Ogni primino sa che... A cura della équipe di matematica 25 giugno 2015 Competenze in ingresso Tradizionalmente, nei primi giorni di scuola, gli studenti delle classi prime del Pascal sostengono una prova di livello di matematica, comune a tutti gli indirizzi, per verificare il livello delle conoscenze e delle competenze possedute nei seguenti ambiti i calcoli con i numeri interi sommare, sottrarre, moltiplicare e dividere i numeri interi, sia positivi che negativi; stabilire qual è il maggiore e qual è il minore tra due numeri interi; calcolare le espressioni con i numeri interi (conoscere le regole di precedenza tra le operazioni e il significato delle parentesi); calcolare il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo di due numeri interi; i calcoli con le frazioni semplificare una frazione; portare due frazioni al (minimo) comune denominatore; sommare, sottrarre, moltiplicare e dividere due o più frazioni; calcolare le espressioni con le frazioni; passare alla notazione decimale; fare i calcoli con numeri in forma decimale limitata; il calcolo delle potenze calcolare le potenze a esponente naturale di un numero intero positivo o negativo e di una frazione; conoscere e applicare le proprietà delle potenze (prodotto o quoziente di potenze con la stessa base; prodotto o quoziente di potenze con lo stesso esponente; potenza di una potenza); conoscere e calcolare le potenze con esponente negativo (ad esempio le potenze del 10); le proporzioni risolvere semplici problemi con l uso delle proporzioni; ricavare il termine mancante in una proporzione, noti gli altri tre; usare le percentuali; usare le frazioni come operatori (ad esempio per prendere i 5 di una certa quantità); 7 la geometria conoscere le principali figure piane (triangoli e loro altezze, mediane e bisettrici; quadrilateri e loro diagonali) e solide (parallelepipedo, prisma, piramide, tetraedro, cubo, ottaedro); interpretare il testo di un problema di geometria e tracciare la figura con cura; calcolare l area e il perimetro delle principali figure piane; la statistica descrittiva e il calcolo delle probabilità calcolare media, moda, mediana e campo di variazione di una serie di dati; leggere e costruire tabelle e grafici; calcolare la probabilità di semplici eventi come rapporto tra casi favorevoli al loro realizzarsi e casi possibili; 1
la teoria elementare degli insiemi conoscere i concetti di insieme, elemento, sottoinsieme; rappresentare gli insiemi con i diagrammi di Venn; saper unire e intersecare gli insiemi; la risoluzione di problemi rappresentare in qualche modo (grafico, narrativo... ) la situazione descritta nel problema; riconoscere nel testo i dati utili per la sua risoluzione; ricavare eventuali dati intermedi mancanti; sopportare un po di frustrazione se il problema è difficile e non fermarsi al primo tentativo fallito; controllare se il risultato ottenuto è sensato; l ordine e la chiarezza scrivere in corsivo, lentamente e con cura, pensando sempre a chi dovrà leggere (non dimenticare di mettere nome e cognome sul foglio che si consegna... ); organizzare con ordine la pagina, andando a capo con regolarità e lasciando uno spazio per le correzioni. Compito estivo I 70 quesiti che seguono possono essere considerati come lavoro estivo facoltativo in preparazione alla prova di livello. Le conoscenze richieste sono quelle basilari. Tuttavia, la presenza di qualche esercizio un po più difficile non deve spaventare, ma stimolare a un maggiore impegno. 1. Disporre in ordine crescente i seguenti numeri interi 7; 8; 1; 0; 5; 4; 100; 101. 2. Quanto fa. Quanto fa 2015 volte { }} { ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)... ( 1) ( 1)? ( 1) 2 ( ) 4 ( 5) 6 ( 7) ] 7 ( 6) 5 ( 4) ( 2) 1 ]? 4. Se n e m sono due numeri interi, con n < m, quanti sono gli interi p tali che n < p < m? 5. Calcolare 2 2 8 =... ; 2 18 2 8 =... ; (2 8 ) =... ; 14 5 7 5 =... ; 12 6 6 =.... 6. Quanto fa 10 + 10 + 10? 7. Sapete esprimere come potenza di 2 il quadrato del quadrato del quadrato di 8? 8. Quanto fa ( ) 2 ( 2 )? (Attenzione alle parentesi!) 9. Calcolare l espressione ( + ) (2 4 2 2 ) 60] (6 2 ) ] 2 6 7 6 6. 10. Il numero 2 201 è pari o dispari? Quanto fa la metà di 2 100? E il suo doppio? 11. Calcolare l espressione (6 ) 6 4 6 + (2 ) 6 6 5. 2
12. Spiegare con un esempio il significato dei termini addendo, somma, fattore, prodotto, dividendo, divisore, quoziente, resto, differenza, inverso, opposto, numero primo, massimo comune divisore e minimo comune multiplo (di due o più numeri), numeri relativamente primi. 1. Sai scomporre in fattori primi i numeri 24; 00; 6? Sai calcolare il loro minimo comune multiplo ed il loro massimo comune divisore? 14. Calcolare il minimo comune multiplo ed il massimo comune divisore di a) 282; 27; 42; b) 14 2 ; 21 2 ; 7 ; c) 12 2 ; 6 ; 18 2. 15. In una classe, il compito di matematica ha prodotto i risultati riportati nella seguente tabella voto numero di studenti 10 0 9 1 8 2 7 4 6 6 5 4 4 0 2 0 Quanti studenti hanno ottenuto una votazione maggiore o uguale a 6? Quanti sono gli studenti della classe? Qual è la percentuale degli studenti che hanno preso un voto minore di 6? 16. Sai tradurre in simboli le seguenti espressioni? a) Il triplo della differenza tra x e il doppio di y eguaglia la differenza tra il triplo di x e il doppio di y ; b) la metà del prodotto tra x e y è inferiore al doppio del loro quoziente ; c) i due terzi della somma di a e b non supera l opposto della somma di a con i due terzi di b ; d) la somma dei reciproci di a e di b eguaglia la differenza tra i loro opposti. 17. Quanto fa 0, 0, 0,? E quanto fa (0, 2) 0, 4? 18. Quanto fa 27 10 4 + 9 10 2, 7 10 2? 19. Dopo aver trasformato i numeri decimali in frazioni, calcolare 0, 7 + ( 1 0, 2 4 7 1, 5 2 5 + 1 ) ] + 0, 5. 7
20. Qual è il numero che supera di 6 i suoi 4? 21. Verificare che il risultato della seguente espressione è il numero di spigoli (lati) del tetraedro ] ( 2) 2 + 10 + ( 5) 2 2 + ( 2)2 10 + ( 5) 2 4 2 5 5 + 2 21. 22. Calcolare la seguente espressione, il cui valore dovrebbe essere l opposto del numero delle facce del tetraedro { ( 1 1 ( 2) 5 ( 2) + 2 + 2 + 5 + 1 ) ] 1 + 2. 6 15} 2. Sai trovare una frazione compresa tra 7 9 e 8 9? 24. Se x = 2 e y =, allora quanto vale 1 x + 1 y? 25. Disporre in ordine crescente le frazioni 2 ; 9 ; 2 5 ; 6 5 ; 1 2. 26. Tra quali numeri interi è compresa la frazione 1? (Indicare gli interi più vicini) 6 27. Calcolare il doppio di 4 ; il triplo di 2 ; la metà di 4. 28. Calcolare il quadrato di 4 ; il cubo di 2 ; la radice quadrata di 4 25. 29. Calcolare la seguente espressione, il cui valore dovrebbe essere il numero di vertici del cubo { ( ( 2) 4 + 2 4 + 1 ) 2 ( + 1] 1 7 ) } 2 ( + 16. 5 6 2) 0. Facendo un disegno opportuno, individuare sulla retta orientata i numeri 1, 2 e, 2 4 avendo scelto come unità di misura un segmento di 4 quadretti. 1. Per quali valori di n la frazione n è maggiore della frazione 7? 2. Per quali valori di n la frazione 7 n. Calcolare la seguente espressione ( 2 2 ) è maggiore della frazione 7 2? ( ) ] 2 2 4 ( ) ] 5 4 2 ( ) ] 6 2. 4. Un libro ha 60 pagine; 2 di esse sono illustrazioni, delle quali 1 5 sono le pagine illustrate a colori? sono a colori. Quante 5. Quanto vale l inverso della differenza tra 1 2 e 1? 6. In una classe i, cioè 18 alunni, sono maschi. Quante sono le femmine? 5 4
7. Verificare che il risultato della seguente espressione coincide con il numero di primi compresi tra 24 e 28 ( 2 + 7) ( 2 7) 1 ( 2) 2 + 21 5] 8. Calcolare l espressione 2 1 2 2 ( 2) 2 ] + 1 ( 5 + ). ( 1 ] 2 )2 ( 1 2 )2 1 ( 1 2 ) 1 + 2 9 ( 1 2 )2 ( 2, )2 verificando che il risultato coincide con il campo di variazione dei dati 1,5; 2; 2,; 0,5; 1,9; 0,; 1,2; 2,1. 9. Una damigiana contiene vino per 1 della sua capacità. Aggiungendo 10 litri di vino la damigiana risulta piena per i suoi. Qual è la capacità della damigiana? 4 40. I 2 dei passeggeri di un aereo scendono a Milano, i di quelli rimasti a bordo scendono a 9 8 Parigi e gli ultimi 105 scendono a Londra. Quanti erano complessivamente i passeggeri dell aereo? Quanti sono scesi a Milano? Quanti a Parigi? (Fare magari un diagramma ad albero... ) 41. Quanto valgono il valore assoluto, l opposto ed il reciproco di 17? 42. Sapendo che x =, calcolare x + 2; 2x ; 6 (x + 2); ( x 5) 2. 4. Due numeri interi positivi stanno tra loro come 2 sta a. Se la somma dei due numeri è 5, quanto valgono i due numeri? 44. Sulla carta a quadretti, una bandiera ha la forma di un rettangolo di dimensioni 5 9 quadratini. Esattamente al centro è disegnata una croce blu, dello spessore di un quadratino, che divide la bandiera in quattro rettangoli gialli congruenti. Qual è la percentuale dei quadratini blu rispetto al totale? 45. La produzione di un bene ha registrato i dati riportati nella seguente tabella. Qual è stato il decremento percentuale dal 2010 al 2011? E dal 2011 al 2012? Costruire un istogramma che rappresenti l andamento della produzione nei tre anni. anno unità prodotte 2010 45 2011 276 2012 18 46. Se in una città c è un matematico ogni 20 abitanti, qual è la percentuale dei matematici? 47. La media delle 4 interrogazioni di Carlo è 7, 5. Può Carlo, con una quinta interrogazione, portare la sua media a 8? Che voto dovrebbe prendere nella quinta interrogazione? 5
48. In un negozio la merce viene scontata del 0%. Un abito viene venduto a 84 euro. Quanto costava l abito prima di essere scontato? 49. Se il quadrato di 11 è 121, allora il quadrato di è il triplo di 121. Vero o falso? Perché? 50. Se aumentiamo la lunghezza della base di un rettangolo del 20% e quella dell altezza del 50%, si può dire di quanto aumenta l area in percentuale? 51. Un secchio pieno di sabbia pesa complessivamente 1 Kg; riempito per metà di sabbia pesa 7 Kg. Quanto pesa il secchio vuoto? 52. In una classe, gli studenti hanno i seguenti numeri di scarpe 7; 42; 8; 40; 5; 44; 42; 8; 9; 6; 40; 44; 7; 42; 4; 41; 5; 9; 45; 42; 42; 6; 4; 42. Calcolare media, moda, mediana e campo di variazione di questi dati. Costruire inoltre la tabella delle frequenze e il relativo istogramma. 5. Verificare che il risultato della seguente espressione è il numero di vertici dell ottaedro ( ) 2 ( ) 2 5 + 5 2 ( 5 ). 2 54. In una scuola di 1000 studenti, esattamente 50 giocano a basket e 500 a tennis. Sapendo che 100 studenti giocano sia a basket che a tennis, dire quanti studenti non praticano alcuno sport (rappresentare la situazione con i diagrammi di Venn). 55. Calcolare la seguente espressione { ( ) ( ) ] (2 1 + 2 ) 2 1 2 + ( ) ]} 2 ( 1 2 + 4 ) 9 4. 56. Un rubinetto riempie una vasca in 6 minuti. Un altro rubinetto la riempie in minuti. Se i due rubinetti sono aperti insieme, dopo quanto tempo la vasca sarà piena? 57. Calcolare la seguente espressione ( 5 ) ] 2 0 1 1 ( ) ] 2 1. 2 58. Se l insieme A è un sottoinsieme dell insieme B (cioè A B), e l insieme B ha 100 elementi, che cosa si può dire del numero di elementi di A? 6
59. Per l acquisto di due libri si spendono 47 euro in tutto e il prezzo di un libro è pari ai di quello dell altro. Determinare il prezzo di ciascuno dei due libri. 9 11 60. Se l insieme A ha 0 elementi e l insieme B ne ha 50, che cosa si può dire del numero di elementi di A B? Che cosa si può dire del numero di elementi di A B? 61. Che cosa rappresenta il segmento AB in ciascuna delle seguenti figure? 62. È vero che il rettangolo ABCD ed il parallelogramma ABEF nella figura sottostante hanno la stessa area? Perché? 6. Se il vertice C del triangolo ABC (rettangolo in B) viene fatto scorrere verso destra, parallelamente alla base AB, cambiano il suo perimetro e la sua area? Perché? 64. Calcolare l area del piano inclinato qui raffigurato (cioè solo la faccia inclinata ) sapendo che l = 14 cm, b = 12 cm ed h = 5 cm. 7
65. Come si può costruire con un righello e il compasso un triangolo avente i lati lunghi 5 cm, 6 cm e 7 cm? 66. Esiste un triangolo rettangolo con i lati lunghi 9 mm, 80 mm e 89 mm? Perché? 67. Calcolare la superficie laterale della piramide a base quadrata qui raffigurata, sapendo che a = 8 cm e h = cm. 68. Sulla diagonale AC del rettangolo ABCD in Figura (a) è stato scelto un punto P e da P sono state tracciate le parallele ai lati del rettangolo, formando i rettangolini R 1, di vertici HP GD, e R 2, di vertici EBF P. Servendoti di un righello, calcola l area di R 1 e R 2 e confronta i loro valori. Nella Figura (b) la posizione di P è stata cambiata e la costruzione è stata ripetuta calcola nuovamente l area di R 1 e R 2 nella nuova posizione e confronta i loro valori. È solo una coincidenza? (a) Prima posizione di P. (b) Seconda posizione di P. 69. Sfruttando le relazioni tra i triangoli che si formano all interno del rettangolo ABCD nelle Figure (a) e (b) dell Esercizio 68, trovare una spiegazione convincente del fatto che i rettangoli R 1 e R 2 hanno sempre la stessa area, qualunque sia la posizione di P sulla diagonale AC. 70. Sommando i numeri dispari consecutivi si ottiene 1 = 1; 1 + = 4; 1 + + 5 = 9; 1 + + 5 + 7 = 16; 1 + + 5 + 7 + 9 = 25;... Si ottiene sempre un quadrato perfetto? Perché? (Trovare una motivazione di tipo grafico) 8