Bruno de Finetti, probabilità e logica Daniele Mundici Dipartimento di Matematica e Informatica Università di Firenze Viale Morgagni 67/a 50134 Firenze mundici@math.unifi.it
Qual è la probabilità p che venga testa a lanciare una moneta? 50% 0.5 1/2
per ragioni che vedremo, nel mondo delle scommesse si parla di quote la quota è l inversa della probabilità q=1/p pochi sanno cos è un inversa
Qual è la quota che il bookmaker deve dare all evento testa su cui si scommette? la quota dell evento testa dovrebbe essere 2 nel senso che se scommetti 1 euro su testa e viene testa, allora vinci 2 euro (e perdi l euro scommesso se viene croce ) inoltre anche l evento croce dovrebbe avere quota 2 la quota è l inversa della probabilità, q=1/p
e invece, guarda cosa succede nella realtà del mondo-scommesse...
TESTA CROCE 1.95 1.95 se viene testa il bookmaker ti dà un po meno del doppio di quanto avevi scommesso. Se non viene testa, non ti dà certo un premio di consolazione...
TESTA CROCE 1.95 1.95 calcoliamo le inverse TESTA CROCE 0.51 0.51 calcolando le inverse delle quote del bookmaker scopriamo un fatto interessante: le probabilità assegnate ai due eventi sono leggermente superiori a 0.5. Da qui si capisce che lo scommettitore deve pagare più del dovuto per la sua scommessa. E alla lunga il bookmaker si arricchisce.
quote del calcio scommesse (la realtà) 1 X 2
quote del calcio scommesse (la realtà) 1 X 2 questi numeri sono dei moltiplicatori, da intendersi in questo modo, ad esempio: se scommetti 10 euro sulla vittoria del CSKA Mosca e vince sul Rostov, allora ottieni 10x1,40=14. Se il CSKA pareggia o perde non ottieni nulla
quota=vincita/scommessa probabilità=scommessa/vincita v=vincita (sperata, se l evento si verifica) s=scommessa (pagata prima dell evento) q=quota: q=v/s p= probabilità: p=s/v=1/q
le quote e le loro inverse 1 CSKA MOSCA - ROSTOV X 0.71 0.25 2 0.13 le inverse di questi numeri rappresentano il rapporto tra quanto paghi adesso e quanto vuoi vincere se l evento si verifica
le quote e le loro inverse 1 CSKA MOSCA - ROSTOV X 0.71 0.25 2 0.13 ad es., per vincere 100 euro scommettendo sulla vittoria del Rostov sul CSKA, devi pagarne 13
le quote e le loro inverse (le probabilità) 1 X 2 quote FC TOKYO URAWA REDS KOFU KASHIMA ANTLERS 0.40 0.29 0.27 0.29 0.40 0.52 CSKA MOSCA - ROSTOV 0.71 0.25 0.13 probabilità
che cosa noti nelle mie quote? te le faccio rivedere
le quote e le loro inverse (le probabilità) 1 X 2 quote FC TOKYO URAWA REDS KOFU KASHIMA ANTLERS 0.40 0.29 0.27 0.29 0.40 0.52 CSKA MOSCA - ROSTOV 0.71 0.25 0.13 probabilità
la somma delle probabilità è > 1 (per questo noi prosperiamo)
le quote e le loro inverse (le probabilità) 1 X 2 quote FC TOKYO URAWA REDS KOFU KASHIMA ANTLERS 0.40 0.29 0.27 0.29 0.40 0.52 CSKA MOSCA - ROSTOV 0.71 0.25 0.13 probabilità
non vogliamo fare la fine del famoso bookmaker-oca che dava quote generose
il bookmaker-oca: quote alte = probabilità basse
le probabilità del bookmaker-oca CSKA MOSCA - ROSTOV 0.20 0.30 0.10 pur senza sapere nulla su queste due squadre, supponiamo che io voglia vincere M euro su ciascun risultato. Dunque scommetto su tutte e tre gli eventi possibili. Ora pago M(0.20) + M(0.30) + M (0.10) = M(0.60), ma di sicuro vincerò M euro, con un guadagno di M(0.40).
il bookmaker normale non fallisce mai CSKA MOSCA - ROSTOV a b c (a+b+c>1) come difendersi da queste probabilità così alte, per cui si deve rischiare molto per guadagnare poco? Andare a protestare col bookmaker non serve: lui dice che queste probabilità sono giuste. Gli potremmo proporre di fare noi i bookmaker con quelle probabilità, e vedere se ha il coraggio di scommettere
da dove vengono le leggi che governano le scommesse? Gli eventi a cui assegnamo una probabilità di solito sono irripetibili. Il bookmaker assegna loro una probabilità non calcolando la loro frequenza, ma in base ad altre considerazioni. Bruno de Finetti volle vederci chiaro
la risposta di de Finetti (1931) quando assegnamo valori di probabilità a un evento, di solito non possiamo fare misure ripetute per vederne la frequenza siamo mossi da un principio di coerenza: non devo fare come il bookmaker-oca, che perdeva sempre dalla volpe prendiamo in considerazione questo evento: la Spagna farà almeno un goal nel suo primo incontro col Brasile ai mondiali
il nostro calcio-scommesse: cominciamo con scommesse su un unico evento due giocatori Ada il bookmaker la Spagna farà almeno un goal nel suo primo incontro col Brasile ai mondiali Blaise lo scommettitore
la probabilità che Ada assegna p = 0.6 ADA: Caro Blaise, quanti soldi vuoi vincere se la Spagna fa goal con il Brasile? BLAISE: voglio vincere v = 1000 euro 0.6=probabilità 1000=vincita sperata
la probabilità che Ada assegna p = 0.6 ADA: Caro Blaise, quanti soldi vuoi vincere se la Spagna fa goal con il Brasile? BLAISE: voglio vincere v = 1000 euro ADA: ti vendo una cambiale di 1000 euro, cioè ti pagherò il montepremi v se la Spagna segna 0.6=probabilità BLAISE: quanto costa la tua cambiale? ADA: un prezzo stracciato: solo 600 euro, ossia, appunto, v moltiplicato per la probabilità p=0.6: mi paghi 600 per vincere 1000 1000=vincita sperata
la probabilità p di Ada è come uno sconto la probabilità p che Ada mette sull evento F segnala lo sconto che è disposta a fare a Blaise Blaise deve pagare oggi al bookmaker Ada vp, ossia il montepremi v, ma scontato al 60%, ossia moltiplicandolo per p Blaise paga un prezzo tanto più scontato quanto più bassa è la probabilità p chissà se questo valore p=0.6 va bene a Blaise...
Blaise si lamenta cara Ada, il prezzo non mi pare affatto stracciato come dici tu non mi va di pagare 600 euro per la tua cambiale di 1000 euro ma io sono uno scommettitore famoso (ho scommesso anche con il Padreterno).
Blaise si lamenta cara Ada, il prezzo non mi pare affatto stracciato come dici tu non mi va di pagare 600 euro per la tua cambiale di 1000 euro ma io sono uno scommettitore famoso (ho scommesso anche con il Padreterno) visto che a te 0.6 sembra una probabilità giusta, ho una proposta da farti ADA: sentiamo...
la proposta di Blaise: scambiamoci i ruoli -1000 BLAISE: ti propongo un montepremi v negativo, di 1000 euro ADA: cioè? BLAISE: ti vendo io ora una cambiale di 1000 euro, da pagarti se la Spagna segna con Brasile
la proposta di Blaise: scambiamoci i ruoli -1000 BLAISE: ti propongo un montepremi v negativo, di 1000 euro ADA: cioè? BLAISE: ti vendo io ora una cambiale di 1000 euro, da pagarti se la Spagna segna con Brasile ADA: quanto mi costa la tua cambiale? BLAISE: 600 euro, un prezzo stracciato! 1000 moltiplicato proprio per il tuo numero-sconto 0.6 ADA: Non sei famoso solo tu. Io sono Ada, il bookmaker reversibile/palindromo. Accetto!
Esercizi chi vincerà il mondiale a Rio
gli eventi scelti da Ada ora sono tre F 1 il Brasile vincerà il prossimo mondiale di calcio F 2 vincerà la Spagna F 3 nessuna delle due vincerà
le probabilità secondo di Ada F 1 il Brasile vincerà il prossimo mondiale di calcio F 2 vincerà la Spagna F 3 nessuna delle due vincerà ecco le probabilità assegnate da Ada a questi tre eventi p 1 = 0.4 p 2 = 0.3 p 3 = 0.1 intuitivamente sentiamo che sono troppo basse: la loro somma è minore di 1, e questo la manderà in rovina
se Blaise scommette su tutte e 3, e punta a una vincita di v 1 =v 2 =v 3 = 1000 Blaise paga 1000 x (0.4 + 0.3 + 0.1) = 800 euro uno e uno solo dei tre eventi si verificherà, e Blaise riceverà da Ada 1000 euro il bilancio totale di Ada è 200 euro, comunque vadano le cose allora Ada rivede le sue probabilità, per non fare la fine del famoso bookmaker-oca
Le nuove probabilità di Ada p 1 = 0.6 per vince il Brasile p 2 = 0.7 per vince la Spagna p 3 = 0.4 per nessuna delle due squadre vince
Blaise sceglie montepremi negativi v 1 = v 2 = v 3 = 1 000 000 è Ada che ora paga a Blaise un milione moltiplicato per (0.6 + 0.7 + 0.4) = 1700000 euro Alla fine, Blaise pagherà ad Ada il montepremi di un milione di euro, qualunque sia il risultato del mondiale, perché uno dei tre eventi si verificherà certamente Blaise ha un guadagno netto di 700000 euro
cosa debbo fare? PROBLEMA: dare una cartina di tornasole per riconoscere quando le probabilità del bookmaker Ada la mandano in rovina
intanto devi capire quando due eventi X,Y sono incompatibili, ossia l evento XeY non può succedere: ad esempio è impossibile che vinca sia la Spagna che il Brasile
poi devi capire che cos è la disgiunzione XoY di due eventi X,Y. Ad esempio se X è vince l Italia e Y è vince la Francia, l evento XoY è vince l Italia oppure vince la Francia
infine devi saper riconoscere gli eventi sicuri, quelli che capitano comunque vadano le cose. Ad esempio, qualche squadra vincerà è un evento sicuro
Teorema (De Finetti ) puoi stai tranquilla che le tue probabilità p non ti portano a sicura rovina se e solo segui questi due principi: quando due eventi X, Y sono incompatibili, la probabilità della loro disgiunzione deve essere eguale alla somma delle probabilità dei due eventi separati. In simboli, p(x o Y) = p(x)+p(y) ad ogni evento sicuro, devi dare probabilità = 1
Ada ha capito l essenza della probabilità grazie, Bruno de Finetti!
le prime probabilità di Ada non erano coerenti : Blaise può decidere una puntata che gli garantisce un profitto, qualunque sia il risultato del mondiale Brasile 0.4 Spagna 0.3 Nessuna delle due 0.1
anche le nuove probabilità di Ada non erano coerenti : Blaise può decidere una puntata (negativa) che gli garantisce un profitto sicuro Brasile 0.6 Spagna 0.7 Nessuna delle due 0.4
invece queste probabilità di Ada sono coerenti. Blaise non ha più garanzie di vincere a tutti i costi Brasile 0.5 Spagna 0.3 Nessuna delle due 0.2
ricapitolando: coerenza vuol dire additività per eventi incompatibili p(x o Y) deve valere p(x)+p(y), per eventi X e Y incompatibili COROLLARI. 0 p(x) 1, per ogni evento X p(non X) = 1 p(x)
per capire i valori di verità e i connettivi ci vuole la Logica Matematica abbiamo visto che la probabilità è un numero in [0,1] tuttavia: se so che l evento A ha probabilità 0.5 e l evento B ha probabilità 0.2, non so che probabilità ha l evento AeB la logica ha invece questa caratteristica di grande rispetto per i connettivi: il valore di verità di una frase complicata si propaga secondo leggi che dipendono solo dai connettivi
Ada vuole ora capire la Logica cosa sono questi connettivi e, o, non?
la verità negli ultimi tre millenni in principio c era un solo valore di verità: il VERO poi i greci introdussero un secondo valore di verità, il FALSO (o ASSURDO)
la verità negli ultimi tre millenni in principio c era un solo valore di verità: il VERO poi i greci introdussero un secondo valore di verità, il FALSO (o ASSURDO) scoprendo, per assurdo, che i numeri primi sono infiniti scoprendo, per assurdo, che lato e diagonale del quadrato non sono multipli interi di nessun segmento comune senza questi due valori di verità non ci sarebbe la scienza moderna, che parla il linguaggio della matematica
vero e falso prediligono solo due congiunzioni e un avverbio vero e falso si sposano bene con la negazione se un affermazione A è falsa, la sua negazione A è vera; se A è vera, allora A è falsa in simboli, vero=falso, falso=vero vero e falso si sposano bene con le due congiunzioni &, v (che simboleggia vel ): vero & vero=vero, vero & falso=falso, etc.
la banale grammatica di &, v, per eventi A, B arbitrari: la congiunzione & è commutativa e associativa la disgiunzione v è commutativa e associativa legge di de Morgan: (A v B) = A & B legge della doppia negazione: A = A legge di idempotenza: A & A = A
la congiunzione se la matematica non può fare a meno della congiunzione se, (condizione necessaria, condizione sufficiente) ha introdotto la notazione A B per dire se A allora B, decretando che voglia dire (non A) oppure B. Insomma, A B = ( A) v B
la congiunzione se la matematica non può fare a meno della congiunzione se, (condizione necessaria, condizione sufficiente) ha introdotto la notazione A B per dire se A allora B, decretando che voglia dire (non A) oppure B. Insomma, A B = ( A) v B ESERCIZIO: (A B) = (( A) v B) = A & B (de Morgan) = A & B (per la legge di doppia negazione) il se matematico così diviene una caricatura di quello che usiamo noi nel linguaggio di ogni giorno: prendete appunti daranno da pensare ai più sensibili tra di voi
l affermazione (sensata?) dell astronauta se non esistono extraterrestri allora non è vero che se viaggiamo nello spazio ne incontriamo
l affermazione (sensata?) dell astronauta se non esistono extraterrestri allora non è vero che se viaggiamo nello spazio ne incontriamo ( E) (V I) ( E) v (V I) E v (V & I) o esistono extraterrestri, oppure viaggiamo nello spazio e non ne incontriamo
l affermazione (sensata?) dell astronauta se non esistono extraterrestri allora non è vero che se viaggiamo nello spazio ne incontriamo ( E) (V I) ( E) v (V I) E v (V & I) o esistono extraterrestri, oppure viaggiamo nello spazio e non ne incontriamo ora, se non viaggiamo nello spazio fallisce (V & I) e allora deve essere vero E
l affermazione (insensata!!) dell astronauta se non esistono extraterrestri allora non è vero che se viaggiamo nello spazio ne incontriamo ( E) (V I) ( E) v (V I) E v (V & I) o esistono extraterrestri, oppure viaggiamo nello spazio e non ne incontriamo ora, se non viaggiamo nello spazio fallisce (V & I) e allora deve essere vero E per forza di logica abbiamo ottenuto che se non viaggiamo nello spazio allora esistono extraterrestri
ecco un manuale di logica; per leggerlo basta saper fare dimostrazioni per induzione
ecco un manuale di logica; per leggerlo basta saper fare dimostrazioni per induzione grazie