RELAZIONE DI CALCOLO Definizione Per pendio s intende una porzione di versante naturale il cui profilo originario è stato modificato da interventi artificiali rilevanti rispetto alla stabilità. Per frana s intende una situazione di instabilità che interessa versanti naturali e coinvolgono volumi considerevoli di terreno. Introduzione all'analisi di stabilità La risoluzione di un problema di stabilità richiede la presa in conto delle equazioni di campo e dei legami costitutivi. Le prime sono di equilibrio, le seconde descrivono il comportamento del terreno. Tali equazioni risultano particolarmente complesse in quanto i terreni sono dei sistemi multifase, che possono essere ricondotti a sistemi monofase solo in condizioni di terreno secco, o di analisi in condizioni drenate. Nella maggior parte dei casi ci si trova a dover trattare un materiale che se saturo è per lo meno bifase, ciò rende la trattazione delle equazioni di equilibrio notevolmente complicata. Inoltre è praticamente impossibile definire una legge costitutiva di validità generale, in quanto i terreni presentano un comportamento non-lineare già a piccole deformazioni, sono anisotropi ed inoltre il loro comportamento dipende non solo dallo sforzo deviatorico ma anche da quello normale. A causa delle suddette difficoltà vengono introdotte delle ipotesi semplificative: (a) Si usano leggi costitutive semplificate: modello rigido perfettamente plastico. Si assume che la resistenza del materiale sia espressa unicamente dai parametri coesione ( c ) e angolo di resistenza al taglio (ϕ), costanti per il terreno e caratteristici dello stato plastico; quindi si suppone valido il criterio di rottura di Mohr-Coulomb. (b) In alcuni casi vengono soddisfatte solo in parte le equazioni di equilibrio. Metodo equilibrio limite (LEM) Il metodo dell'equilibrio limite consiste nello studiare l'equilibrio di un corpo rigido, costituito dal pendio e da una superficie di scorrimento di forma qualsiasi (linea retta, arco di cerchio, spirale logaritmica); da tale equilibrio vengono calcolate le tensioni da taglio (τ) e confrontate con la resistenza disponibile (τ f ), valutata secondo il criterio di rottura di Coulomb, da tale confronto ne scaturisce la prima indicazione sulla stabilità attraverso il coefficiente di sicurezza F = τ f / τ. Tra i metodi dell'equilibrio limite alcuni considerano l'equilibrio globale del corpo rigido (Culman), altri a causa della non omogeneità dividono il corpo in conci considerando l'equilibrio di ciascuno (Fellenius, Bishop, Janbu ecc.). Di seguito vengono discussi i metodi dell'equilibrio limite dei conci. Metodo dei conci La massa interessata dallo scivolamento viene suddivisa in un numero conveniente di conci. Se il numero dei conci è pari a n, il problema presenta le seguenti incognite: n valori delle forze normali N i agenti sulla base di ciascun concio; n valori delle forze di taglio alla base del concio T i (n-1) forze normali Ei agenti sull'interfaccia dei conci; (n-1) forze tangenziali Xi agenti sull'interfaccia dei conci; n valori della coordinata a che individua il punto di applicazione delle E i ; (n-1) valori della coordinata che individua il punto di applicazione delle Xi; 1
una incognita costituita dal fattore di sicurezza F. Complessivamente le incognite sono (6n-2). mentre le equazioni a disposizione sono: Equazioni di equilibrio dei momenti n Equazioni di equilibrio alla traslazione verticale n Equazioni di equilibrio alla traslazione orizzontale n Equazioni relative al criterio di rottura n Totale numero di equazioni 4n Il problema è staticamente indeterminato ed il grado di indeterminazione è pari a i = (6n-2)-(4n) = 2n-2. Il grado di indeterminazione si riduce ulteriormente a (n-2) in quando si fa l'assunzione che Ni sia applicato nel punto medio della striscia, ciò equivale ad ipotizzare che le tensioni normali totali siano uniformemente distribuite. I diversi metodi che si basano sulla teoria dell'equilibrio limite si differenziano per il modo in cui vengono eliminate le (n-2) indeterminazioni. Metodo di JANBU (1967) Janbu estese il metodo di Bishop a superfici si scorrimento di forma qualsiasi. Quando vengono trattate superfici di scorrimento di forma qualsiasi il braccio delle forze cambia (nel caso delle superfici circolari resta costante e pari al raggio) a tal motivo risulta più conveniente valutare l equazione del momento rispetto allo spigolo di ogni blocco. Σ F = { c b + (W - u b + X ) tan ϕ } i i i i ΣW tanα i i i i 2 sec αi 1+ tanα tanϕ / F Assumendo X i = 0 si ottiene il metodo ordinario. Janbu propose inoltre un metodo per la correzione del fattore di sicurezza ottenuto con il metodo ordinario secondo la seguente: Fcorretto = fo F dove fo è riportato in grafici funzione di geometria e parametri geotecnici. Tale correzione è molto attendibile per pendii poco inclinati. i i 2
VALUTAZIONE DELL AZIONE SISMICA Nelle verifiche agli Stati Limite Ultimi la stabilità dei pendii nei confronti dell azione sismica viene eseguita con il metodo pseudo-statico. Per i terreni che sotto l azione di un carico ciclico possono sviluppare pressioni interstiziali elevate viene considerato un aumento in percento delle pressioni neutre che tiene conto di questo fattore di perdita di resistenza. Ai fini della valutazione dell azione sismica, nelle verifiche agli stati limite ultimi, vengono considerate le seguenti forze statiche equivalenti: F F H V Essendo: F H e F V rispettivamente la componente orizzontale e verticale della forza d inerzia applicata al baricentro del concio; W: peso concio Ko: Coefficiente sismico orizzontale Kv: Coefficiente sismico verticale. = K = K o v W W Calcolo coefficienti sismici Le NTC 2008 calcolano i coefficienti K o e K v in dipendenza di vari fattori: Con K o = βs (a max /g) K v =±0,5 K o βs coefficiente di riduzione dell accelerazione massima attesa al sito; amax accelerazione orizzontale massima attesa al sito; g accelerazione di gravità. Tutti i fattori presenti nelle precedenti formule dipendono dall accelerazione massima attesa sul sito di riferimento rigido e dalle caratteristiche geomorfologiche del territorio. amax = SS ST ag SS (effetto di amplificazione stratigrafica): 0.90 Ss 1.80; è funzione di F0 (Fattore massimo di amplificazione dello spettro in accelerazione orizzontale) e della categoria di suolo (A, B, C, D, E). S T (effetto di amplificazione topografica). Il valore di S T varia con il variare delle quattro categorie topografiche introdotte: T1(S T = 1.0) T2(S T = 1.20) T3(S T =1.20) T4(S T = 1.40). Questi valori sono calcolati come funzione del punto in cui si trova il sito oggetto di analisi. Il parametro di entrata per il calcolo è il tempo di ritorno dell evento sismico che è valutato come segue: 3
TR=-VR/ln(1-PVR) Con VR vita di riferimento della costruzione e PVR probabilità di superamento, nella vita di riferimento, associata allo stato limite considerato. La vita di riferimento dipende dalla vita nominale della costruzione e dalla classe d uso della costruzione (in linea con quanto previsto al punto 2.4.3 delle NTC). In ogni caso V R dovrà essere maggiore o uguale a 35 anni. Ricerca della superficie di scorrimento critica In presenza di mezzi omogenei non si hanno a disposizione metodi per individuare la superficie di scorrimento critica ed occorre esaminarne un numero elevato di potenziali superfici. Nel caso vengano ipotizzate superfici di forma circolare, la ricerca diventa più semplice, in quanto dopo aver posizionato una maglia dei centri costituita da m righe e n colonne saranno esaminate tutte le superfici aventi per centro il generico nodo della maglia m n e raggio variabile in un determinato range di valori tale da esaminare superfici cinematicamente ammissibili. Analisi di stabilità dei pendii con: JANBU (1956) ======================================================================== Lat./Long. 44,276365/9,400828 Normativa NTC 2008 Numero di strati 3,0 Numero dei conci 10,0 Grado di sicurezza ritenuto accettabile 1,1 Coefficiente parziale resistenza 1,1 Analisi Condizione drenata Superficie di forma circolare ======================================================================== Maglia dei Centri ======================================================================== Ascissa vertice sinistro inferiore xi 8,92 m Ordinata vertice sinistro inferiore yi 24,91 m Ascissa vertice destro superiore xs 75,66 m Ordinata vertice destro superiore ys 46,23 m Passo di ricerca 10,0 Numero di celle lungo x 30,0 Numero di celle lungo y 20,0 ======================================================================== Coefficienti sismici [N.T.C.] ======================================================================== Dati generali Tipo opera: 2 - Opere ordinarie Classe d'uso: Classe II Vita nominale: 50,0 [anni] Vita di riferimento: 50,0 [anni] Parametri sismici su sito di riferimento Categoria sottosuolo: Categoria topografica: B T1 4
S.L. Stato limite TR Tempo ritorno [anni] ag [m/s²] F0 [-] TC* [sec] S.L.O. 30,0 0,33 2,51 0,21 S.L.D. 50,0 0,41 2,53 0,23 S.L.V. 475,0 1,06 2,42 0,29 S.L.C. 975,0 1,39 2,39 0,29 Coefficienti sismici orizzontali e verticali Opera: Stabilità dei pendii e Fondazioni S.L. Stato limite amax [m/s²] beta [-] kh [-] kv [sec] S.L.O. 0,396 0,2 0,0081 0,004 S.L.D. 0,492 0,2 0,01 0,005 S.L.V. 1,272 0,24 0,0311 0,0156 S.L.C. 1,668 0,24 0,0408 0,0204 Coefficiente azione sismica orizzontale 0,0311 Coefficiente azione sismica verticale 0,0156 Vertici profilo N X m y m 1 10,85 15,21 2 19,44 16,56 3 34,53 16,73 4 41,12 17,17 5 46,75 17,55 6 47,6 18,12 7 53,65 19,27 8 65,71 20,75 9 67,9 22,02 10 74,49 23,87 11 75,64 24,11 12 84,61 25,95 13 86,41 27,5 14 89,5 27,7 15 90,47 28,17 16 92,98 28,2 17 95,8 28,9 9 Falda Nr. Vertici strato...1 N X (m) y (m) 1 13,0 15,0 2 66,0 15, 0 X (m) y (m) 1 10,85 15,21 2 10,85 6,74 3 21,01 8,62 4 30,43 10,61 5 35,24 10,18 6 39,9 11,68 7 43,69 12,44 8 49,0 14,7 5
Vertici strato...2 N 9 58,15 16,36 10 59,46 16,76 11 60,16 16,97 12 62,34 17,64 13 65,42 18,6 14 82,91 23,84 15 94,42 27,35 16 95,8 27,82 17 95,8 28,9 9 X (m) y (m) 1 10,85 6,74 2 10,85 1,84 3 20,77 3,11 4 38,2 4,94 5 63,52 10,58 6 68,84 12,65 7 79,0 16,36 8 88,1 19,25 9 95,8 21,28 10 95,8 27,82 Coefficienti parziali per i parametri geotecnici del terreno ======================================================================== Tangente angolo di resistenza al taglio 1,25 Coesione efficace 1,25 Coesione non drenata 1,4 Riduzione parametri geotecnici terreno No ======================================================================= = Stratigrafia c: coesione; cu: coesione non drenata; Fi: Angolo di attrito; G: Peso Specifico; Gs: Peso Specifico Saturo; K: Modulo di Winkler Strato c (kg/cm²) cu (kg/cm²) Fi ( ) G (Kg/m³) Gs (Kg/m³) K (Kg/cm³) Litologia 1 0,035 29 1800 1900 0,00 Sedimenti alluvionali frammisti a coltre eluvio-collu viale 2 0,26 25 2400 2500 0,00 Ammasso roccioso significativa mente alterato/fratt urato 3 0,35 35 2600 2600 0,00 Ammasso roccioso sano Risultati analisi pendio [NTC 2008: [A2+M2+R2]] ======================================================================== Fs minimo individuato 1,68 Ascissa centro superficie 66,77 m Ordinata centro superficie 29,17 m Raggio superficie 9,62 m ======================================================================== 6
Numero di superfici esaminate...(1096) ======================================================================== N Xo Yo Ro Fs ======================================================================== 1 15,6 24,9 9,9 4,14 2 16,7 25,4 10,8 4,27 3 17,8 24,9 9,9 5,02 4 18,9 25,4 11,9 5,03 5 20,0 24,9 12,2 5,52 6 21,2 25,4 13,0 6,10 7 22,3 24,9 11,3 7,94 8 23,4 25,4 11,8 9,29 9 24,5 24,9 11,2 11,52 10 25,6 25,4 11,8 12,40 11 26,7 24,9 11,2 15,90 12 27,8 25,4 11,7 13,30 13 28,9 24,9 11,2 12,09 14 30,1 25,4 11,7 11,36 15 31,2 24,9 11,2 10,61 16 32,3 25,4 11,7 9,49 17 33,4 24,9 12,4 8,28 18 34,5 25,4 11,6 7,87 19 35,6 24,9 12,4 7,19 20 36,7 25,4 11,6 6,79 21 37,8 24,9 12,4 5,81 22 39,0 25,4 12,9 4,89 23 40,1 24,9 12,4 4,11 24 41,2 25,4 11,6 3,87 25 42,3 24,9 11,0 3,68 26 43,4 25,4 11,5 3,32 27 44,5 24,9 11,0 3,09 28 45,6 25,4 10,1 2,85 29 46,7 24,9 9,6 2,68 30 47,9 25,4 10,1 2,60 31 49,0 24,9 9,6 2,56 32 50,1 25,4 10,0 2,59 33 51,2 24,9 9,7 2,89 34 52,3 25,4 10,0 3,07 35 53,4 24,9 8,4 3,26 36 54,5 25,4 8,5 3,45 37 55,6 24,9 8,5 3,50 38 56,8 25,4 12,8 3,56 39 57,9 24,9 12,3 3,59 40 59,0 25,4 11,4 3,23 41 60,1 24,9 12,4 3,20 42 61,2 25,4 12,8 2,99 43 62,3 24,9 9,9 2,88 44 63,4 25,4 6,0 2,60 45 64,5 24,9 6,2 1,98 46 65,7 25,4 6,1 1,79 47 66,8 24,9 4,7 1,71 48 67,9 25,4 4,9 1,85 49 69,0 24,9 4,5 1,96 50 70,1 25,4 4,9 2,07 51 71,2 24,9 4,3 2,22 52 72,3 25,4 3,3 2,61 53 73,4 24,9 2,8 2,70 54 74,6 25,4 10,0 2,72 55 75,7 24,9 12,4 2,86 7
56 15,6 26,0 10,7 4,56 57 17,8 26,0 11,7 4,67 58 18,9 26,5 12,6 5,16 59 20,0 26,0 12,9 5,57 60 21,2 26,5 12,4 7,04 61 22,3 26,0 13,4 6,93 62 23,4 26,5 13,9 7,87 63 24,5 26,0 13,4 9,03 64 25,6 26,5 12,4 12,94 65 26,7 26,0 13,4 11,07 66 27,8 26,5 13,9 11,49 67 28,9 26,0 12,1 12,35 68 30,1 26,5 13,9 10,21 69 31,2 26,0 13,4 9,40 70 32,3 26,5 12,4 9,53 71 33,4 26,0 13,4 7,98 72 34,5 26,5 13,9 7,60 73 35,6 26,0 13,4 7,04 74 36,7 26,5 12,4 6,77 75 37,8 26,0 13,4 5,38 76 39,0 26,5 12,4 5,35 77 40,1 26,0 12,1 4,60 78 41,2 26,5 12,5 3,74 79 42,3 26,0 12,1 3,53 80 43,4 26,5 12,5 3,25 81 44,5 26,0 12,0 3,03 82 45,6 26,5 11,0 2,83 83 46,7 26,0 10,6 2,73 84 47,9 26,5 11,1 2,60 85 49,0 26,0 10,6 2,58 86 50,1 26,5 11,1 2,61 87 51,2 26,0 10,6 2,69 88 52,3 26,5 11,1 3,04 89 53,4 26,0 9,1 3,29 90 54,5 26,5 13,9 3,38 91 55,6 26,0 13,3 3,37 92 56,8 26,5 13,9 3,36 93 57,9 26,0 13,3 3,32 94 59,0 26,5 12,4 3,49 95 60,1 26,0 13,3 3,12 96 61,2 26,5 12,3 2,77 97 62,3 26,0 7,4 2,66 98 63,4 26,5 7,9 2,14 99 64,5 26,0 6,0 2,16 100 65,7 26,5 6,3 1,82 101 66,8 26,0 6,1 1,69 102 67,9 26,5 6,2 1,74 103 69,0 26,0 4,7 2,29 104 70,1 26,5 6,2 1,92 105 71,2 26,0 4,8 2,23 106 72,3 26,5 4,6 2,39 107 73,4 26,0 10,5 2,68 108 74,6 26,5 13,8 2,53 109 75,7 26,0 11,9 2,60 110 15,6 27,0 11,5 5,46 111 16,7 27,6 12,3 4,90 112 17,8 27,0 12,4 4,88 113 18,9 27,6 11,9 7,78 114 20,0 27,0 13,5 5,69 8
115 21,2 27,6 12,9 7,67 116 22,3 27,0 12,7 8,52 117 23,4 27,6 14,7 7,82 118 24,5 27,0 14,3 8,96 119 25,6 27,6 13,1 13,66 120 26,7 27,0 14,3 10,85 121 27,8 27,6 14,7 11,23 122 28,9 27,0 12,7 12,58 123 30,1 27,6 14,7 10,09 124 31,2 27,0 14,3 9,27 125 32,3 27,6 13,1 9,77 126 33,4 27,0 14,3 7,85 127 34,5 27,6 14,7 7,52 128 35,6 27,0 12,8 7,29 129 36,7 27,6 14,7 6,35 130 37,8 27,0 14,3 5,20 131 39,0 27,6 14,7 4,56 132 40,1 27,0 14,3 3,78 133 41,2 27,6 13,1 3,83 134 42,3 27,0 14,3 3,48 135 43,4 27,6 13,1 3,22 136 44,5 27,0 12,8 2,99 137 45,6 27,6 13,1 2,81 138 46,7 27,0 11,3 2,67 139 47,9 27,6 11,5 2,59 140 49,0 27,0 11,3 2,58 141 50,1 27,6 11,5 2,63 142 51,2 27,0 11,3 2,70 143 52,3 27,6 11,5 2,94 144 53,4 27,0 11,3 3,04 145 54,5 27,6 11,5 3,19 146 55,6 27,0 14,3 3,50 147 56,8 27,6 14,7 3,21 148 57,9 27,0 14,3 3,05 149 59,0 27,6 13,1 3,16 150 60,1 27,0 12,8 2,99 151 61,2 27,6 13,1 2,78 152 62,3 27,0 8,3 2,55 153 63,4 27,6 8,3 2,19 154 64,5 27,0 8,3 1,90 155 65,7 27,6 8,3 1,76 156 66,8 27,0 6,8 1,72 157 67,9 27,6 6,7 1,92 158 69,0 27,0 6,7 1,81 159 70,1 27,6 6,8 2,01 160 71,2 27,0 5,1 2,40 161 72,3 27,6 11,6 2,60 162 73,4 27,0 5,0 2,49 163 74,6 27,6 13,2 2,47 164 75,7 27,0 11,1 2,53 165 17,8 28,1 13,3 5,08 166 18,9 28,6 12,8 8,67 167 20,0 28,1 12,8 7,68 168 21,2 28,6 15,4 6,24 169 22,3 28,1 15,3 6,84 170 23,4 28,6 15,8 7,65 171 24,5 28,1 13,7 11,92 172 25,6 28,6 14,2 13,15 173 26,7 28,1 13,7 13,97 9
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