LABORATORIO DI MATEMATICA LE DISTRIBUZIONI CAMPIONARIE CON EXCEL

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1 LABORATORIO DI MATEMATICA. Le distribuzioni campionarie con Excel LABORATORIO DI MATEMATICA LE DISTRIBUZIONI CAMPIONARIE CON EXCEL La funzione DEV.ST.POP(zona) VAR.POP(zona) determina lo scarto quadratico medio dei numeri contenuti in zona. la varianza dei numeri contenuti in zona. ESERCITAZIONE GUIDATA Costruiamo un foglio elettronico che: permetta di inserire i consumi A, B, C, D ed E di una popolazione di N = 5 elementi; contenga lo spazio dei campioni con numerosità n = senza ripetizione; calcoli la media e la varianza della popolazione e di ogni campione; determini la media e la varianza delle medie dei campioni; verifichi la relazione della varianza delle medie con la varianza della popolazione: v N- n v x = $ ; n N- determini la media delle varianze dei campioni; verifichi la relazione della media delle varianze con la varianza della popolazione: N n - ns = $ $ v. N - n Applichiamo il foglio ponendo A =,5, B =,4, C =,6, D = 4,, E = 6. La struttura del foglio Entriamo in ambiente Excel e, come vediamo in figura : scriviamo le intestazioni del problema; immettiamo i primi dati del problema (la consistenza della popolazione: 5 in C, e la numerosità dei campioni: in E); digitiamo =COMBINAZIONE(C; E) in I, la formula che dà il numero dei campioni in un estrazione senza ripetizione; mettiamo dei bordi alle celle D6 : D0 per indicare l ingresso dei dati; prepariamo lo spazio dei campioni, dalla riga alla, combinando le lettere A, B, C, D ed E in gruppi di tre senza ripetizione; scriviamo le didascalie per la lettura dei risultati. La media e la varianza della popolazione Valutiamo la media della popolazione digitando =MEDIA(D6:D0) in H7. Per determinare la varianza scriviamo =VAR.POP(D6:D0) in H0. Figura Il foglio con le didascalie e lo spazio dei campioni.

2 LABORATORIO DI MATEMATICA. Le distribuzioni campionarie con Excel Lo spazio dei campioni Nella cella D scriviamo = SE(A = A ; $D$6; SE(A = B ; $D$7; SE(A = C ; $D$8; SE(A = D ; $D9; $D$0)))) e la copiamo sino alla F, poi copiamo la zona D:F sino alla riga. Al termine della copiatura abbiamo nella zona D:F i riferimenti ai consumi combinati a tre a tre senza ripetizione. La media e la varianza delle medie dei campioni Valutiamo le medie dei campioni scrivendo =MEDIA(D:F) in H e copiandola sino alla H. Per ottenere la media delle medie scriviamo =MEDIA(H:H) in J4. Per determinare la varianza delle medie dei campioni scriviamo =VAR.POP(H:H) in J5. Per verificare la varianza delle medie scriviamo nella J6 la relazione che la lega alla varianza della popolazione =H0 / E * (C- E) / (C- ). La media delle varianze dei campioni Valutiamo le varianze dei campioni scrivendo =VAR.POP(D:F) in J e copiandola sino alla J. Otteniamo la media delle varianze con =MEDIA(J:J) in J8. Per verificare la media delle varianze scriviamo nella J9 la relazione che la lega alla varianza della popolazione =(C / (C - )) * ((E - ) / E) * H0. L applicazione del foglio Inseriamo nelle celle, dalla D6 alla D0, i dati suggeriti dal problema e otteniamo i risultati richiesti (figura ). Figura Il foglio con i dati e i risultati. Esercitazioni Data la seguente tabella: Classe a b c Classe a b c costruisci un foglio che legga i dati della tabella, la completi con i totali per righe e per colonne e, assegnata la numerosità n di un campione, la stratifichi. Prova con a = 45, b = 40, c = 74, a = 00, b = 50, c = 64 ed n = 50. Costruisci un foglio che carichi una tabella di tre righe per otto colonne con punteggi casuali, interi e compresi fra e 0, che calcoli la media aritmetica dei punteggi, la varianza e lo scarto quadratico medio delle tre righe e di tutta la tabella e che indichi la frazione dei punteggi superiori a s, valore da assegnarsi, delle tre righe e di tutta la tabella. Costruisci un foglio che permetta di inserire i dati di una tabella di dieci righe e otto colonne, che riceva un valore i e che determini la media e la varianza dei dati contenuti prima della riga i.

3 LABORATORIO DI MATEMATICA. Le distribuzioni campionarie con Excel In un campionamento senza ripetizione, indicati con N la consistenza di una popolazione, con n la media della popolazione, con v la varianza della popolazione, con c il numero dei campioni, con n la numerosità di un campione, con m ed m due valori, costruisci un foglio elettronico che: permetta di inserire i valori N, n, c, n, v, m ed m ; calcoli la media e la varianza dei campioni; determini il numero dei campioni che prevedibilmente abbiano media rispettivamente inferiore a m, fra m ed m e superiore a m (Suggerimento. Usa la funzione di Excel DISTRIB.NORM.); trovi la probabilità che un elemento della popolazione sia compreso fra m ed m ; verifichi tale probabilità con l applicazione in 600 celle dell istruzione CASUALE. Prova con N = 000, n = 40, v = 00, c = 80, n = 0, m = 8 ed m = 4. [40;,65;, 66, 4; 9,7%] Opera come nell esercizio precedente supponendo un campionamento con ripetizione. Prova con N = 500, n = 8, v = 64, c = 90, n =, m = 6 ed m = 9. [8;,05;, 5, 6; 4,84%] In un campionamento con ripetizione N è la consistenza di una popolazione, f è la frequenza di una caratteristica degli elementi della popolazione ed n è la numerosità di un campione. Costruisci un foglio elettronico che: permetta di inserire i valori N, f, ed n; determini la proporzione dell universo e la sua varianza; calcoli la media e la varianza della variabile frequenza campionaria. Applica il foglio al caso N = 80, f = 60 ed n = 5. [0,75; 0,875; 0,75; 0,075] Opera come nell esercizio precedente supponendo un campionamento senza ripetizione. Prova con N = 00, f = 60 ed n = 5. [0,6; 0,4; 0,6; 0,048] Sapendo che la consistenza di due popolazioni è di cinque persone e la numerosità di un campione, sia con ripetizione sia senza ripetizione, è tre per entrambe, costruisci un foglio elettronico che: permetta di inserire i consumi delle due popolazioni; calcoli la media e la varianza della distribuzione campionaria differenza fra medie campionarie. Poni 00, 0, 98, 94 e 95 per la prima popolazione e 85, 90, 9, 88 e 9 per la seconda. [bernoulliano: 8,0 e 5,7; in blocco: 8,0 e,87] Costruisci un foglio elettronico che permetta di inserire i valori della consistenza N di una popolazione, del tasso r di campionamento bernoulliano, della media n X della media campionaria e della varianza v X della media campionaria e che calcoli la media e la varianza della popolazione e la media della varianza campionaria. Prova con N = 000, r = %, n X = 40 e v X =,. [40; 00, 96,6667] Costruisci un foglio elettronico che permetta di inserire i valori della consistenza N di una popolazione, del tasso r di campionamento in blocco, della media n X, della media campionaria e della media n S della varianza campionaria. Il foglio deve calcolare la media e la varianza della popolazione, e la varianza della media campionaria. Prova con N = 4000, r = %, n X = 5e n S = 8, 777. [5; 9, 0,8]

4 LABORATORIO DI MATEMATICA LA STIMA E LA VERIFICA DELLE IPOTESI CON EXCEL La funzione determina INV.T(a; y) z a, il limite di confidenza, dove a è il livello di significatività e y sono i gradi - di libertà. DISTRIB.T(z; y; coda) a, il livello di significatività, dove z è il limite di confidenza, y sono i gradi di libertà e coda vale o o. ESERCITAZIONE GUIDATA Costruiamo un foglio elettronico che permetta di rappresentare la carta di controllo statistico relativa a una macchina confezionatrice di barattoli, sapendo che la distribuzione è normale ed è nota la varianza o. Il foglio deve leggere: n, il peso medio in grammi di un barattolo; c, il numero dei campioni da esaminare; v, lo scarto quadratico medio in grammi; n, il numero dei barattoli di un campione; r, il livello di confidenza ( - a); i pesi medi rilevati degli n campioni; quindi determinare il numero dei campioni che sono fuori controllo e rappresentare graficamente la carta di controllo. Supponiamo che i dati siano n = 500 g, v = 5 g, n = 0, c = 5, r = 99,74% e che le medie dei campioni siano risultate le seguenti: campione: media: I Dati Entriamo in ambiente Excel, scriviamo le didascalie e mettiamo dei bordi alle celle B, B4, B5, B6 e B7 per indicare dove inserire i dati come vediamo in figura. Immettiamo in B, B4, B5, B6 e B7 i dati proposti dal problema. I limiti di controllo Figura Calcoliamo a, il livello di significatività, con = - B5 in B9 (figura ). Troviamo z a, il limite di confidenza, con = INV.T(B9; ) in D0. - Determiniamo i limiti di controllo, traducendo le v v formule LCL= n-z a e UCL= n+ z a - n - n con =B-D0*B4/RADQ(B6) e =B+D0*B4/RADQ(B6) rispettivamente in B e in E. Figura 4

5 La tabella per la carta di controllo Prepariamo una tabella con gli indici dei campioni nella colonna A, scrivendo in A4, in A5 e copiando la zona A4:A5 sino alla A8 (figura ). Registriamo nella colonna B dalla B4 alla B8 le quindici medie dei campioni. Figura Per controllare se ognuna delle medie si trova all interno della striscia compresa fra LCL e UCL, scriviamo =SE(E(B4 $B$; B4 $E$); dentro ; fuori ) in D4 e la copiamo sino alla D8. Effettuiamo, inoltre, un controllo qualitativo sulle medie, testando se ognuna di esse è sopra o sotto media. Scriviamo =SE(B4 $B$; sopra ; SE(B4 $B$; sotto ; pari )) in E4 e la copiamo sino alla E8. Il conteggio dei campioni Contiamo i campioni che hanno media fuori controllo digitando = CONTA.SE(D4:D8; fuori ) in C (figura 4). Con le = CONTA.SE(E4:E8; sopra ) in C e = CON- TA.SE(E4:E8; sotto ) in C valutiamo il numero Figura 4 dei campioni che hanno la media rispettivamente sopra e sotto a quella dichiarata. Calcoliamo le corrispondenti percentuali, scrivendo = C/B7 in D, = C/B7 in D e = C/B7 in D e dichiarando in formato percentuale la zona D:D. La carta di controllo Per tracciare la carta di controllo, evidenziamo la zona A4:B8 e diamo Inserisci_grafico. Nella prima finestra di dialogo selezioniamo Dispers. (XY) e scegliamo il tipo Dispersione con coordinate unite da linee. Nelle altre tre confermiamo le scelte di Excel. Per sistemare il grafico facciamo clic con il tasto destro del mouse sull area del disegno e selezioniamo le opportune opzioni per operare le seguenti variazioni: togliamo il colore allo sfondo, cambiamo il colore delle linee e degli indicatori, leviamo la griglia, stabiliamo da 0 a 5 la variazione di x. Per aggiungere nel grafico la retta della media scriviamo nelle celle A49 e A50 rispettivamente 0 e 5 Figura 5 (scelte come ascisse di due punti della retta) e nelle celle B49 e B50 il riferimento all ordinata (contenuta in B). Facciamo clic con il tasto destro del mouse sull area del disegno, selezioniamo Dati di origine, poi Serie, facciamo clic su Aggiungi, sulla riga Valori X, nella zona del foglio A49:A50, nella riga Valori Y, nella zona del foglio B49:B50, e infine su OK. Operiamo in modo simile per le rette dei limiti e al termine vediamo la carta di controllo come in figura 5. 5

6 Esercitazioni Sugli stimatori Per verificare che la media campionaria è uno stimatore corretto e consistente, costruisci un foglio elettronico che legga i consumi A, B, C, D, E ed F di una popolazione e che determini la media e la varianza dei campioni con i valori di n che vanno da a 5 sia nel caso di campionamento bernoulliano sia di campionamento in blocco. Per verificare ognuna delle seguenti affermazioni costruisci un foglio elettronico che permetta di inserire i cinque consumi A, B, C, D ed E di una popolazione, contenga lo spazio dei campioni di numerosità n =, sia con ripetizione sia senza ripetizione, e determini le grandezze necessarie. 4 5 La media campionaria è uno stimatore più efficiente dello stimatore mediana. Lo stimatore mediana campionaria è uno stimatore corretto. La varianza campionaria non è uno stimatore corretto, mentre lo è la varianza campionaria corretta. I due stimatori della media della popolazione: X+ X+ X h$ X+ k$ X+ j$ X X =, X* =, con h, k e j interi e positivi, h+ k+ j se il campionamento avviene con ripetizione, sono corretti e il primo, se h, k e j non sono tutti e tre uguali a, è più efficiente del secondo. Sulla stima puntuale Costruisci per ognuno dei seguenti casi un foglio elettronico che permetta di assegnare i valori alle grandezze (espresse con le lettere usuali) del primo elenco e che determini, sia in un campionamento bernoulliano sia in uno in blocco, i valori di quelle del secondo elenco (dove a indica il numero degli elementi di un campione che godono di una certa proprietà). Prova i fogli con i dati suggeriti Dati Nnx,,, sa,, trova s X, s F e l errore totale. Prova con N = 4000, n = 00, x = 5, s = 4, a = 50. [0,85,,06%, 4; 0,76,,98%, 05] Dati N, x, s, s X, trova n. Prova con N = 4000, x = 5, s = 4, s = 0,. X (Suggerimento. Puoi usare la funzione di Excel Ricerca obiettivo.) [40; 65] Dati N, a, s F, trova n. Prova con N = 0 000, a = 00, s F = %. [946; 897] Sulla stima per intervallo Per ognuno dei seguenti problemi costruisci un foglio elettronico che possa leggere i dati e trovi quanto richiesto. Oltre alle lettere che indicano le grandezze note, considera che la r esprime in percentuale il livello di confidenza - a, la I la stima dell intervallo di confidenza e var la varianza di un campione. Supponi, se non diversamente espresso, un campionamento bernoulliano. Applica poi il foglio con i valori suggeriti. 9 Dati n, v, s e I, trova, sia con v sia con s, il livello di confidenza r. Poni n =, v =, s =, I =,6. (Suggerimento. Usa la funzione di Excel DISTRIB.T.) [96,%; 9,8%] 6

7 0 Dati Nnxv,,,, s e r, stima sia in un campionamento bernoulliano, sia in uno in blocco, prima con v poi con s gli intervalli della media. N = 0 000, n = 400, x = 88, v = 0, s = 6, r = 95%. [bernoulliano: ]87,0; 88,98[; ]87,0; 88,98[; in blocco: ]87,0; 88,96[; ]87,0; 88,96[] Dati n, x, var di un campione, con var variabile da v a v con passo dv, segnala, a un livello di fiducia dell r%, quando il valore della varianza campionaria rende l ampiezza dell intervallo maggiore di un valore assegnato I. Comunica inoltre l intervallo di confidenza per ogni valore della varianza. Poni r = 95, n = 0, x = 60, var = 5, I = 5, v = 8, v = 5, dv =. [; ]57,5; 6,5[] Dati r e i dieci valori di un campione, determina la stima dell intervallo di confidenza della media. Prova con r = 95% e i seguenti valori: []60,86; 9,4[] Dati f, a ed n variabile da n a n con passo dn, indica quando la stima, valutata a un livello di fiducia dell r%, è inferiore a soglia. Poni f = 45%, r = 90, n = 50, n = 800, dn = 50 e soglia = %. [[50; 650]: non minore; [700; 800]: minore] La verifica delle ipotesi Stabilito che: un alimento è prodotto in confezioni dal peso medio n e con lo scarto quadratico medio ; se v non è noto, compare s, lo scarto quadratico medio del campione estratto; il peso medio in un campione di numerosità n è x ; il peso delle confezioni è una grandezza che si distribuisce normalmente; la produzione è verificata al livello di significatività dell r% con un test bilaterale a due code; i pesi sono espressi in grammi; per ognuno dei seguenti casi costruisci un foglio elettronico che legga i valori delle grandezze indicate, faccia assumere sedici valori equidistanti alla grandezza variabile nell intervallo assegnato e dica quando la produzione è sotto controllo Dati: n, v, n, x e [r ; r ]. Poni n = 6, v =,6, n = 50, x = 6, 50, r = 90 ed r = 99. [[90%; 95,40%]: H ; [96%; 99%]: H 0 ] Dati: n, s, x, r e [n ; n ]. Poni n = 00, s = 80, n = 50, x = 50, r = 99%, n = 0 ed n = 5. [[0; ]: H 0 ; [; 5]: H ] Dati: n, n, x e [s ; s ]. Poni n = 80, n = 40, x = 9, s = 0 ed s = 90. [[0; 58]: H ; [6; 90]: H 0 ] Dati: n, s e n X di un primo campione, n, s e n X, variabile in [n ; n ], di un secondo campione ed r. Poni n =, s = 0,, n X = 65,, s = 0,, n = 6,, n = 6,8 ed r = 95. [[6,; 6,4] e [6,76; 6,8]: H ; [6,8; 6,7]: H 0 ] 7