Matching. Definizioni Definizione. (Matching di un grafo G = (N, A)) Il matching di un grafo è un sottoinsieme M di archi tali per cui nessuna coppia di essi condivida lo stesso nodo. Definizione.2 (Matching completo) Il matching completo è un matching M N il cui numero di archi (cardinalità) è M = (cioè la massima cardinalità 2 possibile). Definizione.3 (Arco accoppiato) Un arco è accoppiato se è appartenente al matching M. Definizione.4 (Arco libero) Un arco è libero se non è accoppiato. Definizione.5 (Vertice esposto) Un vertice esposto è un vertice non incidente con archi accoppiati. Definizione.6 (Vertice accoppiato) Un vertice accoppiato è un vertice non esposto, cioè incidente con un arco accoppiato. Definizione.7 (Cammino alternante) Un cammino alternante è un cammino p = [u, u 2,..., u 2k ] tale per cui gli archi [u, u 2 ]... [u 2k, u 2k ] siano liberi e gli archi [u 2, u 3 ]... [u 2k 2, u 2k ] siano accoppiati. Definizione.8 (Vertice esterno (outer)) Un vertice esterno è un vertice di posizione dispari di un cammino alternante p che cominci con un vertice esposto. Definizione.9 (Vertice interno (inner)) Un vertice interno è un vertice di posizione pari di un cammino alternante p che comincia con un vertice esposto. Definizione.0 (Cammino aumentante) Un cammino aumentante è un cammino p = [u, u 2,..., u 2k ] alternante dove u e u 2k sono esposti.
R. Tadei - F. Della Croce - Ricerca Operativa e Ottimizzazione.. Algoritmo per la ricerca del massimo matching La motivazione dell attributo aumentante dell ultima definizione è dovuta al seguente lemma Lemma. Sia P l insieme degli archi di un cammino alternante p = [u, u 2,..., u 2k ] rispetto ad un matching M. Allora M = M P è un matching di cardinalità M +. Dimostrazione Si ricorda che M P = (M P ) (P M) = (M P ) (M P ). Dimostriamo dapprima che M P sia un matching. Supponiamo per assurdo che M P non lo sia, cioè che due archi e, e incidano lo stesso nodo. Siccome M P = (M P ) (P M) abbiamo tre possibilità. e, e M P 2. e, e P M 3. e M P e P M Nel primo caso avremmo che due archi in M incidono lo stesso nodo, contro l ipotesi iniziali in quanto M è un matching. Nel secondo caso, tutti gli archi appartenenti a P M sono della forma [u 2j, u 2j ] e quindi due di essi non possono incidere sullo stesso vertice. Nel terzo caso supponiamo che un arco e = [u 2j, u 2j ] P M abbia un nodo in comune con un altro arco e M P ; assumiamo, per esempio, che tale nodo sia u 2j : ma u 2j è un vertice dell arco e = [u 2j, u 2j+ ] M e quindi i due archi e e e appartenenti a M hanno in comune un nodo, contro le ipotesi. Se ne conclude che M è un matching; inoltre P = 2k di cui k sono liberi ([u, u 2 ], [u 3, u 4 ],..., [u 2k, u k2 ] e k appartengono a M: da ciò si ottiene che M = M P = M + P 2 P M = M + 2k 2 (k ) = M +. Dal lemma precedente deriva il seguente Teorema.2 Un matching M in un grafo G = (N, A) è massimo se e solo se non esiste alcun cammino aumentante in G = (N, A) rispetto a M. Dimostrazione L implicazione matching massimo = non esiste cammino aumentante segue direttamente dal lemma.. Dimostriamo ora l implicazione inversa (non esiste cammino aumentante = matching massimo). Supponiamo per assurdo che il matching M non sia massimo, cioè che esista una matching M tale che M > M. Consideriamo gli archi in M M ; questi archi formano un sottografo di G. Siccome gli archi di un matching non possono incidere sullo stesso nodo, il sottografo 2 Progetto Leonardo Editrice Esculapio Bologna
Capitolo I Matching G (V, M M ) è tale per cui i suoi vertici non abbiano più di due archi incidenti. Se il numero di tali archi è due allora uno appartiene a M e l altro a M. Se ne deduce che tutte le componenti connesse di G sono dei cammini o dei circuiti di lunghezza pari. Siccome M > M deve verificarsi il caso in cui uno dei cammini abbia più archi appartenenti a M : questo comporta l esistenza di un cammino aumentante, contro l ipotesi. I passi dell algoritmo sono i seguenti. Porre M = { }. 2. Cercare un cammino aumentante. Se esso non esiste, STOP; il matching è massimo. 3. Aggiornare il matching corrente applicando il lemma.: Ritornare al passo 2. M {[u, u 2 ]... [u 2k, u 2k ]} \ {[u 2, u 3 ]... [u 2k 2, u 2k ]}. Si dimostra che la complessità di questo algoritmo applicato ad un grafo bipartito B (N, N 2, A) è O (min { N, N 2 } A ). Algoritmo Ungherese per il problema dell assegnamento L ultimo lemma presentato viene fortemente utilizzato dall algoritmo ungherese, che modifica progressivamente la matrice C dei costi tramite somme e sottrazioni di costanti sulle righe e sulle colonne. Questi aggiornamenti della matrice dei costi vengono fatti in modo tale da garantire sempre costi non negativi e cercando contemporaneamente di aumentare gli elementi nulli (e conseguentemente gli accoppiamenti di costo nullo) sino a raggiungere la soluzione ottima, consistente appunto in n accoppiamenti di costo nullo. I passi dell algoritmo. Analizzare la matrice C per trovare il valore minimo di ciascuna riga e sottrarre tale valore ad ogni elemento della riga: in questo modo si aggiorna la matrice C il cui generico elemento vale ora c ij = c ij min j c ij i =,..., n. 2. Analizzare la matrice C per trovare il valore minimo di ciascuna colonna e sottrarre tale valore ad ogni elemento della colonna: in questo modo si aggiorna nuovamente la matrice C il cui generico elemento vale ora c ij = c ij min i c ij j =,..., n. 3
R. Tadei - F. Della Croce - Ricerca Operativa e Ottimizzazione 3. Sia dato il grafo bipartito B = (N, N 2, A), in cui N e N 2 corrispondono rispettivamente alle righe ed alle colonne della matrice C e A sia formato dall insieme di coppie (i, j) tali che c ij = 0. Verificare, con l algoritmo per la ricerca del massimo matching, se esiste un matching completo, ossia se ci sono n accoppiamenti di costo nullo, uno per ogni riga e per ogni colonna, sulla matrice C. Se è così, STOP. 4. Applicare alla matrice C la procedura U (updating) per aggiornarla e tornare al passo 3. Procedura U. Considerare la matrice C reinizializzata, ossia con tutte le righe e le colonne non barrate. 2. Etichettare tutte le righe che non sono state accoppiate dall algoritmo per la ricerca del massimo matching. 3. Etichettare le colonne che hanno degli 0 in corrispondenza delle righe etichettate. 4. Etichettare le righe che sono state accoppiate, dall algoritmo per la ricerca del massimo matching, con le colonne etichettate. 5. Ripetere i passi 2 e 3 finché non ci sono più righe o colonne da etichettare. 6. Barrare ogni riga non etichettata ed ogni colonna etichettata. 7. Trovare il minimo tra gli elementi non barrati della matrice ed indicarlo con δ. 8. Sottrarre il valore δ agli elementi non barrati ed aggiungere δ a quelli barrati sia per riga che per colonna. 9. La matrice così ottenuta è la nuova matrice C. Si noti che alla fine del passo 5, se tutto è stato eseguito correttamente, ogni zero deve essere barrato e la somma del numero di righe e di colonne barrate deve essere pari al numero degli accoppiamenti ottenuti dall algoritmo per la ricerca del massimo matching. Esempio. Si risolva il problema di assegnamento caratterizzato dalla seguente matrice dei costi 2 3 4 A 8 5 2 B 4 7 7 5 C 3 5 4 2 D 3 6 3 Applichiamo i passi dell algoritmo ungherese 4 Progetto Leonardo Editrice Esculapio Bologna
Capitolo I Matching. 2. 2 3 4 A 0 7 4 B 0 3 3 C 3 2 0 D 2 0 5 2 2 3 4 A 0 7 2 B 0 3 C 3 0 0 D 2 0 3 2 3. Ricerca del massimo matching A B C D 2 3 4 4. Visto che il matching non è completo, ossia la soluzione non è ottima, applichiamo la procedura U per aggiornare la matrice C 2 3 4 A 0 7 2 B 0 3 C 3 0 0 D 2 0 3 2 La matrice aggiornata è la seguente δ = min (7, 2,, 3,, ) = 2 3 4 A 0 6 0 B 0 2 0 0 C 2 3 0 0 D 3 0 3 2 5
R. Tadei - F. Della Croce - Ricerca Operativa e Ottimizzazione 3. Ricerca del massimo matching A B C D 2 3 4 La soluzione è ottima (matching completo) ed è data dagli accoppiamenti A, B 3, C 4, D 2, mentre il valore della funzione obiettivo è. 6 Progetto Leonardo Editrice Esculapio Bologna