ALGEBRA 1. Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata * * *

ALGEBRA 1 Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata * * * Prof Lidia Angeleri Anno accademico 2015-2016 2 1 si veda la nota a pagina seguente! 2 appunti aggiornati in data 1 ottobre 2015

Nota importante: Questi appunti non sono le dispense del corso, ma vogliono soltanto fornire un filo rosso attraverso il corso Sicuramente il materiale qui raccolto non è sufficiente per preparare l esame Lascio spazio apposito per poter inserire le osservazioni, gli esempi, le dimostrazioni ecc che verranno presentati e discussi a lezione, e aggiungo riferimenti bibliografici per chi non segue le lezioni Buon lavoro! Bibliografia: S Bosch, Algebra, Springer, Unitext 2003 INHerstein, Algebra, Editori Riuniti 2003 Aspetti storici: JPTignol, Galois Theory of Algebraic Equations World Scientific 2001 JDerbyshire, Unknown quantity A real and imaginary history of algebra Plume 2006 MLivio, L equazione impossibile Rizzoli 2005

Indice I Gruppi 5 1 Gruppi e sottogruppi 5 11 Gruppo 5 12 Sottogruppo 5 13 Esempi 5 14 Laterale di G modulo H, ordine, indice 6 15 Teorema di Lagrange 7 16 Lemma 7 2 Il gruppo quoziente 8 21 Sottogruppo normale 8 22 Il gruppo quoziente 8 23 Esempi 8 24 Omomorfismo, isomorfismo 9 25 Nucleo e immagine di un omomorfismo 9 26 Teorema di Fattorizzazione di Omomorfismi 10 27 Teorema Fondamentale dell Omomorfismo 10 3 Gruppi ciclici 11 31 Esempio: I sottogruppi generati da un elemento in (Z/6Z, +) 11 32 L ordine di un elemento 11 33 Gruppo ciclico 11 34 Classificazione dei gruppi ciclici 11 4 Il gruppo simmetrico 12 41 Teorema di Cayley 12 42 Permutazioni 12 43 Notazione per le permutazioni 12 44 Esempi 13 45 Il segno di una permutazione 13 46 Il gruppo alterno 14 47 Cicli disgiunti 14 48 Esempio 14 49 Scomposizione di permutazioni 14 5 Gruppi risolubili 16 51 Definizione 16 52 Proprietà del sottogruppo commutatore 16 53 Gruppi risolubili 17 54 Corollario 17 55 Risolubilità del gruppo simmetrico 17

4 INDICE

5 Parte I Gruppi 1 Gruppi e sottogruppi 11 Gruppo Un gruppo (G, +) è costituito da un insieme non vuoto G e un operazione + : G G G, (a, b) a + b su G che gode delle seguenti proprietà: (G1) associatività: a + (b + c) = (a + b) + c per a, b, c G; (G2) elemento neutro: a + 0 G = 0 G + a = a per ogni a G; (G3) elemento inverso: per ogni a G esiste b G tale che a + b = b + a = 0 G ; Il gruppo (G, +) si dice abeliano 1 se vale anche la proprietá: (G4) commutativa: a + b = b + a per a, b G OSSERV AZION I (1) 0 G è univocamente determinato e per ogni a G l elemento inverso è univocamente determinato e si indica con a (2) In un gruppo si ha la proprietà cancellativa: se a + x = a + y allora x = y per a, x, y G (3) Si usa spesso la notazione moltiplicativa (G, ) In tal caso l elemento neutro si indica con e oppure con 1 G e l elemento inverso di a si indica con a 1 ESEMP I (1) (Z, +), (Q, +), (Q \ {0}, ), (R, +), (R \ {0}, ) sono gruppi abeliani L insieme Gl(n, K) di tutte le matrici invertibili di ordine n su un campo K è un gruppo rispetto alla moltiplicazione di matrici, non è abeliano per n 2 (2) Sia A un insieme non vuoto e sia S(A) l insieme di tutte le applicazioni biiettive f : A A La composizione di applicazioni definisce un operazione : S(A) S(A) S(A), (f, g) g f Con questa operazione (S(A), ) diventa un gruppo, in generale non abeliano 12 Sottogruppo Sia (G, +) un gruppo Un sottoinsieme non vuoto H G si dice sottogruppo di G se H è un gruppo rispetto all operazione + di G In tal caso si scrive H G OSSERV AZION E Un sottoinsieme H G è un sottogruppo se e solo se H e per tutti gli a, b H si ha a b H 13 Esempi (0) L insieme dei numeri dispari non forma un sottogruppo di (Z, +) perché non è chiuso rispetto all operazione + (1) Ogni gruppo (G, ) possiede i sottogruppi banali {e} e G 1 Niels Abel, matematico norvegese (1802-1829)

6 1 GRUPPI E SOTTOGRUPPI (2) Il sottogruppo generato da un elemento Sia (G, ) un gruppo con elemento neutro e Per a G e un intero n Z si pone { a } a {{ a } se n > 0 n a n = e se n = 0 a } 1 a 1 {{ a 1 } n se n < 0 L insieme a = {a n n Z} è un sottogruppo di G, detto il sottogruppo generato da a (3) Il gruppo abeliano (Z, +) Il sottogruppo di (Z, +) generato da un elemento n è < n >= {nz z Z} = nz I sottogruppi di (Z, +) sono precisamente i sottoinsiemi di forma nz con n N 0 Infatti: Dati n N 0 e due numeri interi z, z, si ha z z < n >= nz se e solo se il resto della divisione di z per n coincide con quello della divisione di z per n Per 0 r n 1 chiamiamo classe di resto di r modulo n l insieme r = {z Z r è il resto della divisione di z per n} = {nq + r q Z} Abbiamo quindi che z z < n >= nz se e solo se z e z appartengono alla stessa classe di resto Si noti che le classi di resto 0, 1,, n 1 sono disgiunte a due a due, e la loro unione è Z = 0 1 n 1 14 Laterale di G modulo H, ordine, indice Ogni sottogruppo H di gruppo (G, +) definisce una relazione di equivalenza su G a b se a b H La classe di equivalenza di un elemento a rispetto a a = {x G x a} = {h + a h H} = H + a si chiama laterale destro di G modulo H con rappresentante a L insieme di tutti i laterali destri si indica con G/H = {a a G} L ordine G di G è il numero degli elementi dell insieme G Il gruppo G si dice finito se il suo ordine è finito L ordine di G/H (cioè il numero dei laterali destri di G modulo H) è detto indice di H in G e si indica con [G : H] DIMOST RAZIONE :

15 Teorema di Lagrange 7 ESEMP IO : I laterali (destri e sinistri) di Z modulo nz sono esattamente le classi di resto 0, 1,, n 1 15 Teorema di Lagrange Sia (G, +) un gruppo finito e sia H G Allora In particolare, l ordine H divide l ordine G Per la dimostrazione serve il seguente 16 Lemma G = H [G : H] Sia A un insieme non vuoto con una relazione di equivalenza Per a, b A si ha a b a = b a b Quindi induce una partizione su A: l insieme A è l unione di classi di equivalenza disgiunte a due a due DIMOST RAZIONE : DIMOST RAZIONE del T eorema di Lagrange :

8 2 IL GRUPPO QUOZIENTE 2 Il gruppo quoziente Sia (G, ) un gruppo con sottogruppo H G Vogliamo definire un operazione sui laterali come segue: Ha Hb = H ab Affinché l operazione sia ben definita, dobbiamo garantire che serve quindi la condizione seguente: 21 Sottogruppo normale Un sottogruppo H G di un gruppo (G, ) si dice normale se soddisfa In tal caso scriviamo H G aha 1 H per ogni a G, h H OSSERV AZIONE : H G se e solo se ah = Ha per ogni a G (Esercizio) 22 Il gruppo quoziente Sia (G, ) un gruppo con sottogruppo normale H G Allora l insieme dei laterali G/H con l operazione Ha Hb = H ab, ovvero a b = ab, è un gruppo con elemento neutro e G/H = e = H, detto gruppo quoziente di G modulo H Si ha a = e se e solo se a H Infatti 23 Esempi (1) Ogni sottogruppo di un gruppo abeliano è normale Per un esempio di un sottogruppo non normale si vedano gli Esercizi (2) (Z/nZ, +) è un gruppo rispetto all operazione a + b + a + b Per n = 2 :

24 Omomorfismo, isomorfismo 9 Per n = 5: 24 Omomorfismo, isomorfismo Siano (G, ) e (G, ) due gruppi Un applicazione f : G G si dice: - omomorfismo se f(a b) = f(a) f(b) per a, b G; - isomorfismo se f è un omomorfismo biiettivo Se esiste un isomorfismo f : G G si dice che G e G sono isomorfi e si scrive G = G 25 Nucleo e immagine di un omomorfismo Siano (G, ) e (G, ) due gruppi e sia f : G G un omomorfismo (1) L insieme Kerf = {a G f(a) = e G } è un sottogruppo normale di G, detto nucleo di f (2) L insieme Imf = {f(a) a G} è un sottogruppo di G, detto immagine di f (3) e G Kerf, e f è iniettivo se e solo se Kerf = {e G } (4) Se H G, allora l applicazione ν : G G/H, a a = Ha è un omomorfismo suriettivo con nucleo Kerν = H, detto epimorfismo canonico DIMOST RAZIONE :

10 2 IL GRUPPO QUOZIENTE 26 Teorema di Fattorizzazione di Omomorfismi Sia (G, ) un gruppo con sottogruppo normale H G Sia inoltre f : G G un omomorfismo tale che H Kerf Allora esiste uno e un solo omomorfismo f : G/H G tale che f ν = f Si ha Kerf = Kerf/H = {x x Kerf} e Imf = Imf DIMOST RAZIONE 27 Teorema Fondamentale dell Omomorfismo Sia f : G G un omomorfismo Allora esiste uno e un solo omomorfismo f : G/Kerf G tale che f ν = f In particolare R/Kerf = Imf DIMOST RAZIONE

11 3 Gruppi ciclici 31 Esempio: I sottogruppi generati da un elemento in (Z/6Z, +) 32 L ordine di un elemento Sia (G, ) un gruppo e sia a G L ordine dell elemento a è definito come ord(a) = a (1) Se a l a k per l k allora ord(a) = (2) Se esistono l k tali che a l = a k allora ord(a) = m <, dove m è il minimo intero positivo tale che a m = e Infatti COROLLARIO del T eorema di Lagrange Se G = n, allora ord(a) divide n e quindi a n = e DIMOST RAZIONE : Per il Teorema di Lagrange si ha: ord(a) = m /n, quindi n = mq, e perciò a n = a mq = (a m ) q = e 33 Gruppo ciclico Un gruppo (G, ) è detto ciclico se esiste un elemento a G tale che G = a In particolare, un gruppo ciclico è sempre abeliano 34 Classificazione dei gruppi ciclici Sia (G, ) un gruppo ciclico (1) Se G =, allora (G, ) = (Z, +) (2) Se G = m allora (G, ) = (Z/mZ, +) DIMOST RAZIONE : Sia G = a con a G Allora nel caso (1) f : Z G, n a n è isomorfismo Infatti f(n + m) = a n+m = a n a m = f(n)f(m) Nel caso (2) analogamente f : Z/mZ G, n a n è un isomorfismo per il Teorema Fondamentale dell Omomorfismo OSSERVAZIONE Ogni gruppo che abbia un numero primo p di elementi è ciclico (e isomorfo a Z/pZ) Infatti, se a G \ {e}, allora per il Teorema di Lagrange ord(a) è un divisore di G = p diverso da 1, e se p è primo segue ord(a) = p, quindi < a >= G Vedremo in 44 che già per ordine 4 esistono gruppi non ciclici, e per ordine 6 esistono gruppi non abeliani

12 4 IL GRUPPO SIMMETRICO 4 Il gruppo simmetrico 41 Teorema di Cayley Ogni gruppo G è isomorfo a un sottogruppo del gruppo simmetrico (S(G), ) DIMOSTRAZIONE Ogni elemento a G definisce un applicazione biiettiva f a : G G, x ax Infatti, f a è iniettiva per la proprietà cancellativa, ed è suriettiva poiché ogni elmento b G può essere scritto come b = aa 1 b = f a (a 1 b) Abbiamo quindi un applicazione ι : G S(G), a f a Verifichiamo che ι è un omomorfismo: se a, b G, dobbiamo mostrare ι(ab) = ι(a) ι(b), ovvero l uguaglianza delle applicazioni f ab = f a f b Prendiamo quindi un elemento x G e controlliamo: f ab (x) = (ab)x = a(bx) = a f b (x) = f a (f b (x)) = f a f b (x) Verifichiamo inoltre che ι è un applicazione iniettiva: se a, b G soddisfano ι(a) = ι(b), ovvero l uguaglianza delle applicazioni f a = f b, allora in particolare si ha f a (e) = f b (e), che significa a = b A questo punto sappiamo (per il Teorema Fondamentale dell Omomorfismo) che quindi abbiamo dimostrato il teorema G = Imι S(G) 42 Permutazioni Consideriamo il gruppo simmetrico di un insieme finito A Possiamo assumere A = {1, 2,, n} Il gruppo S n = S(A) è detto gruppo simmetrico su n oggetti e i suoi elementi si chiamano permutazioni Abbiamo S n = n! 43 Notazione per le permutazioni (1) Per indicare un elemento σ S n useremo la notazione ( 1 2 3 n σ(1) σ(2) σ(3) σ(n) Ad esempio per n = 3 l applicazione σ : {1, 2, 3} {1, 2, 3} con σ(1) = 2, σ(2) = 3, σ(3) = 1 si indica con σ = ( 1 2 3 2 3 1 ) ) mentre τ = ( 1 2 3 2 1 3 ) indica l applicazione τ : {1, 2, 3} {1, 2, 3} con τ(1) = 2, τ(2) = 1, τ(3) = 3

44 Esempi 13 (2) Una permutazione π S n è detta ciclo di lunghezza k se permuta ciclicamente k elementi di {1, 2,, n} e lascia fissi i restanti n k elementi, ovvero esistono k 2 elementi distinti m 1,, m k {1,, n} tali che σ(m 1 ) = m 2 σ(m 2 ) = m 3 σ(m k 1 = m k σ(m k ) = m 1 e σ(m) = m per tutti gli altri elementi m {1,, n}\{m 1,, m k } In tal caso possiamo anche scrivere π = (m 1,, m k ) tralasciando dunque gli n k elementi fissati da π Ad esempio τ = (12) S 3 è un ciclo di lunghezza 2, detto anche trasposizione o scambio, e σ = (123) è un ciclo di lunghezza 3 Ogni ciclo di lunghezza k è un elemento di S n di ordine k Per ogni ciclo π = (m 1,, m k ) S n e ogni permutazione σ S n si ha (vedi Esercizi) σ π σ 1 = (σ(m 1 ),, σ(m k )) 44 Esempi (1) S 3 è un gruppo di 6 elementi non abeliano, quindi in particolare non isomorfo a Z/6Z (2) L insieme V = {id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} S 4 è un sottogruppo normale di S 4, detto gruppo di Klein 2, che è abeliano ma non ciclico, quindi in particolare non isomorfo a Z/4Z Si dimostra che, a meno di isomorfismo, esistono solo due gruppi di quattro elementi: Z/4Z e V - vedi Esercizi 45 Il segno di una permutazione Data una permutazione σ S n, una coppia di numeri (i, j) con 1 i < j n è detta inversione per σ se σ(i) > σ(j) Se r è il numero delle inversioni per σ, chiamiamo segno di σ il numero ε(σ) = ( 1) r = 1 i<j n σ(i) σ(j) i j Diremo che σ è pari se ε(σ) = +1, ovvero il numero delle inversioni è pari, altrimenti σ è detta dispari 2 Felix Klein, matematico tedesco (1849-1925)

14 4 IL GRUPPO SIMMETRICO ( ) 1 2 3 ESEMPI: La trasposizione τ = (13) = S 3 ha le coppie (1, 2), (2, 3), (1, 3) come inversioni 3 2 1 ed è pertanto dispari In generale una trasposizione (i, j) S n con i < j ha la coppia (i, j) e tutte le coppie (i, k) e (k, j) con i < k < j come ( inversioni ed ) è quindi sempre dispari 1 2 3 Il ciclo (123) = S 3 ha le coppie (2, 3) e (1, 3) come inversioni ed è pari 2 3 1 46 Il gruppo alterno L applicazione ε : S n {1, 1}, σ ε(σ) è un omomorfismo suriettivo il cui nucleo A n consiste delle permutazioni pari ed è detto gruppo alterno Si ha S n /A n = Z/2Z e An = n! 2 DIM OST RAZION E Si noti innanzitutto che {1, 1} è un gruppo rispetto alla moltiplicazione con elemento neutro 1, e come tale è isomorfo a (Z/2Z, +) Resta quindi da verificare che ε(στ) = ε(σ)ε(τ): Abbiamo quindi che A n = Kerε è un sottogruppo normale di S n e gli enunciati seguono dal Teorema Fondamentale dell Omomorfismo e dal Teorema di Lagrange 47 Cicli disgiunti Due cicli σ 1, σ 2 si dicono disgiunti se operano su sottoinsiemi disgiunti di {1,, n} In tal caso σ 1 σ 2 = σ 2 σ 1 Ad esempio in S 5 i cicli (12) e (345) sono disgiunti, mentre non lo sono (12) e (13) 48 Esempio 49 Scomposizione di permutazioni (1) Ogni permutazione è prodotto di cicli disgiunti (e tale scomposizione è unica a meno dell ordine) (2) Ogni permutazione è prodotto di trasposizioni

49 Scomposizione di permutazioni 15 Lemma: Dati un gruppo (G, ) e un insieme non vuoto A, supponiamo che G agisca su A, cioè che esista un applicazione G A A, (σ, x) σ(x) con le seguenti proprietà: (A1) e(x) = x per ogni x A, (A2) (στ)(x) = σ(τ(x)) Per ogni elemento x A consideriamo l orbita di x attraverso l azione di G, cioè l insieme O(x) = {σ(x) σ G} Le orbite degli elementi di A attraverso l azione di G inducono una partizione di A, cioè A è l unione di orbite disgiunte a due a due Dimostrazione: Consideriamo la relazione su A definita da a b se a O(b) E una relazione riflessiva poiché a = e(a) O(a); è simmetrica poiché a O(b) significa che a = σ(b) per un σ G e implica b = σ 1 (a) O(a); è transitiva perché se a O(b) e b O(c) allora a = σ(b) e b = τ(c) con σ, τ G e perciò a = στ(c) O(c) Abbiamo quindi una relazione di equivalenza le cui classi di equivalenza sono esattamente le orbite degli elementi di A attraverso l azione di G L enunciato segue dunque da 16 DIMOSTRAZIONE del Teorema: Sia adesso G =< σ > S n e sia A = {1,, n} Ovviamente G agisce su A attraverso l operazione G A A, (σ, x) σ(x) e per (a) le orbite inducono una partizione A = O(x 1 ) O(x r ) Ogni orbita è di forma O(x i ) = {x i, σ(x i ), σ 2 (x i ),, σ mi (x i )} per un m i N 0 opportuno Per ogni i consideriamo il ciclo di ordine m i τ i = (x i, σ(x i ), σ 2 (x i ),, σ mi (x i )) Poiché le orbite sono disgiunte, anche i cicli τ 1,, τ r sono disgiunti E poiché l unione delle orbite è tutto l insieme A, si ha σ = τ 1 τ r Tale scomposizione è unica a meno dell ordine: se anche σ = ρ 1 ρ s, allora gli insiemi {x A ρ i (x) x}, 1 i s determinano le orbite degli elementi di A attraverso l azione di G =< σ > Quindi r = s e {τ 1,, τ r } = {ρ 1,, ρ s } OSSERVAZIONI: (1) Una permutazione è pari (rispettivamente, dispari) se e solo se può essere espressa come prodotto di un numero pari (rispettivamente, dispari) di trasposizioni (2) La scomposizione σ = τ 1 τ r in prodotto di trasposizioni non è unica, peró il numero delle trasposizioni in qualsiasi scomposizione è unico a meno di congruenza modulo 2 Più precisamente: se abbiamo anche σ = ρ 1 ρ s, allora r = s Z/2Z, ovvero r, s sono entrambi pari o entrambi dispari

16 5 GRUPPI RISOLUBILI (3) Possiamo adesso dare una descrizione alternativa del determinante di una matrice: Data una matrice A = (a ij ) M n (K) di ordine n su una campo K, si ha deta = σ S n ε(σ) a 1 σ(1) a 2 σ(2) a n σ(n) 5 Gruppi risolubili 51 Definizione Sia G un gruppo Per a, b G il commutatore di a e b è l elemento [a, b] = a b a 1 b 1 Il sottogruppo di G generato da tutti i commutatori [a, b] si denota con ed è detto sottogruppo commutatore di G Per iterazione definiamo K(G) =< { [a, b] a, b G} > K 2 (G) = K(K(G)) K i+1 (G) = K(K i (G)) 52 Proprietà del sottogruppo commutatore Sia G un gruppo 1 G è abeliano se e solo se K(G) = {e} 2 Per ogni omomorfismo di gruppi f : G G si ha f(k(g)) K(G ) Se f è suriettivo si ha addirittura f(k(g)) = K(G ) 3 K(G) è un sottogruppo normale di G 4 K(G) è il più piccolo sottogruppo normale N di G tale che G/N sia abeliano DIMOSTRAZIONE (1) per definizione (2) Un elemento di K(G) è di forma e per ogni 1 i n si ha [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a n, b n ] f([a i, b i ]) = f(a i )f(b i )f(a i ) 1 f(b i ) 1 = [f(a i ), f(b i )] Quindi f(k(g)) K(G ) Analogamente si dimostra l altra inclusione quando f è suriettivo (3) Sia a G Per l automorfismo f : G G, x axa 1 abbiamo a K(G) a 1 = f(k(g)) = K(G) per (2), quindi K(G) è un sottogruppo normale di G (4) G/K(G) è abeliano: per tutti gli elementi a, b G si ha ab(ba) 1 = [a, b] K(G), quindi nel gruppo quoziente G/K(G) otteniamo a b = b a Se inoltre N è un sottogruppo normale tale che G/N sia abeliano, allora per tutti gli elementi a, b G abbiamo Na Nb = Nb Na in G/N, ovvero N ab = N ba, quindi [a, b] = ab(ba) 1 N, che dimostra K(G) N

53 Gruppi risolubili 17 53 Gruppi risolubili Per un gruppo G sono equivalenti i seguenti enunciati: 1 Esiste un n N 0 tale che K n G = {e} 2 G possiede una catena finita di sottogruppi con le proprietà (a) N i è sottogruppo normale di N i 1, (b) il gruppo quoziente N i 1 /N i è abeliano Con queste proprietà G è detto un gruppo risolubile DIMOSTRAZIONE : Per 52 (3) e (4) {e} = N n N n 1 N 2 N 1 G {e} = K n (G) K n 1 (G) K 2 (G) K(G) G è una catena di sottogruppi normali con quozienti abeliani : Sia {e} = N n N n 1 N 2 N 1 G una catena di sottogruppi tale che N i è sottogruppo normale di N i 1 e il gruppo quoziente N i 1 /N i è abeliano per ogni 1 i n Procediamo per induzione su n n = 1 : in questo caso G è abeliano, quindi K(G) = {e} n n + 1 : per l ipotesi induttiva esiste m N tale che K m (N 1 ) = {e} Inoltre K(G/N 1 ) = {e G/N1 } poiché G/N 1 è abeliano Applicando 52 (2) all omomorfismo ν : G G/N 1 vediamo che ν(k(g)) = {e G/N1 }, quindi K(G) Ker ν = N 1 e perciò K m+1 (G) K m (N 1 ) = {e} 54 Corollario Sia G un gruppo risolubile Allora sono risolubili anche ogni sottogruppo H G e ogni gruppo quoziente G/N (dove N è un sottogruppo normale) Inoltre G è risolubile se (e solo se) esiste un sottogruppo normale N tale che N e G/N sono risolubili DIMOSTRAZIONE Sia K n (G) = {e} Applicando 52 (2) all immersione H G e all epimorfismo canonico ν : G G/N si ottiene K n (H) = {e} e K n (G/N) = {e G/N } Dato infine un gruppo G con un sottogruppo normale N tale che N e G/N sono risolubili, si procede come nella dimostrazione del passo induttivo in 53 per concludere che G è risolubile 55 Risolubilità del gruppo simmetrico Il gruppo S n è risolubile se e solo se n 4 DIMOSTRAZIONE (1) Ogni gruppo abeliano è risolubile: si scelga {e} G Quindi S 1 e S 2 sono risolubili

18 5 GRUPPI RISOLUBILI (2) S 3 è risolubile: {id} A 3 S 3 è una catena di sottogruppi normali dove i quozienti A 3 = Z/3 Z e S3 /A 3 = Z/2 Z sono tutti abeliani (3) S 4 è risolubile: {id} V A 4 S 4 è una catena di sottogruppi normali dove i quozienti V, A 4 /V = Z/3 Z e S 4 /A 4 = Z/2 Z sono tutti abeliani (4) S n non è risolubile se n 5: (i) Verifichiamo che se N è un sottogruppo normale di S n che contiene tutti i 3-cicli, anche K(N) contiene tutti i 3-cicli: infatti N deve contenere a = (123) e b = (145) (stiamo usando n 5), quindi K(N) contiene ( ) 1 2 3 4 5 n [a, b] = (123) (145) (321) (541) = = (124) Inoltre, essendo un sottogruppo 2 4 3 1 5 n normale, K(N) deve contenere anche σ 1 (124) σ per tutte le permutazioni σ S n Allora ogni 3-ciclo (xyz) con x, y, z {1,, n} appartiene a K(N) poiché possiamo scrivere (xyz) = σ 1 (124) σ scegliendo una permutazione σ con σ(1) = x, σ(2) = y, σ(4) = z, vedi Esercizi (ii) Poiché G = S n contiene tutti i 3-cicli, deduciamo da (i) che K(G) contiene tutti i 3-cicli, quindi anche K 2 (G), anche K 3 (G),, anche K n (G) per qualsiasi n N Da 53 segue che G non è risolubile