Prova Intermedia Scritta di Ricerca Operativa (Prof. Fasano Giovanni) Università Ca Foscari Venezia - Sede di via Torino 29 novembre 2017 Regole per l esame: la violazione delle seguenti regole comporta il ritiro dell elaborato e l allontanamento dello studente dall aula È necessario rispondere alle domande e risolvere gli esercizi usando esclusivamente i fogli distribuiti dal docente. Ogni risposta/calcolo deve essere opportunamente motivata/o dallo studente. È indispensabile scrivere Nome-Cognome-Matricola sul presente foglio e su ciascun foglio contenente le risposte dello studente (i fogli privi di tale informazione saranno cestinati e non considerati per la valutazione). Il presente foglio deve poi essere firmato dallo studente: con tale firma lo studente consente la pubblicazione dell esito della prova sul sito di ateneo del docente. L elaborato deve essere completato in un tempo non superiore a 2h20. È vietato parlare durante la prova. È vietato usare durante la prova: testi, appunti, note, dispense, dispositivi cellulari, tablets, palmari, calcolatori/calcolatrici programmabili. Durante la prova non è possibile allontanarsi dall aula. Nome........................... Cognome......................... Matricola............ firma.......................
Esercizio 1 (6 punti) Durante il periodo natalizio l industria dolciaria Stevia s.r.l. prepara 3 tipi (tipo 1, 2, 3) di torrone, rispettivamente alle mandorle, nocciole e cioccolato, e ciascun torrone viene prodotto con due varietà (varietà 1 e 2) diverse, a seconda del tipo di zucchero impiegato. I tre tipi di torrone vengono venduti in un mercato di cui non è completamente nota la domanda, ma per la quale valgono le seguenti specifiche: il torrone al cioccolato va prodotto in quantità almeno pari alla somma delle quantità del torrone alle mandorle e di quello alle nocciole. Il torrone alle mandorle complessivamente prodotto non può eccedere in quantità il torrone alle nocciole; se si produce una varietà di torrone alle mandorle, allora non si può produrre torrone alle nocciole della medesima varietà, e viceversa: questo serve per evitare sovrapproduzioni e diminuire il reso invenduto; la quantità complessiva di torrone prodotta non deve eccedere i 7000 Kg, mentre la quantità complessiva di torrone alle nocciole deve essere di almeno 800 Kg; se si producono più di 1500 Kg di torrone alle mandorle, allora si rende necessario pagare un costo aggiuntivo di manutenzione pari a 250 Euro. Ciascun Kg di torrone, essendo artigianale, viene venduto al prezzo (Euro) di seguito riportato: Torrone alle mandorle 21,50 Torrone alle nocciole 19,30 Torrone al cioccolato 20,10 Si descriva un modello di PL/PLI per la minimizzazione dei costi di produzione dei torroni, il quale consenta di determinare il quantitativo di ciascuna varietà prodotta, per ognuno dei torroni. Per la scelta delle variabili possiamo usare la seguente: x ij = Kg di torrone di tipo i-simo, prodotti con varietà j-sima (i = 1, 2, 3, j = 1, 2) y 1j = z = { 1 se x1j > 0, j = 1, 2 0 altrimenti 1 se x 1j > 1500, 0 altrimenti, mentre per i vincoli e la funzione obiettivo risulta: min 21, 50 x 1j + 19, 30 x 2j + 20, 10 x 3j + 250z x 3j x 1j (x 1j + x 2j ) x 2j
x 1j My 1j, j = 1, 2, M 1 x 2j M(1 y 1j ), j = 1, 2 3 i=1 x ij 7000 x 2j 800 z x 1j 1500, M x ij 0, i = 1, 2, 3, j = 1, 2. Esercizio 2 (4 punti) Si dia la definizione di funzione lineare. Successivamente, data la funzione f : IR 3 IR 3, definita mediante la relazione f(z) = (3z 1, 2z 2, z 1 + z 2 ), si dica mediante verifica diretta se risulta lineare. La funzione f : IR n IR risulta lineare se soddisfa le seguenti due proprietà: f(x + y) = f(x) + f(y) x, y IR n f(αx) = αf(x) x IR n, α IR. Verifichiamo ora la linearità della funzione assegnata. Presi x = (x 1 x 2 x 3 ) T IR 3 e y = (y 1 y 2 y 3 ) T IR 3, risulta f(x + y) = (3(x 1 + y 1 ), 2(x 2 + y 2 ), (x 1 + y 1 ) + (x 2 + y 2 )) = (3x 1 + 3y 1, 2x 2 2y 2, x 1 + x 2 + y 1 + y 2 ) = (3x 1, 2x 2, x 1 + x 2 ) + (3y 1, 2y 2, y 1 + y 2 ) = f(x) + f(y) f(αx) = (3αx 1, 2αx 2, αx 1 + αx 2 ) = α(3x 1, 2x 2, x 1 + x 2 ) = αf(x) pertanto la funzione f(z) risulta lineare. Esercizio 3 (6 punti) Si dimostri che data la funzione f : IR n IR, convessa sull insieme A IR n, convesso, e la funzione g : IR n IR, concava sull insieme B IR n, convesso, allora la funzione h : IR n IR, con risulta convessa sull insieme A B. h(x) = 3f(x) 5g(x),
Intanto si noti che essendo A, B convessi allora risulta senz altro che l insieme intersezione A B è convesso. Inoltre, essendo g(x) concava su B, allora la funzione g(x) risulterà convessa su B. Infine, poichè la combinazione conica (ovvero la combinazione convessa a coefficienti non negativi) di funzioni convesse, sul medesimo insieme convesso, è ancora una funzione convessa, allora si avrà che h(x) è convessa su A B (in quanto combinazione lineare delle funzioni convesse f(x) e g(x), mediante i coefficienti positivi 3 e 5, rispettivamente). Esercizio 4 (5 punti) Si dia la definizione di derivata direzionale per la funzione f : IR n IR. Successivamente, data la funzione f : IR 3 IR, con f(x) = 3x 3 1 ln(x 2 2 + 1) + 2 x 3, si dica se ammette derivata direzionale nel punto di coordinate x = (1, 1, 1) T. Infine, se ne calcoli la derivata direzionale nel punto x = (1, 0, 1) T, lungo la direzione d = (2, 6, 3) T. Data la direzione d IR n \ {0} e la funzione f : IR n IR, definiamo derivata direzionale della funzione f, nel punto x, lungo la direzione d, il seguente limite (se esiste) f(x + αd) f(x) D(f, d) = lim. α 0 + α Nel caso f C 1 (IR n ) e d < + si ha anche D(f, d) = f(x) T d. In particolare, nel caso assegnato sarà per il gradiente di f(x) 9x 2 1 ln(x 2 2 + 1) 6x 3 1x 2 f(x) = x 2 2 + 1 2 x 2 3 che risulta senz altro continuo in un intorno dei punti x = (1, 1, 1) T, x = (1, 0, 1) T. Pertanto, per d < +, in entrambi i punti la f(x) ammette derivata direzionale. Infine sarà nel punto x = (1, 0, 1) T, f(x) = (0 0 2) T e quindi D(f, d) = 6. Esercizio 5 (4 punti) Si determini in IR 3 il numero massimo (possibile) di vertici del seguente poliedro. Successivamente, si determinino tali vertici (se esistono). 2x 1 + x 3 5 x 3 4 x 2 + x 3 + x 4 = 2 x 2 x 3 6
Essendo n = 4 ed m = 4, il massimo numero possibile di vertici del poliedro sarà non superiore a m! n!(m n)! = 4! 4! = 1. Basterà pertanto considerare il seguente sistema di uguaglianze: 2x 1 + x 3 = 5 x 3 = 4 x 2 + x 3 + x 4 = 2 x 2 x 3 = 6 che fornisce il punto P = 9/2 10 4 16 Verifichiamo se tale punto, oltre a soddisfare i 4 vincoli rende non nullo anche il segente determinante 2 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1. 0 1 1 0 Si ha 2 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 = 2 0 1 0 1 1 1 1 1 0. = 2 1 1 1 0 = 2 0, pertanto il punto P rappresenta l unico vertice del poliedro assegnato. Esercizio 6 (6 punti) Sia data la funzione f : IR n IR, l insieme A IR n ed i parametri λ > 0, µ IR. Dimostrare che i minimi locali [globali] del problema min x A f(x) coincidono con i massimi locali [globali] del problema min λf(x) + µ. x A Sia x IR n un minimo locale del problema min x A f(x). Pertanto si ha anche f(x ) f(x), x A I(x, ρ), ρ > 0. Moltiplicando quest ultima disuguaglianza per λ (< 0) ed aggiungendo µ ad entrambi i membri, si avrà λf(x ) + µ λf(x) + µ, x A I(x, ρ), ρ > 0, ovvero il punto x rappresenta un massimo locale su A della funzione λf(x) + µ. Si ottiene una dimostrazione simile per un minimo globale di f(x) su A, omettendo semplicemente di indicare l intersezione con l intorno I(x, ρ).