Logica matematica e problem solving & Cos è il problem solving? Per fornire un idea di facile e immediata comprensione, si potrebbe dire che il problem solving è la capacità di risolvere problemi, non necessariamente, o non esclusivamente, matematici, ma anche pratici, o interpersonali, o di natura psicologica. Secondo una definizione più sofisticata della precedente, il problem solving è la capacità di ricercare, esplorare ed analizzare tutti i dati, necessari, o superflui, o alternativi che siano, organizzandoli e schematizzandoli in modo opportuno, per formulare percorsi di risoluzione attraverso format di sintesi logica. In altri termini, il problem solving è una metodologia che rimanda ad attività in cui prevale il pensare, il ragionare, il fare ipotesi ed operare scelte, avvalendosi di un adeguata gestione delle informazioni, più che dell applicazione sterile di procedimenti meccanici volti alla risoluzione di semplici calcoli: attività che valorizzano l instaurarsi di quelle competenze trasversali ai diversi contesti disciplinari, considerate essenziali per un inserimento attivo e consapevole dei giovani nella società. In particolare, per quanto riguarda l ambito concorsuale, i quesiti di problem solving assegnati sono quelli in cui non basta aver compreso una nozione (definizione, formula, enunciato, etc.), ma bisogna anche saper riconoscere la nozione quando compare in un contesto diverso da quello in cui è stata studiata: per risolvere un quiz di problem solving, infatti, è necessario riconoscere e impostare i problemi, selezionando le informazioni opportune, individuando gli strumenti matematici più adatti, schematizzando e rappresentando i dati e le situazioni proposte. In realtà, una serie di quiz di problem solving sono stati già analizzati nei capitoli precedenti. Le domande che avrai modo di analizzare in questo capitolo sono principalmente legate a nozioni di matematica, ovvero sono quesiti in cui risulta essenziale saper eseguire calcoli simbolici e saper tradurre in termini di calcolo letterale una situazione espressa verbalmente e viceversa. Esempio n. 1 Un automobile parte da un semaforo e viaggia con velocità costante di 40 km/h. Nell istante in cui essa ha percorso 0.2 km un altra automobile, che viaggia alla velocità costante di 60 km/h, passa per lo stesso semaforo. Dopo quanto tempo in secondi la seconda automobile raggiunge la prima? A 36 B 72 C 24 D 18 E 12 Il quiz proposto appartiene alla categoria dei quiz inerenti lo spazio, la velocità e il tempo, grandezze legate dalla equazione s = v t, ovvero, nell ipotesi che la velocità sia costante, lo spazio percorso è uguale al prodotto tra la velocità e il tempo (1). (1) Puoi anche notare che spazio e velocità sono direttamente proporzionali, ovvero, fissato il tempo, se raddoppia, o triplica, o quadruplica, etc., la velocità, allora raddoppia, o triplica, o quadruplica, etc., lo spazio percorso, e viceversa.
Logica matematica e ragionamento numerico 456 In caso il quiz chieda di determinare la velocità, puoi applicare la formula inversa, ovvero v = s t, oppure se il quiz chiede di determinare il tempo, come nel quiz proposto, puoi applicare l altra formula inversa (2), ovvero t = s v. Nell esempio n. 1 lo spazio, ovvero la distanza iniziale tra le due automobili, equivale a 0,2 Km; come velocità devi considerare la differenza tra le velocità delle due automobili, ovvero 60 40 = 20 km/h. Quindi il tempo che impiega la seconda automobile a raggiungere la prima è: t = s v = 0,2 20 = 2 10 20 = 1 2 10 1 = 1 20 10 100 h. Dall espressione precedente deduci che la seconda automobile impiega un centesimo di ora a raggiungere la prima automobile. Poiché 1 ora equivale a 3600 secondi (3), un centesimo di ora 1 è uguale a: 100 h = 1 36 00s = 36s. 100 Nel quiz proposto la velocità è stata determinata sottraendo la velocità delle due automobili perché entrambe procedevano nella stessa direzione. In altri quiz, sono proposte automobili, o persone, o animali, etc. che procedono l una verso l altra o, viceversa, che procedono in direzioni opposte: in questi casi le velocità vanno sommate, come mostrato nell illustrazione seguente. Esempio n. 2 6 operaie confezionano 120 paia di guanti in 20 giorni. Quanti giorni occorrono a 3 operaie per confezionare 30 paia di guanti dello stesso tipo? A 12 B 20 C 18 D 30 E 10! (2) Dalle formule inverse noti che velocità e tempo sono due grandezze inversamente proporzionali, ovvero, fissata una certa distanza (s), se raddoppia, o triplica, etc., la velocità, allora il tempo necessario a percorrere la distanza stabilita dimezza, o si riduce ad un terzo, etc. (3) Un ora è uguale a 60 minuti; ogni minuto è costituito da 60 secondi, quindi un ora è costituita da 60 60 = 3.600 secondi. Può tornarti utile, inoltre, ricordare che 1 secondo è uguale alla sessantesima parte del minuto, ovvero 1s = 1 min, e alla 60 tremilaseicentesima parte dell ora, ovvero 1s = 1 h, oppure che 1 minuto equivale alla sessantesima parte dell ora, ovvero 1min = 1 60 3600 h.
457 Logica matematica e problem solving& Il quiz proposto è un esempio di problema di lavoro in cui ci sono una o più persone (o una o più macchine, o uno o più animali, etc.) che realizzano una o più attività (o oggetti, o altro) in un determinato intervallo di tempo. Per risolverlo, puoi adottare la strategia seguente: 1 step: determina il numero di cose fatte da 1 persona (o da un animale, o da 1 macchina, etc.) nell unità di tempo, ovvero: n di cose fatte nell'unità 1 1 di tempo da 1 persona (o da 1 = n cose fatte animale, o da 1 macchina,...) n persone (o animali, tempo o macchine,...) 2 step: se il quiz chiede quanto tempo è necessario ad un determinato numero di persone (o di animali, o di macchine, etc.) per realizzare la quantità di lavoro suggerita, applica la formula seguente: n di cose da fare tempo = (n di cose fatte nell'unità di tempo) (n di persone (o animali, o cose,...)) ; se il quiz chiede quante persone (o animali, o cose, etc.) sono necessarie per realizzare la quantità di lavoro suggerita nell intervallo di tempo indicato, applica la formula seguente: n di cose da fare n di persone = (n di cose fatte nell'unità di tempo) tempo indicato ; se il quiz chiede quante cose riescono a fare nell intervallo di tempo suggerito le persone (o animali, o cose, etc.) indicate nella traccia, applica la formula seguente: n di cose fatte = n di cose fatte nell unità di tempo n di persone tempo indicato. Nella risoluzione dell esempio proposto, sapendo che 6 operaie confezionano 120 paia di guanti in 20 giorni, procedi con lo step n. 1, ovvero: n di cose fatte da 1 operaia in un giorno = 1 6 1 1 1 120 120 = = 120 = 1 ovvero 1 operaia in un giorno realizza 1 paio di guanti; 20 6 20 120 poiché il quiz chiede quanti giorni (quindi chiede il TEMPO) occorrano a 3 operaie per confezionare 30 paia di guanti dello stesso tipo, procedi con lo step n. 2: 30 guanti tempo = = 10 giorni. 1 3 operaie Un altra tipologia frequente di quiz di lavoro è quella in cui ci sono due o più persone (o animali, o macchine, etc.) che eseguono lo stesso lavoro impiegando tempi diversi: in questo caso bisogna determinare in quanto tempo il lavoro verrebbe eseguito se le persone (o gli animali, o le macchine, etc.) lavorassero insieme, come mostrato nell esempio seguente. Esempio n. 3 Tre falegnami costruiscono un tavolo rispettivamente in quattro, cinque e dieci giorni. Quanto tempo impiegano a costruire 11 tavoli lavorando insieme? A 30 giorni B 40 giorni
Logica matematica e ragionamento numerico 458 C 10 giorni D 11 giorni E 20 giorni Ci sono tre falegnami. Ciascuno di essi realizza un tavolo, impiegando tempi diversi: il primo falegname impiega 4 giorni, il secondo impiega 5 giorni, il terzo impiega 10 giorni. Anche in questa tipologia di quesiti ci sono 2 step da seguire: 1 step: somma gli inversi dei tempi (ovvero l inverso del tempo impiegato dal 1 falegname + l inverso del tempo impiegato dal 2 falegname + l inverso del tempo impiegato dal 3 falegname): 1 4 + 1 5 + 1 5+ 4+2 = = 11 10 20 20 ; 2 step: considera l inverso del risultato ottenuto nello step precedente, ovvero 20, che esprime l intervallo di tempo impiegato dai tre falegnami per realizzare un tavolo, lavorando in- 11 sieme (in altri termini i tre falegnami, lavorando insieme, impiegherebbero 20/11 di giorno, quindi circa 2 giorni, a realizzare il tavolo). Poiché il quiz chiede il numero di giorni impiegato dai tre falegnami per realizzare 11 tavoli, per determinare la soluzione sarà sufficiente moltiplicare 20, ovvero il tempo impiegato per realizzare un singolo tavolo, per 11, ottenendo 20 11 = 20. 11 11 Esempio n. 4 Il serbatoio di una stampante a getto d inchiostro è completamente pieno. Dopo che è stata effettuata la stampa della tesi di uno studente, è pieno per 3/5. La stampa di un tema di un altro studente consuma 20 cc e lascia il serbatoio pieno per 2/5. Qual è la capacità complessiva del serbatoio? A 120 cc B 100 cc C 80 cc D 60 cc E 50 cc La stampa del tema determina un consumo di inchiostro tale che il serbatoio della stampante passa da un livello di 3/5 ad uno di 2/5, ovvero il consumo di inchiostro per la stampa del tema è stato pari ad 1/5 del contenuto del serbatoio. Poiché nella traccia si dice che il consumo di inchiostro per la stampa del tema è stato pari a 20 cc, intuisci che 1/5 del serbatoio della stampante equivale a 20 cc di inchiostro. Se 1/5 equivale a 20 cc, allora il contenuto del serbatoio è pari a 20 per l inverso della frazione, ovvero a 20 5 1 = 100 cc. Il quiz proposto è stato risolto mediante l applicazione di semplici conoscenze aritmetiche, che è necessario applicare frequentemente nelle sezioni di problem solving, come mostrato anche nell esempio seguente.
459 Logica matematica e problem solving& Esempio n. 5 Un gruppetto di scoiattoli accantonano 10 noccioline il primo giorno del mese, 20 il secondo, 30 il terzo e così via per tutto un mese. Alla fine del trentesimo giorno quante noccioline hanno accumulato in totale? A 4500 B 4650 C 9300 D 15000 E 16500 Si tratta di una somma sequenziale, ovvero dovresti sommare 10 + 20 + 30 + 40 + fino ad arrivare a + 300 : è evidente che il procedimento, per quanto semplice in quanto si tratta di eseguire somme agevoli, richiederebbe troppo tempo per svolgerlo nella sua interezza. In situazioni analoghe a quella proposta devi pensare a delle scorciatoie che ti consentano di individuare la soluzione più rapidamente: ad esempio, nel quiz proposto puoi notare che sommando il primo e l ultimo addendo, ovvero sommando 10 e 300, ottieni 310, ma anche sommando il secondo (20) e il penultimo (290) addendo ottieni 310, oppure sommando il terzo (30) e il terzultimo (280) addendo ottieni 310, etc. Quindi, considerando gli addendi a coppie, moltiplicando il risultato della somma dei due termini di una coppia per il numero di coppie che si possono formare è possibile determinare il risultato riducendo sensibilmente i calcoli da svolgere. Quante coppie si formano? Il numero delle coppie è uguale al numero di addendi diviso 2: nell esempio proposto, gli addendi sono 30 e 30: 2 = 15. Quindi il risultato della somma sequenziale è uguale a 310 15 = 4.650. Più in generale, se il quiz assegnato ti chiede di determinare il risultato di una somma sequenziale, puoi applicare la formula S = n 2 ( n +n i f ) dove S indica il risultato della somma effettuata, n indica il numero di addendi, n i indica il valore del primo addendo e n f indica il valore dell ultimo addendo. Presta attenzione, però, a non confondere le somme sequenziali con quiz analoghi al seguente. Esempio n. 6 In una gara ciclistica è presente un tratto di strada in discesa. Un ciclista raddoppia il tratto di strada percorso ogni secondo; in 20 secondi arriva a percorrere tutto il tratto. Quanti secondi impiega per percorrere la metà? A 10 B 19 C 2 D 11 E Dipende dalla lunghezza del tratto in discesa Poiché il ciclista raddoppia il tratto di strada percorso ogni secondo, l andamento del fenomeno descritto è esponenziale e non sequenziale (4). Per semplicità, supponi che il ciclista abbia im- (4) In un fenomeno con andamento sequenziale, l intervallo tra un addendo e il seguente è costante (ad esempio, nel quiz delle noccioline tra +10 e +20 c è un intervallo di 10 unità, oppure tra +20 e +30 c è un intervallo sempre di 10 unità, oppure tra +30 e +40 c è un intervallo ancora di 10 unità, etc.); in un fenomeno con andamento esponenziale l inter-
Logica matematica e ragionamento numerico 460 piegato 5 secondi a percorrere tutto il tratto e che dopo il primo secondo abbia percorso 10 metri, come mostrato nella tabella seguente. 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s Al termine del primo secondo ha percorso 10 m Al termine del 2 secondo ha percorso ulteriori 10 m e quindi complessivamente 20 m (10 m dopo il 1 secondo + 10 m dopo il 2 secondo) Al termine del 3 secondo ha percorso ulteriori 20 m e quindi complessivamente 40 m (20 m dopo i primi due secondi + 20 m dopo il 3 secondo) Al termine del 4 secondo ha percorso ulteriori 40 m e quindi complessivamente 80 m (40 m dopo i primi tre secondi + 40 m dopo il 4 secondo) Al termine del 5 secondo ha percorso ulteriori 80 m e quindi complessivamente 160 m (80 m dopo i primi quattro secondi + 80 m dopo il 5 secondo) Dall analisi della tabella risulta evidente che se il ciclista ha impiegato 5 secondi a percorrere l intero tratto in discesa, allora avrà coperto metà del tratto al termine del secondo precedente, ovvero del quarto secondo (infatti, al termine del quinto secondo ha percorso complessivamente 160 metri, mentre al termine del 4 secondo aveva percorso complessivamente 80 metri e 80 è la metà di 160). Analogamente, se il ciclista ha impiegato 20 secondi a percorrere l intero tratto in discesa, allora avrà coperto metà del tratto al termine del secondo precedente, ovvero del 19-esimo secondo. Oltre ai quiz in cui bisogna applicare nozioni di aritmetica, ti capiterà di cimentarti con quiz in cui è necessario applicare conoscenze algebriche, come mostrato nei due esempi seguenti. Esempio n. 7 Se: + = + = + + = 13 allora è uguale a: A 9 B 13 C 15 D 7 E 8 Il quiz propone un equazione simbolica, ovvero sono elencate delle operazioni scritte con simboli e numeri e ti viene chiesto di individuare a quale numero corrisponda un preciso simbolo: si tratta di esercizi che mirano a valutare non tanto la capacità di calcolo, quanto quella di ragionamento logico a partire dai simboli proposti. Nell esempio n. 7, analizzando la prima equazione, + =, ti rendi conto che la somma del rombo e del triangolo dà come risultato il cerchio. Osserva, poi, la terza equazione, + vallo tra un termine e il seguente non è costante (nell esempio del ciclista che ad ogni secondo raddoppia il tratto di strada percorso, supponendo che dopo il primo secondo il ciclista abbia percorso 10 metri, al termine del secondo successivo avrà percorso ulteriori 10 metri, poi 20, poi 40, etc., quindi tra 10 e 10 c è un intervallo di 0 unità; tra 10 e 20 l intervallo aumenta perché è di 10 unità, tra 20 e 40 l intervallo aumenta ulteriormente perché è di 20 unità, etc.).
461 Logica matematica e problem solving& + = 13, in cui compaiono nuovamente il rombo e il triangolo: poiché rombo + triangolo = cerchio, puoi sostituire nella terza equazione a + il cerchio, ottenendo ( + ) + = 13 + = 13 ; ma cerchio + triangolo compare anche nella seconda equazione proposta, da cui si evince che + = : quindi se + = e se + = 13, allora, per la proprietà transitiva, = 13. Oltre alle equazioni simboliche, vengono frequentemente assegnati quiz in cui devi tradurre le informazioni riportate nella traccia in linguaggio matematico, ottenendo delle equazioni di primo o di secondo grado, oppure ottenendo dei sistemi, la cui risoluzione ti consente di rispondere al quesito, come mostrato nell esempio seguente. Esempio n. 8 Tre sorelle hanno un età complessiva pari a 75 anni. La maggiore delle tre ha un età pari ai tre mezzi dell età della minore delle tre. La sorella di mezzo ha cinque anni in meno della sorella maggiore. Quanti anni ha la sorella maggiore? A 20 B 26 e 3 mesi C 32 D 30 E 25 Indica l età delle tre sorelle con x, y e z, ovvero: età sorella maggiore x; età sorella di mezzo y; età sorella minore z; procedi, poi, con la traduzione delle informazioni riportate nella traccia: tre sorelle hanno un età complessiva pari a 75 anni x + y + z = 75; la maggiore delle tre ha un età pari ai tre mezzi dell età della minore delle tre x = 3 2 z ; la sorella di mezzo ha cinque anni in meno della sorella maggiore y = x 5. Ragionando come mostrato in precedenza, ottieni tre equazioni che vanno messe a sistema, ovvero: x + y + z = 75 x = 3 2 z x = 3 2 z y = x 5 3 2 z + y + z = 75 y = 3 2 z 5 3 2 z + 3 2 z 5 + z = 75 x = 3 2 z y = 3 2 z 5
Logica matematica e ragionamento numerico 462 x = 3 2 z 3 2 z + 3 z 5+ z = 75 2 y = 3 2 z 5 2 x = 3 2 z 3z + 3z 10+2z y = 3 2 z 5 = 150 2 3z + 3z +2z = 150+10 x = 3 2 z y = 3 2 z 5 8z = 160 x = 3 2 z y = 3 2 z 5 z = 160 8 = 20 x = 3 2 z = 3 1 2 20 10 = 30 y = 3 2 z 5 = 3 2 20 5 = 3 1 2 20 10 5 = 25 In definitiva, la sorella maggiore, ovvero x, ha 30 anni. Infine, in alcuni concorsi vengono proposti dei diagrammi seguiti da domande di comprensione delle informazioni in essi riportate. I diagrammi sono spesso dei diagrammi di flusso in cui sono sintetizzate differenti operazioni sotto forma di uno schema fatto di simboli, frecce e blocchi di informazioni: i blocchi sono collegati tramite le frecce che indicano l ordine del processo decisionale successivo. Si richiede di comprendere il risultato che deriva a diversi livelli della fase decisionale, come mostrato nell esempio seguente. Esempio n. 9 Problema: un commerciante vuole disporre di un numero sufficiente di sedie per poter sempre soddisfare le richieste dei clienti. Egli ha fissato a 80 il numero minimo di sedie di scorta. Se ha in magazzino più di 80 sedie, non effettua l ordine. Quando ne ha esattamente 80, invia al fornitore un ordine normale. Quando ha in magazzino meno di 80 sedie, invia un ordine urgente. Alla fine di ogni giornata il commerciante decide se, in base alle vendite effettuate, deve ordinare o meno le sedie.
463 Logica matematica e problem solving& Nel quadratino numero 1 che trovi nella figura proposta, quale azione dovrà intraprendere il commerciante? A non è richiesta nessuna azione B aggiornare i dati della scorta C inviare un ordine normale D inviare un ordine urgente E comprare 80 sedie Il quiz è un esempio di prova di percorso logico, costituita da tre parti: la situazione-problema che presenta l argomento su cui verteranno i quesiti; il diagramma di flusso; uno o più quesiti a risposta multipla riferiti ad alcune caselle critiche nel corso del diagramma. Per rispondere correttamente a questa tipologia di domande è importante leggere con attenzione sia il testo del problema che i vari passaggi del diagramma di flusso, in modo da evidenziare informazioni e dettagli che a prima vista potrebbero sembrare irrilevanti. L azione corretta per il quadratino 1 è quella contrassegnata dal numero 1. Infatti, se segui nella figura il percorso indicato dalle frecce incominciando dalla parola PARTENZA fino al quadratino 1, vedrai la domanda Oggi sono state vendute sedie? alla quale viene risposto con No. Se non sono state vendute sedie, la scorta non è diminuita e quindi non è necessario ordinare nuove sedie. I quiz proposti in precedenza sono esemplificativi delle tipologie di domande di problem solving più frequentemente assegnate, ma non sono le uniche possibili, come avrai modo di appurare svolgendo i test seguenti. Test 1 (Tempo: 6 minuti) 1 Posti A = {42, 43, 44} e B = {43, 44, 45}, qual è l insieme C risultante dall unione di A e B? A C = {42, 43, 44, 45} B C = {42, 45} C C = {43, 44, 45} D C = {42, 43, 44} E C = {43, 44} 2 Se A e B sono due insiemi non vuoti privi di elementi comuni, l insieme (A B) A è: A B B A B C A B D B A E A 3 Posti A = {a, e} e B = insieme delle vocali, l insieme complementare di A rispetto a B è: A {a, e} B l insieme delle consonanti C {a, e, i, o, u} D {a, e, i} E {i, o, u}
Logica matematica e ragionamento numerico 464 4 Un gioco ha le seguenti regole: se un numero è divisibile per 7 vale 4 punti; se è divisibile per 4 vale 3 punti. In base a tali regole, quale dei seguenti numeri vale di più? A 55 B 44 C 14 D 33 E 32 5 Un gioco ha le seguenti regole: se un numero è divisibile per 2 vale 4 punti; se è divisibile per 4 vale 8 punti; se è divisibile per 8 vale 2 punti. In base a tali regole, quanto vale il numero 40? A 14 punti B 10 punti C 6 punti D 4 punti E 12 punti 6 Se ZOP significa cifra (singola) divisibile per 2, ZUP significa cifra (singola) divisibile per 6 e ZEP significa cifra (singola) divisibile per 9, allora con quale scrittura può essere espresso il numero 82? A ZOP ZEP B ZEP ZOP C ZOP ZOP D ZUP ZEP E ZOP ZUP 7 Se COG significa cifra (singola) divisibile per 3, CUG significa cifra (singola) divisibile per 4 e CEG significa cifra (singola) divisibile per 7, allora con quale scrittura può essere espresso il numero 63? A CEG COG B COG CUG C COG COG D CEG CUG E COG CEG 8 Se la lettera B identifica una qualunque cifra (singola), la lettera E identifica una qualunque cifra (singola) pari e la lettera R identifica una qualunque cifra (singola) dispari, allora la scrittura RBBR rappresenta un numero: A dispari di tre cifre B dispari di quattro cifre C pari di quattro cifre D dispari di una cifra E divisibile per due 9 Se la lettera N identifica una qualunque cifra (singola), la lettera P identifica una qualunque cifra (singola) pari e la lettera D identifica una qualunque cifra (singola) dispari, allora il prodotto tra i numeri PP e DD sarà certamente un numero: A composto da cinque cifre B pari
465 Logica matematica e problem solving& C dispari di tre cifre D composto da tre cifre E pari di tre cifre 10 Nella figura è rappresentato un circuito con diversi interruttori (p, q e r) posti in serie o in parallelo. Gli interruttori rappresentano i seguenti enunciati: p = x è divisore di 63 ; q = x è multiplo di 3 ; r = x è pari. Per fare in modo che la lampadina si accenda, è necessario chiudere il circuito. Pertanto, la lampadina si accenderà quando x assume valore: A 16 B 15 C 33 D 21 E 32 11 L obiettivo del quesito è quello di individuare la sequenza corretta sulla base di una serie di indizi forniti. Per ogni sequenza errata viene indicato se sono presenti caratteri BP (numero di caratteri corretti nella posizione corretta, ovvero ben piazzati ) o MP (numero di caratteri corretti, ma nella posizione sbagliata, ovvero mal piazzati ). ZYEE: 1 BP / 1 MP ZEKB: 2 BP / 1 MP ZYYB: 1 BP KEEE: 3 B A ZEEK B ZEEE C KEEZ D KEEB E ZKKE