Politecnico di Milano I a Facoltà di Ingegneria C.S. in Ing. per l Ambiente e il Territorio MODELLISTICA E SIMULAZIONE 1 prova: 4 maggio 9 Cognome e Nome:... Autorizzo Non autorizzo la pubblicazione su Internet del risultato di questa prova Firma... Voto: ATTENZIONE! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate e riportate su questi fogli. - Nel testo [C] rappresenta il numero di lettere del cognome e [N] del nome. ESERCIZIO 1 Si dica, spiegando chiaramente il perché, quale tra i sistemi lineari continui, caratterizzati dalle matrici di dinamica dello stato sotto riportate, raggiunge prima l equilibrio.,5 A1), A) 1 [ N],3,1 [ C], A3) 3 1 1,3,1 [ C]
ESERCIZIO Il parco autovetture italiano può essere diviso in 4 classi di età. Le auto con meno di 5 anni, quelle di età compresa tra 5 e 1 anni, quelle con età tra 1 e 15 anni e quelle di età superiore a 15 anni. OGNI ANNO una frazione delle auto di età superiore a 5 anni viene rottamata, mentre i veicoli di meno di 5 anni vengono scambiati sul mercato dell usato e quindi rimangono nel parco (cioè rottamazione pari a ). Il 4% dei veicoli di età tra 5 e 1 anni, il 13% di quelli di età tra 1 e 15, il 1% di quelli di età superiore viene rottamata. OGNI ANNO vengono comprati nuovi veicoli in proporzione all incremento di popolazione che assumiamo essere pari a [N]/ %. Ogni 1 nuovi abitanti vengono acquistate 6 nuove autovetture. Si formuli un modello del parco autovetture, definendo opportune variabili di uscita e spiegando chiaramente che cosa rapppresentano le variabili utilizzate; Si dica quali sono le matrici A, B, C del modello; Si dica se il sistema è asintoticamente stabile; Si dica se il sistema, nel caso definito sopra, si porta all equilibrio.
ESERCIZIO 3 Si consideri il seguente sistema dinamico: = x 4x 1 1 = x 3x 1 = x + x + x u 3 1 3 1. Si dimostri che non è asintoticamente stabile. Si proponga una legge di controllo che [in alternativa] lo stabilizzi [oppure] faccia raggiungere l equilibrio al sistema controllato in circa [C] unità di tempo.
ESERCIZIO 4 Si risponda, usando solo lo spazio disponibile, alle seguenti domande: Quali sono i vantaggi di utilizzare la risposta all impulso per la modellizzazione di un sistema dinamico? Un sistema lineare SISO asintoticamente stabile ha un ingresso u(t)=[c[+[n]sen(,t). Come sarà la sua uscita a transitorio esaurito? Due sistemi lineari SISO asintoticamente stabili sono collegati in modo che l uscita y 1 =c 1 x 1 del primo è l ingresso u del secondo (cioè u =y 1 ). Il sistema complessivo è asintoticamente stabile? Perchè? [N] 1 La matrice A+LC di uno stimatore è. Dopo quanto tempo lo stato del sistema,5 originario verrà stimato accuratamente? Perchè?
ESERCIZIO 5 Dovete stimare mediante Excel i parametri a e b del sistema a tempo discreto minimizzando la somma degli scarti quadratici tra una serie di osservazioni x, + 1 y oss e i valori dell'uscita y ottenuti mediante simulazione. La figura sottostante x1, + 1 = 1 + ax, + 1 rappresenta un foglio di lavoro impostato per risolvere il problema. Nell intervallo B:C4 sono stati inseriti i parametri del sistema, nelle celle x, + 1 = x1, + bx, D4:E4 le condizioni iniziali x 1, e x,. Le celle B8:E8 e sottostanti sono state y = x1, impostate per simulare il movimento del sistema nei primi 5 passi. Nell intervallo G8:G13 sono invece riportati i valori osservati dell'uscita y nei passi corrispondenti. Nella cella G4, infine, è calcolata la somma degli scarti quadratici tra i valori osservati e previsti di y. A B C D E F G H 1 parametri condiz. iniziali f. obiettivo 3 a b x 1, x, J 4.1.5 1 14.35931 5 6 simulazione osservazioni 7 x 1, x, y y oss 8 1 14 1 1 9 1 11.97 17.7 11.97 1 1 14.58 1.71 14.58 15 11 3 17. 6.53 17. 17 1 4.8 31.79.8 13 5.96 37.58.96 3 14 Scrivete le formule da inserire nelle celle C9 e D9 in modo tale che possano essere copiate e incollate senza modifiche nelle celle sottostanti (C1:D13) per ottenere i valori di x 1 e x ai diversi passi. Scrivete poi la formula da inserire nella cella G4 allo scopo di calcolare la funzione obiettivo da minimizzare mediante il risolutore. Cella Formula C9 = D9 = G4 = Inserite infine nella finestra Parametri del Risolutore tutti i dati necessari per la soluzione del problema.