sercizi del Corso di Istituzioni di Analisi Superiore, I modulo 1. sercizi su massimo e minimo limite 1. lim inf a n lim sup a n 2. Se a n b n per ogni n N, allora lim inf a n lim inf b n. Vale anche lim inf a n lim sup b n? 3. Confrontare lim sup(a n + b n ) con lim sup a n + lim sup 4. Sia f una funzione continua in (, 1) e tale che lim inf x b n e lim sup a n + lim inf b n. f(x) < lim sup f(x). x Allora per ogni valore l (lim inf x f(x), lim sup x f(x)) esiste una successione x n in (, 1) e convergente a tale che lim f(x n) = l. 5. Sia {I n } n N una successione di insiemi. Provare che lim inf Trovare un esempio in cui valga l inclusione stretta. I n lim sup I n. 6. Sia {I n } n N una successione di insiemi e sia I = lim sup I n. Provare che lim sup X In = X I. 7. Sia I n = {x [, 2π] : sin(nx) n > }, n N. Calcolare lim sup I n e lim inf I n. 2. sercizi sugli insiemi numerabili 1. Sia A un sottoinsieme di R tale che per ogni x A esiste un δ > per il quale A (x, x + δ) =. Dimostrare che A è numerabile. 1
2. Sia f una funzione crescente in un intervallo aperto non vuoto I R. È noto che i punti di discontinuità di f sono solo di prima specie (salti finiti). Sia allora S l insieme di tali punti di discontinuità in I. Dimostrare che (i) S è numerabile; (ii) se A = {x n } n N è un sottoinsieme numerabile di R, allora esiste una funzione crescente f i cui punti di discontinuità sono esattamente quelli di A. 3. Sia S l insieme delle successioni a valori o 1 e sia f : S [, 2] la funzione definita da x n f(x) = 2, x = {x, x n 1,...} S. n= (i) Dimostrare che ogni elemento di [, 2] ha al più due immagini inverse secondo f; (ii) determinare l insieme D degli elementi di [, 2] che hanno due immagini inverse; (iii) dimostrare che D e f 1 (D) sono infiniti e numerabili. 4. Sia I un insieme qualsiasi e sia f : I [, + ). Si definisca f(i) = sup{ f(i) : J I, J finito}. i I i J Dimostrare che se i I f(i) < allora l insieme A = {i I : f(i) } è numerabile. 3. sercizi sulla funzione distanza Sia C un sottoinsieme di R N e sia d C (x) = inf{ x y : y C}, x R N. 1. Dimostrare che se C è chiuso allora esiste un punto x C di C che ha minima distanza da x. Questo x C è sempre unico? 2. Dimostrare che d C (x) è Lipschitziana. 3. Sia C un sottoinsieme di R N. Se d C (x) è differenziabile in x, allora x d C (x) = 1. 4. Sia ϕ : R N 1 R una funzione di classe C 2 (R N 1 ) e supponiamo, per fissare le idee, che ϕ() = e ϕ() =. 2
(i) Dimostrare che esiste r > tale che la palla B r = {(x, x N ) R N : (x N r) 2 + x 2 < r 2 } è contenuta nell aperto Ω = {(x, x N ) R N : x N > ϕ(x)} ed è tale che B r Ω = {}; (ii) con un controesempio, mostrare che se ϕ non fosse di classe C 2 il numero r del punti (i) potrebbe non esistere. 5. Sia Ω R N un dominio limitato e di classe C 2 (i.e. Ω è localmente il grafico di una funzione di classe C 2 ). (i) Dimostrare che, per ogni x Ω, esiste una palla B r di raggio r > tale che B r Ω e B r Ω = {x}; (ii) detto r(x) = max{r > : esiste B r Ω con B r Ω = {x} }, mostrare che r = min r(x) >. x Ω 6. Sia Ω come nell esercizio precedente e sia Ω r = {x Ω : d Ω (x) < r }. Dimostrare che, se Ω è di classe C m, m 2, allora d Ω C m (Ω r ). (Suggerimento: definire l applicazione y : Ω (, r ) Ω r che associa ad ogni (x, t) Ω (, r ) il punto y = x+tν(x) di Ω r, dove ν(x) è il versore della normale interna a Ω in x. ) 4. sercizi sulla misura. 1. Se e F sono misurabili, m() + m(f) = m( F) + m( F). 2. Ogni sottoinsieme misurabile dell insieme di Vitali ha misura zero. 3. Sia A R con m(a) >. Allora A contiene un sottoinsieme non misurabile. 4. In che relazione stanno e m(lim inf m(lim sup I n) e lim inf m(i n), I n ) e lim sup m(i n )? 5. Si dice che un sottoinsieme di R N genera una tassellatura se n Z N ( + n) = R N e ( + n) ( + m) = per n m. Dimostrare che se genera una tassellatura, allora m() = 1. 3
6. Siano n (, 1), n = 1,...,k insiemi misurabili e sia k n=1 m( n) > k 1. Allora m( k n=1 n) >. 7. L insieme di Cantor è misurabile secondo Peano-Jordan. 8. Costruire un insieme perfetto, privo di punti interni e con misura positiva. 9. Trovare un sottoinsieme del quadrato di lato 1 che abbia misura zero e tale che dati comunque due numeri a e b tra e 1, l insieme contiene la frontiera di un rettangolo con lati che misurano a e b. 1. Sia f una funzione continua e m() =. vero che m(f()) =? 11. Osservare che se H è un insieme misurabile contenuto in [, 1] [, 1] allora l insieme H t = {(x, y) H x = t} è misurabile per quasi ogni t in [, 1]. Vale il viceversa? 12. Calcolare la dimensione di Hausdorff dell insieme Q. 13. Costruire un sottoinsieme di [, 1] com dimensione di Hausdorff maggiore di ln 2/ ln3 e minore di 1. 5. sercizi su funzioni misurabili e semicontinue. 1. Sia {f n } una successione di funzioni misurabili definite quasi ovunque e che convergono quasi ovunque alla funzione f. Dimostrare che f è misurabile. 2. Se {x : f(x) q} è misurabile per ogni q Q, allora f è misurabile. 3. Sia g : R R una qualunque funzione. Allora la funzione f(x) = lim inf g(y) è semicontinua inferiormente e quindi misurabile. y x 4. Sia f : R R una funzione qualsiasi e siano φ(x, δ) = sup{ f(s) f(t) : s, t (x δ, x+δ)}, φ(x) = inf{φ(x, δ) : δ > }. Dimostrare che φ è superiormente semicontinua e che φ(x) = se e solo se f è continua in x. 5. quivalenza delle definizioni di funzione semicontinua inferiormente o superiormente. 6. La funzione caratteristica di un insieme è semicontinua inferiormente se e solo se è aperto. 7. Sia K compatto e sia f semicontinua inferiormente. Allora f ammette minimo in K. 4
8. Sia {f n } una successione di funzioni reali non negative su R. Si considerino i seguenti quattro enunciati: a) Se f 1 e f 2 sono semicontinue sup., f 1 + f 2 è semicontinua sup. b) Se f 1 e f 2 sono semicontinue inf., f 1 + f 2 è semicontinua inf. c) Se ogni f n è semicontinua sup., f n è semicontinua sup. d) Se ogni f n è semicontinua inf., f n è semicontinua inf. 1 Si provi che tre di questi enunciati sono veri e uno è falso. Cosa succede se si omette la condizione di non negatività? 9. La funzione { 1/q se x = p/q con p Z, q N primi tra loro, f(x) = altrimenti è semicontinua superiormente. 1. f : [a, b] R è semicontinua inferiormente se e solo se f = sup{g : g C[a, b], g f}. 6. sercizi sull integrale di Lebesgue. 1. Sia f non negativa, misurabile in misurabile. Allora f = 1 m f (t)dt, dove m f (t) è la misura dell insieme {x : f(x) > t}). (Supporre in un primo momento che f sia limitata e che sia di misura finita. Si noti che il secondo integrale è un integrale alla Riemann.) 2. Sia s : [, 1] [, 1] la scala di Cantor. Calcolare 1 s(x) dx 3. Mostrare che + [ ] + sin x dx = +. x 5
4. Siano f n misurabili e non negative in tali che f n f sommabile e lim f n = Provare che per ogni sottoinsieme misurabile F di si ha: f n = f. lim Vale lo stesso risultato se si rimuove l ipotesi f n? 5. Sia f : R sommabile, e siano f n le funzioni troncate { f(x) se f(x) n f n (x) = altrimenti. F F f. Allora, f n f. 6. Sia f n una successione di funzioni misurabili tali che f n f q.o. in misurabile. Se f n (x) p g(x) con p 1 e g sommabile, allora f n (x) f(x) p. 7. sercizi sulle funzioni convesse. 1. Sia f continua in [a, b] e tale che fissati comunque x e y in [a, b] si ha f ( ) x+y 2 f(x)+f(y). Provare che f è convessa. 2 (Si veda Courant-Hilbert, Methods of Mathematical Physics, vol. II, per un controesempio a questo esercizio, nel caso in cui l ipotesi di continuità sia rimossa.) 2. Costruire una funzione convessa in [a, b] che sia non derivabile in un infinità numerabile di punti di (a, b). 3. Sia f convessa in (, + ); provare che esiste lim x + f(x) x. 8. sercizi sugli spazi L p. 1. Si consideri lo spazio C[, 1] delle funzioni continue sull intervallo [, 1] e si definisca ( 1 ) 1 f = f(x) 2 2 dx, f C[, 1]. 6
(i) Dimostrare che (C[, 1], 2 ) è uno spazio vettoriale normato; (ii) dimostrare che esso non è completo. 2. Siano p, q, r tre numeri maggiori o uguali ad 1 tali che 1 r = 1 p + 1 q. Dimostrare che se f L p () e g L q () allora fg L r () e fg r f p g q. 3. Sia p [1, ). Dimostrare che se g è misurabile e tale che fg L p () per ogni f L p () allora g L (). 4. Siano R N un insieme misurabile e g : R una funzione misurabile. Dimostrare che l insieme = {x : g(x) > ess sup g} ha misura nulla e che ess sup g = sup g. \ 5. Dimostrare che f + g f + g. 6. Lo spazio L p () si può ugualmente definire anche per p (, 1). (i) Dimostrare che L p () è uno spazio vettoriale; (ii) dimostrare che L p () è uno spazio metrico con distanza definita da d p (f, g) = f g p dx. (iii) dimostrare che (L p (), d p ) è completo. 7. L 1 and L non sono uniformemente convessi 8. Sia t la successione a termini reali {t 1, t 2,..., t r,...} e si ponga ( ) 1/p t lp = t r p r=1 Si indica con l p lo spazio delle successioni t con t lp < + Provare che l p è uno spazio lineare, normato con la norma lp. Provare che l p è completo e separabile 7
9. Siano 1 < p <, f L p ((, )) e F(x) = 1 x x a) Dimostrare la disuguaglianza di Hardy F p f(t) dt, < x <. p p 1 f p. b) Provare che vale il segno di uguaglianza solo se f = q.o. c) Provare che la costante p non può essere sostituita da una più piccola. p 1 d) Se f > e f L 1, mostrare che F / L 1. (Suggerimento: provare prima il risultato, per f non negativa, continua ed a supporto compatto, integrando per parti.) 1. Sia I con m(i) = 1. a) Provare che f L r (I) f L s (I) se < r < s. b) Sotto quali condizioni si ha f L r (I) = f L s (I) con < r < s? c) Supponendo f L r (I) < per qualche r >, provare che { } lim f L p p (I) = exp log f 11. Calcolare la convoluzione della funzione X [ a,a] con sé stessa. 12. Confrontare convergenza in misura, quasi ovunque, L p e debole L p in insiemi di misura infinita. 9. sercizi sugli spazi di Hilbert. Definizione. Dato uno spazio vettoriale (sui reali) H, di chiama prodotto scalare una forma bilineare di H H in R, simmetrica e definita positiva, cioè una applicazione che a ciascuna coppia di vettori {x, y} in H H associa un numero reale (x, y) in modo che valgono le seguenti proprietà per ogni x, y, z H: a) (y, x) = (x, y); b) (x + y, z) = (x, z) + (y, z); c) (αx, y) = α(x, y) per ogni α R; d) (x, x). e) (x, x) = se e solo se x =. Definizione. Uno spazio di Hilbert è uno spazio vettoriale H dotato di un prodotto scalare (x, y) e completo ripetto alla norma x = (x, x) 1/2. 1. Per un prodotto scalare vale la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. La norma indotta da un prodotto scalare soddisfa la disuguaglianza triangolare e l identita del parallelogramma. 8 I
2. Se H è dotato di prodotto scalare, allora H è uniformemente convesso. 3. Sia K un sottoinsieme chiuso, convesso e non vuoto di uno spazio di Hilbert H e sia x / K. Allora esiste un unico z K tale che x z = min x y = dist(x, K); y K z = P K (x) si dice proiezione di x su K che è caratterizzata dalla condizione (x z, y z) per ogni y K. 4. Se M è un sottospazio vettoriale di H, allora P M (x) M e (x P M (x), y) = per ogni y M. Inoltre H = M M, dove M = {y H : (y, x) = per ogni x M}. 5. Se una successione {x n } converge debolmente in R N allora converge fortemente. 6. Se x n x in H, allora lim inf Se poi x n x, allora x n x in H. x n x. 7. Per ogni funzionale lineare e continuo L : H R esiste un solo y H tale che L(x) = (y, x) per ogni x H. 8. Se H è uno spazio di Hilbert separabile ed esiste c tale che x n c per ogni n N, allora esistono un x H ed una sottosuccessione x nk di x n tali che x nk x. 9