COMPATTEZZA DEBOLE IN SPAZI DI BANACH RIFLESSIVI

Alma Mater Studiorum Università di Bologna SCUOLA DI SCIENZE Corso di Laurea in Matematica COMPATTEZZA DEBOLE IN SPAZI DI BANACH RIFLESSIVI Tesi di Laurea in Analisi Matematica Relatore: Chiar.ma Prof.ssa Giovanna Citti Presentata da: Martina Giacobbe II Sessione Anno Accademico 204/205

Introduzione Lo scopo di questa tesi è dare la nozione di topologia debole in spazi di Banach e fornire una caratterizzazione della compattezza debole in particolare per spazi riessivi e separabili. L'elaborato è suddiviso in tre capitoli. Nel primo capitolo si descrive come costruire la topologia meno ne su uno spazio di Banach E che renda continue una famiglia assegnata di applicazioni (ϕ i ) i I. Questa costruzione si applica in particolare alla famiglia dei funzionali lineari limitati su E e si ottiene la topologia debole σ(e, E ). Ne descriviamo gli intorni e mostriamo che in dimensione nita la topologia forte e la topologia debole coincidono, mentre in dimensione innita ciò è falso. Nel secondo capitolo si osserva che esiste un operatore canonico J : E E e si costruisce su E la topologia debole σ(e, E), ovvero la topologia meno ne che rende continue le applicazioni di E del tipo J(x), x E. Inne si mostra che la sfera unitaria in E è compatta in σ(e, E) e si porta un esempio di costruzione di uno spazio di Banach nel quale un insieme compatto ha una successione limitata che non ammette alcuna sottosuccessione convergente. Nell'ultimo capitolo vediamo che in spazi di Banach separabili e riessivi la compattezza è equivalente alla compattezza sequenziale. Il capitolo è diviso in due sezioni principali: la prima riguardante gli spazi riessivi, la seconda gli spazi separabili. Si dà inizialmente una caratterizzazione degli spazi riessivi a partire dalla compattezza della sfera unitaria in σ(e, E) e si i

ii danno diverse caratterizzazioni della riessività di E ed E. Nella sezione seguente vediamo come le condizioni di separabiltà di E e di E sono necessarie e sucienti anché le topologie σ(e, E ) e σ(e, E) siano metrizzabili sulle sfere unitarie. Queste condizioni permettono di provare il teorema centrale del capitolo, che garantisce che in uno spazio di Banach separabile e riessivo è possibile estrarre da ogni successione limitata in E una sottosuccessione convergente in σ(e, E ). Si chiude mostrando che la condizione di uniforme convessità implica la riessività.

Indice Introduzione i La topologia debole. La topologia meno ne associata ad una famiglia di funzioni..2 La topologia σ(e, E )...................... 4 2 La topologia debole * 3 2. La topologia σ(e, E)...................... 3 3 Spazi riessivi e spazi separabili 25 3. Spazi riessivi........................... 25 3.2 Spazi separabili.......................... 30 3.3 Spazi uniformemente convessi.................. 37 Bibliograa 43 iii

Capitolo La topologia debole. La topologia meno ne associata ad una famiglia di funzioni Sia X un insieme, (Y i ) i I una famiglia di spazi topologici. Sia poi (ϕ i ) i I una famiglia di applicazioni da X in Y i, cioè ϕ i : X Y i i I. (.) Vogliamo costruire su X una topologia τ che sia la più conveniente possibile (cioè quella costituita dal minor numero di aperti) e che renda continue le ϕ i i I. Mostreremo in seguito che c'è un unico modo per trovare la topologia meno ne che renda continue un certo numero di applicazioni; denominiamo questa come la topologia più debole associata alla famiglia (ϕ i ) i I. Consideriamo ora ω i Y i aperto, ovviamente dovremo richiedere che ϕ i (ω i ) sia un aperto di X. Al variare di ω i nella famiglia degli aperti di Y i e al variare di i in I otteniamo una famiglia di sottinsiemi di X che saranno necessariamente aperti per la topologia τ: indichiamola con (U λ ) λ Λ. Questa famiglia però non è ancora una topologia, poiché non è necessariamente stabile per finita e per arbitraria. Cerchiamo quindi una famiglia τ di sottoinsiemi di X con queste proprietà. Anzitutto consideriamo le intersezioni nite degli

2. La topologia debole insiemi (U λ ) λ Λ ; in questo modo otteniamo φ = { U λ : U λ = ϕ i (ω i ), ω i Y } i aperti (.2) finita che contiene (U λ ) λ Λ ed è stabile per finita. A questo punto prendiamo una nuova famiglia, ottenuta dalle unioni arbitrarie degli elementi di φ, τ = { H i : H i φ }. (.3) arbitraria È chiaro che τ è stabile per arbitraria ma non è banale che sia stabile per finita : mostriamolo con il seguente lemma. Lemma... Sia X un insieme, (Y i ) i I una famiglia di spazi topologici e (ϕ i ) i I una famiglia di applicazioni denita come in (.). Allora la famiglia τ denita come in (.3) è stabile per finita. Dimostrazione. Dobbiamo provare che se K τ, K 2 τ allora K K 2 τ. Per denizione K = ( ) ϕ i (ω ij ), i I j J K 2 = ( ) ϕ i (ω ij ), j J 2 i I 2 con ω ij Y i aperto, I, I 2 insiemi qualsiarsi e J, J 2 insiemi niti di indici. Abbiamo che K K 2 = ( ( ϕ i (ω ij ) )) K 2. j J i I Usando le proprietà distributive dell'insiemistica otteniamo K K 2 = ( ) ϕ i (ω ij ) K 2. j J i I i I 2 i I Riapplicando nuovamente K K 2 = ( ( Si puó concludere che K K 2 τ. j J ϕ i (ω ij ) ) ( j J 2 ϕ i (ω ij )) ).

. La topologia meno ne associata ad una famiglia di funzioni 3 Ricordiamo il concetto di base di intorni. Denizione.. Dato X spazio topologico, una base di intorni di x X è una famiglia di intorni per x tale che ogni altro intorno del punto contiene un elemento della base. Osservazione. Non è possibile invertire l'ordine delle operazioni nella costruzione di τ poiché non otterremmo la stabilità per arbitraria. Quindi abbiamo ottenuto gli aperti della topologia τ considerando prima finita di insiemi della forma ϕ i (ω i ) e poi arbitraria di questi; inoltre questa costruzione è unica per quanto detto. Segue che x X, otteniamo una base di intorni di x per la topologia τ considerando insiemi della forma F = { finita ϕ i (V i ) : V i intorno di ϕ i (x) in Y i }. Proposizione..2. Sia X un insieme, (Y i ) i I una famiglia di spazi topologici e (ϕ i ) i I una famiglia di applicazioni denita come in (.). Sia poi (x n ) n N una successione in X. Si ha che x n x ϕ i (x n ) ϕ i (x) i I. Dimostrazione. Se x n x allora ϕ i (x n ) ϕ i (x) continue. i I poichè le ϕ i sono Viceversa sia U intorno di x. Per l'osservazione esiste J I nito tale che U i J ϕ i (V i ), dove V i intorno di ϕ i (x). Poiché ϕ i (x n ) ϕ i (x) per ipotesi, allora i J N i N : ϕ i (x n ) V i n N i. Posto N = max i J N i, abbiamo che x n U n N. Proposizione..3. Sia X un insieme, (Y i ) i I una famiglia di spazi topologici e (ϕ i ) i I una famiglia di applicazioni denita come in (.). Sia poi Z uno spazio topologico e sia ψ : Z X. ψ è continua ϕ i ψ : Z Y i è continua i I.

4. La topologia debole Dimostrazione. L'implicazione è immediata. Viceversa dato U aperto di X, proviamo che ψ (U) è un aperto in Z. Grazie all'osservazione sappiamo che U è della forma arbitraria finita ϕ i (ω i ) dove ω i aperto di Y i. Si ha ψ (U) = arbitraria finita ψ (ϕ i (ω i )) = arbitraria finita Abbiamo che ψ (U) è aperto di Z poichè ϕ i ψ è continua. (ϕ i ψ) (ω i )..2 La topologia σ(e, E ) Sia E spazio di Banach, consideriamo E = {f f : E R lineari e continue}. Deniamo su E una topologia usando quanto visto nella sezione.. Denizione.2. La topologia debole σ(e, E ) su E è la topologia meno ne che rende continue tutte le applicazioni di E. Osservazione 2. Ogni f : E R, f E, è continua per la topologia forte (ovvero la topologia indotta da x E ). Si ha quindi che la topologia debole è meno ne della topologia forte. Vedremo in seguito che le due topologie coincidono se E ha dimensione nita, mentre in dimensione innita la topologia debole sarà sempre strettamente meno ne. Vediamo ora qualche semplice proprietà di questa topologia. Proposizione.2.. La topologia debole è di Hausdor. Dimostrazione. Siano x, x 2 E, x x 2. Mostriamo che esistono O e O 2 intorni aperti per la topologia debole σ(e, E ) tali che x O, x 2 O 2 e O O 2 =. Per la seconda forma geometrica del teorema di Hahn Banach esiste un iperpiano di equazione f(x) = α che separa i punti x e x 2. In altri termini, f E, α R tali che f, x < α < f, x 2.

.2 La topologia σ(e, E ) 5 Deniamo O = {x E : f, x < α} = f (, α), O 2 = {x E : f, x > α} = f (α, + ). Per costruzione O e O 2 sono aperti per σ(e, E ); inoltre x O, x 2 O 2 e O O 2 =. Proposizione.2.2. Sia x 0 E, ɛ > 0, k R e {f,..., f k } E. Allora l'insieme V = V (x 0, f,..., f k, ɛ) = {x E : f i, x x 0 < ɛ i =,..., k} è un intorno di x 0 per σ(e, E ). Inoltre F(x 0 ) = {V (x 0, f,..., f k, ɛ) : ɛ > 0, k N, f,... f k E } è una base di intorni di x 0 per σ(e, E ). Dimostrazione. Si ha che x V f i, x x 0 < ɛ i =,..., k. Usando la linearità delle f i si ottiene che f i, x f i, x 0 < ɛ i =,..., k. Pertanto f i (x 0 ) ɛ < f i (x) < f i (x 0 ) + ɛ i =,..., k. Ne segue che f i (x) ]f i (x 0 ) ɛ, f i (x 0 ) + ɛ[ i =,..., k e Inne ( x f i ]fi (x 0 ) ɛ, f i (x 0 ) + ɛ[ ) i =,..., k. x k i= ( f i ]fi (x 0 ) ɛ, f i (x 0 ) + ɛ[ ).

6. La topologia debole Sappiamo che ]f i (x 0 ) ɛ, f i (x 0 )+ɛ[ è un intorno aperto di f i (x 0 ) in R, ogni f i ( è continua per denizione di σ(e, E ), quindi f i ]fi (x 0 ) ɛ, f i (x 0 ) + ɛ[ ) è un aperto che contiene x 0. Inoltre per denizione di topologia l'intersezione nita di aperti è un aperto. Quindi V è un aperto per la topologia debole σ(e, E ) che contiene x 0. Mostriamo ora che F(x 0 ) è una base. Sia U un intorno di x 0 per la topologia debole σ(e, E ). Per quanto detto nell'osservazione esiste un aperto W incluso in U contentente x 0 e della forma W = finita f i (ω i ), dove ω i è un intorno di f i (x 0 ). Inoltre è possibile trovare un ɛ > 0 tale che (f i (x 0 ) ɛ, f i (x 0 ) + ɛ) ω i i. Si ha quindi che x 0 V W U, dove V è un elemento della base. Notazione. Se la successione (x n ) n N converge a x nella topologia debole σ(e, E ) scriveremo x n x. Osservazione 3. Sia (x n ) n N successione in E. Diciamo che x n x in σ(e, E ) intorno U di x in σ(e, E ) n N : n n x n U. Dato U intorno di x, ɛ > 0, f,..., f k E n N: n n ( x n f i ]fi (x) ɛ, f i (x) + ɛ[ ) i =,..., k. ɛ > 0, f,..., f k E f i (x n ) ]f i (x) ɛ, f i (x) + ɛ[ i =,..., k. f E f(x n ) f(x), cioè f, x n f, x. Proposizione.2.3. x E si ha x = sup T, x. T < T E Dimostrazione. T, x = T (x) T x x T E, T. Quindi passando al sup si mantiene la disuguaglianza sup T < T E T, x x. Inoltre sup T < T E T, x T, x T E, T.

.2 La topologia σ(e, E ) 7 Applicando la trasformazione T = T 0 x, dove T 0 : E R è lineare e tale che T 0 = x, T 0 (x) = x 2, otteniamo T, x = T 0, x x = x e T = T 0 x =. Inne sup T < T E T, x x. Proposizione.2.4. x E il funzionale T x : E R denito da T x (f) = f, x f E è lineare, limitato e T x = x. Dimostrazione. Mostriamo la linearità T x (λf + µg) = λf + µg, x = λ f, x + µ g, x = λt x (f) + µt x (g). Inne la limitatezza sup T < T x (f) = sup f, x = x. T < T E T E Si può concludere inne che T x = x. Proposizione.2.5. Sia (x n ) n N una successione in E, allora valgono i seguenti fatti: (i) Se x n x in norma, allora x n x debolmente in σ(e, E ). (ii) Se x n x debolmente in σ(e, E ), allora (x n ) n N è limitata e x lim inf n x n. (iii) Se x n x debolmente in σ(e, E ) e f n f in norma, allora f n, x n f, x 0.

8. La topologia debole Dimostrazione. (i) Per l'osservazione 3 è suciente mostrare che f, x n f, x 0 f E. Pertanto f, x n f, x = f, x n x f n x n x 0 poichè f è limitata e x n x 0 per ipotesi. (ii) Dall'osservazione 3 sappiamo che x n x in σ(e, E ) f, x n f, x 0 f E. Inoltre grazie alla proposizione.2.4 T xn : E R limitata, T xn = x n e tale che T xn (f) = f, x n. Allora T xn (f) = f, x n e la successione ( f, x n ) n N è limitata, cioè sup n N T xn (f) < + f E. Per il teorema di uniforme limitatezza si ha che sup n N T xn < +. Da T xn = x n possiamo dedurre che sup n N x n < +, cioè (x n ) n N è limitata. Inoltre f, x n f x n x n f E, f. Passando al lim inf per n viene f, x lim inf n x n. A questo punto passando al sup e usando la proposizione.2.3 possiamo concludere che (iii) Si ha che x lim inf n x n. f n, x n f, x = f n f, x + f n, x n x.

.2 La topologia σ(e, E ) 9 Risulta f, x n x 0 per l'osservazione 3 e f n f, x f n f x n 0 poiché x n è limitata e f n f 0 per ipotesi. Proposizione.2.6. Se E ha dimensione nita, la topologia debole σ(e, E ) e la topologia forte coincidono. se e solo se (x n ) n N converge in norma. In particolare (x n ) n N converge debolmente Dimostrazione. Grazie all'osservazione 2 sappiamo che in generale la topologia debole è meno ne della topologia forte, quindi ogni aperto debole necessariamente sarà un aperto forte. È suciente mostrare che un aperto forte è anche un aperto debole. Sia x 0 E, sia U intorno di x 0 per la topologia forte. Dobbiamo trovare un intorno V di x 0 per la topologia debole σ(e, E ) tale che V U. Fissiamo r > 0 in modo che B(x 0, r) U. Poiché E ha dimensione nita possiamo scegliere una base e,..., e n di E, con e i = i. Allora ogni x E si puó rappresentare come combinazione lineare degli elementi della base, cioè x = n i= x ie i. Inoltre le applicazioni f i : E R con f i (x) = x i sono lineari, continue e f i. Quindi l'insieme V = {x E : f i, x x 0 < ɛ i =,..., n} è un aperto, dove ɛ > 0 verrà ssato in seguito. Segue che x x 0 = n n x i e i x 0i e i i= n n x i x 0i = f i, x x 0 < nɛ x V. i= i= i= A questo punto mi è suciente scegliere ɛ = r per concludere. n

0. La topologia debole Osservazione 4. Gli aperti (rispettivamente i chiusi) della topologia debole sono anche gli aperti (rispettivamente i chiusi) della topologia forte. In dimensione innita il viceversa è falso, vediamone alcuni controesempi. Esempio. Verichiamo che S = {f L p (R) : f L p = } non è chiuso in σ(e, E ). Sia f C0 tale che f L p =. Prendiamo poi la successione (f n ) n N denita da f n (x) = f(x n) x R, n N. Ovviamente segue che f n L p = n N e f(x n) 0 puntualmente ed in modo dominato. Inoltre f suppϕ nϕ 0 ϕ C 0 f n 0 debolmente in L p. Quindi si ottiene che f n S n N ma S non è chiuso nella topologia σ(e, E ) poiché 0 S. Esempio 2. Più in generale mostriamo che l'aermazione dell'esempio è valida in ogni spazio di Banach di dimensione innita. Consideriamo S = {x E : x = } e mostriamo che non è un chiuso per la topologia debole, anzi S σ(e,e ) = {x E : x } = BE. Sia x 0 E, x 0 <. Mostriamo che x 0 è un punto di chiusura di S. In altre parole, se prendiamo V intorno arbitrario di x 0 in σ(e, E ) dobbiamo provare che V S. Senza ledere di generalità possiamo supporre che k N, ɛ > 0, f,..., f k E tali che V = {x E : f i, x x 0 < ɛ i =,..., k}. Consideriamo y 0 E, y 0 0 tale che f i, y 0 = 0 i =,..., k. Notiamo che un y 0 che abbia queste proprietà esiste. Se per assurdo non esistesse, la mappa ϕ : E R k x ( f i, x ) i k

.2 La topologia σ(e, E ) sarebbe iniettiva, e quindi ci sarebbe un isomorsmo tra E e ϕ(e). Ma ciò è assurdo poiché ϕ(e) ha dimensione nita, quindi necessariamente anche E dovrebbe avere dimensione nita. Prendiamo ora la funzione g(t) = x 0 +ty 0 continua su [0, + ) con g(0) < e lim t g(t) = +. Per la continuità t 0 > 0 tale che g(t 0 ) = x 0 +t 0 y 0 =. Banalmente x 0 + t 0 y 0 S, mostriamo che x 0 + t 0 y 0 V. Viene f i, x 0 + t 0 y 0 x 0 = f i, t 0 y 0 = t 0 f i, y 0 = 0. ɛ > 0 f i, t 0 y 0 < ɛ. x 0 + t 0 y 0 S V. S V. A questo punto per concludere che S σ(e,e ) = BE è suciente mostrare che B E è chiuso per la topologia debole. In eetti B E = f E f {x E : f, x } è un intersezione arbitraria di insiemi debolmente chiusi e quindi è un chiuso per la topologia debole. Esempio l'insieme 3. Se E è uno spazio di Banach di dimensione innita, allora U = {x E : x < } non è aperto per la topologia debole. Supponiamo per assurdo che U sia aperto debole, allora U C = {x E : x } è un chiuso debole, ma {x E : x } {x E : x } = {x E : x = } non è un chiuso debole per quanto mostrato nell'esempio 2, quindi siamo giunti ad un assurdo.

2. La topologia debole

Capitolo 2 La topologia debole * 2. La topologia σ(e, E) Vogliamo ora provare a costruire, similmente a quanto fatto su E, una topologia su E. Per analogia possiamo ottenere la topologia forte associata alla norma di E e la topologia σ(e, E ). Inoltre è possibile costruirne una terza, detta topologia debole * e denotata con σ(e, E). Per farlo consideriamo, x E, le seguenti applicazioni: T x : E R f f, x. (2.) Al variare di x in E otteniamo una famiglia (T x ) x E di applicazioni da E in R. Se deniamo J : E E x T x si ha chiaramente che J(E) = (T x ) x E. Denizione 2.. La topologia debole * è la topologia meno ne su E che rende continue le applicazioni (T x ) x E denite come in (2.). Osservazione 5. È chiaro che se in E le applicazioni T x hanno tutte la forma descritta in (2.) allora la topologia σ(e, E) coincide con σ(e, E ). 3

4 2. La topologia debole * In generale però σ(e, E) è strettamente meno ne di σ(e, E ) poiché deve rendere continue meno applicazioni. Osservazione 6. La ricerca di topologie con il minor numero possibile di aperti è giusticata dal fatto che una topologia con meno aperti ha più compatti. Nel corso di questo capitolo, in eetti, mostreremo alcuni importanti risultati sulla compattezza, come ad esempio il fatto che la sfera unitaria B E in E non è compatta con la topologia forte ma lo è con la topologia debole *. Proposizione 2... La topologia debole * è di Hausdor. Dimostrazione. Siano f, f 2 E tali che f f 2. Allora necessariamente x E tale che f, x f 2, x. Assumiamo che f, x < f 2, x e scegliamo α tale che f, x < α < f 2, x. A questo punto è suciente scegliere O = {f E : f, x < α} = Tx (, α), O 2 = {f E : f, x > α} = Tx (α, + ). Per costruzione O e O 2 sono aperti di σ(e, E); inoltre f O, f 2 O 2 e O O 2 =. Proposizione 2..2. Sia f 0 E, ɛ > 0, k N e {x,..., x k } E. Allora l'insieme V = V (f 0, x,..., x k, ɛ) = {f E : f f 0, x i < ɛ i =,..., k} è un intorno di f 0 nella topologia σ(e, E). Inoltre F(f 0 ) = {V (f 0, x,..., x k, ɛ) : k N, x,..., x k E, ɛ > 0} è una base di intorni di f 0 per σ(e, E).

2. La topologia σ(e, E) 5 Dimostrazione. Si ha che f V f f 0, x i < ɛ i =,..., k. Usando la linearità di f e f 0 si ha f, x i f 0, x i < ɛ i =,..., k. Per denizione di T x T xi (f) T xi (f 0 ) < ɛ i =,..., k. Pertanto T xi (f 0 ) ɛ < T xi (f) < T xi (f 0 ) + ɛ i =,..., k. Ne segue che T xi (f) ]T xi (f 0 ) ɛ, T xi (f 0 ) + ɛ[ i =,..., k e f T x i ( ]Txi (f 0 ) ɛ, T xi (f 0 ) + ɛ[ ) i =,..., k. Concludendo si ha f k i= T x i ( ]Txi (f 0 ) ɛ, T xi (f 0 ) + ɛ[ ). Dal fatto che ]T xi (f 0 ) ɛ, T xi (f 0 )+ɛ[ è un intorno aperto di T xi (f 0 ) in R e T xi è ( continua per denizione di σ(e, E) segue che Tx ]Txi i (f 0 ) ɛ, T xi (f 0 )+ɛ[ ) è un aperto che contiene f 0, i =,..., k. Inoltre per denizione di topologia l'intersezione nita di aperti è un aperto. topologia debole * che contiene f 0. Quindi V è un aperto per la Mostriamo ora che F(f 0 ) è una base. Consideriamo U intorno qualsiarsi di f 0 per σ(e, E). Per quanto visto nell'osservazione abbiamo che esiste un aperto W incluso in U contenente f 0 della forma W = finita T x i (ω i ), dove ω i è un intorno di T xi (f 0 ). Inoltre è possibile trovare un ɛ > 0 tale che (T xi (f 0 ) ɛ, T xi (f 0 ) + ɛ) ω i i. Si ha quindi che f 0 V W U, dove V è un elemento della base.

6 2. La topologia debole * Notazione 2. Se una successione (f n ) n N in E converge a f nella topologia debole * scriveremo f n f. Osservazione 7. Sia (f n ) n N una successione in E. Diciamo che f n f in σ(e, E) intorno U di f in σ(e, E) n N : n n f n U. Dato U intorno di f, ɛ > 0, x,..., x k E n N: n n f n T x i ( ] Txi (f) ɛ, T xi (f) + ɛ [ ) i =,..., k. ɛ > 0, x,..., x k E T xi (f n ) ] T xi (f) ɛ, T xi (f)+ɛ [ i =,..., k. x E T x (f n ) T x (f), cioè f n, x f, x. Notiamo quindi che la topologia debole * è la topologia della convergenza puntuale della successione (f n ) n N. Proposizione 2..3. Sia (f n ) n N una successione in E, allora valgono i seguenti fatti: (i) Se f n f in norma, allora f n f in σ(e, E ). Inoltre se f n f in σ(e, E ), allora f n f in σ(e, E). (ii) Se f n f in σ(e, E), allora f n è limitata e f lim inf n f n. (iii) Se f n f in σ(e, E) e x n x in norma, allora f n, x n f, x 0. Dimostrazione. (i) Grazie all'osservazione 7 abbiamo che è suciente mostrare che T x, f n T x, f 0. Si conclude direttamente con T x, f n f T x f n f 0 grazie alla limitatezza di T x e al fatto che f n f 0 per ipotesi. Mostriamo ora il secondo fatto. Grazie all'osservazione 7 basta provare che f n, x f, x o equivalentemente T x, f n T x, f.

2. La topologia σ(e, E) 7 Ma ciò segue direttamente dalla denizione di σ(e, E ). (ii) Dall'osservazione 7 si ha che f n f f n, x f, x. Inoltre grazie alla proposizione.2.4 T fn : E R limitata, T fn = f n e tale che T fn (T x ) = T x, f n. Allora T fn (T x ) = f n, x e la successione ( f n, x ) n N è limitata, cioè sup n N T fn (T x ) < + x E. Per il teorema di uniforme limitatezza segue che sup n N T fn < +. Dal fatto che T fn = f n si ha che f n è limitata. Inoltre f n, x f n x f n x E, x. Passando al liminf per n + si ottiene f, x lim inf n + f n. Passando al sup e usando la proposizione.2.3 possiamo concludere che f lim inf n + f n. (iii) Si ha che f n, x n f, x = f n, x n x + f n f, x Risulta f n f, x 0 per l'osservazione 7 e f n, x n x f n x n x 0 poichè f n è limitata e x n x 0 per ipotesi.

8 2. La topologia debole * Osservazione 8. Quando E ha dimensione nita, le topologie σ(e, E ), σ(e, E) e la topologia forte coincidono. Ora vediamo un primo importante risultato di compattezza nella topologia appena denita. Teorema 2..4 (Banach-Alaoglu-Bourbaki). La sfera B E = {f E : f } è compatta per σ(e, E). Dimostrazione. Consideriamo il prodotto cartesiano Y = R E = {ω ω : E R}, dove ω = (ω x ) x E con ω x R. Muniamo Y della topologia prodotto, ovvero la topologia meno ne che al variare di x in E rende continue tutte le mappe p x : Y R ω ω x (2.2) e mostriamo che questa è equivalente alla topologia della convergenza puntuale. Troviamo anzitutto com'è fatto il sistema fondamentale di intorni. Dato ω Y abbiamo che ] p xi (ω) ɛ, p xi (ω) + ɛ [ è un intorno aperto di p xi (ω) in R i =,..., k. Segue che p x i ( ] p xi (ω) ɛ, p xi (ω) + ɛ [ ) è un intorno aperto di ω in Y (per la continuitá delle p xi i =,..., k). ω k i= p x i ( ] p xi (ω) ɛ, p xi (ω) + ɛ [ ) è un sistema fondamentale di intorni per ω in Y. Diciamo che ω n ω su Y rispetto alla topologia prodotto U intorno di ω 0, x,..., x k n n : ω n U. ɛ > 0, n N : n > n ω n k ( i= p x ]pxi i (ω) ɛ, p xi (ω) + ɛ[ ). ɛ > 0, n N : n > n p xi (ω n ) k i= ]p x i (ω) ɛ, p xi (ω) + ɛ[. ɛ > 0, n N : n > n p xi (ω n ) ]p xi (ω) ɛ, p xi (ω)+ɛ[ x,..., x k E. x E p x (ω n ) p x (ω), cioè ω n (x) ω(x) i.

2. La topologia σ(e, E) 9 Consideriamo poi E munito della topologia debole * σ(e, E), abbiamo mostrato che nell'osservazione 7 che ciò equivale alla topologia della convergenza puntuale. Possiamo concludere che le due topologie sono equivalenti, poiché anche la topologia prodotto è la topologia della convergenza puntuale. Ricordando che le applicazioni in E sono delle particolari applicazioni da E in R (cioè sono lineari e continue), si ha che E Y. Prendiamo ora l'iniezione canonica φ : E Y f (ω x ) x E con ω x = f, x. Mostriamo che φ è continua. Sia x E ssato, per denizione di σ(e, E) la mappa p x φ : E R f (φ(f)) x = f, x è continua. A questo punto la continuità di φ viene direttamente dalla proposizione..3. Anche la mappa inversa φ : φ(e ) E ω φ (ω), dove φ(e ) è munito della topologia indotta da Y, è continua. È suciente mostrare che, ssato x, la mappa (p x φ) φ : φ(e) R ω φ (ω), x è continua. In eetti ω = φ(f) per qualche f E, quindi φ (ω), x = f, x = ω x e le mappe denite come in (2.2) sono continue poiché su Y abbiamo la topologia prodotto. Si conclude, analogamente a prima, con la proposizione..3. In denitiva φ è un omeomorsmo da E in φ(e ). Sia K = φ(b E ), dove K = { ω Y : ω x x, ω x +ω y = ω x+y, ω λx = λω x λ R, x, y E }.

20 2. La topologia debole * Per poter concludere è suciente mostrare che K è compatto, poiché un omeomorsmo manda compatti in compatti. Osserviamo che è possibile scrivere K = K K 2, dove K = { ω Y : ω x x x E }, (2.3) K 2 = { ω Y : ω x x, ω x +ω y = ω x+y, ω λx = λω x λ R, x, y E }. (2.4) La (2.3) si può scrivere in modo equivalente K = [ x, x ] (2.5) x E e applicando il teorema di Tychono alla (2.5) abbiamo che K è compatto. La (2.4) si può scrivere K 2 = [ x,y E ] A x,y x E λ R B λ,x, dove A x,y = {ω Y : ω x+y ω x ω y = 0}, B λ,x = {ω Y : ω λx λω x = 0}. A x,y e B λ,x sono entrambi chiusi in Y, e ciò segue dalla continuità delle applicazioni ω ω x+y ω x ω y e ω ω λx λω x. Di conseguenza K 2 è chiuso. Si può concludere che K è compatto, poiché è intersezione di un chiuso e di un compatto. Corollario 2..5. La sfera B E = {T E : T } è compatta nella topologia σ(e, E ). Ricordiamo ora le equivalenze per la compattezza negli spazi metrici.

2. La topologia σ(e, E) 2 Teorema 2..6. Se X è uno spazio metrico sono equivalenti:. X è sequenzialmente compatto, cioè da ogni successione in X si può estrarre una sottosuccessione convergente. 2. X è compatto, cioè da ogni ricoprimento di X si può estrarre un sottoricoprimento nito. 3. X è completo e totalmente limitato. Osservazione 9. Il problema della non metrizzabilità della topologia debole (che studieremo in modo più approfondito nel prossimo capitolo) esprime un'impossibilità nell'utilizzo dei concetti di compatezza per spazi metrici in ambito topologico. Come conseguenza diretta di questo fatto abbiamo, ad esempio, il fatto che è possibile trovare uno spazio topologico compatto E e una successione in E che non ammette alcuna sottosuccessione convergente. Viceversa se E è uno spazio topologico tale che ogni successione ammette una sottosuccessione convergente questo non implica che E sia compatto. Esempio 4. Vogliamo costruire uno spazio di Banach E ed una successione (ψ h ) h N in X = B E (che è compatto in σ(e, E) grazie al teorema 2..4) che non ammetta alcuna sottosuccessione convergente in σ(e, E). Sia E = l = { x : N R : sup x n c }, n N mostriamo che x = sup n N x n è una norma, dove x = (x n ) n N, e che tale norma rende E uno spazio di Banach. Infatti: x 0 per denizione. x = 0 sup n N x n = 0 x n = 0 n x = 0. λx = sup n N = λx n = λ sup n N x n = λ x λ R. x + y = sup n N x n + y n sup n N x n + y n sup n N x n + sup n N y n = x + y.

22 2. La topologia debole * Ci rimane da provare che E è completo rispetto alla norma considerata. Consideriamo la successione di Cauchy (x k ) k N con x k E k, cioè ɛ > 0 k ɛ N : k, h k ɛ x k x h < ɛ. Per le proprietà del sup segue che x k x h < x k x h < ɛ Si ha che (x k ) k N è di Cauchy in R e quindi è convergente. In altri termini x E tale che x k x. Dalla condizione di Cauchy in R passando al sup si ottiene ɛ > 0 k ɛ > 0 : k k ɛ x k x < ɛ. Se (x k ) k N successione in E, x k x in norma allora x è limitata (cioè x E), poiché convergenza uniforme conserva la limitatezza. Consideriamo ora ψ h : E R tale che ( ) ψ h (xk ) k N = xh. In tal caso si ha ( ) ψh (xk ) k N = xh sup x k = x. k N Segue che Inoltre ψ h = ψ h = ( ) sup ψh (xk ) k N x. x sup ( ) ψ h (xk ) k N x h = se pongo x k = x Possiamo concludere quindi che ψ h =. 0 se k h se k = h. Inoltre ψ h è lineare e ciò segue dal fatto che (x k ) k N, (y k ) k N E e λ R si ha ψ h ( (xk ) k N +(y k ) k N ) = ψh ( (xk +y k ) k N ) = xh +y h = ψ h ( (xk ) k N ) +ψh ( (yk ) k N ),

2. La topologia σ(e, E) 23 ψ h ( λ(xk ) k N ) = ψh ( (λxk ) k N ) = λxh = λψ h ( (xk ) k N ). Abbiamo quindi ψ h E e ψ h =, vogliamo mostrare che (ψ h ) h N non ammette sottosuccessioni convergenti in σ(e, E). Supponiamo per assurdo che esista (ψ hj ) j N sottosuccessione di (ψ h ) h N tale che ψ hj ψ in σ(e, E). In altri termini ψ hj, x ψ, x x E e ψ hj, x = x hj. (2.6) Grazie a (2.6) è suciente scegliere x tale che (x hj ) j N non converge. Se prendiamo x = (0,...,,..., 0,...,,..., 0,...,,..., 0,...,,..., 0) h h 2 h 3 h 4 si ottiene ψ hj (x) = x hj = ( ) j che non è una sottosuccessione convergente. Osservazione 0. La scelta dello spazio l nell'esempio 4 non è casuale. In eetti abbiamo preso uno spazio non riessivo e non separabile poiché, come vedremo in modo più approfondito nel prossimo capitolo, queste condizioni sotto delle speciche ipotesi inducono la metrizzabilità sulle sfere unitarie.

24 2. La topologia debole *

Capitolo 3 Spazi riessivi e spazi separabili 3. Spazi riessivi Per denire il concetto di riessività, ovvero la relazione che intercorre tra E spazio di Banach e il suo biduale, ricordiamo che J : E E x T x con T x denito come in (2.). Segue direttamente, usando quanto visto nella proposizione.2.4, che J(x) E = x E. Osserviamo anzitutto che J è iniettiva, in eetti: x y E = J(x y) E = J(x) J(y) E. Pertanto se x y allora J(x) J(y). Quindi, in generale, E contiene una copia di E, ma non è aatto detto che J(E) = E. Se accade questo, in altri termini se J è suriettiva, diciamo che lo spazio E è riessivo. Se E è riessivo l'applicazione J è un isomorsmo: diremo quindi che E è identicato con E, in simboli E = E. Lemma 3.. (Helly). Sia E spazio di Banach, siano poi f,..., f k E e γ,..., γ k R. Sono equivalenti: (i) ɛ > 0, x ɛ E tale che x ɛ E e f i, x ɛ γ i < ɛ i =,..., k. 25

26 3. Spazi riessivi e spazi separabili (ii) k i= β iγ i k i= β if i E β,..., β k R. Dimostrazione. (i) (ii) Fissiamo β,..., β k R e sia S = k i= β i. Da (i), moltiplicando per β i e sommando in i a destra e sinistra otteniamo k β i f i, x ɛ i= k β i γ i ɛs. i= ɛ > 0 segue che k k β i γ i β i f E i xɛ E + ɛs k β i f E i + ɛs. i= i= k β i γ i i= i= k β i f E i. (ii) (i) Sia γ = (γ i, γ 2,..., γ k ) R k, consideriamo l'applicazione l : E R k La proprietà (i) γ l(b E ). i= x ( f, x,..., f k, x ) Supponiamo per assurdo che γ l(b E ). In tal caso, poiché siamo in dimensione nita, la sfera è convessa e {γ} e l(b E ) possono essere separati strettamente da un iperpiano in R k, cioè β = (β,..., β k ) R k e α R tali che β l(x) < α < β γ x B E. Segue che k β i f i, x < α < i= da cui passando al sup k β i γ i x B E, i= sup x E k β i f i, x = i= k β i f i E α < i= k β i γ i. i= Osserviamo che questo contraddice (ii), quindi γ l(b E ).

3. Spazi riessivi 27 Lemma 3..2 (Goldstine). Sia E spazio di Banach, allora J(B E ) è denso in B E rispetto alla topologia σ(e, E ) e quindi anche J(E) è denso in E rispetto alla topologia σ(e, E ). Dimostrazione. Sia ξ B E e sia V un intorno di ξ nella topologia σ(e, E ), mostriamo che V J(B E ). Possiamo assumere che k N, ɛ > 0, f,..., f k E tali che V = {η E : η ξ, f i < ɛ i =,..., k}. Si vuole mostrare che esiste almeno un x B E tale che J(x) V, cioè tale che valga f i, x ξ, f i < ɛ i =,..., k. Poniamo γ i = ξ, f i. Grazie al lemma 3.. è suciente mostrare che k k β i γ i β i f E i. i= Si ha, ξ tale che ξ, che i= k k β i γ i = β i ξ, f i k = ξ, β i f i ξ E k β i f E i k β i f E i. i= i= i= i= i= Teorema 3..3 (Kakutani). Sia E spazio di Banach. Allora E è riessivo B E = {x E : x } è compatto in σ(e, E ). Dimostrazione. Supponiamo E riessivo, quindi J(B E ) = B E. Grazie al corollario 2..5 si ha che B E è compatto in σ(e, E ). Per concludere è suf- ciente mostrare che J è continua da E munito della topologia σ(e, E ) in E munito della topologia σ(e, E ). Fissato f E, se l'applicazione f J : E R ξ f, J (ξ)

28 3. Spazi riessivi e spazi separabili è continua su E con σ(e, E ), poi si otterrà il risultato grazie alla proposizione..3. Si ha che f, J (ξ) = f, x = ξ, f e la mappa ξ ξ, f è continua su E munito di σ(e, E ). Segue che J è continua, quindi B E è compatto in E munito di σ(e, E ). Concludiamo con l'implicazione. L'iniezione canonica J : E E è continua, con E munito di σ(e, E ) ed E munito di σ(e, E ). Ciò segue direttamente dal fatto che, ssato f E, la mappa x J(x), f = f, x è continua rispetto alla topologia σ(e, E ). Inoltre, per ipotesi, B E è compatta in σ(e, E ); dalla continuità di J segue che J(B E ) è compatta in E, in particolare è chiusa in E rispetto alla topologia σ(e, E ). Grazie al lemma 3..2 si ha che J(B E ) è denso in B E nella topologia σ(e, E ). Dai fatti precedenti si ottiene che J(B E ) = B E e quindi che J(E) = E. Osservazione. J(B E ) è chiuso in B E nella topologia forte. Inoltre J(B E ) è denso in E nella topologia σ(e, E ) ma non nella topologia forte. In eetti se (ξ n ) n N è una successione di Cauchy in B E tale che ξ n = J(x n ) ξ allora, usando il fatto che J è un isometria, si ha che (x n ) n N è di Cauchy in B E, cioè x n x e ξ = J(x). Supponiamo per assurdo che J(B E ) sia denso in B E ; dal fatto che è chiuso si ottiene che J(B E ) = B E, cioè E è riessivo. Ma ciò è ovviamente assurdo. Proposizione 3..4. Sia E spazio di Banach riessivo, sia M E un sottospazio lineare chiuso; allora M è riessivo. Dimostrazione. Osserviamo anzitutto che su M possiamo trovare due diverse topologie: la topologia indotta da σ(e, E ) oppure la topologia σ(m, M ). In realtà le due topologie coincidono: questo fatto è conseguenza diretta del teorema di Hahn Banach, secondo cui ogni funzionale lineare continuo su M è la restrizione a M di un funzionale lineare continuo denito su E. Grazie al teorema 3..3 basta provare che B M è compatto in σ(m, M ), o

3. Spazi riessivi 29 equivalentemente in σ(e, E ). Per ipotesi B E è compatto in σ(e, E ) e M è banalmente chiuso in σ(e, E ) (poiché è lineare). Si conclude quindi che B M è compatto in σ(e, E ). Corollario 3..5. Sia E spazio di Banach. Si ha che E è riessivo E è riessivo. Dimostrazione. Dobbiamo provare che se E = E allora E = E. Sia J l'isomorsmo canonico da E in E, prendiamo ϕ E. La mappa f : E R x ϕ, Jx (3.) è un funzionale lineare continuo su E. Linearità e continuità seguono dal fatto che ϕ e J sono lineari e continue. Quindi f E e perció si ha ϕ, Jx = f, x (3.2) e per denizione di J Jx, f = f, x x E. (3.3) Da (3.2) e (3.3) risulta ϕ, Jx = Jx, f. Dalla suriettività di J si ottiene che ϕ, ξ = ξ, f ξ E, cioè J : E E è suriettiva. In modo analogo a quanto appena mostrato si mostra che E è riessivo. Inoltre grazie all'osservazione J(E) è un sottospazio chiuso di E per la topologia forte, quindi grazie alla proposizione 3..4 possiamo concludere che J(E) è riessivo. Segue che E è riessivo.

30 3. Spazi riessivi e spazi separabili 3.2 Spazi separabili Denizione 3.. Uno spazio metrico E è separabile se D E numerabile tale che D = E. Proposizione 3.2.. Sia E uno spazio metrico separabile e F E un sottoinsieme qualsiarsi. Allora F è separabile. Dimostrazione. Sia (u n ) n N un sottoinsieme numerabile denso di E (esiste per l'ipotesi di separabilità su E). Sia poi (r m ) m N una successione di numeri positivi tali che r m 0; a questo punto è suciente scegliere inniti punti a m,n B(u n, r m ) F. L'insieme (a m,n ) n,m N è numerabile e denso in F. Teorema 3.2.2. Sia E spazio di Banach tale che E è separabile, allora E è separabile. Dimostrazione. Sia (f n ) n N un sottoinsieme numerabile e denso in E. Sappiamo che f n = sup f n, x. x E x Da ciò segue che è possibile trovare almeno un x n E tale che x n = e f n, x n 2 f n. Sia L 0 lo spazio vettoriale su Q generato da (x n ) n N. L 0 contiene tutte e sole le combinazioni lineari nite a coecienti in Q degli elementi (x n ) n N. Consideriamo poi, n N, lo spazio vettoriale su Q generato da (x k ) k n e denotiamolo con Λ n. Inoltre L 0 = n N Λ n e quindi è numerabile. Inne denotiamo con L lo spazio vettoriale su R generato da (x n ) n N. Si ha che L 0 è un sottoinsieme numerabile denso di L. A questo punto basta mostrare che L è un sottospazio denso di E; da ciò, infatti, segue direttamente che L 0 è un sottoinsieme numerabile denso di E e quindi E è separabile. Sia f E tale che f L basta provare che f 0. 0. Applicando un corollario di Hahn Banach ci Usando l'ipotesi di separabilità abbiamo che ɛ > 0 N N : f f N < ɛ.

3.2 Spazi separabili 3 Inoltre da f, x N = 0 segue che 2 f N f N, x N = f N f, x N f N f x N = f N f < ɛ. f 2 N < ɛ Usando otteniamo f N f < ɛ f f f N + f N < 3ɛ ɛ > 0. f = 0. Corollario 3.2.3. Sia E spazio di Banach. Allora E è riessivo e separabile E è riessivo e separabile. Dimostrazione. Grazie al teorema 3.2.2 e al corollario 3..5 possiamo dire che E riessivo e separabile E riessivo e separabile. Per il viceversa usando nuovamente il corollario 3..5 abbiamo E riessivo E riessivo. Per ipotesi E = J(E) e questo implica che E separabile E separabile. Si conclude con il teorema 3.2.2 che E è separabile. Denizione 3.2. Dato X spazio topologico diciamo che X è metrizzabile se esiste una metrica che induce la topologia di X. Vediamo ora come le proprietà di separabilità e metrizzabilità sono strettamente collegate tra loro. Teorema 3.2.4. Sia E spazio di Banach, si ha che E è separabile B E è metrizzabile nella topologia debole σ(e, E).

32 3. Spazi riessivi e spazi separabili Dimostrazione. Sia (x n ) n N un sottoinsieme numerabile denso di B E. f E deniamo [f] = n= f, x 2 n n. Mostriamo che [ ] è una norma su E : [f] 0 è ovvio. [f] = 0 n= f, x 2 n n = 0 f, x n = 0 n f, x n = 0 n f = 0. [λf] = n= λ [f]. [f + g] = n= λf, x 2 n n = n= n= Inoltre [f] f, infatti [f] = n= λ f, x 2 n n = λ n= f + g, x 2 n n = n= f, x 2 n n + g, x n ( 2 f, n xn + g, x n ) = [f] + [g]. 2 n f, x n n= 2 n f x n n= Sia poi d(f, g) = [f g] la distanza indotta dalla norma. f, x 2 n n = ( ) f = f 2n = f. 2 Vogliamo mostrare che la topologia indotta da d su B E è uguale a σ(e, E). Sia f 0 B E e V un intorno di f 0 in σ(e, E). Dobbiamo provare che r > 0 tale che U = {f B E : d(f, f 0 ) < r} V, dove V = {f B E : f f 0, y i < ɛ i =,..., k}, con ɛ > 0 e y,..., y k E. Senza ledere di generalità possiamo scegliere y i densità di (x n ) n N in B E si ha che i =,..., k. Dalla i n i N : y i x ni < ɛ 4. Scegliamo poi r in modo tale che 2 n i r < ɛ 2 di r, se f U, abbiamo i =,..., k. Per questa scelta d(f, f 0 ) < r 2 n i f f 0, x ni < r i =,..., k.

3.2 Spazi separabili 33 Segue che f f 0, y i = f f 0, y i x ni + f f 0, x ni f f 0, y i x ni + f f 0, x ni f f 0 y i x ni + 2 n i r ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ i =,..., k, quindi f V. Sia f 0 B E. Dato r > 0, dobbiamo mostrare che V intorno di f 0 in σ(e, E), con ɛ e k scelti in modo tale che V U = {f B E : d(f, f 0 ) < r}, dove V = {f B E : f f 0, x i < ɛ i =,..., k}. Sia ora f V, si ha d(f, f 0 ) = < n= k n= 2 n f f 0, x n = 2 ɛ + n n=k+ k n= 2 n f f 0 x n. 2 n f f 0, x n + n=k+ 2 n f f 0, x n < Da f,f 0 B E e x n B E segue direttamente che f f 0 < 2 e x n < ; quindi si ottiene d(f, f 0 ) < k n= 2 ɛ + 2 n n=k+ Nei passaggi precedenti abbiamo usato ( 2 = ɛ 2 ) + 2 n k 2 < ɛ + k 2. k n=k+ 2 = n n=0 k 2 n n=0 2 = n 2 2 k+ 2 = 2 k, k n= k 2 = n 2 = n 2. k n=0

34 3. Spazi riessivi e spazi separabili A questo punto per concludere è suciente scegliere ɛ = r 2 2 k < r 2. Sia U n = { f B E : d(f, 0) < } n e k tale che intorno di 0 per la topologia indotta dalla metrica d. Sia poi V n = {f B E : f, x < ɛ n x φ n } intorno di 0 in σ(e, E) tale che V n U n, dove ɛ n > 0 e φ n E nito. Denotiamo con D = n= φ n. Ovviamente D è numerabile, poiché unione numerabile di insiemi niti. Si può concludere se si mostra che D è denso in E. Sia f E tale che f, x = 0 x D. Segue che f V n n, quindi f U n n, cioè f 0. Si ottiene che ogni funzionale lineare che si annulla su D, si annulla anche su E. Ciò implica, utilizzando un corollario di Hahn Banach, che D è denso in E, cioè E è separabile. Teorema 3.2.5. Sia E spazio di Banach, si ha che B E è metrizzabile nella topologia σ(e, E ) E separabile. Dimostrazione. Si mostra analogamente a quanto mostrato per il teorema 3.2.4, invertendo i ruoli di E ed E. Sia E spazio di Banach e sia B E metrizzabile in σ(e, E ). Chiamiamo d(x, y) la metrica su B E che induce la stessa topologia di σ(e, E ) su B E. Prendiamo U n = { x B E : d(x, 0) < }. n Sia V n un intorno di 0 in σ(e, E ) tale che V n U n, dove V n = {x B E : f, x < ɛ n f φ n }, con ɛ > 0 e φ n E nito. Consideriamo ora D = n= φ n e F lo spazio vettoriale generato da D.

3.2 Spazi separabili 35 Vogliamo mostrare che F = E. Supponiamo per assurdo che F E. Per un corollario di Hahn Banach sappiamo che ξ E, ξ 0 : ξ, f = 0 f F. (3.4) Eventualmente normalizzando possiamo supporre che ξ =. Inne da ξ 0 possiamo aermare, senza ledere di generalità, che f 0 E tale che ξ, f 0 0 e in particolare ξ, f 0 >. Deniamo W = { x B E : f 0, x < }. 2 Vogliamo mostrare che n 0 tale che V n0 W. Supponiamo per assurdo che n 0 tale che V n0 x n W. Abbiamo che W. Segue che n N x n B E tale che x n V n e x n V n x n U n x n 0, (3.5) x n W f 0, x n 2 n N. (3.6) Da (3.5) e (3.6) si ha f 0, x n 0 f 0, x n n N. 2 Ma ciò è assurdo, quindi V n0 W. Inoltre sappiamo che J(B E ) è denso in E rispetto a σ(e, E ), cioè ɛ > 0 x B E : J(x ), f ξ, f < ɛ f φ n, dove φ n E nito. Segue direttamente che f, x ξ, f < ɛ n0 f 0, x ξ, f 0 <. 2 f φ n0 (3.7) Dalla prima equazione in (3.7) usando la (3.4) viene f, x < ɛ n0 f φ n0,

36 3. Spazi riessivi e spazi separabili cioè x V n0. Dalla seconda equazione in (3.7) usando il fatto che ξ, f 0 > si ha 2 < 2 + ξ, f 0 < f 0, x < 2 + ξ, f 0, cioè f 0, x > 2. Ciò è assurdo, infatti sapendo che x V n0 W possiamo dedurre che f 0, x < 2. Osservazione 2. In dimensione innita la topologia σ(e, E ) (rispettivamente σ(e, E)) non è metrizzabile su tutto lo spazio, ma solo sulla palla unitaria. In altri termini la topologia indotta dalla norma su E (rispettivamente su E ) non coincide con la topologia debole (rispettivamente la topologia debole *). Corollario 3.2.6. Sia E spazio di Banach separabile, (f n ) n N una successione limitata in E. Allora esiste una sottosuccessione (f nk ) k N che converge nella topologia σ(e, E). Dimostrazione. Senza ledere di generalità possiamo supporre che f n n. Grazie teorema 2..4 e al teorema 3.2.4 possiamo dire che B E è compatta e metrizzabile in σ(e, E). Quindi possiamo utilizzare le equivalenze viste nel teorema 2..6 e concludere. Teorema 3.2.7. Sia E spazio di Banach riessivo, sia poi (x n ) n N successione limitata in E. converge nella topologia σ(e, E ). una Allora esiste una sottosuccessione (x nk ) k N che Dimostrazione. Sia M 0 lo spazio vettoriale generato dagli x n e sia M = M 0. Segue che, analogamente a quanto visto nella dimostrazione del teorema 3.2.4, M è separabile. Inoltre grazie alla proposizione 3..4 si ha che M è riessivo. Usando il teorema 3..3 e il teorema 3.2.5 si ha che B M è compatta e inoltre, utilizzando anche il corollario 3.2.3, metrizzabile nella topologia σ(m, M ). Quindi, grazie alle equivalenze nel teorema 2..6, possiamo trovare una sottosuccessione (x nk ) k N tale che x nk x debolmente in σ(m, M ). Inne x nk sono equivalenti. x debolmente in σ(e, E ) poiché le due topologie

3.3 Spazi uniformemente convessi 37 Esempio 5. A questo punto fare un esempio di spazio non riessivo risulta estremamente semplice. Nell'esempio 4 abbiamo costruito uno spazio di Banach E = l, un insieme X = B E compatto in σ(e, E) ed abbiamo mostrato che esiste almeno una successione di X dalla quale non è possibile estrarre alcuna sottosuccessione convergente in σ(e, E). Mostriamo ora che questo spazio non è riessivo. Se per assurdo lo fosse grazie al corollario 3..5, alla proposizione 3..4 e al teorema 3.2.7 otterremmo che da ogni successione in X sarebbe possibile estrarre una sottosuccessione convergente, ma ciò è ovviamente in contraddizione con quanto mostrato in precedenza. 3.3 Spazi uniformemente convessi Denizione 3.3. Diciamo che uno spazio di Banach E è uniformemente convesso se ɛ > 0 δ > 0 : x, y E, x, y e x y > ɛ x + y 2 < δ. Osservazione 3. L'uniforme convessità è una proprietà geometrica della sfera unitaria che esprime il seguente concetto: se tracciamo un segmento di lunghezza ɛ > 0 nella sfera unitaria, allora il punto medio necessariamente è contenuto nella sfera di raggio δ per qualche δ. Esempio 6. Consideriamo E = R 2. Osserviamo che la norma x 2 = [ x 2 + x 2 2 ] 2 (3.8) è uniformemente convessa. Invece le norme x = x + x 2, (3.9) x = max ( x, x 2 ) (3.0) non sono uniformemente convesse. Essendo l'uniforme convessità una proprietà geometrica ciò è ovviamente deducibile dalle rappresentazioni delle sfere unitarie nel piano.

38 3. Spazi riessivi e spazi separabili Figura 3.: Sfera unitaria in 2 taria in taria in Figura 3.2: Sfera uni- Figura 3.3: Sfera uni- Mostriamolo ora in modo più formale. (3.8) Siano x 2, y 2 tali che x y 2 = [ x y 2 + x 2 y 2 ] 2 2 > ɛ. x y 2 + x 2 y 2 2 > ɛ 2 x 2 + y 2 2x y + x 2 2 + y2 2 2x 2 y 2 > ɛ 2. 2x y + 2x 2 y 2 < x 2 2 + y 2 2 ɛ 2. Completando i quadrati a sinistra otteniamo x + y 2 + x 2 + y 2 2 2 < x 2 2 + y 2 2 ɛ2 2. Estraendo la radice quadrata abbiamo x + y 2 < 2 Ponendo δ = ( x 2 2 + y 2 2 ɛ2 2 ) 2 ( ) x 2 2 + y 2 2 ɛ2 2. 2 si ottiene l'uniforme convessità. (3.9) Ci è suciente prendere x = (, 0), y = (0, ) e si ha che x = e y =. Inoltre x y = (, ) = + = 2 > ɛ ɛ, ( x + y 2 = 2, = 2) 2 + 2 = > δ δ > 0.

3.3 Spazi uniformemente convessi 39 (3.0) Anche in questo caso basta scegliere x = (, ), y = (, 0) e avremo x = e y =. Segue che x + y 2 x y = > ɛ ɛ, ( =, 2) = > δ δ > 0. Teorema 3.3. (Milman-Pettis). Se uno spazio di Banach è uniformemente convesso allora è riessivo. Dimostrazione. Prendiamo ξ E tale che ξ =, vogliamo mostrare che ξ J(B E ). Dall'osservazione si ha che J(B E ) è chiuso in B E per la topologia forte, quindi è suciente mostrare che ɛ > 0 x B E : ξ J(x) ɛ. (3.) Fissiamo ora ɛ > 0 e prendiamo come δ > 0 lo stesso che troviamo nell'uniforme convessità. Scegliamo poi f E con f e in modo che > ξ, f > δ 2. (3.2) Consideriamo V = { η E : η ξ, f < δ } 2 intorno di ξ per la topologia σ(e, E ). Grazie al Lemma 3..2 J(B E ) è denso in B E rispetto a σ(e, E ) e da ciò segue che V J(B E ), cioè per qualche x B E J(x) V. Vogliamo mostrare che questo x soddisfa (3.). Supponiamo per assurdo che ξ J(x) > ɛ, ovvero ξ (J(x)+ɛB E ) C = W. Ovviamente anche W è un intorno di ξ nella topologia σ(e, E ) e ciò segue dalla chiusura di B E in σ(e, E ). Usando nuovamente il lemma 3..2 abbiamo che V W J(B E ). y B E : J(y) V W. Da J(x), J(y) V abbiamo f, x ξ, f < δ 2, (3.3)

40 3. Spazi riessivi e spazi separabili Sommando (3.3) e (3.4) viene f, y ξ, f < δ 2. (3.4) 2 ξ, f < f, x + y + δ f x + y + δ x + y + δ. Ora ricordando che vale la (3.2) si ottiene x + y 2 + δ ( 2 > δ ) 2 x + y 2 > δ. Dall'uniforme convessità viene x y ɛ, ma ciò è assurdo, poiché J(y) W. Proposizione 3.3.2. Sia E spazio di Banach uniformemente convesso. Sia poi (x n ) n N una successione in E tale che x n x in σ(e, E ) e lim sup n x. Allora x n x in norma. Dimostrazione. Se x = 0 si ottiene il risultato banalmente. Se x 0, consideriamo λ n = max( x n, x ), y n = λ n x n e y = x x. Si ha che λ n x ; se λ n = x ciò è ovvio. Invece se λ = x n segue dalla proposizione.2.5 che x n x lim inf n x n lim sup n x n x, x = lim inf n x n = lim sup n x n. Inoltre se x n x debolmente e λ n x allora y n y debolmente. Dal fatto che yn+y y debolmente e usando nuovamente la proposizione 2.2.5 si ottiene y lim inf y n + y n 2. (3.5) Segue dalle denizioni che y = e y n, quindi yn+y yn + y 2 2 2. Usando (3.5) si ha yn+y 2. Dall'uniforme convessità viene y n y 0 e conseguentemente x n x in norma.

3.3 Spazi uniformemente convessi 4 Esempio 7. Come esempi di spazi riessivi citiamo gli spazi di Hilbert, la cui prova è basata solo sul teorema di rappresentazione di Rietz, e gli spazi L p. Mostriamo ora che L p con p 2 è riessivo. Diamo per nota la seguente disuguaglianza in R per p 2 p p a + b 2 + a b 2 2 ( a p + b p ) a, b R. (3.6) Siano f e g due funzioni arbitrarie a valori in R tali che f, g L p. Dalla (3.6) sostituendo a = f(x) e b = g(x) e integrando a destra e sinistra otteniamo per p 2 f + g 2 p p + f g 2 p p 2 ( f p p + g p p) f, g L p. (3.7) Prendiamo ɛ > 0 e f, g L p tali che f p, g p e f g p > ɛ. La (3.7) diventa Possiamo concludere che f+g 2 f + g 2 < p ( ) p ɛ. 2 p < δ con δ = [ ( ɛ 2 ) p ] p > 0. Si ottiene che L p è uniformemente convesso e quindi grazie al teorema 3.3. è riessivo per p 2.

42 3. Spazi riessivi e spazi separabili

Bibliograa [] H. Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Dierential Equations, 983, Universitext, Springer, New York. 43