MODELLISTICA E SIMULAZIONE 1 prova: 7 maggio 2015 Cognome e Nome:...

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1 Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Civile, Ambientale e Territoriale C.S. in Ing. per l Ambiente e il Territorio MODELLISTICA E SIMULAZIONE prova: 7 maggio 5 Cognome e Nome:... Autorizzo Non autorizzo la pubblicazione su Internet del risultato di questa prova Firma... Voto: ATTENZIONE! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate e riportate su questi fogli (utilizzando anche il retro). - Nel testo, [C] rappresenta il numero di lettere del cognome e [N] del nome. - In caso di dubbi, specificare chiaramente le ipotesi o assunzioni fatte e procedere. ESERCIZIO Come è noto, le donne sono poco rappresentate agli alti livelli della pubblica amministrazione soprattutto a causa di un più basso tasso di promozione. Ipotizziamo che la pubblica amministrazione sia divisa in tre livelli i=,,3 (dal più basso al più alto) in ciascuno dei quali ci siano sia uomini che donne e che l ingresso di nuovi assunti sia costante e pari a assunti/anno divisi a metà tra uomini e donne. Si formuli un modello del sistema assumendo che (a) il 5% del personale di ogni livello vada in pensione ogni anno, (b) per gli uomini, il tasso annuo di promozione dal livello al sia di [N]% e quello dal livello al 3 del 4% e che (c) tali tassi, per le donne, siano la metà. Si scrivano le matrici del sistema, prendendo come uscita il numero complessivo di pensionati, e si calcoli il rapporto complessivo tra uomini e donne all equilibrio. Dopo quanto tempo l equilibrio sarà raggiunto? Se le donne fossero promosse come gli uomini, dopo quanto tempo si raggiungerebbe una perfetta parità? Soluzione Come tutti i sistemi reali, anche questo si presta a diverse formulazioni in termini di modello. Un esempio: Chiamiamo u(t), u(t) e u3(t) gli uomini presenti nei tre livelli dell amministrazione e analogamente d,d e d3 per le donne. L equazione che dà l andamento degli uomini nelle tre fasce sono: u(t+) = u(t),5u(t) [pensionamenti],[n]u(t) [promozioni] + / [nuove assunzioni] u(t+) = u(t),5u(t),4 u(t) [promozioni] +,[N]u(t) u3(t+) = u3(t),5 u3(t) +,4 u(t) Per le donne, le equazioni sono le stesse con i coefficienti relativi alle promozioni dimezzati. L equilibrio si ottiene facilmente imponendo che le variabili di stato rimandano costanti e, dato che le equazioni di uomini e donno sono disaccoppiate, si tratta di risolvere due sistemi di 3 eq. algebriche lineari molto semplici perché in ogni equazione non compaiono tutte le variabili. Ad esempio, la prima equazione degli uomini dà immediatamente:

2 (,5+,[N])u = 5 dalla quale si ricava subito il valore di u all equilibrio. La scrittura dell intero sistema in termini matriciali dà,95,[n],[n] A =,9,4,95,95,5[N],5[N],93,,95,5 B =,5 Il vettore (o la matrice) C dipendono ovviamente da che cosa si decide di misurare. L equilibrio si raggiunge dopo 5 volte la costante di tempo dominante pari a -/log,95 = circa 9,5 anni. Quindi ci vuole circa un secolo per portarsi all equilibrio. Se le donne fossero promosse come gli uomini, ovviamente all equilibrio sarebbero esattamente lo stesso numero a tutti i livelli, ma si nota che il tasso di promozione non cambia l autovalore dominante e quindi il tempo per portarsi all equilibrio è sempre lo stesso.

3 ESERCIZIO Si consideri il seguente sistema: x& = x + x + u Per quali valori del parametro p è possibile costruire un regolatore (legge di controllo + stimatore dello stato) con dinamica qualsiasi? Soluzione Per poter realizzare un regolatore con dinamica qualsiasi, occorre che il sistema sia completamente raggiungibile e completamente osservabile. Si costruiscono quindi le matrici R e O, che per un sistema SISO come quello in esame sono quadrate, e si valuta per quali valori di p entrambi i determinanti sono diversi da zero 3 + [C] R=[b Ab A B]= [C] / 5/[C] + /4 -[N] [N](/-[C]-p) [C] [C][N] O=[c T A T c T A T c T ]= [N] + [N](/ p ) p p Ad esempio, per [N]=6 e [C]=5 risulta det(r)= 8/ 9p e quindi p 9/ det(o)= p +4p 65 e quindi p ( 4± 676)/ 3 x& = [C] x x& = [N] x y = x + x x / + u 3 + px 3 ESERCIZIO 3 Si classifichi il seguente sistema e lo si rappresenti in forma matriciale. Si determinino poi i valori dei parametri α, β e γ affinché l uscita del sistema si porti all equilibrio in corrispondenza di un vettore degli ingressi u costante. dx /dt = x + x / x 6 /4+ u dx /dt = α x + x 6 + u u dx 3 /dt = x /[C] + x 3 /4 x 4 dx 4 /dt = x + [N] x + x 3 + βx 4 dx 5 /dt = x x 5 / + x 6 /3 u dx 6 /dt = γ x 6 u + 3u u 3 / y = x + x x 5 + u 3 Soluzione Il sistema è lineare, parametri concentrati, deterministico, invariante, continuo, improprio, MISO. Perché l uscita si porti all equilibrio occorre che il sistema sia asintoticamente stabile. Per verificare ciò basta guardare la matrice A che è: α A =,5 /[ C] [ N] / 4 β / / 3 γ La matrice è diagonale a blocchi e quindi può essere scomposta secondo le linee continue che mostrano che un autovalore è γ e quindi, per la stabilità, deve risultare γ<. L altra sottomatrice può essere a sua volta suddivisa in blocchi (linee tratteggiate), da cui si vede che un altro autovalore è -/. Per determinare α e β occorre invece che le due rimanenti sottomatrici siano entrambi stabili (ad esempio imponendo che la traccia sia negativa e il determinante positivo). Ciò dice che α< e -4 < β < /4.

4 ESERCIZIO 4 Si risponda, usando solo lo spazio disponibile, alle seguenti domande, giustificando le risposte: L uscita di equilibrio di un sistema lineare SISO in corrispondenza di un ingresso costante u 3 è pari a. E possibile che, all equilibrio, l uscita corrispondente a u 6, sia pari a? Perché? Non è possibile perché all equilibrio, in un sistema di questo tipo, l uscita è proporzionale all ingresso. Quindi y =ku e =3k. Quindi non è possibile che -=6k. Che cosa caratterizza un modello non stazionario (o variante)? Il fatto che la variabile indipendente t appaia esplicitamente nelle equazioni (es. i parametri dipendano dal tempo) Un sistema lineare con ingresso u(t) = [N]sen(,t)+sen(t)+5sen(t)+ ha un uscita asintotica y(t) =,sen(,t )+sen(t 4)+,sen(t [C])+. Come possiamo classificare le proprietà filtranti del sistema? Perché? La sinusoide a pulsazione più bassa (,) viene attenuata (ampiezza, <[N]), quella di pulsazione intermedia () rimane invariata, e quella a pulsazione maggiore () viene anch essa attenuata (,<5). Si tratta pertanto di un filtro passa-banda. Che dati sono stati utilizzati per sviluppare i modelli di previsione dell SO a Milano? Le concentrazioni giornaliere di SO, la temperatura, le condizioni meteorologiche (alta pressione bassa pressione).

5 ESERCIZIO 5 Siete stati incaricati dai gestori della diga di Camposassoso di calibrare il modello, qui accanto riportato, del loro piccolo impianto idroelettrico da 3 MW. Il modello descrive la dinamica a tempo discreto, a passo mensile, del livello (h) del bacino, da cui preleva acqua l impianto ed è implementato nel foglio Excel sottostante. Le portate in ingresso (q in ) sono riportate nelle celle F:F8. La portata in uscita (q out ) e quella derivata per l impianto idroelettrico (q elet ) sono proporzionali, attraverso i parametri ϕ e ϕ, al livello del bacino. Le portate sono trasformate in livelli mediante la costante k. La portata derivata q elet è nulla se il livello è inferiore alla quota di derivazione (h min ). L energia prodotta E, espressa in Wh, è pari a 36 (ore di funzionamento dell impianto in un mese) per il prodotto dell accelerazione di gravità g, della densità dell acqua ρ, dell efficienza dell impianto η, della portata q elet, e del salto (h(t) + h base ). Dovete stimare i parametri ϕ e ϕ (celle C4 e D4) per il calcolo delle portate di uscita dal bacino, minimizzando la somma degli scarti quadratici tra valori osservati (I:I8) e simulati (G:G8) di energia prodotta. A B C D E F G H I L k φ φ η g ρ J 3 (s m - mese - ) (m /s) (m /s) (m/s ) (kg/m 3 ) h base h min h Prod.annuale 7 (m) (m) (m) 8.34 GWh t h q out q elet q in E E oss (mese) (m) (m 3 /s) (m 3 /s) (m 3 /s) (MWh) (MWh) Facendo attenzione alle unità di misura riportate nel foglio Excel e al passo temporale corretto (ricordate che W = kg m s - ), scrivete le formule da inserire nelle celle C3, E3 e G3 in modo tale che possano essere copiate e incollate senza modifiche nelle celle sottostanti per ottenere i valori di h, q elet e E ai diversi passi. Scrivete poi la formula da inserire nella cella I3 allo scopo di calcolare la funzione obiettivo da minimizzare mediante il risolutore. Cella Formula C3 E3 G3 I3 =$C$+$B$4*(F-$C$4*C-E) =SE(C3<$C$8;;$D$4*C3) =36*$F$4*$G$4*$E$4*E3*(C3+$B$8)/ =SOMMA.Q.DIFF(G:G8;I:I8) Specificate infine tutti i dati necessari per la soluzione del problema da inserire nella finestra Parametri Risolutore: Imposta obiettivo:... A: Max Min X Valore di Modificando le celle variabili: C4;D4.. Soggette ai vincoli: nessuno.. Selezionare un metodo di soluzione: GRG non lineare..x, Simplex LP..., Evolutivo h+=h+ = h = h h> h h h!=36$%& h+h '()

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