I circuiti logici: definizione delle funzioni logiche Prof. lberto orghese Dipartimento di Informatica borghese@di.unimi.it Università degli Studi di Milano Riferimenti al testo: ppendice C, sezioni C.1 e C.2 1/48 Sommario Variabili ed operatori semplici. Implementazione circuitale it (porte logiche). Dal circuito alla funzione. lgebra ooleana. 2/48 1
Le operazioni logiche fondamentali NOT ND OR QULUNQUE funzione booleana (logica) può essere espressa combinando opportunamente tre funzioni booleane elementari. Si dice anche che ND, OR, NOT formano un set completo. 3/48 Circuiti ooleani n Investigation of the Laws of Thorught on Which to Found the Mathematical Theories of Logic and Probabilities G. oole, 1854: approccio alla logica come algebra. Variabili (binarie, 0 = FLSE; 1 = TRUE). Operazioni sulle variabili (NOT, ND, OR). Equivalenza tra operazioni logiche su proposizioni vere/false e operazioni algebriche su variabili binarie. Utilizzo dell algebra ooleana per: nalisi dei circuiti. Descrizione della funzione logica implementata dai circuiti. Semplificazione di espressioni logiche per ottenere implementazioni efficienti. Progettazione (sintesi) dei circuiti digitali. Data una certa funzione logica, sviluppare il circuito digitale che la implementa. 4/48 2
Operatore NOT 0 1 1 0 Tabella della verità Inverter logico :se è vero (TRUE=1), NOT è falso (FLSE=0) NOT = =! 5/48 Operatore ND Tabella della verità 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Prodotto logico = ND = = 6/48 3
Operatore OR 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Tabella della verità Somma logica = OR = + 7/48 Concatenazione del NOT = = + Inserire un cerchietto all uscita corrisponde a negare (complementare) l uscita. 8/48 4
Operatore NOR OR(,) Operatore OR negato 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 = Not(Or(,)) = + 9/48 Operatore NND ND(,) Operatore ND negato 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 Not(nd(,)) = 10/48 5
Concatenazione del NOT = = + = = + Inserire un cerchietto all ingresso corrisponde a negare la variabile in ingresso. Inserire un cerchietto all uscita corrisponde a negare (complementare) l uscita. 11/48 Funzione composta OR(,!) 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 Or(,!) = + 12/48 6
Porte logiche a più ingressi Rappresentano circuiti che forniscono in uscita il risultato di operazioni logiche elementari sui valori di tutte le variabili in ingresso Le variabili in ingesso possono essere n. d esempio: = ND ND C ND D C D 13/48 C D 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1011 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 Porte logiche: tabella della verità = ND ND C ND D C D 14/48 7
Sommario Variabili ed operatori semplici. Implementazione circuitale (porte logiche). Dal circuito alla funzione. lgebra ooleana. 15/48 Il Transistor Modello: interruttore tra Emettitore e Collettore, comandato dalla tensione sulla ase. 2 casi i estremi : Tensione V E bassa C,E isolati Transistor in stato di INTERDIZIONE Tensione V E alta C,E collegati Transistor in stato di STURZIONE (V C = V E ) C E C C V E E V E E 16/48 8
Inverter logico: porta NOT V in = 0V è spento, V out = V CC V IN X V OUT V in = V CC passa corrente, la resistenza è molto bassa e V out 0 Si definisce porta logica (gate), un dispositivo elettronico in grado di trasformare la tensione agli ingressi secondo gli operatori fondamentali. 17/48 Porta NND Solo se V 1 =V 2 = V H I due transistor sono chiusi e passa corrente, V OUT = V L ltrimenti V OUT = V H Tabella della verità V 1 V 2 V OUT V H =1 V H =1 V L =0 V H =11 V L =00 V H =11 V L =0 V H =1 V H =1 V L =0 V L =0 V H =1 18/48 9
Porta NOR Se V i è alto, il transistor corrispondente, conduce e la tensione V out si avvicina alla massa (V out = Low). Se V 1 = V 2 = 0 nessun transistor conduce, e V out viene tirata (pull-up) verso la tensione dell alimentazione. V 1 V 2 V OUT V H =1 V H =1 V L =0 V H =1 V L =0 V L =0 V L =0 V H =1 V L =0 V L =0 V L =0 V H =1 19/48 La tecnologia CMOS (1980 oggi) CMOS: Complementary MOS MOS: Metal Oxide Semiconductor MOS complementari (N-MOS + P-MOS) che lavorano in coppia : substrati comuni. NOT Vantaggi: Tensione di alimentazione flessibile : V CC = 1 15 Volt V LOW = 0 V ss V HIGH = 1 V dd Consumo bassissimo: Consuma solo nella transizione In condizioni statiche, consumo praticamente nullo! 20/48 10
Porta NND e ND in C-MOS 21/48 PORT NOR e OR IN CMOS 22/48 11
Perchè l elettronica digitale funziona? Perchè è progettata per essere resistente al rumore. High = 1 Vengono definiti 2 range di tensioni associati ai valori alto e basso, separati da un gap. Per la logica TTL: Low = 0 23/48 Tempo di commutazione La commutazione non è istantanea: Definizione del cammino critico nei circuiti combinatori. 24/48 12
Sommario Variabili ed operatori semplici. Implementazione circuitale (porte logiche). Dal circuito alla funzione. lgebra ooleana. 25/48 Funzione Una relazione che associa ad ogni elemento dell'insieme X(x), detto dominio, associa uno ed un solo elemento dell'insieme (y), detto codominio, indicandola con y = f(x) (Wikipedia). Sinonimi: mappa, trasformazione. Nulla è detto sulla forma di questa relazione. Funzione analitica (e.g. = sin(x) log(cos(x/2))... Funzione a più valori di input e più valori di output (x ed y vettori) Tabella di corrispondenza.... 26/48 13
Funzioni logiche La funzione calcolata da un circuito con n ingressi. Il circuito sarà costituito da un opportuna combinazione di porte semplici (NOT, ND, OR). Per ciascuna delle 2 n combinazioni degli ingressi, può essere calcolata l uscita. Il valore della funzione può essere rappresentato in 3 modi: Circuito Tabella della verità (Truth Table, TT). Espressione simbolica 27/48 Dal circuito alla funzione logica 0 0 1 0 1 1 Direzione del calcolo 1 C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 101 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 28/48 14
Dall espressione logica alla tabella della verità Data l espressione: F = ( ND ) OR ( ND NOT(C) ) Ricaviamo la tabella delle verità: C and and not(c) F 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 100 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 29/48 Dal circuito alla funzione logica a b c y 0 0 0 1 001 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0. 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 111 1 1 1 a b c Funzione e tabella danno la stessa uscita Espressione algebrica e circuito imeplementano la stessa forma logica. 30/48 a b c a b c a b c Implementazione circuitale possibile. Non è l unica! y = a b c + a bc + a b c y 15
a b c y 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0. 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 Dal circuito alla funzione logica - 2 a b c Funzione e tabella danno la stessa uscita Espressione algebrica e circuito imeplementano la stessa forma logica. 31/48 b c a b c Implementazione circuitale possibile. Non è l unica! y = a b c + b c y Sommario Variabili ed operatori semplici. Implementazione circuitale (porte logiche). Dal circuito alla funzione. lgebra ooleana. 32/48 16
Concatenazione degli operatori In assenza di parentesi, ND ha la priorità sull OR ed il NOT su entrambi: + C = + ( C) (+) C per eseguire prima OR C Eseguo prima ND di e, nego poi il risultato ed inifine eseguo l ND con C NOT C = (NOT()) C = C In assenza di parentesi, la negazione ha la priorità sugli altri operatori. nche sulle negazioni esiste una gerarchia: = () () C = [() ()] C 33/48 Regole algebriche Doppia Inversione = x = x ND OR Identità 1 x = x 0 + x = x Elemento nullo 0 x=0 0 1+x=1 x = 1 Idempotenza x x = x x + x = x Inverso x x = 0 x + x = 1 Commutativa x y = y x x + y = y + x ssociativa (x y) z = x (y z) (x + y) + z = x + (y + z) ND rispetto ad OR OR rispetto ad ND Distributiva x (y + z) =xy+xz x x+yz=(x+y)(x+z) + y ) + z) ssorbimento x (x + y) = x x + x y = x De Morgan xy = x + y x + y = x y Si possono dimostrare sostituendo 0/1 alle variabili. 34/48 17
Teoremi di De Morgan De Morgan ~ (x y) = ~ x + ~ y ~ (x+y) = ~ x ~ y xy = x + y x + y = x y I x y z = x y z II x y z = x y z 35/48 Principio di dualità Nell algebra di oole vale il principio di dualità. Il duale di una funzione booleana si ottiene sostituendo ND ad OR, OR ad ND, gli 0 agli 1 e gli 1 agli 0. Esempi: Identità Elemento nullo 1 x = x 0 x = 0 0 + x = x 1 + x = 1 Le proprietà p commutativa, distributiva, identità, inverso sono postulati: assunti veri per definizione. Le altre proprietà sono teoremi dimostrabili. 36/48 18
Verso le porte universali C C D D = C = D C D = 37/48 Porte Universali Quale è il numero minimo di porte con cui è possibile implementare tutte le altre? Con la legge di De-Morgan riusciamo a passare da 3 a 2. es.: con NOT e ND (NND) si ottiene OR: NOT(NOT()ND(NOT())) = OR E possibile usarne una sola? Sì, ad esempio la porta NND, o la NOR che sono chiamate porte universali. 38/48 19
Porta Universale NOR NOT = 0 NOR OR = ( NOR ) NOR 0 ND = ( NOR 0) NOR ( NOR 0) 39/48 OR mediante porta NND De Morgan: xy = x + y Consideriamo z = xy (porta ND) x xy xy xy = xy y NND(x,y) = (per De Morgan) x z y Questo circuito è equivalente a ND(x,y).. 2012-2013 40/35 http:\\borghese.di.unimi.it\ 20
Consideriamo L = Regole di manipolazioni algebriche Vogliamo rappresentarlo con porta NOR x xy xy xy = xy y x = y=! x = x NND(x,y) = (per De Morgan) z = x + y = +!() = +.. 2012-2013 y = y! 41/35 Questo circuito è equivalente a ND(,!) http:\\borghese.di.unimi.it\ Semplificazioni notevoli Dimostrare che: + = + Proprietà distributiva di OR rispetto ad ND: + = ( + ) ( + ) Sviluppando il prodotto: ( + )( + ) = + + + = + + Raccogliendo : + + = + ( +) = + Dimostrare che: ( + )( + C) = + C + C Dimostrare che: + = +.. 2012-2013 42/35 http:\\borghese.di.unimi.it\ 21
Esempio di semplificazione algebrica (esercizio) F = C + C + C = Raccogliendo C: ( + )C + C = Proprietà dell inverso: + = 1 = 1C + C = Proprietà dell identità: 1 = = C + C = Dalla slide precedente: = (C + C) = (C + ) C C C C C.. 2012-2013 43/35 http:\\borghese.di.unimi.it\ Esempi di manipolazione algebrica F =!xyv + yz +!y!zv +!xy!v + x!yv = F=!!C+C+!C+!C=!C C +!C + C = F = =? Somma di prodotti di 3 variabili:,, C (inverso dell esercizio precedente): 44/48 22
Esercizi Usare la sola porta NND per realizzare ND, OR e NOT e disegnarne gli schemi logici Calcolare le TT per le seguenti funzioni D + C + ~ + + C + D ~D~C + ~DC + ~D~~C + ~D~C Trasformare in funzioni equivalenti le seguenti ~(CD) ~(D) + ~( + ~C) 45/48 Esercizio Data la funzione booleana: F = ( ND ) OR ( ND NOT(C)) Esprimere la funzione F con il solo connettivo logico NOR e disegnare il circuito. Esprimere la funzione F con il solo connettivo logico NND e disegnare il circuito. 46/48 23
Esercizio Data la funzione booleana: F = ( ND ) OR ( ND NOT(C)) Esprimere la funzione F con il solo connettivo logico NOR e disegnare il circuito. Esprimere la funzione F con il solo connettivo logico NND e disegnare il circuito. Costruire le porte logiche: ND, OR, NOT utilizzando solo la porta NND. 47/48 Sommario Variabili ed operatori semplici. Implementazione circuitale (porte logiche). Dal circuito alla funzione. lgebra ooleana. 48/48 24