Fitting e modelli matematici Calibrazione per un modello di crescita di parameci aurelia Partiamo dai seguenti dati per una popolazione di parameci aurelia che inseriamo in un foglio elettronico di Excel (che si puo' scaricare qui) A B C D E F G giorni popolazione 2 2 25 3 3 5 4 4 67 5 5 98 6 6 97 7 7 287 8 8 339 9 9 409 0 0 52 59 2 2 534 3 3 544 4 4 55 5 5 556 Come prima operazione, vogliamo effettuare un fitting con il modello logistico di crescita mediante trasformazione delle variabili (in modo a ridursi a una equazione lineare) e poi mediante regressione lineare. Alcuni modelli e trasformazioni linearizzanti: Esponenziale: y=a exp(bt) ------> log(y)=log(a)+bt Logistica: y=k/(+a exp(-bt)) ------> log(k/y-)=log(a)-bt Sigmoide: y=k/(+a t b) ------> log(k/y-)=log(a)+b*log(t) La funzione e' y=k/(+a exp(-bt)). Dai dati supponiamo che la popolazione limite (di equilibrio) sia K=560. Abbiamo allora K/y-= a exp(-bt), e presi i logaritmi di ambo i membri, log(k/y-)=log(a)-bt. Determiniamo allora a e b mediante regressione lineare. Inseriamo nella terza colonna i dati calcolando log(k/y-). A tale scopo scriviamo della cella C2 la formula =LOG((560/$B$2-);2,7828) etc. Otteniamo: Page of 5
A B C D E F G giorni popolazione log(k/y-) 2 2 25 3,06339856 3 3 5 2,300623085 4 4 67,9958763 5 5 98,550597885 6 6 97 0,699292 7 7 287-0,05000436 8 8 339-0,427837536 9 9 409-0,996435623 0 0 52-2,36724336 59-2,53833259 2 2 534-3,022300222 3 3 544-3,52636599 4 4 55-4,45486 5 5 556-4,934475437 Disegnamo ora il grafico con l'opzione "chart" inserendo come asse x i giorni e asse y i dati della colonna C. Al tempo stesso inseriamo la retta di regressione ("trendline" - "linea di tendenza" nella versione italiana) insieme con la sua equazione. Dunque log(a)=4,332, a=76,0963, b=0,643 Si trova la curva y= 560*/(+76.0963*exp(-.634* t)). In alternativa si puo' effettuare mediante lo strumento "analisi di dati". (nella versione inglese si trova sotto il menu "Tools" e si chiama "Data analysis".) Nota: Potrebbe succedere che non si trovi tale opzione tra gli strumenti. Bisogna in primo luogo cercare tra gli "Add-ins" ("Aggiunte") e -se lo si trova- aggiungere "analisi di dati". Potrebbe pero' non trovarsi. In questo caso tale aggiunta non e' stata installata (con l'installazione standard di "Office" non viene installata): pertanto e' necessario usare il CD di installazione. Vediamo ora come possiamo ottimizzare la scelta dei parametri usando il "Solver" ("Risolutore") di Excel. (Come nel caso di "analisi di dati", potrebbe succedere che non si trovi tale opzione tra gli strumenti. Si proceda come nella nota precedente.) Page 2 of 5
Nella seconda colonna inseriamo i dati in base alla formula data dal modello di crescita y=k/(+a exp(-bt)). Per fare questo, si inserisce nella terza colonna (C) la formula scrivendo ad esempio nella 2 riga (relativa a 2 giorni) =$H$2/(+($H$3*EXP(-$H$4*A2))). $H2$ significa che uso il parametro K inserito nella cella H2 etc. giorni popolazione modello err quadr 2 2 25 23,8585963 y=k/(+a exp(-bt)) K = 570 3 3 5 42,026982 a = 76 4 4 67 72,205766 b = 0,6 5 5 98 9,57 6 6 97 85,269278 7 7 287 266,396987 8 8 339 350,669797 9 9 409 424,340735 0 0 52 479,642473 59 56,590732 2 2 534 539,394476 3 3 544 552,78633 4 4 55 560,422427 5 5 556 564,703563 Successivamente calcoliamo l'errore quadratico inserendo in ogni riga della colonna D formule come =(C2- B2)^2 ( questo per la cella D2) etc. Otteniamo: 2 giorni popolazione modello err quadr 2 25 23,8585963,30280247 y=k/(+a exp(- bt)) K = 570 3 3 5 42,026982 80,550525 a = 76 4 4 67 72,205766 27,0563993 b = 0,6 5 5 98 9,57 447,394843 6 6 97 85,269278 37,609832 7 7 287 266,396987 424,48439 8 8 339 350,669797 36,8458 9 9 409 424,340735 235,33849 0 0 52 479,642473 047,00953 59 56,590732 5,8045703 2 2 534 539,394476 29,00373 3 3 544 552,78633 77,992874 4 4 55 560,422427 88,782387 5 5 556 564,703563 77,992874 6 sum err^2 284,98057 Usando il "Solver" ("risolutore") di Excel (che si trova sotto il menu "Tools" - "Strumenti") ottimizziamo i parametri K, a e b minimizzando la somma degli scarti quadratici medi. Bisogna allora impostare il "Solver" indicacando che i parametri sono nelle celle e H2-H4 (e quindi inserendo il comando $H$2:$H$4 sotto "changing cells") degli scarti quadratici medie la somma degli scarti quadratici medi D6 ("Target cell" D6). Page 3 of 5
Si trova: giorni popolazione modello errore quadr 2 2 25 2,667397,0675795 y=k/(+a exp(-bt)) K = 560,778883 3 3 5 39,2849303 37,242858 a = 87,425397 4 4 67 69,3837439 5,6822353 b = 0,62826073 5 5 98 7,353829 374,57069 6 6 97 85,93974 22,329929 7 7 287 270,85829 282,76347 8 8 339 356,3798 299,92445 9 9 409 429,34005 43,7698 0 0 52 482,04526 897,28645 59 55,829028 0,0550656 2 2 534 535,865722 3,4809893 3 3 544 547,205928 0,277974 4 4 55 553,45473 6,02570553 5 5 556 556,847327 0,277974 6 sum err^2 2584,6854 Esercizi: Ripetere la procedura fatta per il modello sigmoide. Analizzare in modo analogo () la crescita del Saccharomyces cerevisiae come nella seguente tabella ( file excel) Page 4 of 5
tempo 0,5 9 0 8 8,5 23 25,5 27 34 38 42 45,5 47 volume 0,37,63 6,2 8,87 0,66 0,97 2,5 2,6 2,9 3,27 2,77 2,87 2,9 2,7 (2) la crescita di girasoli come nella seguente tabella tempo 7.0 4.0 2.0 28.0 35.0 42.0 49.0 56.0 63.0 70.0 77.0 84.0 cm 7.93 36.36 67.76 98. 3.0 69.5 205.5 228.3 247. 250.5 253.8 254.5 Determinare la retta di regressione per la crescita del bacillo aspergillus niger ( file excel) Tempo 3 4 5 6 7 8 9 Diametro 9,3 6,8 22,8 28,5 33,6 36,6 42,8 Page 5 of 5