomorfismi, è un diffeomorfismo (tra aperti di R m ). Di conseguenza, lo jacobiano di ψ ϕ 1 risulta diverso da zero in ogni punto di ϕ(u V ). Definizione. Un applicazione f : X R s, di classe C γ su un sottoinsieme X di R k, si dice un immersione locale (di classe C γ ) se per ogni p X la restrizione di f ad un conveniente intorno U di p (in X) è un diffeomorfismo su f(u). Si dice un immersione se è un diffeomorfismo tra X e f(x). Proveremo in seguito che un applicazione f :U R s, di classe C γ su un aperto U di R k, è un immersione locale (di classe C γ ) se e solo se df x è 1 1, x U. È evidente che ogni immersione gode delle seguenti proprietà: 1) è un immersione locale; 2) è un omeomorfismo. Versione del 20/3/04 3

Non è difficile dimostrare che se un applicazione soddisfa le suddette due condizioni, allora è un immersione. Chiaramente, l applicazione ϕ : R R 2 definita da ϕ(t) = (cos t, sen t) è un immersione locale ma, non essendo iniettiva, non è un diffeomorfismo sull immagine. La seguente figura mostra che un immersione locale, anche se è iniettiva, non è detto sia un omeomorfismo (sulla sua immagine) e quindi non è detto sia un immersione: Una condizione che assicura che un applicazione continua e iniettiva sia un omeomorfismo (sull immagine) è che il dominio sia compatto. In questo caso, infatti, l applicazione manda chiusi in chiusi (gli spazi considerati sono di Hausdorff). Pertanto, se f :U R s è un immersione locale definita su un aperto U di R k, e K è un sottoinsieme compatto di U in cui f risulta iniettiva, allora la restrizione di f a K è un immersione (ad esempio, un arco di curva regolare è diffeomorfo ad un intervallo compatto). 3 - Lun. 6/10/03 Richiami sul concetto di differenziale di un applicazione C 1 tra aperti degli spazi euclidei. Concetto di matrice jacobiana parziale (come matrice jacobiana di un applicazione parziale). Teorema (della funzione implicita). Sia f : W R s un applicazione di classe C γ su un aperto W di R k = R m R s. Se in un punto (x 0, y 0 ) di f 1 (0) lo jacobiano parziale det f y (x 0, y 0 ) è diverso da zero, allora f 1 (0), in un conveniente intorno U V di (x 0, y 0 ), è il grafico di un applicazione C γ da U in V. Corollario. Sia f :U R s un applicazione di classe C γ su un aperto U di R k. Se in ogni punto p f 1 (0) il rango della matrice jacobiana f (p) è uguale ad s (o, equivalentemente, il differenziale df p : R k R s è suriettivo), allora f 1 (0) è una varietà differenziabile (eventualmente vuota) di classe C γ e dimensione (k s). Esempi ed esercizi basati sul suddetto corollario. Versione del 20/3/04 4

4 - Mar. 7/10/03 Definizione. Sia f : U R s un applicazione di classe C 1 su un aperto U di R k. Un elemento x U si dice punto critico per f se il differenziale di f in x non è suriettivo (ossia, se la matrice f (x) ha rango minore di s). Ogni x U non critico si dice punto regolare. Sia f : U R s un applicazione di classe C 1 su un aperto di R k. Si osservi che se k < s, allora ogni punto di U è critico; se f è a valori reali (ossia s = 1), allora i suoi punti critici sono quelli in cui si annulla il gradiente; se k = s, allora x U è critico se e solo se det(f (x)) = 0. Definizione. Sia f : U R s un applicazione di classe C 1 su un aperto U di R k. Un elemento y R s si dice un valore critico per f se è immagine di un punto critico. Gli elementi di R s che non sono critici si chiamano valori regolari. In altre parole, y R s è un valore regolare se e solo se f 1 (y) non contiene punti critici (di conseguenza, se y R s non sta nell immagine di f, allora è un valore regolare). Si osservi che, per comodità di linguaggio, si fa distinzione tra gli elementi del dominio e quelli del codominio, chiamando punti i primi e valori i secondi. Facciamo notare che, in base alle due precedenti definizioni, il corollario del Teorema della Funzione Implicita può essere riformulato nel modo seguente: Teorema (di regolarità delle soluzioni). Sia f :U R s un applicazione di classe C γ su un aperto U di R k e sia y R s. Se tra le soluzioni dell equazione f(x) = y non ci sono punti critici per f (o, equivalentemente, se y R s è un valore regolare per f), allora f 1 (y) è una varietà differenziabile (eventualmente vuota) di dimensione k s e classe C γ. Esempio. La sfera S m 1 = {x R m : x 2 = 1} è una varietà differenziabile di classe C e dimensione m 1. Osserviamo infatti che S m 1 = f 1 (0), dove f : R m R è l applicazione C definita da f(x) = x, x 1. Inoltre, se p R m si ha df p (v) = 2 p, v, e questo prova che il differenziale df p è suriettivo in tutti i punti p R m \{0}. Lemma di Sard. Sia f : U R s un applicazione C n su un aperto U di R k. Se n > max{0, k s}, allora l insieme dei valori critici per f ha misura nulla secondo Lebesgue. Un immediata conseguenza del Lemma di Sard, facile da verificare, è il seguente risultato (precedentemente ottenuto da Brown): Lemma di Brown. Se f :U R s soddisfa le ipotesi del Lemma di Sard, allora l insieme dei valori regolari per f è denso in R s. Una conseguenza del Lemma di Brown è la non esistenza di curve di Peano di classe C 1. Ricordiamo, infatti, che una curva di Peano è un applicazione continua α:[a, b] R s, con s > 1, la cui immagine è dotata di punti interni. Se α è C 1, allora ogni suo punto è critico e, di conseguenza, l immagine di α, essendo di misura nulla, non può avere punti interni. Versione del 20/3/04 5

5 - Gio. 9/10/03 Teorema (della funzione inversa locale). Sia f :U R k un applicazione di classe C γ su un aperto U di R k e sia p U. Se il differenziale df p :R k R k di f in p è un isomorfismo, allora la restrizione di f ad un conveniente intorno di p è un diffeomorfismo di classe C γ su un intorno di f(p). Definizione. Un applicazione continua tra due spazi metrici, f :X Y, si dice propria se la retroimmagine di ogni compatto di Y è un compatto di X. Osservazione. Se f : X Y è un applicazione continua (tra spazi metrici) e X è compatto, allora f è propria. Esercizio. Mostrare che se f :X Y è propria, allora manda chiusi in chiusi. Si potrebbe provare che un applicazione tra spazi metrici è propria se e solo se manda chiusi in chiusi e la retroimmagine di ogni punto è un compatto. Esercizio. Sia X un sottoinsieme chiuso e non limitato di R k un applicazione continua. Provare che f è propria se e solo se lim f(x) = +. x X, x e sia f : X R k Esercizio. Dedurre dall esercizio precedente che se P : C C è un polinomio non costante, allora è un applicazione propria. 6 - Lun. 13/10/03 Osservazione. Sia f : U R s un applicazione di classe C 1 su un aperto di R k. Allora l insieme dei punti regolari per f è un aperto. Esercizio. Sia f : U R s un applicazione di classe C 1 su un aperto di R k. Dedurre, dall osservazione precedente, che se f è propria, allora l insieme dei valori regolari per f è un aperto. Suggerimento. L insieme C dei punti critici per f è un chiuso relativo ad U. Di conseguenza, essendo f propria, l insieme f(c) dei valori critici... bla, bla. Teorema. Sia f : R k R k un applicazione di classe C 1. Se y R k è un valore regolare per f, allora f 1 (y) è un insieme discreto. In particolare, se f è propria, f 1 (y) è un insieme finito. Notazione. Sia f : R k R k un applicazione propria di classe C 1 e sia C l insieme dei punti critici per f. Con #f 1 : R k \ f(c) Z si denota l applicazione che ad ogni valore regolare y di f associa la cardinalità dell insieme (finito) f 1 (y). Teorema (di continuità dell applicazione #f 1 ). Sia f :R k R k un applicazione propria di classe C 1 e sia C l insieme dei punti critici di f. L applicazione #f 1 :R k \ f(c) Z che ad ogni valore regolare y di f associa la cardinalità di f 1 (y) è localmente costante. Versione del 20/3/04 6

Teorema (fondamentale dell Algebra). L applicazione P : C C definita da un polinomio non costante a coefficienti complessi è suriettiva. 7 - Mar. 14/10/03 Definizione. Sia X un sottoinsieme di R k e sia p X. Un vettore v R k si dice un versore tangente ad X in p se esiste una successione {p n } in X \{p} tale che p n p e (p n p)/ p n p v. Osserviamo che, per la compattezza della sfera unitaria di R k, se {p n } è una successione in X \{p} che converge a p, allora { } (pn p) p n p ammette almeno una sottosuccessione convergente. Pertanto l insieme dei versori tangenti ad X in p è non vuoto se e solo se p è un punto di accumulazione per X. Definizione. Nel caso in cui p sia un punto di accumulazione per X, il cono tangente (di Bouligand) ad X in p è l insieme C p X dei vettori del tipo λv, dove λ 0 e v è un versore tangente ad X in p. Se p è un punto isolato, si pone C p X = {0}. Definizione. Sia X un sottoinsieme di R k e sia p X. Lo spazio tangente ad X in p è lo spazio vettoriale T p X generato da C p X. Ovviamente, se p è interno ad X R k, allora C p X = T p X = R k. 8 - Gio. 16/10/03 Esercizio. Mostrare che il concetto di cono tangente è locale e invariante per traslazioni; ossia: C p X = C p (X U), per ogni intorno U di p; C p X = C v+p (v + X), per ogni v R k. Esercizio (caratterizzazione del cono tangente). Siano X un insieme di R k e p un punto di X. Provare che un vettore v R k appartiene al cono tangente ad X in p se e solo se esistono due successioni, {α n } in [0, + ) e {p n } in X, tali che p n p e α n (p n p) v. Esercizio. Dall esercizio precedente dedurre che C p X è chiuso. Esercizio. Provare che se X è convesso e p X, allora C p X coincide con la chiusura dell insieme {λ(x p) : λ 0, x X} delle direzioni ammissibili. Lemma (del rapporto incrementale). Sia f :U R s un applicazione definita su un aperto U di R k e differenziabile in un punto p U. Se {p n } è una successione in U \{p} tale che p n p e (p n p)/ p n p v, allora (f(p n ) f(p))/ p n p df p (v). Si osservi che il Lemma del rapporto incrementale estende il noto Teorema della derivata direzionale, il quale afferma che se f è differenziabile in p, allora è derivabile in p lungo Versione del 20/3/04 7

ogni direzione v R k e f(p + tv) f(p) df p (v) = lim. t 0 t Lemma (di coerenza). Sia f : U R s un applicazione definita su un aperto U di R k. Supponiamo che X U e Y R s siano due insiemi tali che f(x) Y. Se f è differenziabile in p X, allora df p manda il cono tangente ad X in p nel cono tangente ad Y in f(p). Di conseguenza df p, essendo lineare, manda T p X in T f(p) Y. Lemma (di indipendenza). Siano f, g : U R s due applicazioni su un aperto U di R k. Supponiamo che f e g coincidano su un sottoinsieme X di U. Se f e g sono differenziabili in un punto p X, allora df p e dg p coincidono su C p X. Di conseguenza df p e dg p coincidono anche su T p X. Definizione. Sia f : X Y un applicazione C 1 da un sottoinsieme X di R k in un sottoinsieme Y di R s. Il differenziale di f in un punto p X, df p :T p X T f(p) Y, è la restrizione a T p X, come dominio, e a T f(p) Y, come codominio, del differenziale di una qualunque estensione C 1 di f ad un intorno di p in R k. Per giustificare la definizione appena data si osservi che se g : U R s è un estensione (locale) di f ad un intorno U di p in R k, per il Lemma di coerenza, dg p manda C p X in C f(p) Y e quindi, essendo un applicazione lineare, manda lo spazio generato da C p X nello spazio generato da C f(p) Y. In altre parole dg p induce un applicazione lineare df p :T p X T f(p) Y. Il Lemma di indipendenza, inoltre, afferma che la restrizione di dg p a T p X dipende esclusivamente da f, e non dalla particolare estensione scelta. Osservazione (proprietà funtoriali del differenziale). Se f : X Y è differenziabile in p X e g : Y Z è differenziabile in q = f(p), allora g f è differenziabile in p e d(g f) p = dg q df p. Il differenziale dell identità i:x X in un punto p X è l identità i:t p X T p X. 9 - Lun. 20/10/03 Teorema (fondamentale dei diffeomorfismi). Sia f : X Y un diffeomorfismo di classe C 1 tra un sottoinsieme X di R k e un sottoinsieme Y di R s. Allora, fissato p X, df p :T p X T f(p) Y è un isomorfismo che fa corrispondere C p X a C f(p) Y. Esempio. Dal teorema precedente segue immediatamente che l insieme { } X = (x, y) R 2 : y = x, costituito dal grafico della funzione valore assoluto, non può essere diffeomorfo ad R (benché sia omeomorfo). In (0, 0), infatti, lo spazio tangente ad X è bidimensionale, mentre T x (R) ha dimensione uno qualunque sia x R. Versione del 20/3/04 8

Definizione. Un punto p X si dice regolare per X se C p X = T p X, in caso contrario si dice singolare o di confine. L insieme dei punti singolari per X si chiama il confine di X e si denota con δx. Teorema (di invarianza del confine). Se f : X Y è un diffeomorfismo, allora la restrizione di f a δx è un diffeomorfismo tra δx e δy. Di conseguenza, n N, δ n X e δ n Y sono diffeomorfi. Esercizio. Dedurre, dal precedente teorema, che il quadrato [0, 1] [0, 1] non è diffeomorfo al disco chiuso { } D 2 = (x, y) R 2 : x 2 + y 2 1. Osservazione. Due angoli, uno minore dell angolo piatto e uno maggiore, non possono essere diffeomorfi. Infatti, poiché le applicazioni lineari mandano convessi in convessi, non può esistere un isomorfismo che faccia corrispondere un cono non convesso ad un cono convesso. Teorema (di regolarità delle varietà differenziabili). Se M R k è una varietà m- dimensionale di classe C 1, allora, p M, si ha T p M = C p M e dim T p M = m. In particolare dim M k. Osservazione. Sia ϕ: U M una parametrizzazione (locale) di una varietà differenziabile M R k. Allora lo spazio tangente ad M in un punto ϕ(u) coincide con l immagine di dϕ u. 10 - Mar. 21/10/03 Esercizio. Estendere la nozione di punto critico (punto regolare, valore critico e valore regolare) alle applicazioni tra varietà differenziabili. Lemma di Sard-Brown (per applicazioni tra varietà). Sia f : M N un applicazione C γ tra varietà di classe C γ. Se γ > max{0, dim M dim N}, allora l insieme dei valori regolari per f è denso in N. Si fa notare che se f :M N è un applicazione C 1 tra varietà differenziabili, analogamente a quanto si è visto per il caso in cui M è un aperto di R k ed N = R s, l insieme C dei punti critici di f è un chiuso (relativo ad M). Di conseguenza, se f è propria, l insieme N \ f(c) dei valori regolari è un aperto di N, e quindi è anche una varietà differenziabile. Osservazione. Sia f :U R s un applicazione di classe C 1 su un aperto U di R k. Se f è costante su un sottoinsieme X di U e p X, allora T p X Ker df p. Pertanto, se T p X e Ker df p hanno la stessa dimensione, risulta T p X = Ker df p. La suddetta osservazione è utile nel caso si debba calcolare lo spazio tangente in un punto ad una varietà definita in forma implicita. Precisamente, sia f :U R s un applicazione C 1 su un aperto U di R k e supponiamo che per ogni p f 1 (0) il differenziale df p :R k R s sia suriettivo, allora, come abbiamo già visto, dal Teorema della funzione implicita si deduce che f 1 (0) è una varietà differenziabile di dimensione k s. Pertanto, dato p f 1 (0), Versione del 20/3/04 9

anche T p (f 1 (0)) ha dimensione k s; cioè la stessa di Ker df p, visto che df p è suriettivo. Questo ci permette di dedurre l uguaglianza T p (f 1 (0)) = Ker df p. Esempio. Consideriamo la sfera S m 1 = {x R m : x 2 = 1}. Risulta S m 1 = f 1 (0), dove f(x) = x, x 1. Fissato un punto p S m 1, si ha df p (v) = 2 p, v. Pertanto df p è non nullo, e quindi anche suriettivo (dato che è a valori in R). Da ciò segue { } T p S m 1 = Ker df p = v R m : 2 p, v = 0 ; ossia T p S m 1 è lo spazio ortogonale a p. Teorema (condizione necessaria del primo ordine per i punti di minimo). Sia f :X R una funzione di classe C 1 su un sottoinsieme X di R k. Supponiamo che p X sia un punto di minimo locale f in X. Allora df p (v) 0, v C p X. In particolare, se p è un punto regolare per X (cioè non di confine), si ha df p (v) = 0 per ogni v T p X. Dimostrazione. Poiché le nozioni di punto di minimo locale e di cono tangente sono entrambe locali, senza perdere in generalità, si può supporre f(x) [f(p), + ). Quindi, per il Lemma di coerenza, df p (v) C f(p) ([f(p), + )) = [0, + ), v C p X. Ovviamente, se f :X R è come nel precedente teorema, e p X è un punto di massimo locale per f in X, allora df p (v) 0, v C p X. Per provarlo non occorre ripetere la precedente dimostrazione adattandola al nuovo caso: basta applicare il suddetto teorema alla funzione f. 11 - Gio. 23/10/03 Osservazione. Sia f :X R una funzione di classe C 1 su un sottoinsieme X di R k e sia p X un punto regolare per X (i.e. p / δx). Allora, se p è un punto estremante per f in X, il differenziale df p :T p X R è necessariamente nullo. Supponiamo ora di avere una funzione reale f di classe C 1 su un aperto U di R k e di voler determinare gli eventuali punti estremanti per la sua restrizione ad un assegnato sottoinsieme X di U. Si tratta di un problema di massimi e minimi condizionati, detti anche vincolati, e l insieme X, spesso una varietà differenziabile, costituisce il vincolo del problema. In questo caso la funzione f non è semplicemente definita su X, ma su un aperto che lo contiene (come in pratica spesso accade). Dato che f è C 1, il suo gradiente, f(x), è ben definito in ogni punto x U (ricordiamo che il gradiente di f in un punto x U è l unico vettore w che permette di rappresentare la forma lineare df x : R k R mediante il prodotto scalare; ossia w verifica la condizione df x (v) = w, v, v R k ). Supponiamo ora che p X sia un punto regolare per il vincolo X (come accade quando X è una varietà differenziabile) e che sia estremante per la restrizione di f ad X. Allora, in base alla precedente osservazione (e alla definizione di differenziale per le funzioni C 1 che operano tra insiemi arbitrari), si può affermare che la restrizione di df p : R k R al Versione del 20/3/04 10

sottospazio T p X di R k è nulla. Da ciò segue df p (v) = f(p), v = 0, v T p X. Vale pertanto il seguente Corollario. Siano X un sottoinsieme di R k ed f :U R una funzione C 1 su un aperto U contenente X. Se p X è un punto regolare per l insieme X (cioè C p X = T p X) ed è estremante per f in X (ossia è un punto di massimo o di minimo locale per la restrizione di f ad X, ma non necessariamente per f), allora il gradiente f(p) di f in p è ortogonale a T p X. Definizione. Una varietà differenziabile M R k si dice regolarmente tagliata (o regolarmente definita, o implicitamente definita) da un applicazione g :U R s, di classe C γ su un aperto U di R k, se M = g 1 (0) e dg x ha rango s per ogni x M (cioè se 0 R s è un valore regolare per g). Data una varietà differenziabile, non è detto che questa sia (globalmente) regolarmente tagliata da qualche funzione (una condizione necessaria è che sia orientabile). Tuttavia, come vedremo in seguito, ogni varietà differenziabile è localmente il luogo degli zeri di una funzione priva di punti critici. Il risultato che segue è una facile conseguenza del precedente corollario. Teorema (metodo dei moltiplicatori di Lagrange). Sia M R k una varietà differenziabile m-dimensionale, regolarmente tagliata da un applicazione g :U R s, di classe C 1 su un aperto U contenente M. Se f : U R è una funzione reale di classe C 1 su U e p M è un punto estremante per f in M, allora esiste µ R s con la proprietà che nel punto (p, µ) U R s si annulla il gradiente della funzione F :U R s R definita da F(x, λ) = f(x) λ, g(x). 12 - Lun. 27/10/03 La seguente condizione sufficiente per i punti di minimo è una conseguenza della condizione necessaria (per i punti di massimo). Teorema (condizione sufficiente del primo ordine per i punti di minimo). Sia f :X R una funzione di classe C 1 su un sottoinsieme X di R k e sia p un punto di X. Se df p (v) > 0, v C p X \{0}, allora p è un punto di minimo locale (stretto) per f. Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che p non sia di minimo locale (stretto) per f in X. Allora p è un punto di accumulazione per l insieme { } A = x X : f(x) f(p). Esiste quindi un vettore non nullo v C p (A) C p X. Chiaramente p è un punto di massimo (assoluto) per f in A. Di conseguenza, per la condizione necessaria del primo ordine, si ha df p (v) 0, che è in contrasto con l ipotesi, visto che v è un vettore non nullo di C p X. Versione del 20/3/04 11

Definizione. Sia f : U R una funzione reale di classe C n su un aperto U di R k. Il differenziale n-esimo d n f p di f in un punto p U è il prodotto di n! per il polinomio omogeneo di grado n (eventualmente nullo) della formula di Taylor di ordine n di f in p. In base alla suddetta definizione, la formula di Taylor di f in p si scrive nel seguente modo: f(p + h) = f(p) + df p(h) 1! + d2 f p (h) 2! + + dn f p (h) n! + o( h n ). Teorema (condizione necessaria del secondo ordine per i punti di minimo). Siano X un sottoinsieme di R k, U un aperto contenente X ed f : U R una funzione di classe C 2. Supponiamo che p X sia un punto di minimo locale per f in X e che df p (v) = 0, v R k. Allora d 2 f p (v) 0, v C p X. Ossia, denotata con H la matrice hessiana di f in p, risulta Hv, v 0, v C p X. Dimostrazione. Fissiamo un vettore v C p X e proviamo che d 2 f p (v) 0. Poiché d 2 f p è una funzione omogenea di grado 2, non è restrittivo supporre v = 1. Esiste allora una successione {p n } in X \{p} tale che p n p e (p n p)/ p n p v. Essendo p è un punto di minimo locale per f in X, si può assumere f(p n ) f(p). Dalla formula di Taylor del secondo ordine di f in p si ottiene 0 f(p n ) f(p) = df p (p n p) + 1 2 d2 f p (p n p) + o( p n p 2 ). Pertanto, tenendo conto che df p = 0, risulta 0 1 2 d2 f p (p n p) + o( p n p 2 ), Dato che d 2 f p una funzione omogenea di secondo grado, dividendo entrambi i membri per p n p 2, si ottiene 0 1 ( ) pn p 2 d2 f p + o( p n p 2 ) p n p p n p 2, e passando al limite per n si ha infine d 2 f p (v) 0. Il seguente risultato è un immediata conseguenza della condizione necessaria del secondo ordine per i punti di massimo. La dimostrazione viene omessa perché simile all analoga riguardante la condizione sufficiente del primo ordine (per i punti di minimo). Teorema (condizione sufficiente del secondo ordine per i punti di minimo). Siano X un sottoinsieme di R k, U un aperto contenente X ed f : U R una funzione di classe C 2. Supponiamo che per p X si abbia df p (v) = 0, v R k e d 2 f p (v) > 0, v C p X \{0}. Allora p è un punto di minimo locale (stretto) per f in X. 13 - Mar. 28/10/03 Il risultato che segue è una facile conseguenza della condizione sufficiente del secondo ordine per i punti di minimo. Versione del 20/3/04 12

Teorema (condizione sufficiente per il metodo dei moltiplicatori di Lagrange). Sia M una varietà differenziabile m-dimensionale definita da un equazione del tipo g(x) = 0, dove g:u R s è di classe C 2 su un aperto U di R k e 0 è un valore regolare per g. Data f :U R di classe C 2, supponiamo che la coppia (p, µ) U R s annulli il gradiente della funzione F :U R s R definita da F(x, λ) = f(x) λ, g(x). Consideriamo la funzione ϕ:u R data da ϕ(x) = f(x) µ, g(x). Allora, se la forma quadratica definita dalla restrizione di d 2 ϕ p allo spazio tangente T p M è definita positiva, p è un punto di minimo locale per f in M, se è definita negativa è un punto di massimo, se è indefinita non è né di massimo né di minimo. Dimostrazione. Ovviamente il punto p appartiene ad M, perché uguagliando a zero le ultime s derivate di F si ottengono le equazioni g 1 (x) = 0, g 2 (x) = 0,..., g s (x) = 0, che definiscono M. Osserviamo ora che le due funzioni ϕ ed f coincidono in M, e pertanto i punti estremanti per la loro restrizione ad M sono gli stessi. Il vantaggio nel sostituire f con ϕ è dovuto al fatto che il gradiente di quest ultima è nullo in p (si prova uguagliando a zero le prime k derivate parziali di F), e quindi entrambe le condizioni del second ordine, la necessaria e la sufficiente, sono applicabili in tal punto. Chiarito ciò, il resto è facile conseguenza delle suddette condizioni. La sufficiente si applica se la forma quadratica è definita (positiva o negativa) e la necessaria se la forma quadratica è indefinita. Un estensione della condizione sufficiente del secondo ordine (per i punti di minimo) è rappresentata dalla seguente Condizione sufficiente di tipo misto (per i punti di minimo). Siano X un sottoinsieme di R k, U un aperto contenente X ed f : U R una funzione reale di classe C 2. Supponiamo che p X sia un punto di minimo locale per la restrizione ad X del differenziale df p : R k R (ossia, df p (x p) 0 per ogni x in un conveniente intorno di p in X). Se d 2 f p (v) > 0, v (Ker df p C p X) \{0}, allora p è un punto di minimo locale (stretto) per f in X. Si fa notare che quando il differenziale df p : R k R è nullo, la suddetta condizione sufficiente di tipo misto si riduce a quella del second ordine. Infatti, in tal caso, p è banalmente un punto di minimo per df p e (Ker df p C p X) \{0} = C p X \{0}. Esempio. Consideriamo la funzione f : Q R definita nel quadrato Q = [0, 1] [0, 1] di R 2 da f(x, y) = sen y cos x + cos y. La formula di MacLaurin del second ordine di f è f(x, y) = y + x2 2 y2 2 + o(ρ2 ), dove ρ = x 2 + y 2. Quindi, posto p = (0, 0), si ha df p (x, y) = y e d 2 f p (x, y) = x 2 y 2. Pertanto la condizione sufficiente di tipo misto ci assicura che p è un punto di minimo locale per f in Q. Infatti p è un punto di minimo in Q per il differenziale primo (rappresentato dalla forma lineare y) e il differenziale secondo (rappresentato dalla forma quadratica x 2 y 2 ) è positivo lungo i vettori della semiretta Ker df p C p X generata da v = (1, 0). Versione del 20/3/04 13

14 - Gio. 30/10/03 Definizione. Dato uno spazio vettoriale (reale) E e dato un funzionale lineare non nullo y, il sottoinsieme {x E : y (x) 0} si dice un semispazio (chiuso) di E. Definizione. Il semispazio standard di R m è l insieme H m = {x R m : x m 0} costituito dai punti di R m la cui ultima coordinata è non negativa (ossia, dai punti in cui il funzionale π m, che ad ogni x di R m associa l ultima coordinata x m, è non negativo). Definizione. Un sottoinsieme X di R k si dice una varietà (differenziabile) con bordo di classe C γ e dimensione m, se è localmente C γ -modellato su H m ; ossia se è localmente C γ -diffeomorfo agli aperti di H m. Definizione. Il confine δx di una varietà con bordo X si chiama bordo di X e si denota col simbolo X. Il termine bordo e il simbolo sono riservati esclusivamente alle varietà con bordo, mentre il confine è un concetto generale che ha senso per ogni sottoinsieme di R k. Esempi banali di varietà con bordo: 1) H m è una varietà con bordo (di classe C e dimensione m); 2) ogni aperto U di una varietà con bordo X è una varietà con U = U X; 3) ogni varietà X senza bordo è una varietà con bordo e X =. 4) l intervallo [0, 1] è una varietà unidimensionale con [0, 1] = {0, 1}. Esempio di varietà con bordo (mediante la definizione): { } D 2 = (x, y) R 2 : x 2 + y 2 1. Carte (o sistemi di coordinate) di una varietà con bordo (sono diffeomorfismi da aperti della varietà su aperti del semispazio standard). Atlante di una varietà (collezione di carte i cui domini coprono la varietà). Parametrizzazioni (diffeomorfismi dal semispazio standard su aperti di una varietà). Osservazione (sulla regolarità delle varietà differenziabili con bordo). Se X R k è una varietà con bordo di dimensione m, allora, p X, si ha dim T p X = m. Inoltre, se p è un punto del bordo di X, allora C p X è un semispazio di T p X. Definizione. Sia X una varietà m-dimensionale con bordo e sia p X. Un vettore v T p X si dice diretto (o che punta) verso l interno se appartiene a C p X. Si dice diretto verso l esterno se v C p X. Si dice che punta strettamente verso l interno (risp. verso l esterno) se è diretto verso l interno (risp. l esterno) ma non è tangente al bordo. Osserviamo che i vettori tangenti al bordo sono quelli diretti sia verso l interno che verso l esterno. Osservazione. Per il Teorema di invarianza del confine, se ϕ:u H m è una carta di una varietà con bordo X, si ha ϕ(u X) = ϕ(u) H m. Pertanto, essendo H m = R m 1, X è una varietà senza bordo di dimensione m 1, ovviamente della stessa classe di X. Versione del 20/3/04 14

15 - Lun. 3/11/03 Esercizio. Provare che il quadrato [0, 1] 2 R 2 non è una varietà con bordo (questo implica che la categoria delle varietà con bordo di classe C γ non è chiusa rispetto al prodotto). Mostrare che se si rimuovono i quattro vertici del quadrato, quello che resta è una varietà con bordo di classe C (ovviamente non compatta). Esercizio. Data una varietà X con bordo, provare che il suo interno, X \ X, è un aperto di X ed è una varietà senza bordo. Definizione. Un sottoinsieme X di R k si dice una varietà con spigoli di classe C γ e dimensione m, se è localmente C γ -modellato sul cono standard K m = {x R m : x 1 0, x 2 0,..., x m 0} di R m, ossia se ogni punto di X ammette un intorno C γ -diffeomorfo ad un aperto di K m. Osservazione. La categoria delle varietà con spigoli è chiusa rispetto al prodotto. Osservazione. Ogni varietà con bordo è una varietà con spigoli. Lemma (del taglio). Sia M una varietà m-dimensionale senza bordo di classe C γ e sia f : M R un applicazione C γ. Se 0 è un valore regolare per f, allora l insieme X = {x M : f(x) 0} è una varietà C γ con X = f 1 (0). Inoltre, se p X, si ha C p X = {v T p M : df p (v) 0}. Si osservi che il Lemma del taglio si applica immediatamente al seguente esempio: { } D 2 = (x, y) R 2 : x 2 + y 2 1. Esercizio. Verificare, in funzione di c R, quando è possibile applicare il Lemma del taglio al seguente sottoinsieme di S 2 : { } X c = (x, y, z) S 2 : z c. 16 - Mar. 4/11/03 Dimostrazione del lemma del taglio. L esempio che segue mostra che nel Lemma del taglio l ipotesi che 0 sia un valore regolare per f non può essere rimossa. Esempio. Con le notazioni del Lemma del taglio, se M = R ed f : R R è la funzione f(x) = x 2, si ha X = {x M : f(x) 0} = R. Quindi X è una varietà con bordo, ma X, che è vuoto, non coincide f 1 (0) = {0}. Si osservi che 0 non è un valore regolare per f. Versione del 20/3/04 15

Teorema (di regolarità delle soluzioni per varietà senza bordo). Sia f :M N un applicazione C γ tra due varietà senza bordo di classe C γ e dimensione m ed n rispettivamente. Se y N è un valore regolare per f, allora f 1 (y) è una varietà di classe C γ e dimensione m n. Inoltre, x f 1 (y), si ha T x (f 1 (y)) = Ker df x. 17 - Gio. 6/11/03 Si osservi che un applicazione lineare L : E F tra due spazi vettoriali di dimensione finita è suriettiva se e solo dim Ker L = dim E dim F. Pertanto, data un applicazione f : M N di classe C 1 da una varietà m-dimensionale in una varietà n-dimensionale, un punto p M è regolare per f se e solo se il nucleo di df p : T p M T f(p) N ha dimensione m n. Al fine di comprendere meglio le ipotesi e la dimostrazione del teorema che segue, è bene inoltre osservare che se f è la restrizione ad M di un applicazione g : W N, di classe C 1 su una varietà k-dimensionale W contenente (propriamente) M, allora Ker df p = Ker dg p T p M (essendo df p la restrizione di dg p a T p M). Quindi, se p è un punto regolare per f :M N, Ker dg p non può essere contenuto in T p M, dato che ha dimensione k n > m n (infatti p, essendo un punto regolare per f, lo è anche per g). Teorema (di regolarità delle soluzioni per varietà con bordo). Sia f : X N un applicazione C γ tra una varietà m-dimensionale con bordo di classe C γ ed una varietà n-dimensionale senza bordo di classe C γ. Supponiamo che y N sia un valore regolare sia per f sia per la restrizione di f a X. Allora f 1 (y) è una varietà con bordo di classe C γ e dimensione m n. Inoltre f 1 (y) = X f 1 (y). 18 - Lun. 10/11/03 Si fa notare che nel Teorema di regolarità delle soluzioni per varietà con bordo, l ipotesi che y sia un valore regolare per f implica che y è regolare anche per la restrizione di f alla varietà senza bordo X \ X. Di conseguenza f 1 (y) \ X è una varietà senza bordo. Da ciò segue che gli eventuali punti di confine di f 1 (y) stanno necessariamente nel bordo di X. L ipotesi che il valore y sia regolare anche per la restrizione di f a X assicura che ogni punto di X f 1 (y) è effettivamente di confine per f 1 (y). L esempio che segue mostra che nel precedente teorema l ipotesi che y sia un valore regolare per la restrizione di f al bordo di X non può essere rimossa. Esempio. Con le notazioni del precedente teorema, siano X = H 2, N = R, y = 0 ed f : H 2 R la funzione f(x 1, x 2 ) = x 2 x 2 1. In questo caso f 1 (0) è la parabola di equazione x 2 = x 2 1, che è una varietà unidimensionale senza bordo. Poiché tale parabola interseca il bordo di H 2, non vale l uguaglianza f 1 (0) = H 2 f 1 (0). Quindi 0 R, pur essendo un valore regolare per f, in base al precedente teorema non può esserlo per la restrizione di f al bordo di H 2 (verificarlo per esercizio). Versione del 20/3/04 16

Definizione. Un sottoinsieme A di uno spazio topologico X si dice un retratto di X se esiste un applicazione continua r : X A, detta retrazione, tale che r(x) = x per ogni x A. Osserviamo che se A è un retratto di X, allora coincide con l insieme dei punti fissi dell applicazione p : X X (detta proiezione) ottenuta componendo la retrazione con l inclusione di A in X. Pertanto, se X è uno spazio di Hausdorff, allora A è necessariamente chiuso in X. Esempi di retratti. Esempi di non retratti. Osservazione. I punti di uno spazio X sono retratti di X. Osservazione. Se A X è un retratto di X, allora è anche retratto di ogni sottoinsieme B di X contenente A. Definizione. Si dice che uno spazio topologico X ha la proprietà del punto fisso se ogni applicazione continua di X in sé ammette almeno un punto fisso. Si osservi che la proprietà del punto fisso è topologica. Vale a dire che se due spazi sono omeomorfi e uno ha la proprietà del punto fisso, anche l altro ce l ha. Esercizio. Dedurre dal Teorema di esistenza degli zeri che l intervallo [0, 1] ha la proprietà del punto fisso. Teorema. I retratti ereditano la proprietà del punto fisso. Esempi di spazi con e senza la proprietà del punto fisso. 19 - Mar. 11/11/03 Teorema (di classificazione delle varietà unidimensionali). Ogni varietà connessa, unidimensionale, di classe C γ, è C γ -diffeomorfa ad uno dei seguenti quattro modelli: S 1 se è compatta senza bordo; [0, 1] se è compatta con bordo; (0, 1) se è non compatta senza bordo; [0, 1) se è non compatta con bordo. Lemma di non esistenza della retrazione (dimostrazione di Hirsch). Sia M una varietà compatta, con bordo, di classe C. Allora M non è un retratto C di M. Lemma. Se f : D k D k è un applicazione C, allora per almeno un punto x 0 D k risulta f(x 0 ) = x 0. 20 - Gio. 13/11/03 Teorema di approssimazione di Weierstrass. Sia f :K R una funzione continua su un compatto di R k. Allora, fissato ɛ > 0, esiste un polinomio reale di k variabili reali, p:r k R, per il quale si ha p(x) f(x) < ɛ, x K. Corollario. Sia f :K R s una funzione continua da un compatto di R k in R s. Allora, fissato ɛ > 0, esiste un applicazione g:r k R s di classe C e tale che g(x) f(x) < ɛ, Versione del 20/3/04 17

x K. Teorema di Brouwer (versione classica). Il disco unitario ha la proprietà del punto fisso. D k = {x R k : x 1} Stretta convessità degli spazi euclidei. Cenni sull esistenza e unicità, in un convesso chiuso di uno spazio euclideo, del punto più vicino ad un punto assegnato. Teorema. I convessi chiusi di R k sono retratti di tutto lo spazio. In particolare, i convessi compatti di R k sono retratti di qualche disco. Teorema di Brouwer (versione generale). I convessi compatti degli spazi normati di dimensione finita hanno la proprietà del punto fisso. 21 - Lun. 17/11/03 Applicazioni del Teorema di Brouwer alla risolubilità di alcuni sistemi non lineari di k equazioni in k incognite. Risolubilità dei sistemi della forma Lx = h(x), dove L : R k R k è un isomorfismo e h:r k R k è continua e tale che h(x) / x 0 per x. Risolubilità dei sistemi della forma Lx = h(x), dove L:R k R k è un applicazione lineare soddisfacente la condizione m x Lx, m > 0, e h:r k R k è continua e tale che h(x) lim < m. x x 22 - Mar. 18/11/03 Principio di continuazione in dimensione finita. Siano L:R k R k un applicazione lineare, U un aperto limitato di R k ed h : U [0, 1] R k un applicazione continua. Supponiamo che: 1) h(x, 0) = 0, x U; 2) 0 U; 3) Lx h(x, λ), (x, λ) U [0, 1]. Allora l equazione Lx = h(x, 1) ammette almeno una soluzione. Corollario. Siano L : R k R k un applicazione lineare ed f : R k R k un applicazione continua. Se l insieme S = {x R k : Lx = λf(x) per almeno un λ [0, 1]} è limitato, allora l equazione Lx = f(x) ammette almeno una soluzione. Versione del 20/3/04 18

Applicazioni del principio di continuazione ai problemi di esistenza di soluzioni per sistemi non lineari in R k (esempi ed esercizi). 23 - Gio. 20/11/03 Esempio di Kakutani. Sia D il disco unitario di l 2 e sia f :D D così definita: dove x = (ξ 1, ξ 2,, ξ n, ). f(x) = ( 1 x 2, ξ 1, ξ 2,, ξ n, ), Mostriamo che f non ammette punti fissi. Supponiamo infatti, per assurdo, che esista un x D tale che f( x) = x. Poiché, come è immediato verificare, f(x) = 1 per ogni x D, risulta x = 1. Di conseguenza, e quindi f( x) = (0, ξ 1, ξ 2,, ξ n, ), ( ξ 1, ξ 2,, ξ n, ) = (0, ξ 1, ξ 2,, ξ n, ). Se ne deduce ξ 1 = 0, ξ 2 = 0,, ξ n = 0, E questo è assurdo, visto che x = 1. Un altro esempio di convesso, chiuso e limitato che non gode della proprietà del punto fisso è costituito dal sottoinsieme Q = {x C[0, 1] : x(0) = 0; x(1) = 1; 0 x(t) 1, t [0, 1]} dello spazio di Banach C[0, 1]. Si osservi infatti che l applicazione lipschitziana f :Q Q definita da f(x)(t) = tx(t) è priva di punti fissi (f è addirittura la restrizione a Q di un applicazione lineare). Incidentalmente, si osservi che Q è interamente costituito da vettori di norma uno, e questo mostra che C[0, 1] non è uno spazio strettamente convesso. 24 - Lun. 24/11/03 Lemma (di approssimazione). Sia K un sottoinsieme compatto di uno spazio normato E. Fissato ɛ > 0, esiste un applicazione continua i ɛ :K E con le seguenti proprietà: 1) i ɛ (x) x < ɛ, x K; 2) l immagine i ɛ (K) di i ɛ è contenuta in un convesso generato da un numero finito di punti di K. Teorema di Schauder (versione classica). I convessi compatti degli spazi normati hanno la proprietà del punto fisso. Teorema di Schauder (versione generale). Sia Q E un convesso di uno spazio normato e sia f : Q E un applicazione continua. Se l immagine di f è contenuta in un sottoinsieme compatto di Q, allora f ammette almeno un punto fisso. Definizione. Un applicazione tra due spazi metrici si dice completamente continua se è continua e manda insiemi limitati in insiemi relativamente compatti, si dice compatta se la sua immagine è relativamente compatta. Versione del 20/3/04 19

Si osservi che, in base alla suddetta definizione, le applicazioni compatte sono anche completamente continue. Il viceversa non è vero; infatti ogni applicazione continua f :X R s definita su un sottoinsieme chiuso di R k è completamente continua, ma non è detto sia compatta, a meno che non abbia immagine limitata. Si fa presente che per quanto riguarda gli operatori lineari tra spazi normati, la terminologia, per motivi di tradizione, non rientra nel suddetto schema: un operatore lineare completamente continuo è in uso chiamarlo compatto. Tuttavia non c è pericolo di far confusione, perché l unica applicazione lineare tra due spazi normati che (in base alla suddetta definizione) può dirsi realmente compatta è l applicazione nulla, dato che la sua immagine deve essere un sottospazio compatto (e quindi limitato) del codominio. Volendo, la discordanza tra la terminologia in uso e la suddetta definizione si può giustificare osservando che gli operatori lineari sono completamente determinati dalla loro restrizione alla palla unitaria, e un applicazione lineare è completamente continua se e solo se è compatta la sua restrizione a tale palla. Analogamente, si ricorda che un operatore lineare tra spazi normati si dice limitato se è limitata l immagine della palla unitaria, e non se lo è tutta l immagine (solo l operatore nullo può vantare quest ultima proprietà). Corollario (versione più comune del Teorema di Schauder). Se un applicazione completamente continua manda un convesso, chiuso e limitato di uno spazio di Banach in sé, allora ammette almeno un punto fisso. 25 - Mar. 25/11/03 Richiami sul Teorema di Ascoli-Arzelà. Teorema. Un sottoinsieme A di C[a, b] è relativamente compatto se e solo se è limitato e costituito da funzioni equicontinue. Osservazione. Sia A un sottoinsieme di C[a, b] costituito da funzioni derivabili. Se esiste una costante che maggiora in valore assoluto le derivate di tutte le funzioni di A, allora A è costituito da funzioni equilipschitziane, e quindi anche equicontinue. Teorema. Data una funzione continua f : [a, b] R R e dato x 0 R, l operatore integrale (di Volterra) F : C[a, b] C[a, b] definito da F(x)(t) = x 0 + è un applicazione completamente continua. t a f(s, x(s)) ds Con riferimento al suddetto teorema, si osservi che se la funzione f è limitata, allora, per il Teorema di Schauder, l operatore F (associato ad f) ammette almeno un punto fisso. Infatti F manda tutto lo spazio in un insieme limitato, e quindi esiste una palla chiusa che viene trasformata in sé. 26 - Gio. 27/11/03 Osservazione. I punti fissi del suddetto operatore integrale di Volterra sono soluzioni Versione del 20/3/04 20

(globali) del seguente problema di Cauchy (e viceversa): { x (t) = f(t, x(t)) x(a) = x 0 In modo analogo si dimostra che se f :[a, b] R k R k è continua e limitata, e x 0 R k, allora esiste una soluzione (globale) dell equazione differenziale vettoriale x (t) = f(t, x(t)) che verifica la condizione iniziale x(a) = x 0. Il risultato che segue è una facile conseguenza di quanto appena osservato. Teorema (di esistenza di Peano). Sia f :U R k un applicazione continua in un aperto U di R R k. Allora, fissato un punto (t 0, x 0 ) U, esiste un applicazione x:j R k, di classe C 1 in un intervallo aperto J contenente t 0, che verifica le seguenti condizioni: 1) x (t) = f(t, x(t)), t J; 2) x(t 0 ) = x 0. Cenni sul concetto di soluzione massimale (massimale destra e massimale sinistra) di un equazione differenziale (vettoriale). Cenni su un importante proprietà delle soluzioni massimali destre (risp. sinistre): il grafico non è contenuto in nessun compatto contenuto nell aperto U di R R k in cui è definita la funzione f :U R k. 27 - Lun. 01/12/03 Principio di continuazione di Leray-Schauder. Siano L : E F un isomorfismo tra spazi di Banach, U un aperto limitato di E ed h : U [0, 1] F un applicazione completamente continua. Supponiamo che: 1) h(x, 0) = 0, x U; 2) 0 U; 3) Lx h(x, λ), (x, λ) U [0, 1]. Allora l equazione Lx = h(x, 1) ammette almeno una soluzione. Cenno sui problemi ai limiti del tipo { x (t) A(t)x(t) = y(t) Bx = z dove A è una matrice n n di funzioni reali e continue in un intervallo [a, b], y:[a, b] R n è una funzione continua assegnata, B:C 1 ([a, b], R n ) R n è un operatore lineare, continuo e suriettivo, z è un vettore di R n e x (la funzione incognita) appartiene a C 1 ([a, b], R n ). Versione del 20/3/04 21

28 - Mar. 02/12/03 Teorema. Condizione necessaria e sufficiente affinché il problema { x (t) A(t)x(t) = y(t) Bx = z abbia soluzione per ogni (y, z) C([a, b], R n ) R n è che il problema omogeneo associato abbia soltanto la soluzione nulla. Applicazione del principio di continuazione di Leray-Schauder all esistenza di soluzioni del seguente problema ai limiti: u (t) = f(t, u(t)) u(a) = 0 u(b) = 0 dove f :[a, b] R R è una funzione continua tale che sf(t, s) > 0 per s sufficientemente grande. 29 - Gio. 04/12/03 Ricordiamo che se f : M N è un applicazione propria, di classe C, tra varietà differenziabili (senza bordo) della stessa dimensione e y N è un valore regolare per f, allora f 1 (y) è un insieme compatto e discreto, pertanto finito. Ricordiamo inoltre che, denotato con C l insieme dei punti critici di f, l applicazione #f 1 :N \ f(c) Z che ad ogni valore regolare y di N associa la cardinalità di f 1 (y) è localmente costante. Notazione. Sia f :M N un applicazione propria, di classe C, tra varietà differenziabili (senza bordo) della stessa dimensione. Se y N è un valore regolare per f, col simbolo deg 2 (f, y) si denota il numero #f 1 (y) modulo 2. Risulta quindi deg 2 (f, y) uguale a zero o ad uno, a seconda che #f 1 (y) sia pari o dispari. Omotopie di classe C. Coppie di applicazioni C -omotope. Proposizione. Siano X R k ed Y R s due insiemi e sia C (X, Y ) l insieme delle applicazioni C da X in Y. La relazione in C (X, Y ) di essere C -omotope è di equivalenza. Lemma di omotopia (per il grado modulo 2). Siano f, g : M N due applicazioni C -omotope tra varietà senza bordo della stessa dimensione, e sia M compatta. Se y N è un valore regolare per entrambe le applicazioni, allora deg 2 (f, y) = deg 2 (g, y). Osservazione. Nel Lemma di omotopia, l ipotesi che M sia una varietà compatta può essere sostituita con la seguente condizione (strettamente più debole): esiste un omotopia propria e di classe C tra f e g. Ovviamente, in questo caso, f e g risultano applicazioni proprie. Versione del 20/3/04 22