Fisica generale II, a.a. 01/013 L FORZ DI OULOM.1. Date le due cariche fisse della figura dove q 1 = 0. e q = 0.5 la posizione di equilibrio lungo l'asse di una terza carica mobile q 3 = 0.01 si trova nel punto con ascissa () 1.71 m () 0.387 m () 0.500 m (D) 0.613 m ().71 m q 1 0 q 1 m SOLUZION. ll'interno del segmento (0,1) non vi può essere punto di equilibrio perché le forze esercitate su q 3 da entrambe le cariche fisse hanno lo stesso verso (a destra nel nostro caso). Se si impone l'uguaglianza in modulo delle forze su q 3 si ottiene una equazione di secondo grado in kq q 1 3 kqq ( 1) 3 q q q q 0 1 1 1 La posizione deve essere scartata perché interna al segmento. La posizione di equilibrio di q 3 è perciò 1 : q 3, posta a sinistra di q 1, è respinta da q 1 e attratta da q con forze uguali in modulo. rappresenta la posizione di equilibrio di una carica puntiforme q 4 = q 3 = 0.01. F 1,3 F,3 q 3 q 1 q.. Tre cariche puntiformi q = 3 sono poste ai tre vertici di un quadrato con lato l = 4 m; nel quarto vertice è posta la carica q. La componente lungo della forza agente su di una carica di 1 posta al centro del quadrato vale approssimativamente () 0.114 N () 0.086N () 0.0095 N (D) 0.086 N () 0.114 N S D O S S O S S SOLUZION. Le forze attrattive che le cariche q poste in e in esercitano sulla carica posta in O al centro del quadrato hanno somma nulla. La carica q attrae la carica posta in O con una forza doppia rispetto alla forza attrattiva della carica q posta in D. Il sistema equivale a una carica Q = 1 posta in O attratta da una carica q = 3 posta in ; la S S forza risultante è diretta lungo la diagonale del quadrato e la sua componente lungo l asse vale quindi: q q (0,0) q q (,) 1
Fisica generale II, a.a. 01/013.3. gli estremi, di un segmento lungo 100 cm sono q vincolate due cariche positive con q = 1 n e q = 3 n. Una terza carica positiva q = 6 n è libera di muoversi lungo il segmento e all equilibrio raggiunge un punto compreso tra e. La distanza vale circa (arrotondare) () 50 cm () 59 cm () 69 cm (D) 76 cm () 63 cm q q SOLUZION. La posizione di equilibrio della carica q è quella in cui essa subisce da q e q forze repulsive uguali in modulo. ssendo = 1m, detta la distanza (espressa in metri) tra q e q si ha La posizione è esterna al segmento e non corrisponde a una posizione di equilibrio. Dunque 0.63 m= 63 cm. N. Viene naturale assumere come origine dell asse delle ascisse; in questo caso però la è la distanza mentre il problema chiede (in metri) =1. nche se il procedimento è corretto, scambiare con 1 è una disattenzione molto costosa..4. Una carica q = 4.1(10 6 ) è nell origine. Se si vuole che su una carica Q = 1.6(10 7 ) si eserciti una forza di intensità 6.3(10 6 ) N nella direzione positiva dell asse questa carica deve essere posta nel punto di ascissa () 3.14 m () 30. 6 m () (D) 18. 4 m () 30.6 m SOLUZION. Tra le due cariche, concordi, si esercita una forza repulsiva; Q deve quindi stare a destra di q (ascissa positiva) a una distanza tale che.5. Una carica Q 1 = 1 è posta su di una sferetta metallica di p massa m = 30 g appoggiata a un estremo di una bacchetta isolante lunga L = 30 cm. ll altro estremo della bacchetta è incollata una Q 1 seconda sferetta, identica alla prima, con una carica di Q = 0.1. Se la bacchetta ruota in un piano orizzontale attorno all asse verticale p della figura, per quale periodo di rotazione la prima 5 cm sferetta si staccherà dalla bacchetta? () 1.40 s ().43 s () 3.15 s (D) 5.44 s () 5 cm Q SOLUZION. La sferetta con carica Q 1 subisce, oltre alla forza coulombiana attrattiva F oulomb dell altra sferetta distante L = 0.3 m, la forza centrifuga F centr dovuta al moto circolare piano a distanza di 0.05 m dall asse p. La condizione di distacco è quindi
Fisica generale II, a.a. 01/013.6. Secondo il modello atomico di ohr, l elettrone dell atomo d idrogeno (con massa m e 9.11 10 31 kg, carica q = e 1.6 10 19 ) percorre un orbita circolare di raggio r 5.3 10 11 m attorno al suo nucleo con frequenza pari a circa () 10 7 Hz () 13.5 10 1 Hz () 6.6 10 15 Hz (D) 3.0 10 8 Hz () 9.0(10 16 )Hz SOLUZION. Secondo il modello di ohr, l elettrone ruota attorno al nucleo su un orbita di raggio tale che la forza attrattiva coulombiana uguagli in modulo la forza centrifuga repulsiva: IL MPO LTTRIO.7. Due cariche Q 1 = 3.5 e Q = 1. sono tenute fisse su due punti diametralmente opposti di una circonferenza mentre la carica q = 1.1 è libera di muoversi solo sulla stessa circonferenza. Nel punto in cui la carica q è in equilibrio l angolo 1 della figura vale circa () 55 () 35 () 74 (D) 16 () 45 Q 1 1 1 q d 1 d Q SOLUZION. La carica q è in equilibrio se e solo se il campo risultante 1 + ha componente tangenziale nulla lungo la circonferenza (cioè è diretto come la retta q). Poiché il triangolo Q 1 qq è inscritto in una semicirconferenza, esso è rettangolo; 1 e sono angoli complementari e d = tan( 1 ) d 1. 1 Osservando che i triangoli qq 1 e qq 1 sono isosceli e utilizzando q l uguaglianza di angoli opposti al vertice si ricavano le relazioni d 1 angolari rappresentate nella figura. Uguagliando il modulo delle d componenti tangenziali di e di 1 si ha: 1 Q Q 1 ( ).8. Nei vertici e di un triangolo equilatero sono state poste le cariche Q e Q. Nel terzo vertice si trova che il campo elettrico è normale a e diretto nel verso indicato. Se la carica Q vale +1, la carica Q vale tot () 1 () 0.5 () 0.87 (D)0.87 () non esiste SOLUZION. Poichè il campo totale ha componente nulla lungo la retta, Q deve essere tale che Perciò la carica in è negativa e pari alla metà di quella in : Q = 0.5. 3
Fisica generale II, a.a. 01/013.9. Sui sei vertici di un esagono di lato d = 0.5 nm sono collocati tre ioni ossigeno (cerchi neri, O ; carica e = 3.10 19 ) e tre ioni cesio (cerchi bianchi, s + ; carica e = 1.610 19 ). Se la distanza massima tra gli atomi di ossigeno vale 3 d e la minima d, il modulo del campo elettrico nel centro dell esagono vale (k = costante elettrica =1/4 0 ) () 0 3ke () d 6ke (D) d () 7ke () d SOLUZION. Il campo creato al centro dell esagono dalla coppia di ioni ossigeno-cesio - è la somma dei campi equiversi creati dai singoli ioni: è diretto lungo la diagonale - e di modulo Le altre due coppie di ioni creano al centro dell esagono campi uguali in modulo a e formanti con esso angoli di 60. Il campo risultante è quindi diretto da a e pari in modulo a Q 1 1 + 1 d 1 P d Q.10. Due cariche Q 1 = 0.3 e Q = 0.4 si trovano agli estremi di un diametro di una circonferenza di raggio 0.5 m. Il punto P della circonferenza dove il campo elettrico è normale al diametro ha ascissa (vedi figura) pari a () 0.10 m () 0.0 m () 0.36 m (D) 0.64 m () 0.80 m SOLUZION. Poichè il triangolo Q 1 PQ è inscritto in una 0 P 1 semicirconferenza, esso è rettangolo; e sono complementari e tan() = d /d 1. Inoltre, esso è simile al triangolo rettangolo avente per cateti ed 1 : Dalle relazioni precedenti ricaviamo e per si ha.11. Un grammo di idrogeno atomico viene separato in N 6.0(10 3 ) protoni, ciascuno con carica e = 1.6(10 19 ) e in altrettanti elettroni (con uguale carica negativa); i protoni vengono portati al polo Nord e gli elettroni al polo Sud. Se il raggio terrestre è R T 6340 km, il campo elettrico al centro della Terra vale (in N/) () 98 () 0 () 43 (D) 4(10 7 ) () SOLUZION. Il campo elettrico al centro della Terra è la sovrapposizione dei due campi elettrici, uguali in modulo, direzione e verso, creati da una coppia di cariche opposte pari in modulo a poste a distanza R T dal centro della Terra. Il verso del campo è dal Polo Nord al Polo Sud e la sua intensità è pari a 4
Fisica generale II, a.a. 01/013.1. Il campo elettrico nel terzo vertice P di un triangolo equilatero di lato r = 0. m, in cui gli altri due vertici sono occupati ciascuno da una carica q = 15 n (positiva), vale in modulo () 3375 V/m () 5846 V/m () 1015 V/m (D) 17537 V/m () SOLUZION. Se e sono i vertici occupati dalle cariche, il campo in è verticale e pari in modulo a.13. Una carica q 1 = 5.5 (10 8 ) è nell origine dell asse e una carica q = 3.3(10 8 ) si trova in = 0.58 m. che punto dell asse il campo è nullo? ().58 m () 1.38 m () 0.8 m (D) 0.95 m () 0.11 SOLUZION. Nel segmento compreso tra le due cariche esse producono campi con lo stesso verso; l ascissa corrispondente al punto in cui il campo si annulla sarà quindi esterna al segmento e sarà soluzione dell equazione: L unica soluzione accettabile è. corrisponde al punto in cui il campo sarebbe nullo se q 1 e q fossero cariche concordi. TORM DI GUSS.14. alcolare il campo elettrico a distanza r di un filo infinitamente lungo, posto lungo l asse, caricato con una densità lineare di carica lin (in /m). SOLUZION. Per considerazioni di simmetria, il campo elettrico generato da un filo di lunghezza infinita: a) deve avere direzione perpendicolare al filo r b) deve avere lo stesso modulo in punti equidistanti dal filo. Per il calcolo del campo, applichiamo la legge di Gauss a h un cilindro di altezza h e di raggio r, che ha per asse il filo. Per la considerazione a) il flusso di è diverso da r zero solo attraverso la superficie laterale S lat = (rh); poiché lin h è la carica contenuta nel cilindro si ha linh lin ( ) rh( r) ( r) r 0 0 r 5
Fisica generale II, a.a. 01/013.15. Due fili paralleli e distanti D = 1.5 m portano la stessa carica positiva con una densità lineare lin = 3.8 10 6 /m. Il campo in un punto P distante d 1 = 0.75 m dal primo filo e d = m dall altro vale in modulo () 5.710 4 V/m () 1.510 5 V/m () 8.5510 4 V/m (D) 4.5610 4 V/m ()3.1410 4 V/m SOLUZION. Per il principio di sovrapposizione, il campo in P è la somma dei contributi dei due fili: Filo Filo 1 P P D d 1.16. alcolare il campo elettrico (r) in un generico punto P posto a distanza r dal centro di un sfera isolante di raggio R, caricata con carica Q e densità di carica, funzione della distanza r dal r centro della sfera, secondo la relazione: = 0. R SOLUZION. Per il calcolo del campo per r < R utilizziamo la legge di Gauss applicata a una superficie sferica di raggio r. La carica interna a questa superficie è pari a Poiché deve essere si trova per 0 l espressione e l espressione precedente può essere scritta come Il campo (r) vale Per r R, e Per r R, quindi, il campo è quello che una carica puntiforme Q posta al centro della sfera genererebbe a distanza r. R.17. Una carica elettrica Q = 10 è distribuita uniformemente, cioè a densità costante, nel volume di una sfera di raggio R S = 10 cm. Il rapporto tra il campo elettrico a R 1 = 5 cm dal centro e il campo elettrico a R = 15 cm dal centro, (R 1 )/(R ), vale circa () 1/9 () 4/9 () 3/ (D) 1.66 () 1.15 SOLUZION. Per R > R S, il campo è quello di una carica puntiforme Q posta al centro della sfera: R 1 R S 1 6
Fisica generale II, a.a. 01/013 Per il calcolo del campo per R< R S utilizziamo la legge di Gauss applicata a una superficie sferica di raggio R 1. La carica interna a questa superficie è pari a e il campo (R 1 ) vale Dunque z a.18. Si consideri la superficie chiusa del cubo di lato a mostrato in figura. Il flusso del campo elettrico attraverso tale superficie quando è presente un campo elettrico = 0 i (costante e diretto come l asse delle ) vale () 0 a () 0 a () 6 0 a (D) () 0 SOLUZION. Il flusso di è diverso da zero solo attraverso le facce e del cubo perpendicolari al campo. Il versore normale alla faccia (n ) ha verso opposto a quello del campo; il versore normale alla faccia (n ) ha lo stesso verso del campo e si ha: Si può giungere alla stessa conclusione applicando la legge di Gauss e considerando che il cubo non contiene cariche in quanto il campo uniforme ha divergenza ovunque nulla..19. on riferimento al problema precedente, se il campo elettrico è diretto come l asse delle e vale = ( ) i, con = costante positiva, la carica contenuta nel cubo vale () 0 a () 0 /a 3 () 0 a 3 (D) () 0 SOLUZION. Il flusso di è diverso da zero solo attraverso le facce e del cubo perpendicolari al campo. Per il teorema di Gauss, Si arriva alla stessa conclusione considerando che.0. Su una barra cilindrica di alluminio lunga L = m e avente diametro d = 3 cm viene posta una carica Q = 5. Il campo elettrico alla superficie della barra a distanza uguale dagli estremi vale in modulo () 0.54 MV/m () 3.0 MV/m () 5.4 MV/m (D) 13.5 MV/m () 5 MV/m SOLUZION. La densità lineare di carica sulla barra conduttrice vale lin = Q/L. Per simmetria, in ogni punto P equidistante dagli estremi della barra il campo è perpendicolare alla superficie cilindrica della barra stessa come nel caso del cilindro conduttore indefinito. 7
Fisica generale II, a.a. 01/013 Utilizzando l espressione del campo elettrico generato da un cilindro conduttore in un punto P a distanza r si ha Sostituendo i dati del problema con r = d/ si ottiene.1. Il modulo del campo elettrico immediatamente sopra il punto centrale di una piastrina metallica carica a forma di quadrato di lato L = 0 cm e 0.1 mm di spessore è di 150 V/cm. La carica elettrica complessiva della piastrina vale circa ().6 n () 5.1 n () 5.8 n (D) 10.6 n () 15.4 n SOLUZION. Per simmetria, il campo elettrico immediatamente sopra il punto centrale di una piastrina metallica carica è perpendicolare alla piastra stessa come nel caso della lastra conduttrice infinitamente estesa, e per distanze sufficientemente piccole dalla lastra, indipendente dalla distanza. Utilizzando l espressione del campo elettrico generato da una lastra conduttrice infinitamente estesa (vedi lezione I) si ha:.. Il rivelatore di un contatore Geiger è costituito da un filo lungo L = 0.1 m e diametro d = 0.1 mm in asse con un cilindro metallico vuoto con diametro interno D = 1 cm. Filo e cilindro sono sotto vuoto e portano cariche di segno opposto e uguali in valore assoluto. Se il modulo del campo elettrico in prossimità della superficie interna del cilindro è 1 = 3(10 4 ) V/m, il campo in prossimità del filo vale in modulo () 6(10 4 ) V/m () 3(10 4 ) V/m () 3(10 6 ) V/m (D) 3(10 7 ) V/m () 3(10 4 ) V/m SOLUZION. Il campo elettrico tra filo e cilindro metallico conduttore, diretto orizzontalmente nella figura per ragioni di simmetria, è dovuto unicamente al filo. Il filo carico produce un campo pari in modulo a L dove lin è la densità lineare di carica e r la distanza dal filo. Si ha pertanto: D.3. Un cubo di spigolo a ha un vertice nell origine O di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale ed è disposto come in figura. Si calcoli il flusso del campo elettrico attraverso la superficie del cubo e la carica Q contenuta nel volume delimitato dal cubo, nei casi in cui il campo elettrico sia dato da (, costanti): a) = i; b) = ( i + j ). z 8
Fisica generale II, a.a. 01/013 SOLUZION. Nel caso a), il campo elettrico è diretto lungo l asse e il flusso di attraverso la superficie del cubo è quello attraverso le facce del cubo perpendicolari a tale asse: poiché tuttavia il campo è nullo in corrispondenza alla faccia del cubo posta sul piano z ( = 0) si ha Per la legge di Gauss: Nel caso b), il flusso di attraverso la superficie del cubo è quello attraverso le facce del cubo perpendicolari all asse e all asse : di nuovo, il campo è nullo in corrispondenza alla faccia del cubo posta sul piano z ( = 0) e attraverso alla faccia del cubo posta sul piano z ( = 0) e quindi Per la legge di Gauss:.4. Un parallelepipedo di spigoli a = 10 cm, b = 15 cm, c = 0 cm, ha un vertice nell origine O di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale e gli spigoli coincidenti con gli assi cartesiani. Nella regione è presente un campo elettrico = (5 i 4 j +3z k ) 10 5 V/m. Si calcoli: a) il flusso del campo elettrico attraverso la superficie del cubo; b) la carica Q contenuta nel volume delimitato dal cubo; c) la densità di carica, supponendo sia costante. SOLUZION. Spezziamo il campo elettrico nelle sue componenti cartesiane e calcoliamo il flusso attraverso le facce del parallelepipedo ortogonali agli assi: Per la legge di Gauss:, in caso di densità di carica costante, POTNZIL LTTRIO.5. Una sfera conduttrice di raggio R 1 = 5 cm e carica iniziale q 1 = 4 è posta brevemente in contatto elettrico con una seconda sfera conduttrice di raggio R = 40 cm e carica iniziale q = posta a d = 3 m di distanza dalla prima sfera. Dopo che il contatto è stato rimosso le due sfere si respingono con una forza pari a circa () 0 N () 0.95 mn () 8.0 mn (D) 8.5 mn () 9 mn 9
Fisica generale II, a.a. 01/013 SOLUZION. Durante il contatto elettrico, la carica negativa della seconda sfera neutralizza parzialmente quella della prima; sul sistema, dopo il contatto, c è una carica totale Q TOT =q 1 + q = che si ridistribuisce sulla superficie dello stesso in modo da renderla equipotenziale. Indicando con q 1 e q le cariche finali delle due sfere, entrambe positive, e uguagliando i loro potenziali elettrici V 1 e V si ha dunque e la forza repulsiva coulombiana tra le sfere è pari a.6. Due sferette conduttrici cariche di raggio pari a R = 1 cm si attraggono inizialmente con una forza F 1 = 5 N quando sono alla distanza d 1 = 1 m. Dopo essere state poste per un attimo in contatto elettrico mediante un filo conduttore, le due sferette, sempre alla distanza di 1 m, si respingono con una forza di intensità F = 1 N. Il rapporto tra le cariche iniziali sulle sfere vale in valore assoluto (si scelga il rapporto >1) () 1.67 () 1.86 ().38 (D) 3.14 () 5.83 SOLUZION. Poiché F 1 è attrattiva, le cariche iniziali sulle due sferette, q e q, hanno segno opposto. Dall espressione di F 1 si ha: Durante il contatto elettrico, una carica totale pari alla somma algebrica Q TOT =q + q si distribuisce sulle due sferette in modo da renderle equipotenziali; poiché le sfere hanno lo stesso raggio, si avrà q = q = Q TOT /, quindi dall espressione di F si ha: L equazione di secondo grado che ha come soluzioni q e q con somma e prodotto noto è la seguente (si assuma la carica totale positiva): Poiché q q < 0, il discriminante dell equazione è sempre positivo e l equazione ha due soluzioni reali: Scegliendo q > q si trovano i valori numerici q 3.636 10 5, q 1.58 10 5 e Si noti che non è possibile stabilire quale sia la carica negativa e quale quella positiva. 10
Fisica generale II, a.a. 01/013.7. Due sferette cariche, ambedue di 0.15 cm di raggio, si attirano inizialmente con una forza di intensità 90 N quando sono poste alla distanza di 1 m. Dopo essere state poste per un attimo in contatto elettrico mediante un sottile filo conduttore, le due sferette, sempre alla distanza di 1 m, si respingono con una forza di 40 N. Tra le seguenti affermazioni sono vere (segnare con V quelle vere e con F quelle false) () Le due cariche iniziali hanno segno opposto e valori assoluti diversi. () Le due cariche finali hanno lo stesso valore e lo stesso segno. () on i dati del problema non è possibile determinare i segni delle cariche iniziali e finali. (D) Il valore assoluto di una delle due cariche iniziali è di 0. () Il valore assoluto di una delle due cariche finali è di 66.7. SOLUZION. L affermazione () è vera: il segno opposto delle cariche iniziali dipende dal fatto che la forza coulombiana è inizialmente attrattiva, e la differenza tra i valori assoluti delle cariche dipende dal fatto che, in caso contrario, dopo il contatto elettrico il sistema sarebbe neutro. L affermazione () è vera: forza finale repulsiva implica cariche finali concordi, e poiché, dopo il contatto elettrico, le due sfere sono equipotenziali, essendo esse identiche devono avere la stessa quantità di carica. L affermazione () è vera: si veda il problema precedente come esempio. L affermazione () è vera: il valore delle cariche finali q f (uguali in modulo e segno, vedi punto ) si trova imponendo: L affermazione (D) è falsa: se il valore assoluto di una delle due cariche iniziali fosse di 0, il valore dell altra sarebbe e il valore di q f sarebbe in modulo pari a.360.067 / 11.15 m in contrasto con quanto calcolato in ()..8. Una carica elettrica q 0 = +1 m si trova nell origine di un asse mentre una carica negativa q 1 = 4 m si trova nel punto di ascissa = 1 m. Sia Q il punto dell asse dove il campo elettrico si annulla e P il punto di ascissa positiva dove il potenziale elettrico si annulla. Il rapporto Q / P vale () 1/3 () 1/ () 1 (D) () 3 SOLUZION. La situazione è schematizzata nella figura. 1 Trattiamo dapprima il problema dell annullamento del q 1 q 0 campo elettrico. destra di q 0 (ascisse positive) i due campi 0 ed 1 hanno verso opposto e la loro somma si può 1 0 P Q annullare. Tra le due cariche, i due campi hanno lo stesso 1 0 verso e non si possono annullare. sinistra di q 1, 1 è sempre maggiore di 0. Il punto Q in cui il campo elettrico si annulla dovrà quindi avere ascissa Q > 0 Uguagliando i moduli dei due campi: q0 q1 Q 1 m 0 1 Q Q 1 4Q 1 Q 1/ 3 m Q Q Pertanto Q = 1 m. Trattiamo ora il problema dell annullamento del potenziale elettrico, somma dei potenziali 0 11
Fisica generale II, a.a. 01/013 V 0 k e q 0 P e V k 1 e q1 1 dovuti alle due cariche. ssendo V 0 < 0, V 1 > 0 e q 1 > q, anche il punto P dovrà avere ascissa positiva. Per non lavorare con i valori assoluti delle ascisse uguagliamo i quadrati dei potenziali q 1/ 3 m 0 q 1 P P P 1 16P 1 P 1/ 5 m P P Pertanto P = 1/3 m e Q / P = +3 P.9. Nei dintorni del punto O (origine degli assi cartesiani) dove si annulla, un campo elettrico è descritto in ogni punto P dalla relazione vettoriale ( P) OP con = 5 kv/m. Se P 1 e P sono due punti dell asse delle con ascisse 1 = cm e = 3 cm la differenza di potenziale V(P ) V(P 1 ) vale () 6.5 V () 1.5 V () 0 V (D) 6.5 V () 1.5 V SOLUZION. ome mostrato in figura, la forza elettrica in O è di tipo elastico (proporzionale al modulo del vettore spostamento e con verso opposto ad esso). pplicando la definizione di differenza di O Q P 1 P potenziale fra i punti P 1 e P appartenenti all asse, si ha: 1 1 O O V (P ) V (P 1) d d 1 6.5 V P 1 P La differenza di potenziale è positiva: per portare una carica positiva unitaria da P a P 1 il campo elettrico e il vettore spostamento sono paralleli ed equiversi; il lavoro è positivo..30. Le cariche +e e e (e = 1.6(10 19 ) ) sono poste nei tre vertici di un quadrato di lato L = (10 10 ) m come in figura. Il potenziale elettrico nel quarto vertice vale: () 7. V () 9.3 V () 4.65(10 10 ) V (D) 1.48 (10 10 ) V () 1.1(10 10 ) V +e e +e 0. nm SOLUZION. Il potenziale in è la somma dei potenziali dovuti a ciascuna carica. Il contributo V + delle due cariche positive vale mentre quello della carica negativa vale Dunque ( ) ( ).31. Se nel punto della figura dell esercizio precedente si porta una carica +e, l energia potenziale del sistema formato dalle quattro cariche vale: () 9.3 ev () 9.3 ev () 0 ev (D) 7. ev () 8.8 ev 1
Fisica generale II, a.a. 01/013 +e +e 0. nm SOLUZION. L energia potenziale elettrica di una carica q posta in un punto a potenziale elettrico V vale e l energia potenziale di un sistema di n cariche vale D e +e In ogni vertice del quadrato, il potenziale elettrico dovuto alle tre cariche poste negli altri vertici vale: ( ) ( ) ( ) e l energia potenziale del sistema di cariche è perciò [ ( ) ( ) ( )].3. Due protoni (m p = 1.67 (10 7 ) kg, q = 1.6(10 19 ) ) in un nucleo di nickel sono distanti circa d = 4(10 15 ) m. La loro energia potenziale vale (in MeV) () 3.9 () 0.576 () 1.44 (D) 0.36 () 0.157 SOLUZION. Il potenziale elettrico creato da un protone in un punto a distanza d vale L energia potenziale elettrica dei due protoni, pari al lavoro da compiere contro il campo elettrico per portare il secondo protone a distanza d dal primo, vale L energia potenziale gravitazionale del sistema è trascurabile in quanto inferiore a quella potenziale elettrica di circa 40 ordini di grandezza..33. Tre elettroni sono collocati ai vertici di un triangolo equilatero di lato L = 0. nm. Il potenziale elettrico nel baricentro del triangolo vale () 1.6 V () 37.4 V () 43. V (D) 4.9 V () 49.9 V M SOLUZION. Detto M il baricentro del triangolo, i tre elettroni distano da M H Quindi.34. Un lungo cavo coassiale ha come conduttore interno un cilindro di raggio R 1 = 0.1 cm e come conduttore esterno un cilindro cavo di raggio interno R = 0.3 cm ed esterno R 3 = 0.5 cm. Il conduttore interno porta una carica di densità lineare 1 = 5(10 6 ) /m mentre quello esterno porta una carica di densità = 5 (10 6 ) /m. La differenza di potenziale tra un punto a distanza d = 0.3 cm dall asse del cavo e un punto sull asse del cavo vale ()98.8 kv ()6.4 kv () 0 (D)31.4 kv () 13
Fisica generale II, a.a. 01/013 SOLUZION. Il filo conduttore interno e il cilindro esterno dividono lo spazio in tre regioni: a) tra filo interno e R int, b) tra R int e R et, c) regione esterna al cavo coassiale. Nella regione a), il filo interno è a potenziale costante e genera a distanza r un campo elettrico perpendicolare al proprio asse che vale in modulo R int Nella regione b), il campo elettrico è nullo poiché anche il cilindro è un conduttore a potenziale costante. Nella regione c) il campo è nullo perché 1 = La differenza di potenziale tra un punto a distanza d = 0.3 cm dall asse del cavo e un punto sull asse del cavo è dunque pari al lavoro compiuto dal campo elettrico generato dal cavo per spostare una carica unitaria positiva da un punto P di ascissa P = 0.3 cm a un punto Q sulla superficie esterna del cavo con Q = 0.1 cm: R et.35. Una carica q 1 = 1.75 (10 6 ) è nell origine di un sistema di riferimento e una carica q = 8.6 (10 7 ) è nel punto di ascissa = 0.75 m. Nel punto dell asse a metà tra le due cariche il potenziale elettrico vale ().14 (10 4 ) V () 5.46 10 4 V () 3.68 10 4 V (D).74 10 3 V () 8.9 10 3 V SOLUZION. Il punto medio M tra le due cariche ha ascissa M = 0.75/ = 0.375 m. Il potenziale in M vale:.36. Due cariche puntiformi q 1 = 10 7 e q = 10 7 sono poste alla distanza d = 1 cm. Il modulo del vettore momento di dipolo vale () 10 7 m () 10 9 m () 10 7 m (D) 10 5 m () 10 6 m SOLUZION. Il momento di dipolo è un vettore orientato dalla carica positiva alla carica negativa e il suo modulo è.37. Il dipolo del problema precedente è posto in un campo elettrico uniforme di modulo = (10 5 ) V/m diretto verso la direzione positiva dell asse ed è mantenuto nella direzione che forma un angolo di 30 con l asse. L energia potenziale del dipolo vale () 1.73(10 4 )J () 10 4 J () 1.73(10 4 )J (D) 10 4 J () Q + Q 30 SOLUZION. L angolo tra il momento di dipolo d e il campo elettrico è di 60, e l energia potenziale del dipolo vale 14
Fisica generale II, a.a. 01/013.38. Un dipolo elettrico, inizialmente orientato lungo l asse, è costituito da uno ione monovalente positivo, e = 1.6(10 19 ), e uno negativo (e) alla distanza d = 3(10 10 ) m. Il dipolo viene posto in un campo elettrico uniforme diretto verso la direzione positiva dell asse di modulo = (10 5 ) V/m. Se il dipolo può orientarsi nel campo elettrico la sua energia potenziale diminuisce di () ed () ed () ed/ (D) ed/3 () ed/4 e ed d/ e ed SOLUZION. L energia potenziale di un dipolo d in un campo elettrico è Inizialmente, dipolo e campo sono perpendicolari e l energia potenziale è nulla (cos() = 0). Il dipolo si orienterà in modo da minimizzare la propria energia potenziale (cos() = 1), disponendosi parallelamente al campo; l energia potenziale finale del dipolo è quindi e la diminuzione di energia potenziale è pertanto e d..39. Un dipolo elettrico è costituito da uno ione monovalente positivo e = 1.6(10 19 ), e da uno negativo e alla distanza d = 10 10 m. Il dipolo viene posto in un campo elettrico uniforme diretto verso la direzione positiva dell asse di modulo = (10 5 ) V/m dove si orienta parallelamente al campo. Per orientare il dipolo in modo che formi un angolo di 60 con la direzione positiva dell asse il campo in cui deve compiere un lavoro pari a ().77(10 4 )J () 1.6(10 4 )J ().77(10 4 )J (D) 3.(10 4 )J () SOLUZION. L aumento di energia potenziale del dipolo è uguale e opposto al lavoro compiuto dal campo:.40. In una regione dello spazio il potenziale elettrostatico è espresso dalla funzione V() = ( 3 6 +3) V. alcolare a) in quali punti il campo elettrico si annulla; b) in quale punto il campo elettrico è massimo; c) il valore massimo del campo elettrico. SOLUZION. alcoliamo il campo elettrico partendo dal potenziale: Per trovare i punti in cui = 0 risolviamo l equazione Per trovare in quale punto il campo elettrico è massimo, possiamo per esempio osservare che l espressione analitica del campo è quella di una parabola rivolta verso il basso con vertice V di coordinate Dunque il campo è massimo per = m e il suo valore è,ma ( = ) = 1 V/m. 15
Fisica generale II, a.a. 01/013.41. In una regione dello spazio il potenziale elettrostatico è dato da V(,,z) = (z4+z ) V. alcolare le componenti del campo elettrico nel punto P(1; ; 1) (coordinate in metri). SOLUZION. alcoliamo il campo elettrico partendo dal potenziale: Pertanto in P l espressione del campo è (in V/m).4. Il potenziale elettrico lungo la retta = a di un piano è descritto dalla funzione 1 1 9 V 1 1 V a a La componente del campo elettrico nel punto (0, a =0) vale (tutte le coordinate sono espresse in metri) () 0.57 V/m () 0.569 V/m () 1.61V/m (D) 6.36 V/m () 18.0 V/m SOLUZION. alcoliamo la componente del campo elettrico partendo dal potenziale. Per a = 0 l espressione del potenziale diventa ( ) ( ) Poichè il punto di interesse ha ascissa = 0 possiamo riscrivere V() eliminando i valori assoluti come e per il campo elettrico si ha quindi Pertanto nel punto di ascissa 0 il valore del campo è z.43. Nei punti di una data regione il potenziale è dato da V = a(+4 ), con a = 10 V/m. alcolare la carica contenuta in un cubo di lato L = 10 cm, disposto come in figura. (Suggerimento: usare la divergenza di ) SOLUZION. alcoliamo il campo elettrico partendo dal potenziale: dunque e la carica contenuta nel cubo è 16
Fisica generale II, a.a. 01/013.44. Il potenziale elettrico è nullo nel baricentro di un triangolo equilatero di lato L =1 cm e nei tre vertici,, della figura vale V 7 V, V = V, V = 9 V; se il campo elettrico è uniforme, la componente del campo elettrico è stimata essere () 0 kv/m () 1.1 kv/m ()1. kv/m (D)1. kv/m () 1.6 kv/m SOLUZION. alcoliamo la componente del campo elettrico partendo dal potenziale:.45. Tre cariche con il segno mostrato in figura e con Q = 10 6 sono fisse sull asse. La carica centrale è a una distanza d = 1 m dalle cariche laterali. Un corpo puntiforme, di carica q e massa m libero di muoversi normalmente all asse, si trova inizialmente nel punto di ordinata 0 = 1 m. La carica mobile () si muove verso la carica centrale fino a 0 +Q q Q +Q raggiungerla. () si allontana indefinitamente lungo l asse. d () sta ferma. (D) si allontana inizialmente dall asse delle ma poi torna nella posizione iniziale compiendo un moto oscillatorio. () si avvicina inizialmente all asse delle ma poi torna nella posizione iniziale compiendo un moto oscillatorio. SOLUZION. Quando la carica q è o vicina all'asse delle (<d) prevale la repulsione della carica negativa centrale; quando è molto lontana (>>d), prevale l attrazione essendo complessivamente la carica sull asse positiva. Poiché il campo elettrico cambia direzione, vi è certamente un punto di equilibrio lungo l asse delle dove il campo si annulla e in tale punto si potrebbe avere l equilibrio. Poiché per =d la forza è ancora repulsiva, la carica mobile inizialmente si allontana (risposte e D). Poiché p per =d l energia potenziale è negativa, la carica non può raggiungere l infinito dove il potenziale si annulla. Perciò la carica si allontana, torna indietro, si allontana di nuovo compiendo un moto oscillatorio. alcoliamo il punto di equilibrio lungo il semiasse positivo delle calcolando il potenziale lungo questo asse, derivandolo rispetto a per ottenere la componente e annullando tale derivata: d 1 dv 1 V Q d 3 d, d d 0 /3 d 3/ d 1.305d /3 1 17
Fisica generale II, a.a. 01/013.46. Una carica Q è al centro di un guscio sferico conduttore il cui raggio interno vale R i = 0.055 m e quello esterno R e = 0.075 m. Se il campo elettrico alla distanza d 1 = 1 m dalla carica Q vale in modulo = 345 N/ (diretto verso l esterno), il potenziale elettrico a d = 0.065 m dalla carica vale (in V) () 0 () 4600 () 5300 (D) 9800 () 11500 Q P P P P SOLUZION. alcoliamo prima la carica Q considerando che a distanza d 1 all esterno del guscio sferico, campo elettrico e potenziale sono quelli di una carica puntiforme nel centro della sfera Il potenziale in è perciò Il guscio è equipotenziale e il potenziale in P (a distanza d ) vale 4600 V. 18