Università di Modena e Reggio Emilia Facoltà di Scienze MM.FF.NN. PROVA DI ALGEBRA LINEARE (esercitazione del 18 gennaio 2011) ISTRUZIONI PER LO SVOLGIMENTO. Scrivere cognome, nome, numero di matricola in alto a destra su ciascuno dei fogli allegati e anche su eventuali fogli aggiuntivi che verranno utilizzati Il tempo a disposizione per lo svolgimento è di centoventi minuti dal via. Il punteggio totale a disposizione è di 100 punti. Il punteggio di ciascun quesito/esercizio è indicato a fianco dello stesso. Scrivere esplicitamente i calcoli o comunque motivare le risposte: utilizzare eventualmente fogli aggiuntivi 1. [10 punti] Calcolare il rango della seguente matrice: 0 2 6 4 2 5 0 1 3 2 1 5 0 3 9 6 3 0 2. [20 punti] Risolvere il seguente sistema di equazioni lineari al variare del parametro reale m: mx Y +2mZ = 1 X my +Z = m + 2 X +Y Z = 0 3. [15 punti] Siano V, W spazi vettoriali sul campo K e sia F : V W una funzione lineare. Siano z 1, z 2, z 3, z 4 vettori linearmente indipendenti di F (V ). Siano w 1 = z 1 z 2, w 2 = z 1 z 2 z 3, w 3 = z 1 z 2 z 3 z 4, w 4 = z 1 Siano v 1, v 2, v 3, v 4 vettori di V tali che risulti F (v 1 ) = w 1, F (v 2 ) = w 2, F (v 3 ) = w 3, F (v 4 ) = w 4. i) Stabilire se i vettori w 1, w 2, w 3, w 4 sono linearmente dipendenti o indipendenti. ii) Stabilire se i vettori v 1, v 2, v 3, v 4 sono linearmente dipendenti o indipendenti. 4. [15 punti] Sia AX = b un sistema compatibile di equazioni lineari in cinque incognite a coefficienti reali. Sia (1, 1, 2, 1, 1) una soluzione del sistema. Sia {(0, 1, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 2, 0)} una base per l insieme Σ 0 delle soluzioni del sistema omogeneo associato AX = 0. Trovare l insieme Σ di tutte le soluzioni del sistema. Stabilire, inoltre, se (1, 2, 3, 3, 2) Σ 5. [15 punti] Siano F, G : V V operatori lineari dello spazio vettoriale V. Supponiamo esista un vettore u di V tale che u è autovettore di F relativo all autovalore λ = 4; u è autovettore di G relativo all autovalore λ = 6.
Trovare un autovettore e relativo autovalore dell operatore lineare F 2 3G. 6. [15 punti] Trovare un sottospazio vettoriale W di R 4 tale che risulti R 4 = U W dove U = {(x, y, z, t) R 4 : x + z = 0, x t = 0}. 7. [10 punti] Calcolare il determinante della seguente matrice 1 0 1 5 3 2 1 2 1 2 2 3 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 3 2 0 SOLUZIONI 1. Trasformo la matrice assegnata in una matrice a gradini mediante operazioni elementari sulle righe. 0 2 6 4 2 5 0 1 3 2 1 5 0 3 9 6 3 0 Sottraggo il doppio della prima riga dalla seconda riga; poi sottraggo la prima riga dalla terza riga; infine sottraggo il triplo della prima riga dalla quarta riga: 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 3 0 0 0 0 0 6 Scambio la seconda riga con la terza: 0 0 0 0 2 3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 6 Sommo alla quarta riga la terza riga moltiplicata per 6: 0 0 0 0 2 3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Abbiamo ottenuto una matrice a gradini con tre righe non nulle, pertanto il rango della matrice è uguale a 3. 2. Il sistema si presenta come un sistema di tre quazioni lineari in tre incognite. La matrice incompleta del sistema è m 1 2m A = 1 m 1 1 1 1 Calcolo il determinante di A: det(a) = m 1 2m 1 m 1 1 1 1
Sommo la terza colonna alla prima, poi sommo la terza colonna alla seconda: 3m 2m 1 2m det(a) = 2 1 m 1 0 0 1 Sviluppo questo determinante secondo la regola di Laplace rispetto alla terza riga: det(a) = ( 1) 3m 2m 1 2 1 m = [3m(1 m) 2(2m 1)] = 3m2 + m 2 Le radici del polinomio 3m 2 + m 2 sono m = 2/3 e m = 1. Pertanto per m 1, 2/3 il sistema è di Cramer con unica soluzione data da: 1 1 2m m 1 2m m 1 1 m + 2 m 1 1 m + 2 1 1 m m + 2 0 1 1 1 0 1 1 1 0 X =, Y =, Z =. 3m 2 + m 2 3m 2 + m 2 3m 2 + m 2 Sviluppando i determinanti otteniamo X = 2m2 + 4m 3 3m 2 + m 2, Y = 3m2 6m + 2 (m + 1)2, Z = 3m 2 + m 2 3m 2 + m 2. m = 1 La matrice completa diventa: 1 1 2 1 1 1 1 1 Sommo la prima riga alla seconda, poi sommo la prima riga alla terza: 1 1 2 1 0 0 1 2 0 0 3 1 Sommo alla terza riga la seconda riga moltiplicata per 3: 1 1 2 1 0 0 1 2 0 0 0 5 L ultima riga mostra che il sistema è incompatibile. m = 2/3 La matrice completa diventa: 2/3 1 4/3 1 1 2/3 1 8/3 Sottraggo la terza riga dalla seconda, poi sommo alla prima riga la terza riga moltiplicata per 2/3: 0 5/3 2 1 0 5/3 2 8/3
Sottraggo la seconda riga dalla prima: 0 0 0 5/3 0 5/3 2 8/3 La prima riga mostra che il sistema è incompatibile. 3. i) verifico se i vettori w 1, w 2, w 3, w 4 sono linearmente indipendenti. Questi vettori appartengono tutti al sottospazio vettoriale Z di W generato da z 1, z 2, z 3, z 4. Costruisco la matrice le cui colonne esprimono le componenti di questi vettori rispetto alla base di Z formata dai vettori z 1, z 2, z 3, z 4. M = 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 Calcolo il determinante di M, sviluppando secondo la regola di Laplace rispetto alla quarta colonna. Si ottiene 1 1 1 det(m) = 0 1 1 0 0 1 = ( 1)3 = 1 0 Pertanto i vettori w 1, w 2, w 3, w 4 sono linearmente indipendenti. ii) Se α 1, α 2, α 3, α 4 sono numeri reali tali che risulti α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3 + α 4 v 4 = 0, allora risulta anche F (α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3 + α 4 v 4 ) = F (0) Per la linearità di F e sapendo che F (0) = 0 otteniamo α 1 F (v 1 ) + α 2 F (v 2 ) + α 3 F (v 3 ) + α 4 F (v 4 ) = 0 α 1 W 1 + α 2 W 2 + α 3 W 3 + α 4 W 4 = 0 Avendo già visto al punto i) che i vettori w 1, w 2, w 3, w 4 sono linearmente indipendenti, dalla relazione precedente segue necessariamente α 1 = α 2 = α 3 = α 4 = 0. Pertanto anche i vettori v 1, v 2, v 3, v 4 risultano linearmente indipendenti. 4. Abbiamo Σ 0 = {λ(0, 1, 0, 0, 1) + µ(0, 0, 1, 2, 0) : λ, µ R} = {(0, λ, µ, 2µ, λ) : λ, µ R} Dunque (0, λ, µ, 2µ, λ) è la soluzione generale del sistema omogeneo associato. Da un teorema sappiamo che la soluzione generale del sistema non omogeneo (compatibile) si ottiene sommando a una soluzione particolare che nel nostro caso è (1, 1, 2, 1, 1) la soluzione generale del sistema omogeneo associato. Abbiamo pertanto Σ = {(1, 1, 2, 1, 1) + (0, λ, µ, 2µ, λ) : λ, µ R} = {(1, 1 + λ, 2 + µ, 1 + 2µ, 1 + λ) : λ, µ R} Vediamo se (1, 2, 3, 3, 2) Σ imponendo (1, 2, 3, 3, 2) = (1, 1 + λ, 2 + µ, 1 + 2µ, 1 + λ) e ottenendo il seguente sistema di equazioni lineari nelle incognite λ e µ. 1 = 1 2 = 1 + λ 3 = 2 + µ 3 = 1 + 2µ 2 = 1 + λ
Questo sistema risulta compatibile, ammettendo la soluzione λ = 1, µ = 1. Pertanto risulta (1, 2, 3, 3, 2) Σ 5. Abbiamo F (u) = 4u, G(u) = 6u. Calcoliamo F 2 (u) = F (F (u)) = F (4u) = 4F (u) = 4(4u) = 16u 3G(u) = 3(6u) = 18u (F 2 3G)(u) = F 2 (u) 3G(u) = 16u 18u = 2u Otteniamo dunque che u è un autovettore dell operatore lineare F 2 3G relativo all autovalore 2. 6. Il sottospazio vettoriale U risulta essere l insieme delle soluzioni del sistema omogeneo di equazioni lineari { x +z = 0 x t = 0 che è compatibile di rango 2. Scelte y e t come variabili libere abbiamo U = {(x, y, x, x) : x, y R} quindi dim(u) = 2 e otteniamo una base di U ponendo nell ordine x = 1, y = 0 ottenendo il vettore u 1 = (1, 0, 1, 1), x = 0, y = 1 ottenendo il vettore u 2 = (0, 1, 0, 0). Posto u 3 = (0, 0, 1, 0), u 4 = (0, 0, 0, 1) e considerando la matrice L avente per righe i vettori u 1, u 2, u 3, u 4, abbiamo L = 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Pertanto L, essendo una matrice a gradini con quattro righe non nulle, ha rango 4; i vettori u 1, u 2, u 3, u 4 formano una base di R 4 e quindi risulta anche R 4 = u 1, u 2 u 3, u 4 Ponendo W = u 3, u 4 abbiamo dunque R 4 = U W. 7. Calcoliamo 1 0 1 5 3 2 1 2 1 2 2 3 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 3 2 0 Sommo la quinta colonna a ciascuna delle prime quattro colonne: 2 3 4 2 3 4 1 4 1 2 2 3 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 3 2 0 Sviluppando secondo la regola di Laplace rispetto alla quarta riga si ottiene: 2 3 4 2 1 3 4 2 ( 1) 4 1 4 1 2 3 1 0 = ( 1)2 2 1 4 1 1 3 1 0 0 1 3 2 0 1 3 2
Alla seconda riga sommo la prima moltiplicata per 2. Poi dalla terza riga sottraggo la prima: 1 3 4 2 2 0 5 4 5 0 6 5 2 0 1 3 2 Sviluppando secondo la regola di Laplace rispetto alla prima colonna abbiamo: 5 4 5 ( 2)( 1) 6 5 2 1 3 2 = 2 5 4 0 6 5 4 1 3 3 = 2( 5 5 4 3 3 + 4 6 4 1 3 ) = 2( 15 + 56). Pertanto il determinante risulta uguale a 82.